2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题：三角形的动点问题（含答案）.pdf

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1、通用版2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题精选：三角形的动点问题1.如图，在Rt ABC中，NC=90,AC=6,A B=1 0,点P从点C出发沿CA以每秒2个单位的速度向点A运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；在点P出发的同时，点Q从点A出发沿AB以每秒2个单位的速度向终点B运 动.当 点Q到达终点时，点P也停止运动.以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM,使 点M与点C在PQ的 同 侧.设P、Q两点的运动时间为t秒(t0).(1)用含t的代数式表示线段BQ的长.(2)当四边形APMQ为轴对称图形时，求t的值.(3)当NAQM为锐角时，求t的取值范围.(4)当 点 乂 与 ABC一个

2、顶点的连线垂直平分PQ时，直接写出t的值.2.如图，在AABC中，ZC=90,且BC,AC,AB是三个连续的偶数，在边AB上取点M,N(点M在BN之 间)，使BM=3A N.点D,E分别是边AC,BC的中点，当点P从点D出发沿D E方向匀速运动到点E时，点Q恰好从点M出发沿BA方向匀速运动到点N.记QN=x,P D=y,当Q为AB中点时，y=2.(1)求 BC,AC,AB 的长.(2)求y关于x的函数表达式.(3)连结P Q,当PQ所在直线与aA B C的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x的值.过点P作PH_LAB于 点H,当PQH为等腰三角形时，求x的值.3.如图，在 Rt A B

3、C 中，ZACB=90,AC=3,BC=4.动点P 从点A 出发，以每秒3 个单位长度的速 度 沿 AC-CB-B A 方向绕行AABC 一周，动直线1从 A C 开始，以每秒1 个单位长度的速度向右平移，分 别 交 AB、B C 于 D、E 两 点.当 点 P 运动到点A 时，直线1也停止运动.C|0(1)求点P 到 A B 的最大距离；(2)当点P 在 A C 上运动时，求 tan/P D E 的值；把 4 P D E 绕点E 顺时针方向旋转，当点P 的对应点P,落 在 E D 上时，E D 的对应线段E D,恰好与 A B 垂直，求此时t 的值.(3)当点P 关于直线D E 的对称点为F

4、 时，四 边 形 PEFD能否成为菱形？若能，直接写出t 的值；若不能，请说明理由.4.如图，已知NBAC,且 co s/B A C=|,A B=1 0,点 P 是线段A B 上的动点，点 Q 是射线A C 上的动点，且 AQ=B P=x,以线段P Q 为边在A B 的上方作正方形PQED,以线段B P 为边在AB上方作正三角形PBM.(1)如图2,当点E 在射线A C 上时，求 x 的值；(2)如果0 P 经 过 D、M 两点，求正三角形P B M 的边长；(3)如果点E 在N M P B 的边上，求 A Q 的长.5.如图，A A B C 中，AB=AC=8cm,/BAC=120.动点P

5、从 点 A 出发，在 A B 边上以每秒1cm 的速度向终点B 匀速运动，同时动点Q 从 点 B 出发，沿 B C 以每秒V3c m的速度向终点C 匀速运动，连 接 PQ,设运动时间为t(秒).(1)当t=2秒时，贝I ABPQ的 面 积SABPQ=cm?；(直接写出答案)(2)以PQ为直径作圆0,在 点P,Q的运动过程中，当 圆。与4ABC的一边所在直线相切时，求t的值.6.如图，已知A,B两点的坐标分别为A(18,0),B(8,6),点P,Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从点A出发沿A。向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一

6、点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P,Q运动时间为t秒.(1)求t的取值范围；(2)若以O,P,Q为顶点的三角形与ABO相似，求此时t的值；(3)是否存在t,使 得AOPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出运动时间t;若不存在，请说明理由.7.已知：如图，在 Rt ABC 中，AB 1 AC,AB=6cm,BC=10cm,将 ABC 绕 AC 中点旋转1 8 0 得 到ACDA.如图，再 将4CDA沿AC的 方 向 以lcm/s的速度平移得到 NDP;同时,点Q从点C出发，沿CB方 向 以2cm/s的速度运动，当点Q停止运动时，NDP也停止平移，设运动时间为t(s)(O t0)9.如图，在

