2022届全国新高考数学精准冲刺复习利用导数解决双变量问题.pdf

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1、2022届全国新高考数学精准冲刺复习利用导数解决双变量问题用导数研究函数性质：方法提炼：i.导数中求解双变量问题的一般步骤：（1）先根据已知条件确定出变量 小满足的条件；（2）将待求的问题转化为关于不号的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：通过将所有涉及苦，号的式子转化为关于土的式子，将问题转化 为 关 于 自 变 量 土 亦 可）的函数问题；通 过 大的乘积关系，用。表示 （用公X2 X表示为亦可），将双变量问题替换为王（或总）的单变量问题；（3）构造关于已或事的新函数，同时根据已知条件确定出千或为的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.

2、2.破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.题型分析：一、利用导数解决双变量问题1.(2021山西运城高三期中(理)已 知 在 函 数/(力=奴+/。0 力 0),g(x)=ln(x+2),若对V x-2,/(x g(x)恒成立，则实数?的取值范围为()A.O,-K)B.C.2,+oo)D.le,+2-,令力(“)=2 ，求导a a a a分析单调性，求做“Mm即可【详解】由 题 意,/

3、(X)g(%)/(x)-g(x)0令x)=/(%)g(x)=ar+/?ln(x+2),则V x-2,/(x)N g(x)恒成立，即心)NO恒 成 立,BP/(x)min 0.，/、1 ax2 a-=a-=-(x -2)x+2 x+2令 f(x)=0.x=-=-2-2a a-2 ci-2 a令f(x)O:.x二 卫,即(x)在(二*,+oo)单调递增；a a-2 a-2 a令 f(x)0/2 x 2a-1 -In =2-a令h(a)=2-“I/.h(a)alntz+1anaT-a令 h(a)0:.al,即 h(a)在 单 调 递 增;令0,0。1,即5)在(0,1)单调递减;献。汕=加1)=1,

4、占 1a故选：B试卷第2页，共37页2.（2021全国高三专题练习）若直线y =Q 与曲线c：y =lnx相交于不同的两点A（x“y）,曲线C:y =l n x在点A,8处的切线相交于点?（%,%）,则（）A.a la D.kAP+kBP 2 即,+-!-2 生 三 皿，化简得三 -2 x -.I n M-l 0,设=1,可得产-2 x Z n r-l 0 令h（t）=r-2 x t n t-l,通过求导判断力的单调性,进一步得到0,从而得证;D选项，根据C选项的结论得出结论.【详解】A选项：当时，直线丫 =如 与曲线C:y =l n x只有一个交点，故 A错误；B选项：设4（斗 y）,8 =

5、（2，%）,且1 玉 0,3 J设可得产一2/n/l 0王令 h(t)=Z2-2 Z-I n f 1h(t)=2 t-2 n t-2i(t)=ht)=2 t-2 n t-2不)二2-宁2 2 宁t-1，当1 1,r(/)=20,i 在1 1 上单调递增,所以，汨)=0,所 以 他)0,在经 1 上单调递增，所以/?)/!=0,所以(卫-2x.lnW-l0,即原 户+A 研2a,故 C正确；XJ 为D选项，根据C选项可得D选项错误.故选：C.【点导数中双变量问题，此时处理的方式是通过变形，把上看作一个未知数，从而把两个自变龙 量转化为一个未知量，这是一种比较常见的解题方法.3.（2021新疆乌鲁

6、木齐三模（文）若 涉=l n%2,令/=贝！1/的最小值属于（）试卷第4页，共37页A-同 B.(|,2)C.(2,|)D.(I，3)【答 案】C【分析】设=e*=】nw，把 参 数Z表 示 成。的函数即X=e T n*构造函数，通过导数研究函数最小值及最小值的取值范围.【详 解】设 a=e=l n x2，贝!)石=1口。，x2=ea 9 t=x2-x1=ea-x a,4*h x)=ex-I n x,hf(x)=ex,易知(x)单增，x且/7 (3 =G-20,则存在玉苫(：,1),使 (%)=*-=0,即h(x)0 ,僦*)单增；又 Ar(x0)=ex -=O ex=,l n x h(x()

