【高中数学】基本不等式课件 2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

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1、第2章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题要作用呢？下面就来研究这个问题【素养目标】【素养目标】【素养目标】【素养目标】1 1了解基本不等式的代数和几何背景了解基本不等式的代数和几何背景了解基本不等式的代数和几何背景了解基本不等式的代数和几何背景(数学抽象数学抽象数学抽象数学抽象)2 2理解并掌握基本不等式及其变形理解并掌握

2、基本不等式及其变形理解并掌握基本不等式及其变形理解并掌握基本不等式及其变形(逻辑推理逻辑推理逻辑推理逻辑推理)3 3会用基本不等式解决简单的最大会用基本不等式解决简单的最大会用基本不等式解决简单的最大会用基本不等式解决简单的最大(小小小小)值问题值问题值问题值问题(数学运算数学运算数学运算数学运算)4 4会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式(逻辑推理逻辑推理逻辑推理逻辑推理)5 5会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题会用基本不等式求最值问题

3、和解决简单的实际问题会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题(数学运算数学运算数学运算数学运算)两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数不小于不小于它们的几何平均数它们的几何平均数问题1：基本不等式及其推导由重要不等式可得：问题1：基本不等式及其推导问题1：基本不等式及其推导【证法二】当然我们也可以利用分析法：把这个过程倒过来，就是证明的过程.综合法综合法基本不等式链问题1：基本不等式及其推导ABDCE问题2：基本不等式的几何意义【例1】一正：一正：各项必须为正各项必须为正二定：二定：各项之和或各各项之和或各 项之积为定值项之积为定值三相等：三相

4、等：必须验证取等号必须验证取等号 时的条件十分具备时的条件十分具备问题3：利用基本不等式求最值思考思考问题3：利用基本不等式求最值问题4：最值定理及其应用问题4：最值定理及其应用【证明】【例题】(1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？问题5：基本不等式的实际应用【例题】(2)用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？问题问题问题问题5 5 5 5：基本不等式的实际应用：基本不等式的实际应用：基本不等式的实际应用：基本不等式的实际应用【例题】（3）某工厂要建造一个长方

5、体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池才能使总造价最低？最低造价是多少？问题问题5 5：基本不等式的实际应用：基本不等式的实际应用练习4：已知直角三角形的面积为50，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？.练习（第练习（第48页）页）1用用20 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？因为周长等于因为周长等于20，所以，所以所以所以所以所以当且仅当当且仅当a=b=5时取等号。时取等号。答：当矩形的长与宽均为答：当矩形的长与

6、宽均为5cm时，面积最大。最大值为时，面积最大。最大值为25cm2.2用一段长为用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？3做一个体积为做一个体积为32 m3，高为，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？用纸最少？解：设底面的长与宽分别为解：设底面的长与宽分别为a m,b m.a0,b0,因为体积等于因为体积等于32m3,高高2m,所所以底面积为以底面积为16m2

7、,即：即：所以用纸面积是所以用纸面积是当且仅当当且仅当a=b=4时取等号。时取等号。答：当底面的长与宽均为答：当底面的长与宽均为4m时，用纸最少。时，用纸最少。4已知一个矩形的周长为已知一个矩形的周长为36 cm？矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱？矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？当矩形的长和宽分别为当矩形的长和宽分别为9时，圆柱的侧面积最大。时，圆柱的侧面积最大。习题习题2.22.2（第（第4848页）页）2（1）把）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最写成两个正数的积，当

8、这两个正数取什么值时，它们的和最小？小？答：当这两个正数均为答：当这两个正数均为答：当这两个正数均为答：当这两个正数均为6 6时，它们的和最小。时，它们的和最小。时，它们的和最小。时，它们的和最小。2 2（2 2）把）把）把）把1818写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？最大？最大？最大？答：当这两个正数均为答：当这两个正数均为96时，它们的积最大。时，它们的积最大。3 3某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为某公司建造一间

9、背面靠墙的房屋，地面面积为某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m48 m2 2，房屋正面每平，房屋正面每平，房屋正面每平，房屋正面每平方米的造价为方米的造价为方米的造价为方米的造价为1 2001 200元，房屋侧面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为800800元，屋顶的造价为元，屋顶的造价为元，屋顶的造价为元，屋顶的造价为5 8005 800元如果墙高为元如果墙高为元如果墙高为元如果墙高为3 m3 m，且不计屋脊面和地面的费用，那么怎样设计房，且不计屋脊面和地面的费用，那么怎样设

10、计房，且不计屋脊面和地面的费用，那么怎样设计房，且不计屋脊面和地面的费用，那么怎样设计房屋使总造价最低？最低总造价是多少？屋使总造价最低？最低总造价是多少？屋使总造价最低？最低总造价是多少？屋使总造价最低？最低总造价是多少？当当3600y=4800 x,即即x=6,y=8时，时，z有最小值，最低造价为有最小值，最低造价为63400元。元。6一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费列信息：每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：（单位：km）成反比，每

11、月库存货物费用）成反比，每月库存货物费用y2（单位：元）与（单位：元）与x成正比；若在距离成正比；若在距离车站车站10 km处建仓库，则处建仓库，则y1和和y2分别为分别为2万元和万元和8万元这家公司应该把仓万元这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？所以仓库应建在距离车所以仓库应建在距离车站站5 km处，才能使两项处，才能使两项费用之和最小，最小费费用之和最小，最小费用为用为8万元万元 7一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金一位顾客到店里购买一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客你认为顾客购天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客你认为顾客购得的黄金是小于得的黄金是小于10 g，等于，等于10 g，还是大于，还是大于10 g？为什么？为什么？谢谢大家