7、RtZABC中，ZACB=90,BC=6,sin/A=1 点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC向终点C运动，同时点E从点B出发，以相同速度沿BA方向运动，过点E作EF1AB,过点D作DFLEF垂足为F,连 结E D,当点D运动到终点时，点E也停止运动.设4E D F与AABC重叠部分图形的面积为S(S 0),点D的运动时间为t秒.(1)线段AC的长为_ _ _ _ _ _ _ _;(2)当直线EF经过点D时，求t的值；(3)求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围.10.如图AABC是等边三角形，AB=1 0.动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作

8、PD1AC于点D,以PD为边向右作矩形PD E F,且P A=P F.设矩形PDEF与AABC重叠部分的面积为S,点P运动的时间为t(t 0)秒.A D E M(1)填空：PD=(用含t的代数式表示)(2)当点F落在BC上时，求t的值;(3)求S与t之间的函数关系式.1 1.如图，在A A B C中，Z C =9 0,A C =6,B C =8 ,点P从点B出 发 沿B A AC以每秒2个单位的速度向终点C运动；同时，点Q从点C出发以每秒1个单位的速度向终点B运动，运动时间为t (t 0),连 结P Q .(1)求AP的长(用含有t的代数式表示)；(2)当点P在AB上运动时，过点P作P H 1

9、 B C于 点H,求PH的长(用含有t的代数式表示)；(3)当点P运 动 到AC上 且A P C Q的面积为1 2时，求t的值.(4)直接写出运动过程中以PQ为一边的三角形与A A B C相似时t的值.1 2 .(如图，在平面直角坐标系中，直 线y =-：x +3与y轴、x轴分别交于A、B两点，动点P从点A开始在线段A。上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从 点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设点P运动的时间为t (秒).(1)直接写出A、B两点的坐标.(2)当A A P Q与AAOB相似时，求t的值.(3)设4A

10、PQ的面积为S (平方单位)，求S与t之间的函数关系式.1 3.如图，在平面直角坐标系x O y中，矩形O A B C的顶点为A(8,0)、C(0,4),点B在第一象限.现有两动点P和Q,点P从原点O出发沿线段OA(不包括端点。，A)以每秒2个单位长度的速度匀速向点A运动，点Q从点A出发沿线段AB(不包括端点A,B)以每秒1个单位长度的速度匀速向点B运动.点P、Q同时出发，当点P运动到点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t(秒).(1)直接写出点B的坐标，并指出t的取值范围；(2)连 结C Q并延长交x轴于点D,把C D沿C B翻折交A B延长线于点E,连 结DE.ACDE的面积S是否随着

11、t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值；当t为何值时，PQ/CE?14.如图，在 ABC中，ZACB=90,AC=6,BC=8,点P从点A出发，沿 线 段A B以每秒5个单位长度的速度向终点B运 动.当 点P不与点A、B重合时，过点P作PQ1AB,交 折 线AC-CB于点Q,过点P、Q分别平行于B C、B A的直线相交于点R.设点P运动的时间为t秒，aPQ R与 ABC重叠部分的面积为S.(1)直接写出线段P Q的 长.(用 含t的代数式表示)(2)当点R落 在 边A C上时，求t的值.(3)当APQR与ABC重叠部分图形为三角形时，求S与t之间的函数关系式.(4

12、)直接写出A Q或P C平 分APQR面积时t的值.15.已知：如图，在 RtaACB 中，NC=90,AC=4cm,BC=3cm,点 P 由 B 出发沿 BA方向向点A匀速运动，速度为lcm/s;点Q由A出发沿A C方向向点C匀速运动，速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0 t 2),解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ/BC;(2)设AAQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把RtAACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；(4)如图，连接PC,并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP C

13、,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.16.已知AABC为等边三角形，AB=6,P是AB上的一个动点，(与A、B不 重 合)，过 点P作AB的垂线与BC相交于点D,以 点D为正方形的一个顶点，在AABC内作正方形DEFG，其 中D、EA在BC上，F在AC上,(1)设B P的长为x,正 方 形DEFG的边长为y,写 出y关 于x的函数解析式及定义域;(2)当BP=2时，求C F的长；(3)AGDP是否可能成为直角三角形？若能，求 出B P的长；若不能，请说明理由.如 图(1)所示，直线m ln,A、B分别为直线m、n上两点.(1)当O

