2022年广东省高考数学试卷（新高考Ⅰ）.pdf

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1、2022年广东省高考数学试卷（新高考I）一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合 M=X|J71 ,则 M A N=（）（5 分）A.x|0 x2）B.x|x2C.x|3x16）D.x|x 则 CB=0)的最小正周期为T.若 苛 VTV兀，且y=f(x)的图像关于点（斗，2）中心对称，则f 4）=（）（5分）A.l B C.D.32 27.设 a=O.le/，b=:,c-ln0.9,则()(5 分)A.aVbVc B.cba C.cab D.ac 0）上，过点B（0,-1）的直线交C于P,Q两点，则（）（5分）A.C

2、的准线为y=-l B.直线AB与 C相切C.|OP|OQ|OA|2 D.|B P|B Q|B A|2a1 2 .已知函数f (x)及其导函数F (x)的定义域均为R,记 g (x)=f (x).若 f(K 2X),g(2+x)均为偶函数，则()(5分)A.f (0)=0 B.g (-i)=0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3 .(1-；)(x+y)8 的展开式中x 2 y 6 的系数为(用数字作答).(5分)1 4 .写出与圆x 2+y 2=l 和(x-3)2+(y-4)2=1 6 都相切的一条直线的方程(5 分

3、)1 5.若曲线y=(x+a)e x 有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是.(5分)2 21 6 .已知椭圆C：三+二=1 (a b 0),C的上顶点为A,两个焦点为F i,F2,离心率为o r X过 F i 且垂直于A F 2 的直线与C交于D,E两点，|D E|=6,则 A D E 的周长是.(5 分)四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .记 SSn 1n为数列 a。的前n 项和，已知a i=l,j 是公差为工的等差数列.an 3(1)求 a n 的通项公式；(2)证明：=+；+；V 2.(10分)勺 a2 an18.记 A B

4、C 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已 知co：A sin2R1+s mA 1+C0S2B(1)若 C 弓，求 B；(2)求 二 竺 的 最 小 值.(12 分)C-19 .如图，直三棱柱ABC-AIBIG 的体积为4,AAIB C的面积为2 8.(1)求 A 到平面Ai BC 的距离；(2)设 D为 A C的中点，AAi=AB,平面A i BC,平面ABB1A1,求二面角A-BD-C 的正弦值.(12 分)2 0.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的

5、人群中随机调查了 100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4 06 0对照组109 0(1)能否有9 9%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，峙 示 事 件“选到的人卫生习惯不够良好B 表示事件“选到的人患有该疾病胆固与胆也的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项P(B|A)P(B|A)度量指标，记该指标为R._(i )证明：.还；P(A|B)P(A|B _(i i)利用该调查数据，给出P(A|B),P (A|J)的估计值，并利用(i )的结果给出R的估计值.附：小=_ _ _ _ _Mad-bcV_(a+b)(cd)(

6、ac)(b+d)P (K2 k)0.05 00.0100.001k3.84 16.6 3 510.82 8(12 分)2 1.已知点A(2,1)在双曲线C：避1-v工2_=1 (a l)上，直线1交 C于 P,Q两点，直线a-a2-lAP,A Q的斜率之和为0.(1)求 1的斜率；_(2)若 t a n N P AQ=2 j J,求 P AQ 的面积.(12 分)2 2 .已知函数f (x)=ex-a x g (x)=a x-l n x 有相同的最小值.(1)求 a；(2)证明：存在直线丫=匕 其与两条曲线y=f (x)和 y=g (x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差

7、数列.(12 分)2022年广东省高考数学试卷(新高考I)参考答案一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。答案:D解 东;【分析】分别求解不等式化简M 与 N,再由交集运算得答案.【解答】解：由 口 4,得 g x 1 6,；.M=X|G 4 =X|0 WX 1 =X|X|),.M nN=x|0 x 1-)=x|YX -C-A*,进而得解.【解答】解：如图，1 *a 1 *i t *-CB=-CD-CA,WcB=3CD-2CA=3n-2m-故选：B.【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题.4.答案:

