廖明艳：高考压轴题的一题多解 -8月17日修改.docx

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1、高考压轴题的一题多解探究2022年全国新高考数学II卷第22题的多种解法海南省台江冬族自治县舟江中学 章明艳海南省昌江黎族自治县昌江中学 林欣记2022年全国新高考数学II卷试题总体设计角度新颖，创新地将优秀的中华 传统文化融合到试题当中，重点内容全面考查，难点内容注重选拔，压轴题较之 往年更加压轴，很好地考查了学生的综合能力.高考是高中课堂教学的指挥棒， 今年的高考题给我们下一年备考的学生也有了些新的启发.简而言之，现在的题 型更加重视创新，没有固定的格式套路，同学们只有将数学思想、核心知识和常 用方法熟练掌握，学好每个章节知识，弄清数学本质为主，做题为辅，探本溯源， 贯穿知识的内在联系，建

2、构好高中数学整体的知识框架，不断强化数学核心素养, 才能在考试中做到应付自如、游刃有余.现以2022年新高考数学H卷第22题为 例，从一般的简单通法解答到秒杀解法，从不同的解题切入点探讨该题的解答, 以期为同学们解决此类导数题时提供参考。1 .高考试题呈现（2022年全国新高考数学II卷第22题）.已知函数/（幻=4*一:（1）当4=1时,讨论了（X）的单调性；（2）当R0时，求。的取值范围；（3）若 n N”,证明： J + /J+-=1n（/? + 1）.Vl2+1 V22+2 yjn2 + n2 . 2022年全国新高考数学II卷导数试题分析.导数题历年来都是以压轴题的角色在高考试卷上出

3、现，它既能很好地考查学 生逻辑思维的严谨性、思考角度的开放性和辩证思维的创新性，又能有效地考查 学生数学运算、逻辑推理和直观想象的能力等等.导数题通常是选取抽象的超越 函数为背景，学生解决这类问题往往很难找到切入点，不知如何构造新的函数, 甚至有的压轴题是“一题一方法”。本题目第（1）问讨论函数的单调性，参数。 赋值为1,只需对函数求导，判断导函数的正负，即可得到原函数的单调性，难 度较小易求解.接下来，我们重点谈（2）、（3）问的解题方法与逻辑分析.本题第（2）、（3）问从题目上看没有明显的逻辑从属关联，且第（2）问较之第（3）问难度 更大.第（3）问属于典型的不等式证明问题，第（2）问属于

4、典型的恒成立问 题，考查学生对不等式证明的综合能力，证明的过程会用到相关函数的性质， 甚至需要学生自行构造新的函数，并证明其单调性，再推导题目中的不等式成 立.3 .厘清第（2）问的解题思路和解题方法.针对问(2),先对原不等式进行等价变形为力。)=年奴-d+ 10在(1,48) 上恒成立，然后寻找每一步成立的充分条件.注意到(0) = 0,寻求“3 =(以+ 1)产-炉0在(1,+8)上恒成立，且易知(0) = 0,继续寻求= a(ax+ 2)* ex。在(1, +oo)上恒成立，注意到 /?(0)= 2。一 1 4 0,即 得a wL23.1. 第(2)问解法一：探求充分性证明必要性的解题

5、方法.解：(i)欲求力(x) = x*/ + l/7(0) = 0在(l,+oo)上恒成立，只需求(x) = 3 +1)* -v =0在(1, +8)上恒成立，只需求(x) = ci(clx + 2)eav - ex0, (用。恒成立”的充分条件； 2(ii)若;cavl 时，(x) = (ar+l)*，=*(ax+l) /s, 设0(x) = ar+l-/孙,有(0)= 0,则 0 , a1 a所以，Q(x)在(0,一ln一)上递增，所以存在与(0,一111一),使 l-a -a-a -a得/z(%o)= e呻0(%o)e奴0) = 0 ,不符合题意；(当然，这里也可以这样处理， h,(x)

6、 = (ax + )eax-exx)-e0-t,xeac,令= gx+1 e(小，有(x) = l-(l-67)e(,-fl)v,令“(x) = 0,得X Jn(H)0,所以0(“在(0Jn.-2,上递增,当x(ojn(2-2a),有 /Z(x)/(0)= 0,即/?(%)在(0，n(2-2。)上递增,所以存在 xoe(O,ln(22tZ),使得力(小)0,不符合题意.)a-(iii)若时，存在 = 1,使得=炭一 + 10,也不符合题意.由(ii)、(iii)知也是“Vx0, *)0,使得2力(%)0时，/(幻_10戈*a-10二乙， x ar 0),Px 11 ihx) a + (1 a)

7、,因为 e-lx0,即ex - x ex x1 - 2-/ 时1 - 20 , 故,e(x)在(。,一)上递增.所以，当xo时，d(x)d(o)=o, 即e(x)在(o,y)上递增；又e(x)e(o)=o,即(力0,所以，人在(0,KO)上递增.因此，当工0时，/?(%)/z(0) = 0, 即a是当x0时，/(x)vl恒成立”的充分条件；21Y221(ii)若二 时，因为 e”l + x + , * hr(x(-a) + -7一一222x + x2 x=(1一。)=二&-，_),当 丁(0,：-1)时,有 ”(x)0,x + 2 x + 2-a-a 7所以，(幻在(0,学二)上递减，所以存在

8、xe(0,当二)，使得 1-a1 -a/?U0)/?() = (),不符合题意；(iii)若qNI时，存在玉)=1,使得力(为)=m(。-l)-lnl不符合 题意.由(ii) (iii)知“。工!”也是“当工0时，/。)0时，若/)一1等价于当时，/(In/)-!；设 a)= ln / + l0,注意到=0,探求充分性：(r) = ata-x In t + ta- -1 /(1) = 0 ,/?(r) = 1a(a -1) In r + (2a - l)ra-2 hn() = 2f/ -1 0 ,即得，a1时，0,所以(1)0,即存在Sl,当，e(l)时，使得(/)在(1上递增，所以，存在，。