14、A=OB时，作直线O Q,过点A、B两点分别作AM 10Q于点M,BN1OQ于点N,若AM=4,B N=3,求MN的长.(2)如 图(2),O A=5,点 B 为直线m 上方直线n 上动点，分别以OB、AB 为边，点 B 为直角顶点，在ABO外侧作等腰直角三角形OBF和等腰直角三角形ABE,Z ABE=Z ABF=90,联结EF交直线 m 于点P,问：当点B 运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明理由.18.如图1,Rt ABC中，NC=90,BC=8cm,AC=6 cm,点 D 是 BC上的一个定点.动点P 从点C 出发，以每秒2 厘米的速度沿C-A-B方向运动

15、，动点Q 从 D 出发，以 lcm/s的速度沿D-B 方向运动.点P 出发5s后，点 Q 才开始出发，且当一个点达到B 时，另一个点随之停止.图2 是当0 0).(1)点 E 的坐标为,F 的坐标为;(2)当 t 为何值时，四边形POFE是平行四边形；(3)是否存在某一时刻，使4PE F为直角三角形？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.20.在平面直角坐标系中，点 A(2,0)，点 B(2,2).将 OAB绕 点 B 顺时针旋转，得 O A B ,点 A,0 旋转后的对应点为A,0 记旋转角为a.(2)如图，当a=6 0 时，求 点A 的坐标；(3)连接 0尺,设 线 段0 A

16、的中点为M,连 接o M,求 线 段O,M的长的最小值(直接写出结果即可).21.在A AB C中，C D是A A B C的中线，如 果C D上的所有点都在A A B C的内部或边上，则 称C D为A B C的中线弧.A AK(1)在 RtABC 中，ZACB=90,AC=1,D 是 AB 的中点.如图1,若NA=45,画出AAB C的一条中线弧CD,直接写出AABC的中线弧C D所在圆的半径r的最小值；如图2,若NA=60,求出A A B C的最长的中线弧C D的弧长1 .(2)在平面直角坐标系中，已知点A(2,2),B(4,0),C(0,0),在a A B C中，D是A B的中点.求 AB

17、C的中线弧CD所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围.22.如图，在 RtZABC 中，ZBAC=90,ZB=30,AD1BC 于 D,AD=4 cm,过点 D 作 D E/A C,交AB于点E,DF/AB,交A C于点F.动点P从点A出发以lcm/s的速度向终点D运动，过点P作M N/BC,交AB于 点M,交A C于 点N.设点P运动时间为x(s),AAMN与四边形AEDF重叠部分面积为y(cm2).(1)AE=cm,AF=cm;(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)若线段M N中点为。，当点。落在/A C B平分线上时，直接写出x的值.23.如图，在 RtABC 中，ZACB

18、=90,AC、BC 的长为方程 x?-14x+a=0 的两根，且 AC-BC=2,D为AB的中点.(1)求a的值.(2)动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A-D-C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B-C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒若 点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒.在整个运动过程中，设APCQ的面积为S,试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；是否存在这样的3使得4PC Q为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的t的值.24.如图，在AABC中，AB=BC=5c

19、m,sinB=g。动点P从点A出发、以2 cm/s的速度向终点B运动。当点P不与点A,B重合时，过 点P作BC的平行线交AC于点N。动点Q从点B出发，以3cm/s的速度向终点A运动。以PQ、PN为邻边作口 PQMNo点P,Q同时出发，设运动时间为x秒。(1)直接写出PN的长(用含x的代数式表示);(2)设 口 PQMN和aABC重叠部分的面积为y(cm2),求y与x的函数关系式；(3)当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的取值范围。25.如图在RtZsABC中，ZC=90,AC=3,A B=5,点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；

20、点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分P Q,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E。点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。设点P、Q运动的时间是t秒(t0)。B(1)当t=2时，AP=,点Q到AC的距离是;(2)在点P从C向A运动的过程中，求AAPQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3)在 点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值。若不能，请说明理由；(4)当DE经过点C时，请直接写出t的值。26.如图，在平面直角坐标系中，以点B(0,6)为端点的射线BH/X