8、C解析：【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可.【解答】解：1 4 0 km2=1 4 0 x 1 ()6 m2,1 8 0 km2=1 8 0 x l06m2,根据题意，增加的水量约为 1 4 O x lO 6 +1 8 O x lO 6+j i 4 0 x i o 6 x i 8 O x lo 6 x(1S7.5-1 4 8.5)3=(140+180+60,7)X106X93(320+60 x2.65)xl06x3=1437xl01.4x09m3.故选：C.【点评】本题以实际问题为载体考查棱台的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题.5.答案:D解析：【分析】先求出所有的

9、基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案.【解答】解：从 2 至 8 的7 个整数中任取两个数共有C；=21种方式，其中互质的有：23,25,27,34,35,37,38,45,47,56,57,58,67,7 8,共 14种，故所求概率为分=|.故选：D.【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.6.分案:A解 析;【分析】由周期范围求得3的范围，由对称中心求解(0与 b 值，可得函数解析式，则 f(可求.【解答】解：函数f(x)=sin(X+Y)+b(0)的最小正周期为T,则丁=红，由 V T 7 t,得 苧 兀，.,.2(0 0

10、,设 g(x)=xex+ln(1-x)(0 x(),x则 f (x)-7,x0,X X-当 f (x)=()时，x=l,0 x l 时，f (x)l 时，f (x)0,f(x)单调递增，：.f(x)在x=l处取最小值f(1)=1,Znx 1-,x；.l n0.9l.-ln0.9,.,.c l-=r,.e 0,9 10 10 9.,.0.1e0 l j-,.aVb；设 g(x)=xex+ln(1-x)(0 x l),则 g，(x)=(x+i)eX+-=(x 2)eX+i,x-1 x-1令 h(x)=ex(x2-l)+1,h(x)=ex(x2+2x-l),当0 X拒 T 时，hz(x)0,函数h(

11、x)单调递增，Vh(0)=0,当 O V x V jy-l时，h(x)0,g(x)=xex+ln(1-x)单调递增,g(0.1)g(0)=0,0.1ei-ln0.9,Aac,cab.故选：C.【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题.8.答案:C解析：【分析】画出图形，由题意可知求出球的半径R=3,设正四棱锥的底面边长为a,高为h,由勾股定理可得12=/+h 2,又R2=(h-3)2 +(与产，所以P=6h,由I的取值范围求出h的取值范围，又因为a?=12h-2h2,所以该正四棱锥体积V(h)=争+如2,利用导数即可求出V(h)的取值范围.【

12、解答】解：如图所示，正四棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E,连接P E,则球心O在直线PE上，连接OA,设正四棱锥的底面边长为a,高为h,在 R s PAE 中，PA2=AE2+PE2,B|Jl2=(J!.)2+h2=|a2+h2,二球O的体积为36兀，.球O的半径R=3,在 RtOAE 中，OA2=OE2+AE2,即 R2=(h-3)2+(l|i)2,.,.-a2+h2-6h=0,：.-a2+h2=6h,2 2F=6h,又 V313 J J，|h|,.该正四棱锥体积 V(h)=ia2h=-(12h-2h2)h=-h3+4h2,3 3 3W (h)=-2h2+8h=2

13、h(4-h),.当3h0,V(h)单调递增；当 4V h4?时，V(h)0,解得x ,令f (x)0,f(=9-j4 0,；.f(x)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；又 f (x)+f(-x)=x3-x+l-x3+x+l=2,则 f(x)关于点(0,1)对称，故选项 C 正确;假设y=2x是曲线y=f(x)的切线，设切点为(a,b),则13a2-1=2,解得或,2a=b b=2a=-2),联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两根之积，然后利用两点间的距离公式,结合基本不等式判断选项CD.【解答】解：,点A(1,1)在抛物线C：x2=2py(p 0)上，；.