9、(1”)，使得/?(/0)/?(1) = 0；(iii)当时，当fl时，易知所以，在(Lx。)上递增，所以，存在/1,使得Q)(1) =。.由(ii)、(iii)知也是2“当，1时，0的必要条件.综上所述，“工1”是“当，1时，()”的充要条件，等价于原命题得 2证。3. 5.解法四：应用洛比达法则.首先，通过采用参变量分离解这类问题的方法求函数的最值是中学数学教学 中常讲的方法.这些最值点往往会出现在间断点处，就需要应用洛比达法则求解. 使用洛比达法则需要两个支撑条件，即极限的保号性和函数的单调性，恰恰这两 点往往在中学教学中被严重忽视了.解：当x0时，若/*) 0,皿 x)递增，m(x)

10、/?(0) = 0 ,即。(力0,所以夕(x)递增，于是由洛必达法则和极限的保号性可得(p(x) lim (X-lk +1 - In= lim,v-o* ex 1x jo.即 F(x)0,xee= limlim In = 0,IT。 eX XT。 I所以*力在（0,+8）上递增，同理有尸(X)min = 1 5 ktOln(-1)-Inx= Hm (； _ 1) = limDe + lx so- ex -1 x x-*o+ x(ex -1)= lim = lim生电=1,即实数。的取值范围是（-co lj.f （x + l）e -1 （x + 2） 223 . 6.应用洛比达法则的逻辑分析.使

11、用洛比达法则必须先证明函数外力是在（，+。）上单调递增，再根据极限的保号性定理，才能保证有尸（x）NH%f（X）成立，使用洛比达法则求极限时，注.V0（x 1） +10. ex - ex 10意使用法则的前提条件，如：是万型,In 丁的真数-也是万V 1U人人,z型.4 .第（3）问的解法分析和具体解答过程.针对第（3）问，具体解答思考过程如下面的思维导图所示：4.1,第（3）问解法一：巧用赋值，化繁为简.解：由（2）可知，取。=1时，当U（）,有，+10成立，令LIt= e2，则 1, v - ex, x= 2Inr,故 2zln/ t2 - 1,即 2ln， t-一，对 1 恒成立.所以对

12、“？ N*,令，=ln(/i +1) - In (In 2 - In 1) + (In 3 - In 2) + +(ln(/? + I)-ln n) = ln( +1).故不等式Jn2 +n成立.4.2.第(3)问解法二：应用换元的方法，将问题简化求解.解：因为 _ +1+ + / 1 ln(/i + l) 4+4+4m( j j-)oJF + 1 物 + 2J/+” n n-1,+1、 ln()=nyy inJt=l d* + 1)Zk= ,ln(l + x) = ln(l + x) 版J + Xt-2nt,综上所述，要证明不等式21nf成立，需要构建母函数 ttH(x) = x- - -2

13、nx ( x 1 ),易得 J 0 ,知函数 ”(x)在xl时单调递增，且(1) = 0,即得x-，lnx2,利用所证得的不等式，构造数列x令%=4=1, 2,，代入式 Inx2,于是 x/+ y-i+ H-_! (In 2 In 1) + (In 3 In 2) + Vl2 + 1 V22 +2 yjn2 +n +(ln( 4- l)-ln n) = ln( +1).综上，若 eM,不等式)J=+ ,I + Iln( + l)恒成立，证毕.4. 3.第(3)问解法三：应用对均不等式切入巧解秒杀.有了方法一的分析，我们观察发现：欲证明原问不等式成立，等价于证明不等式x-lnY成立，这与对数均值

14、不等式的前半部分属于异曲同工的因此, X应用预备知识，对数均值不等式：而J 工学，来解该问会更加简洁.解：先对需要应用到的对数均值不等式前半部分进行证明：疝工 lntz-lnZ? -j=r In 1,有/(x) = 一(一1产 0,所以函数g。)在 入XX(l，+8)上单调递减，故I：恒成立 in ci- in u对疝 取。= + 1,0 = ，有成立的结论：In 一 In br-( + 1) 一 17( + l)n ln(H +1) - in n .,于是有ln(n + l)-lnHH阿八D一研恒成立，即ln(A? + l)-lnl ln(l+-) 1 + n111一八综上所述，不等式 7=

15、 + -/= + . . + / ,( +1)得证.VI2+ 1 V22+2d 2 +几5.结语.如果把课堂上兢兢业业的刷题教学看似平静的湖面，那么每年高考的指挥棒 就给平静的湖面泛起了一丝丝涟漪，特别是今年高考的指挥棒已经让平静的湖面 开始波涛汹涌，留给教育行政机构、学校、社会、教师、学生与家长太多的反思. 从中学数学教育工作者专业的视角审视今年的数学试卷，试题的确遵循了课标 中对高中数学核心素养的考查要求，也突破了模拟试题的套路，试题呈现方式与 解法都有创新，必须给予充分肯定，毕竟这也是数学教育追寻的真理.总的来说，今年试题还是非常值得肯定的，但试题难度过于集中，很大程度 限制了中等水平的学生发挥，就算是“学霸”在两个小时内也很难做完.全社会 都应该重新认识高考所具备选拔性功能的本质属性，它并不是某个专家或者团队 的智商秀，出题者应该更加关注试题的区分度、信度和效度才是一份好试题的归 宿.从今年的高考情况来看，当前中学数学教育亟待解决的问题是如何处理好教 材、教法、学法与教育的分流，望与各位同行共勉.