21、轴，点A是射线BH上的一个动点(点A与点B不重合).在射线AH上取AD=4旧，作线段AD的垂直平分线，垂足为点E,且与x轴交于点F,过点A作A C 1O A,交射线EF于点C.连结OC、C D,设点A的横坐标为t.(1)当点C在线段E F上时，用含t的式子表示点C的坐标为.(2)在射线BH上是否存在点A,使得AOCF与ADEC相似？若存在，请求出t的值并表示此时/QCD的度数，若不存在，请说明理由.(3)连结A F,请探索，在点A的整个运动变化过程中，NAFO的大小是否会发生变化？若不变，求出其值，若有变化，请说明理由.27.如图 1,在 RtABC 中，ZACB=90,AC=6cm,BC=8

22、 c m,点 P 从 A 出发沿 AC 向 C 点以 1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动.点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒.BB(1)当t=2时，求线段PQ的长度；(2)当t为何值时，PC Q的面积等于5cm2?(3)在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将翻折，得到a E R Q,如图2,PE与AB能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.28.如图，在AABC中，ZACB=90,AC=4,BC=3,点D为边AB的 中 点.点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单

23、位长度的速度先沿CB方向运动到点B,再沿BA方向向终点A运动，以DP、DQ为邻边构造。PEQ D,设点P运动的时间为t秒.(1)设点Q到边AC的距离为h,直接用含t的代数式表示h；(2)当点E落在AC边上时，求t的值；(3)当点Q在边AB上时，设。PEQD的面积为S(S 0),求S与t之间的函数关系式;(4)连接C D,直接写出CD将门PEQD分成的两部分图形面积相等时t的值.答案1.(1)解：由题意可知AQ=2t,BQ=AB-AQ=10-2 t.(2)解：如图，当四边形APMQ为轴对称图形时,.,.AP=AQ,AP=6 2t,AQ=2t,6-2t=2t,解 得t=|(3)解：在 Rt ABC

24、 中，BC=VAB2-AC2=8,.AC 6 3.BC 8 4 cosA=-=-,sinA=-AB 10 5 AC 10 5由图可知此时四边形PMQH为正方形,ZAQM=90,AH=AP-cosA=|(6-2t),HQ=PH=AP sinA=g(6-2 t),又1 AQ=2t,3 4-(6-2t)+g(6-2t)=2t,解 得t=:4即当NAQM为锐角时，J t 3 .当3 c t s 5时，NAQM始终为锐角.综上，当NAQM为锐角时，；t 5 .、9 3 5 9()1 0，2 2,102.解：设A C=x,贝IJBC=X-2,AB=x+2,由勾股定理，得(x-2)2+x2=(x+2)2,解

25、 得x=8,或x=0(舍 去)，.,.BC=6,AC=8,AB=1O.(2)解：设 A N=a,贝 lBM=3a,y=kx+b,为 AABC 的中位线，.E D=手=5,皿上/曰rx=0,x=10 4a,x=5 a由题意，得 y=5，y=0，y=2 J把 y=5，y =0，y=2 代入 y=kx+b，5b=5 a，得 k(10-4a)+b=o,解 得 b=5,y=5 x +5k(5-a)+b=2 k=-10(3)解：1)当 PQ1BC 时，四边形ADPQ为平行四边形，则DP=AQ,y=a+x,即 一5 x+5=,+x,a”日 300解 得X =击；2)当 PQ1AC 时，四边形 PQBE 为平

26、行四边形，则 PE=BQ,5-y =1 0-a-x ,即 5-(-x +5)=10-x,解650得1 f X =；119，3)当PQ，AB时(如 图1),作DHLAB于H,贝lj AH=a+x-y=Y,即 沁 一(一/x+5)=?，解 得x=曲./iu b 9 当*=黑，黑，的 时，PQ所在直线与AABC的某一边所在的直线垂直.n y iiy 9(3)如图2,作PH1AB于 点H,AAH=|+x-y =y+ADcosA=y+4 x|,把 y=-x +5,代入，得|+x-=-x+5+4 x i,解得 x=fi22.(3)如图 3,作 PH I AB 于点 H,贝 I QH=PH=EBsinB=3

27、x=y ,c io A 7AH=-+X+Y=Y +ADCOSA=y+4 x-,把 y=一 x+5,代入，得|+x+Y=_ a +5+4*：,解得*3.(1)解：当点P与点C重合时，点P到AB的距离最大，过点C作CF1AB于F AC=3,BC=4,Z ACB=90 根据勾股定理，得 AB=5,SAABC=A C B C=|A B C FA 5CF=3 x 4,C F=y .当点P 与点c 重合时，点 P 到 A B 的距离最大，最大值为R t A B C 斜边A B 上的高CF,即点P 到 A B 的最大距离是y .(2)解：当点P 在 A C 上运动时，设运动时间为ts,则 有 AP=3t,C