14、2 p=l,解得p=,抛物线C的方程为x2=y，准线方程为y=-；,选项A错误；由于 A(1,I),B(0,-1),则=2,直线 AB 的方程为 y=2x-l,y=2x 1联立 ，可得X2-2X+1=0,解得X=1,故直线A B与抛物线C相切，选项B正确；根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y=kx-l(k 2),与抛物线在第一象限交于 P(xi,yi),Q(X2,y2),y=k x-1联立 ，消去y并整理可得x2-kx+l=0,则xi+x2=k,xix2=l,yiV 2=(kxl)(k x2-l)=k4x1x2-k(x1+x2)+l=b|OP|10Q|=x12+y12-Jx22

15、+y22 J2 xi y i,j2 x2y2_ 2jx1X 2yly2=2 IO AI2,由于等号在xi=X2=yi=y2=l时才能取到，故等号不成立，选项C正确；IBP11BQ|=x12+(y1+l)2.Jx22+(y2+l)2 、x i2+4 y ix；+4y2=辰/js x22=S(xiX 2)2=5=|B A|2,选项 D 正确.故选：BCD.【点评】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题.1 2.答案:B、C解析：【分析】由f(y-2 x)为偶函数，可得f(x)关于x=W对称，可判断C；

16、g(2+x)为偶a函数，可得g(2+x)=g(2-x),g(x)关于x=2对称，可判断D；由g(彳)=0,g(x)关于x=2对称，可得g(彳)=0,得至ijx=彳是f(x)的极值点，x=4也是极值点，从而判断B；f(x)图象位置不确定，可上下移动;故函数值不确定，从而如MA.【解答】解：f(y3-2 x)为偶函数，.,可得f(3/2x)=f(y3+2 x),：.f(X)关于X=之3对称，令 x=t,可得 f(1可x 1)=f(，+2 x),gp f(-1)=f(4),故 C 正确；4 2 4 2 4Vg(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2-x),g(x)关于x=2对称，故D不正确；V f(

17、x)关于x=,对称，x=4是函数f(x)的一个极值点，函数f(x)在(方3，t)处的3 导数为03,即g小)=f(y)=0,又.g(X)的图象关于X=2对称，.g(y)=g(1)=0,.函数f(X)在(t)的导数为0,.x 是函数f(X)的极值点，又f(X)的图象关于X=1对称，(y,t)关于X=1的对称点 为(-y,t),由x=1是函数f(x)的极值点可得x=是函数f(x)的一个极值点，；.g(；)=f(1)=0,进而可得g(Y)=g(J)=0,故x=:是函数f(x)的极值点，又f(x)的图象关于xj对称,*(-t)关于x=春的对称点为(-y,t),A g(-；)=尸(-y)=0,故B正确；

18、f(x;图 象 位 置 不 戚，可上下移动:即每一个自主量对应起数值不是确定值，故A错误.解法二：构造函数法，3令 f(x)=1-sin兀x,则 f(2x)=l+cos2兀x,则 g(x)=f(x)=-7icos7ix,g(X+2)=-7lCOS(2n+7lX)=-7lCOS7CX,满足题设条件，可得只有选项BC正确，故选：BC.【点评】本题考查函数的奇偶性，极值点与对称性，考查了转化思想和方程思想，属中档题.三、填空题：本 题 共4小题，每 小 题5分，共20分。1 3.答案：见试题解析内容解析：【分析】由 题 意 依 次 求 出(x+y)8中x2y6,x3y5项的系数，求和即可.【解答】解

19、:(x+y)8的通项公式为TrH=C8rX8ryr,当 r=6时,T7=CgX2y6,当 r=5 时,T6=c1x3y5,(1-)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为c-C5_ 8!8!8 6!2!5!3!=28-56=-28.故答案为：-28.【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题.1 4.答案：见试题解析内容解析：【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条.分别求出三条切线方程，则答案可求.【解答】解：圆x?+y2=I的圆心坐标为0(0,0),半 径n=l,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心坐标为C(3,4),半 径n=4,由 匕

20、 学1=1,解 得b=：(负值舍去)，贝Uh：3x+4y-5=0；5 4由图可知，b：x=l；k与h关于直线丫二孑对称,联立x=-ly得4，解 得L与13的 一 个 交 点 为(-1,-y3),在12上 取 一 点(-1,0),y0-4,x0-i_ _ _ _ _ _ _4 2 3 2 7该点关于y=?的对称点为(x o,y o),则 ，解得对称点为(1，答).3 y p -3 2)25x 0 +l 42 4 25 3 7 7 4,爪 二廿=三，则 1 3：y=-(x+l)-J,即 7 x-2 4 y-2 5=0._ Z _+1 2 4 32 5与圆x 2+y 2=l和(x-3)2+(y-4)