7、=eX o-Inx0=x()+,/e(-,l)%2易知(%)=%+J在 x(e(：,1)单减，即力=2 /z(x0)3时，不等式/(M-s i n 6-l)f k 2一si n?。)对 任 意 的 壮 -1,0 恒 成 立，则。的 可 能 取 值 是()7 1c 4 c 兀 n 5A.一 二-B.C.二 D.3 3 2 6【答 案】D【分析】利用导数求得函数/,(x)的单调性，得 到-2 4 M-s i n，-1 41,-l q 2 _si n 2 ei,把不等式恒成立，转 化 为 得5亩2。一灯1 16-1 4&2+左=1%+3)；对任意的人 1,0 恒 成 立，求 得-;W s i n O

8、 W l,结合选项，即可求解.【详 解】由题意，函数x)=-x(x-a)2,可得7(x)=-(3)3 时，可得三 3 时，11,所以J3在(上为减函数，又&esi n0e -1,1 ,所以一 2 4-%-si n。-1 4 1,-1 4 A:2-si n2 0 1,由不等式/(M-s i n e-l R/伏对任意的k e -1,0 恒成立，得 si n?e-si n 6-l 4 公+%=(k +g)对任意的k e-l,0 恒成立，1 1 3 1所以si/e-si n e-i v 恒 成 立,解 得 s i n 0 -,即-si n 0 0,则 型 的 最 大 值 为(1c 2A.-B.一e e

9、【答案】A【分析】由题 意 转 化 条 件 I n x?=/，通过导数判断函数“X)的单调性，以及画出函数的图象,数形结合可知=始今,进 而 可 得 旦=，最后通过设函数/?&)=也 0),利用导数求函数的最大值.【详解】由题意，X,-eX|=t,x2 l nx2=r,则e n*2-I nx 2 =r，(x)=ex+xex=(l+x)eA,当x w(-8,-l)时，r(x)0,/(x)单调递增，又x(-oo,0)时，x e(0,+oo)时，/(x)0,作函数.f(x)=x-e 的图象如下：由图可知，当7 0时，f(x)=r 有唯一解，故占=111，且药0,I nf I nr nt-=;-=,X

10、 j x2 x2-nx2 t设 版 力=号，/o,则=L 1,令/)=(),解得t=e,易得当f e(O,e)时，0,函数W)单调递增，当te(e,+oo)时，Q对 e 2,欣)都成立,85，+0C再 求 函 数g(A)=+),%2,y)的最小值得解.K【详 解】由题得函数/(x)=+j1 n x+的导数=+X由题意可得尸(%)=/(%)(为,0,且x产).即有：J_1 _2，x2%化为芯+工2=(4+:卜 ，而X|X?(笥 可玉 +/口 对 4 2,)都成立，令g(Z)=左+；,e2,+oo),g )=l-0,对”4 2,内)恒 成 立，即g 在2,e)递 增，5_ J _ -(I即xt+x

11、2的取值范围是(,+oo).故 选：B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式的应用和不等式的恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.(2019山西长治高三月考(理)若 方 程x-2加x+a=0存在两个不相等的实数根1和 也，则()11 11、，A.+x2,代入方程消去“得到工2，为关系，令/=土 1,%，X1用/表 示，进 而 将 一+一 用/表 示，构造函数判断一+一&X|X2 玉 x2与1的大小关系，即可求出结论.【详 解】试卷第8页，共37页XI和 X2是方程X-2lnx+a=0两个不相等的实数根，不妨设百 。，Xj-2

12、/nx,+a=0,x22lnx2+a=0,两式相减得石_%2 _2/,=0 ,令f=-L 1,.,.须=%,X2 W/八 21nr 2tnt二.工 2(/-1)=2也，,.=/=-,xt=tx2=-,1 1 t-l t-l(1)0 +1)t2-l-1-=-4-=-=-,JC,x2 2lnt 2t In t 2t Inr It In t令gQ)=-i 2/hn,1l,g)=2/21nZ 2,2令(r)=2r-21nr-2,。=2-j 1,4(r)0 恒成立，t(p(t)在(1,田)是单调递增，凶)。=。,，gt)。恒成立，g在(1,住)是单调递增，gQ)g(D=(V 1恒成立，/.r2-l-2

13、rln/0,r2-l 2/ln/0,-1,2/In/1 1 i%x2故选:B.【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数零点、单调性，构造函数是解题的关键，属于较难题.8.(2021吉林东北师大附中高三月考(理)已知直线y=r+2分别与函数y=g e 和y=ln(2x)的图象交于点4(%,%),川 ,力),则 下 列 说 法 正 确 的 是.eA,+e*2e;3 X1%2 Inx.八-F In x 0 占,eV|+ln(2x2)2.【答案】口【分析】由函数y=和 y=ln(2x)互为反函数，可得为+马=2,必+必=2,0 l,l x2 2,利用均值不等式可判断口：利 用=-芯+2=，构 造 函