28、E=t,v 直线 1/AC,ZPD E=ZAPD,如图，过点D 作 DG _LAC于 点 G,则四边形CEDG 是矩形，DG =CE=t,PG =AP-AG =3t-AG ,/A DG BC rtrt t 4tan Z A=,即 =AG AC Ala 33A G=-t,43 9PG=3 t-t =-t,4 4.A c c DG t 4 A tanZAPD=r =T,即 tan/PDE=-.r u t v*-9 V ED 1 AB,./4+NB=90,ZA+ZB=90,Z 4=ZA.直线1/AC,直 线11BC,/.Z l+Z2=90,/3+/4=90,由旋转的性质，得Z 2=Z 3,N1=N4

29、,N1=NA,AR t、CAE P RtA9CAB CE 一 PC=rt 即t -3=-3t-,AC BC 1 3 4 一913(3)能，。4 d 76t2=一7/294.(1)解:,.*cosA=|,则 sinA=1.当点E在A C上时，则NAQP=90,.AQ=PB=X,则 AP=AB-PB=1O-X,则co sA=祭=念 35解得x=,(2)解：如图,E过 点Q作QH1AP于点H,(2 经过口、M 两点，PD=PM,贝I PQ=PB=AQ=x,.,.点H是AP的中点，则 AH=1 AP=1(1 0-x),cosA=相=吗=|，解得x=得即正三角形PBM的 边 长 为 符;过 点Q作QHL

30、AB于点H,作PQ的中垂线交QH于 点G,交PQ于点N,则NQPA=180-ZMPB-ZQPE=180-45-60=75,则NHQP=90-75=15,则NHGP=15 X2=3O,在 RtZXPHQ 中，设 PH=t,则 GQ=GP=2t,G H=显 t,A 4x.,.QH=2t+V3 t=xsinA=-x,解得 t=访诟，Q zivAB=AH+PH+PB,即|x+而 鬲 +x=10,解得 x=1+2 5.；当点E在AB边上时，如图3,过点Q作QH1AB于点H,则 PH=QH=AQsinA=|x,AH=xcosA=|x,即点P在BA的延长线上，与题意不符;综上，AQ=100+25O265.(

31、1)3V3(2)解：如图，过点A作AEJ.BC于 点E,则 BC=2BE,在 Rt ABE 中，BE=AB-cosB=8 X y =4 旧(cm),BC=875cm,由题意得：AP=tcm,BQ=V3tcm,BP=AB-AP=(8-t)cm,如图，当 圆0与AB相切时，QBC贝 IJ PQ1 AB,在 Rt BPQ 中,cosB=,即 51!cos30=,DQ V3t 2解 得 t=y ,经检验，t=当是所列分式方程的解；如图，当 圆 0 与 B C 相切时，贝 IJ PQ1 BC,在 Rt BPQ 中，cosB=,即 旦=cos30=-,Dr 8t 2解 得 t=I,经检验，t=w 是所列分

32、式方程的解；当 圆 0 与 A C 相切时，如图，设 圆 0 与 A C 相切于点F,连接O F,过点P 作 P G 1 B C 于 点 G,作 PM 1 AC,交 C A 延长线于 点 M,过点Q 作 Q N 1 A C 于点N,贝 IJ O FlA C,O F=ipQ,PM/OF/QN,点。是 P Q 的中点，OF=1(PM+Q N),PM+QN=PQ,ZBAC=120,N PAM=1800-Z BAC=60,在 RtAAMP 中，sin/PAM=瞿，即 =sin60=,A P t 2解得 PM=y t(c m),:BC=873cm,BQ=V3tcm,CQ=BC-BQ=(8V3-V3t)c

33、m,在 Rt A CNQ 中，sinC=,即 57g =sin30=i ,解得 QN=*2(c m),在 RtABG P 中，PG =:B P =cm,B G =VBP2-PG 2=M c m ,2 2 2G Q=BQ-BG =-8)皿,在 Rt PG Q 中，PQ=JPG?+G Q2=V7t2-40t+64cm,则由 PM+QN=PQ 得：亨t+q包=V7t2-4 0 t+64,解 得 t=2012y/27-；综上，当 圆 0 与 A B 相切时，t=蔡；当 圆。与 B C 相切时，t=|;当 圆 0 与 A C 相切时，t=2012企7.6.(1)解：由题意得：,0 3t 180 2t 1