21、2=1 6都相切的一条直线的方程为:x=-l (填 3 x+4 y-5=0,7 x-2 4 y-2 5=0 都正确).故答案为：x=-l (填 3 x+4 y-5=0,7 x-2 4 y-2 5=0 都正确).【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题.1 5.答案：见试题解析内容解析：【分析】设切点坐标为(x o,(x o+a)/o),利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得x 0 2+a x()-a =O,因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由A 0即可求出a的取值范围.【解答】解：y-ex+(x+a)ex,设切点坐标为

22、(x o,(x()+a)ex0)，.切线的斜率 k=exo +(X Q +a)exo 切线方程为y-(x o+a)gXQ=(exO+(x o+a)exO)(x-x o),又；切线过原点，(x o+a)exQ=(exO+(x0+a)exO)(-x0),整理得：X 0 2 +a x()-a =O，切线存在两条，.方程有两个不等实根，/.A=a2+4 a 0,解得 a 0,即a的取值范围是(-c o,-4)U (0,+o o),故答案为：(-c o,-4)U (0,+0 0).【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题.1 6.答案：见试题解析内容解析：【分析】根据已知条件

23、，先设出含c的椭圆方程，再结合三角形的性质，以及弦长公式,求出c的值，最后再根据椭圆的定义，即可求解.【解答】解：椭圆C +-=1 (a b 0)的离心率为a2 b2 2不妨可设椭圆C：二-二 =1,a=2 c,4 c 3 c,；C的上顶点为A,两个焦点为F i,F 2,.A F 1 F 2为等边三角形，:过R且垂直于A F 2的直线与C交于D,E两点，二 k D E =t a n 3 0 =叵，由等腰三角形的性质可得，|A D|=|D F 2|,|A E|=|E F 2|,设直线 DE方程为 y=JI(X+c),D (x i,y i),E(X 2,y 2),将其与椭圆C联立化简可得，1 3

24、x2+8 c x-3 2 c2=0,由韦达定理可得，X1+X2=-1|-X 1 X 2 =-弩 导，|D E|=j k2+l IX1-x21=j k2+l (x i-X 2)2-4 x i x2=J+1(喑 产+1 1=警=6,解得由椭圆的定义可得，A D E的周长等价于|D E|+|D F 2|+|E F 2|=4 a=8 c=8 x W=13.8故答案为：13.【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，需要学生很强的综合能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .答案：见试题解析内容解析：【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用

25、求出数列的通项公式；（2）利 用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果.S”1【解答】解：（1）已知a i=l,是公差为之的等差数列，an 3s所以上=1+!（n-1）=l n+2 整理得$n =n a n+2a n，an 3 3 3 3 3故当吟2时:$n-l=，n-l）a n-i+|a n _ i，-得:311=京211-1啊-1-3 11-1,故（n-1）an=（n+1）an-i,化简得：,生二二1_.=；an-i n-1 an_2 n-2 a2 2 ali所以为=矶”11,a 1 2故 心 二 竺 工（首项符合通项）.所以.“二等2.证明：

26、（2）由 于 加=丝 工，所 以;=2（4 ）,（打+1）n w-1at a2 an 2 2 3 n n+1 n+1【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.18 .答案：见试题解析内容解析：【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B.（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论.【解答】解：（1）V COsA=S l n 2 B,l+c o s 2B=2c o s2B/0,c o s B R O.1+s i n A l

27、+c o s 2B.cosA 2sinBcosB sin5 一 _ ,1+sinA 2C O S2B C O SB化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB,cos(B+A)=sinB,/.-cosC=sinB,C=4,AsinB=-,V 0 B 0,.,.cosC0,Ce(与，n),；.c 为钝角，B,A 都为锐角,B=c-y.sinA=sin(B+C)=sin(2C-g)=-cos2C,一庐_ siA+sin2B_ cos22C+c o s 2 j(l-2 s iM c)2+(i-sin 2 c)_ 2+4sin4c-5siM c_c2 sin2C sin2C sin2C sin2