14、数=可判断口；利 用 均 值 不 等 式 可 得 构 造 函 数 g(x)=m/(x e(0,l),求导研究单调性可x?X判 断；由凶+2=2,可 得;e ，+l n（2 x j =2可判断【详解】因为函数y =；e*和y =l n（2 x）互为反函数，所以函数y =g e 和y =l n（2 x）的图象关于直线y=x的对称，又因为直线y=x的斜率I与直线y=-x+2的斜率_1的乘积为一1,因此直线y =x与直线y =-x+2互相垂直，显然直线y =-x+2也关于直线y =x对称，y=2-x x =1解方程组.=,所 以 直 线 产X和y =-x+2的交点坐标为：（1,1）,y=x y =i有

15、玉+*2=2,+必=2,y ,y2=l n（2 x2）,0 x,1,1 x2 2 .对口:因为0%2 j e&=2日也=2后=2 e，因此本选项正确；对口:因为A（X,y）,B（孙）关于（1，1）对称,所以有 1 x 2 n I I n 2 xn2 n4e=,点A（4,y J在直线y =-x+2上，而 不+=2,所以g e*=_ 芭+2 =，因此显然函数/（%）=x/（g e ）在0%；时，有力 冲=g.（产）邛,故 本 选 项 正 确;对口:因为0%1,1 超 2 ,芭+=2,所以0石 （Ay =1，因此有0当 0X XIn Y因此函数8（制=。（0,1）是单调递增的,X当。苔 1 时，有g

16、（x）g（L）,X2X2l n 即 屿 1 I n X.=x j n =x,l n（x.）_,=-（A I nX.）,因此有-+x2l n x2 0 ,试卷第10页，共37页即ex+l n(2 x,)2,故本选项正确；故答案为：口 口 口9.(2 0 2 1 浙江湖州高三期中)已知函数/(x)=l n x-加+法，当x 0,x)4 0 恒成立，则2的最大值为.a【答案】1【分析】令1 =，则 b =，先由 f (1)4 0 得”(1 T)V O,再由.f(x)4 0 对 x 0 恒成立得 a 0,1 4 1 ,结合a(l-/)V 0 得，Y1,往下证明=1 时，存在实数“使得/(力4 0 对x

17、 0 恒成立，即可说明2的最大值为1.a【详解】令，=2,则人=a,f(x)=nx-cvc+atx,a当x 0,/(x)6 0恒成立，则有/0,4(1T)2 O,由 /(x)=l n x-a r2 4-/x 0,l n x 0,都有所以 0,t0,则g(Y)=_：=?,由 g (x)0 得，x l ；由 g (x)0 得，0 x l；所以g(x)在(0,1)上递 减,在(1，)上递增，g(x)的最小值为g(l)=0,由g(x)N g ，得 l n x 0 恒成立.所以/(x)=l n x-加 +a x-l-a x2+ax,取 =1,有/(x)=l n%-x 2+X w%-i-%2+x =_(x

18、-)2 4 0 恒成立综上可知，2的最大值为1.a故答案为：1.10.(2021黑龙江哈尔滨三中高三月考)已知函数，(x)=l n x +(x-“)2 +l(a 2 T j的两个极值点为X-Z，且 X 1 0满足,又因为斗)-/()=(111玉+(为-4)2+1)-(111+(-。)2+1),所 以%)-(%)=1*12+&-&)(尤|+彳2-2)=如+(每一工：)且 痞=3,所以/(%)-/(%)=足 土 +“；.玉-,所以 x J-f(X 2)=In 五+；.-；五,%2X?Z X Z.%2又因为 +%2 =。，玉%2 =g，所以/2 2、9(X+W)=武 用13=所以喀丁+2 居,所 吐

19、+/1,乎，所以解得令：=，设g(，)=l n r +，所以g，(r)=1一-1+、=，0,x22 f 2 I 2 6 v 7 t 2 t2 2 2”所以g 1)在(。上 单 调 递 减，所以g(f)N g j=5-l n 2,所以/(x J_/(X 2)N|_ l n 2,所以/&)/(%)的取值范围是 一也工+)，故答案为：T n 2,+oo).【点睛】思路点睛：导数中求解双变量问题的一般步骤：(1)先根据已知条件确定出变量凡用满足的条件；(2)将待求的问题转化为关于玉,马的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具试卷第12页，共37页体有两种可行的方法：口通过将所有涉及小三的式子转化为