34、0解得：0W tW 5(2)解：设从出发起，运动了 t 秒，以 O,P,Q 为顶点的三角形与A A B O 相似 AP=3t,OQ=2t,OP=1 8-3t分两种情况讨论：如 果 APOQ s AAOB,则 黑=器，詈=卷，解 得t=如 果 POQ s BOA,则 需=震，*=为，解 得 t=詈故 当 t=曰 或 t=詈 时，以 O,P,Q 为顶点的三角形与AABO相似(3)解：当 t=当 或 t=或 t=符 时，A O PQ 为等腰三角形.提示：当 AO PQ为等腰三角形时,分三种情况：如 果 OP=OQ,那 么 18-3t=2t,解得：t=如果 PO=PQ,如图，过点 P 作 PF1OQ

35、于 F,则 OF=FQ=|OQ=ix 2 t=t 在 RtOPF 中，ZOFP=90,OF=OP cosZ POF=(18-3t)x(18-3 t),:,4t=(1 8-3 t),解得：t.如 果 QO=QP,如图，过点Q 作 Q G 1O P于 F,1 I 2贝 I OG=GP=jOP=i(18-3t)=9-f to o 在 RtAOQG 中，ZOGQ=90,OG=OQ cosZ QOG=2t x,9-|t =|t ,解得：t=g综上所述：当 t=孩 或 t=|或 t=荒 时，AO PQ为等腰三角形.7.(1)解：在 RtAABC 中，AC=VBC2-AB2=8,PQ/AB,.PC _ CQ

36、 AC-CB.8-t _ 2t,.-=8 10(2)解：过点P 作 PM 1 B C 于 M,PM=-t ,CM=5 5 5 SAPQC=|Q C.P M=1.2 t-(1-1 t),SPQC=+g t =一|(t-4尸+?(0 t 5).当 t=4 时，SV Q C有最大值，最大值为y .(3)解：PQ1DQ,ZD Q P=ZPMQ=90,DP/BC,Z DPQ=Z PQM,/.DQP&PMQ,P D _ P QP Q-M Q PQ2=PD-MQ,PM2+MQ2=PD-MQ,CM+.MQ=CM-CQ =3 2-1 4 t2 4-3 t)2 +r5 I3 2-1 4 Ly =i o x 55t

37、=0(舍)或T .t =68 当t=时,PQ1 MQ8.|t(2)解：当D落在BC上，D与Q不重合时，如图2,CD=CQ,-4-2t=t,t=5 52当D落在BC上，D与Q重合时，如图3,CD=CQ,3 4t=|B图Q(8-3或8-5是值的t(3)解：当O vt g时，如图4,Q在AC上，过点P作PELAC于点E,PD/AQ,QD/AP,四边形APDQ是平行四边形，PD=AQ=2t,.-.s=-PDPE=ix 2 tx it t=-t2;2 2 2 2 当 2WtV:时，如图 5,Q 在 BC 上，C Q=2t-4,PF=BF=BC-CF=4-1 t,FQ=CF-CQ=|t-(2t-4),.,

38、.S=|PF FQ=(4-it)|t-(2 t-4)=|t2-4t+8;o 当5 tV 4时，Q在BC上，如图6,延长PD交BC于F点，I 3CQ=2t-A C=2 t-4,DF=FQ=CQ-CF=2 t-4-t=j t-4,1 aPD=P F-D F=4-t-(-t-4)=8-2 t,.,.S=|PD FQ=1(8-2t)(|t-4)=-|t2+10t-16,|t2(0 t0):S=|t2-4 t+8(2 t|)112+10t _ 16(g t 4)9.(1)8(2)解：如 图1,CDBffil/EF1AB,/.ZAEF(D)=90,3*/sinZ A=-,.cos/A=AE _ 4AD-5