28、C2 _ 1 尸+4sin2c金 2而 后 5=4巨 5,当且仅当sinC=五时取等号.sin2C飞-二二 的 最 小 值 为 4巨 5.【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.1 9.答案：见试题解析内容解析：【分析】(1)利用体积法可求点A 到平面A小C 的距离；(2)以B 为坐标原点，BC,BA,BBi所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角A-BD-C的正弦值.【解答】解：(1)由直三棱柱A B C-AIBIG 的体积为4,WV.41-J B C=|VA1B1C1-A B C

29、=431设 A 到平面AiBC的距离为d,由V$I-X B C=VA-A B C，14 1,4；-二,乂2_13(1=*解得 d=.(2)连接ABi交 A由于点E,：AA产AB,.四边形为正方形，A A B ilA iB,又A 平面 A iB C,平面 A B BIAI,平面 AiBCC平面 A B BIAI=AIB,平面 AiBC,AABilBC,由直三棱柱 ABC-A1B1C1 知 BBi_L平面 ABC,A B B iB C,又 ABBB尸Bi,；.BC_L平面 A B BIAI,；.BC_LAB,以B 为坐标原点，BC,BA,BBi所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，：AAi

30、=AB,.*.B CXJ TABXI-J T，又;A BXB CXA AI=4,解得 A B=B C=A AI=2,则 B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),Ai(0,2,2),D(1,1,1),贝|直 二(0,2,0),B D-(1，1，1)，5 C=(2，0,0),设平面ABD的一个法向量为W=(x,y,z),则,二 上=2y=,令 x=L 则 y=0,Z=-l,nBD=x+y+z=0平面ABD的 一 个 法 向 量 为(1，0,-1),设平面BCD的一个法向量为二=(a,b,c),)_m-B_C=2a=0,令人，r l l l 八 b=l,则 a=0,c=-l,m*BD=

31、a+b+c=0平面BCD的一个法向量为募=(0,1,-1),T T 1 1COS=6=亍，7 X.7 X.乙二面角A-BD-C的正弦值为1-守小【点评】本题考查求点到面的距离，求二面角的正弦值，属中档题.2 0.答案：见试题解析内容解析：【分析】(1)补充列联表，根据表中数据计算K 2,对照附表得出结论.(2)(i)根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；(ii)利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可.【解答】解：(1)补充列联表为：不够良好良好合计病例组4060100对照组1090100合计50150200计算 K2=200*(40 x90-10 x60)=246.635,100 x10

32、0 x50 x150所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有遴异._ _ P(AB)P(还)(2)G)证明 R=P四 A)P回 引 _ P|A).P(豆团一 码一 恒一 P(A”P(3 的P(B|A P(B|A)PfB|A P(B|A)P(A百)P)P(AB.P(ABP(A)P(A)P(AB)P(AB)_p?).P _P3|B)_P(A回P(AB)P(9)PfA|B)P(A|亘)PfB)PfB)4 0 2 i n 1 3(i i)利用调查数据，P (A|B)=y =y,P(A|B)=端=言，P(A I B)=1-P (A|B)=1,一 gP (z l I B)=1-P(A

33、|B)=台2 9所以 R=6.3 15 10【点评】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了条件概率的应用问题，是中档题.2 1.答案：见试题解析内容解析：【分析】(1)将点A代入双曲线方程得-2 =1,由题显然直线1 的斜率存在，设 1：2y=k x+m,与双曲线联立后，根据直线A P,AQ由斜率之和为0,求解即可；(2)设直线A P 的倾斜角为a,由t a n/P A Q =2。，得t a n 4 Q =冬，联 立 三；=，及 乜-y：=l，根/X -，2 2据三角形面积公式即可求解.4 1【解答】解：(1)将点A代入双曲线方程得与-=1,a2 a2-l化简得a 4-4 a 2+4=0,，a