20、关于土的式子，将问题转化为 关 于 自 变 量 土（土 亦 可）的函数问题；口通过小三的乘积关系，用者表示多（用 马表X2 X示X亦 可），将双变量问题替换为X 1 （或%）的单变量问题；（3）构 造 关 于 土 或 士 的 新 函 数，同时根据已知条件确定出土或为的范围即为新函数X2X2定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.”.（2。2。陕西长安一中高三月考（理）已知函数/存在，一 上 内,使”百）4尸（）+。成 立，则实数的最小值为（其 中。是自然对数的底数）.【答 案】【分 析】求 出:（公=坐 二 二。，可 得Z=e2时，尸（灰）+。有最大值;，只需存 在 石ee,e2,

21、ln x41 使 再）4；,即一止，利用导数 判 断g（x）=*-：的单调性，求出最小值即可得出.【详 解】/(x)=-ax,Inxlnx-1ln2xf x)=1+-,4+a=当盘=g，即 =/时，r（w）+a有 最 大 值;，故 只 需 要 存 在 芭 2 ,使X|故 或 一 叫T即/正 一 或令g（上 人 一 今 则 如）=喘高，令/i(x)=(Inx)?-4x,则/(x)=21nx _4./(M=勺 门),则 当x e e,e,/(x)0,故(x)单调递减,2：.h x)4(e)=1-4 0 ,故/?(x)单调递减,.A(x)/(e)=l-4 e 0,即 g x)0,故g(x)单调递减,

22、十*L，故。的 最 小 值 为.故答案为：.2 4 e“【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地,已知函数 y =f(x),x e a,5|,y =g(x),x w c,d 若 e a,司,力24Gd,总有a)g(%)成 立,故 x)1 mx 8()而“；(2)若 VX w a,句,3X2 e c,J ,有/(x J v g G)成立，故/1(x)1 ra x g 1 ra x；(3)若加 上24G心，有 x j J Le【分析】问题转化为X)M M g(X)s即可，根据函数的单调性分别求出/(X)的最小值和g(x)的最大值，得到关于“的不等式，解出即可.【

23、详解】(x)=-|x3+|x2-x,g(x)2 x +3x 1 =(2 x _ l)(x _ 1)f令 g(x)0 得!X 1,令g(x)1 或XL2 2故 g(x)在 J 1)递减，在(；)递增，在(1,2 递减，工、2 1 八、1而 g()=-7 0,/(X)在耳，2递增，=/(；)=3 a-/n 3-1,2 1 1 5i3a ln3.,解得：a.r-ln3+(舍)，3 6 3 18 a 0时，令广。)0,解得：x a9令/(幻0,解得：0 x 0),xl R.若对任意的XI(2,+00),都存在X2口 (L +oo),使得/(X1)f(x2)=1,则”的取值范围是.3 31【答案】【分析

24、】由/(x)=-2渥+2 x=-2 a r(x-)，令/(x)=0,得工=0曲=,根据对任意的为口(2,+0 0),都存在X2口 (1,+0 0),使得/()/(X 2)=1,分,4 1,1-2,a a2三种情况讨论/(X I),/(X 2)的值域即可.a【详解】因为/(x)=_ 2ax2+2 x=-2 a x x-,令/(x)=0得x=0或 4，r：当即色1时，/(x)0,在X 口，+0 0)恒成立，所以/(x)在 1,+0 0)递减，l)=l-|a，2)=4-争,若对任意的 X I口 （2,+0 0）,都存在 X2口 （1,+0 0）,使得/（X I）V（X2）=1,所以/（）的值域为（-

25、8,4-华），f（X2）的值域为由/（）/（X2）=l 得：=显然，当时，/弥-0 （负数），故要满足结论，首先需满足：1 4-0 ,解得一4 a 4 一.3 3 4 23所以IW a V.二当 1一4 2,即；4“1 时，f（x i）在（2,+o o）上递减，故此时/（x i）2,即O a 0,所以能取到所有正实数，而/（）4聂，故此时不满足题意.综上，。的取值范围是 了r 3 3-故答案为：-【点睛】本题主要考查导数与函数的值域以及双变量问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.14.（2020江苏新淮高中三模）已知函数其中，为自然对数的底数,若存在实数如满足0 4 x,x2