39、/AD=t,4AE=-t,BE=t,4-t+t=10,解得t=y(3)解：当0 tV弓 时，如图2,过点D作D H LA B,垂足为H,则四边形DHEF为矩形,图2o4在 RtADH 中，ZAHD=90,sin/A=|,AD=t,AH=(t,.EF=DH=I t,D F=H E=10-I t-t=1 0-：t,.S=；DF EF=；(10-g t)打=-g t2+3t;当?W t 8时，如图3,设E F交AC于 点K,则 AE=10-1,KE=|(1 0-t),-豕+3 t(0 T缸+、碧8)S=SAADH-SAAKE=|DH-AH|AE KE=-1(10 t)2x|=-t2+y t y综上所

40、述：S=10.(1)V3t(2)解：当点F与落在BC上时，如 图1,PA=PF=2t,.,.PB=10-2t,四边形PDEF是矩形，.PF/AC,ZBPF=ZA=60,/ZB=60o,.BPF是等边三角形，.PB=P F,即 10-2t=2t,(3)解：分三种情况:当0 t|时，如图2,图2矩形PDEF与4ABC重叠部分是矩形PDEF,S=S 矩 形PDEF=PDPF=V3 t 2t=2y/3；当E与C重合时，如图3,BPF=DC=2t,/AC=AD+CD=10,io.*.t+2t=10,t=;当|t?时，如图4,图4矩形PDEF与4ABC重叠部分是五边形PDEHG,.PB=PG=10-2t,

41、PF=PA=2t,.,.GF=PF-PG=2t-(10-2t)=4t-10,RtZkGHF 中，ZGHF=30,tan30=g,F H=遍(4 t-1 0),一F H S=s fij)gPDEF_SAG FH=2V5t2-2 GF FH=2V3t2-1 (4t-10)V3(4t-10)=-6V3t2+24V3t.1 8V3；当y V t 5时，如 图5,B矩形PDEF与AABC重叠部分是四边形PDCG,.S=i(PG+CD)PD=1(10-2t+10-t)V3t=-t2+i0A ；综上，S与t之间的函数关系式为：2*(0 t W 5)s=-6V3t2+2 4V3t.1 8V3(|t ).一#一

42、 +1 0 8 1:*t W 5)11.(1)解：当 P 到 A 时，BP=2t,2t=AB=VAC2+BC2=V62+82=10,t=5,2，当P到C时，2(t-5)=A C =6t=8 当 0 ctM 5 时，AP=AB-BP=10-2t当 5 c tM 8 时，AP=2(t-5)=2 t-1 0 ;(2)解：/PH IBC,ZPHB=Z90=ZC.,.PH/ACZ BPH=Z BAC,.BPH BAC.PH _ BP-AC BA n nPH 2t6 10PH=1t,(0 t 3故或M(3)解：过 Q 作 QH1OA于 H,则AQHsABO,/.AQ:AB=HQ:OB,(5-2t):5=Q

43、H:4,13.(1)B(8,4),0t4(2)解：ACDE的面积不变，理由如下:.四边 形OABC是矩形，.i.OA/BC,QADS/XQBC,.AD _ AQ一 BC-BQ，由翻折变换的性质可知：EQ=2BQ=2(4-t),.S=SAQCE+SAQDE=|EQ(BC+AD)=i x2(4-t)x(8+)=32;要使 P Q/C E,必须有N PQ A=/C EB,贝i 有APQs/BCE,.AP _ AQ*BC-BE,即 AP BE=AQ BC.,.(8-2t)(4-t)=8t,化简得 t2-12t+16=0,解得 t=6 2V5,由(1)可知：0t4,故 只 取t=6-2V 5,当 t=6

44、 2遮 时，PQ/CE.t1 4.PQ=竺:竺2 4(。7爆 t 2)(2)解：当R落 在 边AC上时，得到下图 PQ1 AB,ZACB=90,且 ZPBQ=ZCBA,BPQ-A BCA,又 PQ/AB,ZPQR=90,.,.CQRACBA,PR/BC,.,.ARPAABC,.,AP=5t,.,.PR=4t,又 PQ/AB,ZPQR=90,zCQRsZCBA,.PQ=y t,又 PQ=y-y t ,2 4 5,解得：t=符；故答案为：t=詈.(3)解：当APQR与AABC重叠部分图形为三角形时,由 可知，当 工W t 2时满足要求，故此时QR=|PQ;75T+=?t t2-?t2ox34-X2