34、 2=2,故双曲线方程为匚一：?=1，2由题显然直线1 的斜率存在，设 1：y=k x+m,设 P (x i,y i)Q(X 2,y 2),则联立双曲线得：(2 k 2-l)x2+4 k m x+2 m2+2=0,_ 4km _ 2m2+2故X+X2 ;,町乂2-2k2-1 2k2 TkAP+kAQ=丫 一1 Ya-1 kx1+m-l kx2+m-l-H-+-x2 X2-2 X2 X2-2=0,化简得：2 k x i X 2+(m-l-2 k)(X 1+X 2)-4 (m-1)=0,fe2k2 2J+(m-l-2 k)(-yE-)-4(m-l)=0,2k2-1 2k2-l即(k+1)(m+2

35、k-l)=0,而直线1 不过A点，故 k=-l：(2)设直线AP的倾斜角为a,由t a n 4P A Q 二 2 后,2tan卫_21-tan22=2标 得tan等书由 2 a+N P A Q=7 t,.a=n-,A Q,得kAP=tana=也r ，即yi台-1=拒l ，联立”|二拒，及*-y：=l得 町=吧 箸，旷1=誓 士，日 工 田 10+4拒 -4后-5问理X2 广，-Ul.-20 68故xi+X2-J-，XJX2 ,7而|AP产 问 x2|,|A Q|=A3|X2-2|,由 ta n d A Q =2 回，得 sin i P A Q=?Z,故 SPAQ二:|AP|AQ|sinNPAQ

36、=J7|xiX2-2(xi+xz)+4|=-9【点评】本题考查了直线与双曲线的综合，属于中档题.2 2.答案：见试题解析内容解析：【分析】(1)先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数f(x)和g(x)的单调性，从而求得f (x)和 (x)的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；(2)由a的值可求得函数f(x)与函数g(x)的表达式，对函数f(x)与函数g(x)在(0,+oo)上的大小进行比较，可作出曲线函数y=f(x)和y=g(x)的大致图象，根据该图象可确定直线y=b的位置，分别求出三个交点的横坐标的表达式后，证明其成等差数列即可.【解答】(1)解：V f(x)=e

37、x-ax,g(x)=ax-lnx,*.f(x)=ex-a,g(x)=a-,x y=e在x R上单调递增，函数丫二-在*(0,+oo)上单调递增，函数f (x)和函数g(x)在各自定义域上单调递增，又。函数f(x)=exax和g(x);ax-lnx有最小值,当 f (x)=0 时，x=lna,当 g(x)=0 时，x=,函数f(x)在(-co,In a)上单调递减，在(Ina,+oo)上单调递增，函数g(x)在(0,：)上单调递减，在(：，+oo)上单调递增，f (x)min=f(Ina)=a-alna,g(x)min=l+lna,函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值/

38、.a-alna=l+lna,解得：a=l.(2)证明：由(1)知a=l,函数f(x)=e*-x在(-oo,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，函数g(x)=x-lnx在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增，设 u(x)=f(x)-g(x)=ex-2x+lnx(x 0),则 u(x)=ex-2+ex-2,当 x21 时，u(x)e-20,x所以函数u(x)在(1,+00)上单调递增，因为u(1)=e-20,所以当x l时，u(x)u(1 )0恒成立，即f(x)-g(x)0在x l时恒成立，所以 xNl 时，f(X)g(x),因为f(0)=1,函数f(x)在(0,+oo)上单调

39、递增，g(1)=1,函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以函数f(x)与函数g(x)的图象在(0,1)上存在唯一交点，设该交点为(m,f(m)(0 m l),直线y=b必经过点M(m,f(m),即b=f(m),因为 f(m)=g(m),所以 em-m=m-lnm,BP em-2m+lnm=0,令 f(x)=b=f(m)得 ex-x=em-m=m-lnm,解得 x=m或 x=ln m,由 O V m V l,得 InmVOVm,令 g(x)=b=f(m)x-lnx=em-m=m-lnm,解得*=01或乂=1,由 O V m V l,得 mVIVem,所以当直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，Inm,m,em,因为 em-2m+lnm=0,所以 em+lnm=2m,所以Inm,m,e1 11成等差数列.工存在直线y=b,其与两条曲线y二f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【点评】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，解题的关键是利用函数的单调性求得X1、X3和X2的数量关系.