26、4 3,且/（X,）=/（x2）,则x/2 x,的 取 值 范 围 为.【答案】。，1-/2 1【分析】分析函数单调性知噫1Kl 0,g(x)单调递增，当 x e g,1)时，g，(x)0,故在(J i)为增函数，故在pl上的值域为.又当工(一1,0)时，gr(x)=(x2+2x)ex 0,所以g(x)在 T O上为减函数，在 0,2上为增函数.令t =/(x),因为对任意的x e ,总存在唯一的y e l,2,使得lnx-x+l+a =y 2e，成立，故对直线S=r与函数S=g(y)的图象有且只要一个公共点，而g(T)=jg(0)=0，g(2)=4/,且g(x)在 上 为 减 函 数，在 0

27、,2上为增函数，1 1 、I c i 2故一 /4 e 2,所以 e e,即一“44/.e a 4e2 e故答案为(：，4/.【点睛】本题以多元方程解的性质为载体，考查导数在函数性质研究中的应用，在解决问题的过程中，注意把解的个数合理地转化为动直线与函数图象的位置关系，此类问题为难题.16.(2021 浙江绍兴一中高三期中)已知函数/。)=犬+6+1,g(x)=lnx-“(“e R).(1)当1=1时,求函数(x)=/(x)-g(x)的极小值;(2)若存在与函数/(*),g(x)的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】(1)+In24(2)-l,+o o)【分析】(1)求得。)的定义域，

28、以及导数，讨论单调区间，可得极小值；(2)设函数/(X)上点(%,/(%)与函数g*)上点(，/(W)处切线相同，分别求得导数和切线的斜率，可得3-9+皿刍-。+!-2 =0(*)设尸(x)=-f+lnx-a +g-2,4X2 2X2 4 4r 2 x 4求出导数和单调区间，最值，运用单调性，计算可得的范围.(1)解：函数 的定义域为9”)，当。=1 时，(x)=f(x)-g(x)=x2+x-nx+2 ,所以(X)=2 x+i-=()a+i),X X所以当0 x，时，(x)!时，(x)0,2 2所以函数(x)在区间(0,；)单调递减，在区间(提+8)单调递增，试卷第18页，共37页所以当X =

29、；时，函数力(X)取得极小值为m+In2；(2)解：设函数/(x)上点区，/(占)与函数g(x)上点区，/(j)处切线相同,则/a)=g(弓)=八芭)_ g(*),王 一42”9-1 x2 4-a r,+1 -In x,+。)，则当 0cx%)时，Fx)/o 时，/(工)0,所以F(x)在区间(0,%)上单调递减，在区间(%,+8)上单调递增，八、1 -2工0 1 。代入 a=-=-2*,可得F(x.=F(%)=X o+2 x0-+l n -2 ,%)1设G(x)=厂+2 x +lnx-2,x贝1。()=2+2+5+：0对*0恒成立，所以G(x)在区间(0,2)上单调递增，又G (1)=0,所

30、以当0 x l时G(x),0,即当0 凝,1时F(x),0,又当x =e*2 时 F(x)=一+-2 =-(-U-a)2.O,八 口 4e2 m 2 e,+2 4 4 e 2因此当0 而,1时，函数当尤)必有零点;即当0 4,时,必存在与使得(*)成立；即存在再，2，使得函数/(X)上点(占，/区)与函数g(x)上 点 区，g(&)处切线相同.又由得？=，-20,X XT所以y =-2 x在(0,1)单调递减，X因 止 匕4=1 2。=_!_ _ 2 x0e l-l,+0 0),%不所以实数a的取值范围是T，+.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为

31、不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.1 7.(2 0 2 1全国高三单元测试)已知函数f(x)=x ln x-1.【分析】(1)对函数外)求导得/(X),求出了(1),再利用导数的几何意义计算得解；(2)由(1)的结论写出f(x),再借助导数讨论f(x)值的符号即可得解；由X 1+X 2=2得X 2=2-X”构造函数F(x)=/(x)+/(2-x)-l,0 r 0,令 g(x)=ln x-x+l,g (x)=-l,当 0c xe 1 时，g (x)0,当 x l 时，g (x)0,x于是得g(x)在(0,1)上

32、单调递增，在(1，叱)上单调递减，则g(x)3=g(l)=0，因此，对于任意的工(),收)，都有/(x)4 0,即兀r)在(0,+o o)上单调递减，所以函数y(x)的单调减区间为(o,+o o)；(3)由Q)知，/(%)xnx x+1,X 1 与 X 2 为正数，由 X l+X 2=2 得 X 2=2-X l,则有负令 F(x)=Jx)+fi2-x)-1 =x ln r+(2-x)ln(2-x)-x2+2 x-1,0 x 0,则G(x)在(0,2)上单调递增，即x 2 x x(2 x)F (x)在(0,2)上单调递增，而尸(1)=0,因此，当 0 x l 时，F(x)0,当 l x 2 时，