45、-3=Q2p2-34-3X1-2Q=XXp1-2=s(4)t=1 或t=n15.(1)解：在 R/A B C 中，AB=VB C2+A C2=5,由题意知：A P=5-t,A Q=2 t,若 P Q/B C,则APQsABC,AQ AE 2t 5-t-AC=AB -4=5，.-.t=,7，.当 t=y 时，PQ/BC;(2)解：过点P作PH1AC于H.,/APHcAABC,.H AR,PP 5 TBC AB 3 53.PH=3-,.y=|XAQXPH=1 X2tX(3-|t)=-船 +3t,(3)解：若 PQ 把aABC 周长平分，则 AP+AQ=BP+BC+CQ,(5-t)+2 t=t+3+

46、(4-2 t),解得 t=l,若 PQ 把AABC 面积平分，则 SAAPQ=：SAABC,即-|t2+3t=3,.t=l代入上面方程不成立，.不存在这一时刻t,使线段PQ把RtAACB的周长和面积同时平分；(4)解：过点 P 作 PMAC 于 M,PNBC 于 N,若四边形PQP C是菱形，那么PQ=PC.PMIAC 于 M,/.QM=CM,PN1BC 于 N,易知PBNs/ABC.E N _ B .N _ iAC=AB 4=54.PN=-t,4.-.QM=CM=|t,.蔡+|t +2 t=4,解得：t=与,当t=s时，四边形PQP C是菱形，此时 PM=3-|t=|cm,CM=|cm,在

47、RSPM C 中，PC=VP M2+C M2=3+缸等 cm,菱形PQP，C边长为 等 cm.16.(1)解：设B P的长为x,正 方 形DEFG的边长为y,由 NB=60,PD 垂直 A B,则 BD=2x,DE=y,EC=EFxtan30=y y ,，有 2x+y+?y =6,整理得：y=(V3-3)x+9-3A/3(0 x 3);(2)解：若B P=2,即x=2,可 得y=3-6，1 CF=EF x sin60=(3-V3)x y =|V3-1;(3)解：若4GDP 是直角三角形，则 PG1GD,.NDPG=30,即 PD=2GD,即V3x=2y=2(V3-3)x+2(9-3V 3),解

48、之得：x=可警，此即B P的长度.17.(1)解:如图中,图1AM1OQ,BN1OQ.,.ZAMO=ZBNO=90ZAOM+ZMAO=90.ZAOM+BON=90ZMAO=ZNOB在AMO和AO NB中，rZAM0=ZB N0 ZMA0=ZN0 B,OA=OB.AMOAONB.,.ON=AM,OM=BN.AM=4,BN=3,.,.MN=AM+BN=7.(2)解：PB 的长为定值.理由：如图所示：过点E 作 EG_Ly轴 于 G 点.图 AEB为等腰直角三角形，.AB=EB,ZABO+ZEBG=90.VEG1BG,ZGEB+ZEBG=90.ZABO=ZGEB.在ABO和AEG B中，/E G B

49、=/B OA,ZAB 0=ZG E B,AB=E B/.AABOAEGB.-.BG=AO=5,OB=EG.OBF为等腰直角三角形，.-.OB=BF.BF=EG.在4B FP和AG EP中，ZE G P=ZF B P NE PG=NF PB,E G=B F.-.BFPAGEP.-.BP=GP=-B G=-.2 2.-PB的长为定值.18.(1)2;“5(2)解：点 P 在边A B 上，当 3t5 时，点 Q 在 D 点，BP=16-2t,若 PD _L BC,BPQ-A BAC.吧=吧 即 3/B A B C 1 1 0 =81 7,t =T ；当 5t/2由勾股定理可得。N=J。A,+A Y

50、=V 5A O M O N-M N=V 5-V 2 （当且仅当M在线段O N 上时，取等号）5.如图4中，若中线弧CD在 线 段C D的上方时，当中 线 弧C D所在圆与A C相切时，可得P(|,-|),观察图象可知中线弧C D所在圆的圆心P的纵坐标tV-|.综上所述，中 线 弧C D所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围为：t 5或t 一|22.(1)2;2 V3(2)解：过点E作EG 1A D于 点G,过点F作FH1AD于 点H,如 图1,B图1.*.EG=AE-cos30=V3 cm,AG=AE-sin(30)=lcm,AH=AF-cos30=3cm,当0 x l时，如 图1,则AP=xcm