33、F 0,则/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，F(x)in in=F(l)=0,即当x e(0,2)时,尸(x)2 0,有 f(x)+/(2-x)1 2 0,当,e(0,2),刍=2-%时,f(xt)+f(x2)-1 =f(xl)+f(2-xt)-0,所以当正数X I 与X 2 满足X l+X 2=2 时，/(X,)+/(X2)l.18.(2021重庆高三月考)已知函数 刈=办”，+、-1 旧有三个不同的极值点占，x2,马，且$演.(1)求实数的取值范围；(2)若占+2+3 毛 l,条件转化为(I*5 1 n 3,利用导数求出函数=创 斗 I n t单调递增且=5 I n

34、3 即可求解.【详解】(1)f W =ae-x-+1 -1 =(-)(1 -x),原函数定义 域 为(0,行)，x e x由题意，(。)=0 则x-l=0 或 4-=-e x.=有两个不等于1 的正实根，X令g(x)=，则 g (x)?”)，即当 x e(0,l)时，g (x)0,g(x)单调递增；/g(l)=e,lim (x)=+lim g(x)=+o ox-0，x-+:.aG(e9+co).(2)由 题 意 三 个 极 值 点%=1 七，.X +2x,+3七 2+5 In 3 nJ化为 x+3x3 1,百 g=e =2 =e，L,=玉=皿ax3=eXy%t-c 八 c、(l+3/)lnz

35、c/.%1 +3X3=(1+3Z)X,=-j 0必。单调递增,.0(1)=0,(f)0,G(L”),“(W)单调递增，/h(3)=5 In 3,/.-./e4.【答案】(1)单调递增区间为(YO,2),单调递减区间为(2,y),极大优值与，无极小e值；(2)证明见解析.【分析】首先求函数的导数，利用导数和单调性，极值点的关系，即可求解；(2)首 先 由 条 件 变 形 为 =塔 二，即 l n?)=/(ln)，通过构造函数/7(x)=(x-l)e4-t-(3-x)e x c(2,3),转化为极值点偏移问题，即可求解.【详解】(1)解：/(X)的定义域为R,广(力=一.试卷第22页，共37页当x

36、 e(-o o,2)时，/,(x)0；当x e(2,+)时，f(x)0,mln n nn m =m n m(n n I)Z 1八 l n n-1 l n/n-1 l n n-1 l n m-1=n(l n/n-l =n ni e e即 f(nm)=f(nn),I n mInH.不妨设 X i=l n，x2=I n n(1)可知9 w(2,+8),/()=/()0,X,e(l,2)当N 3 时，x,+x2 4,mn e4当 2/3 时，1 4一 工2 2,设 h(x)=(x -1 )e 4 T -(3 -x)e ,x e(2,3),则 l(x)=(2 x)e J (2 x)e，=(2 耳k1-e

37、l),因为x e(2,3),4-X 0,(x)在区间(2,3)上单调递增,/(x)(2-l)e4-2-(3-2)e2=0,所以 动 一4一人)=/(%)f(4-刍)0,)/(4-巧)又因为再,4-x2 6(1,2),所以玉4-，即 X +%4,故 nun e4.20.(2022全国高三专题练习)已知函数/(x)=(a +l)x+/n x(a e R).(1)求/(x)的单调区间；(2)当。=一2时,若*,(士)是方程/。)-加=()的两根，求证：M 一$+em+e n 0 .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论。的范围，求出函数的单调区间；(2)问

38、题转化为证W-不,只需证明e 玉 1 x?-所，根据函数的单调性求出函数g(x)在(I ,1)上存在唯一零点再,函数(X)在(L-e/n)上存在唯一零点与，即1 毛0,f(x)在(0,+8)单调递增，.a v 1 时，tz4-1 。，解得：-,2 +1令广(x)一一二，故/(X)在。-1)单调递增，在(-二，+8)单调递减，a+a+综上：-1时，/(外在(。,+0)单调递增，-1时，/(X)在(0,-二)单调递增，在(-1，+0 0)单调递减.a+a+(2)证明：由题意可知X 1,马是函数g(X)=/,L X-机的零点，1 1 _ V*(x)=-l =,当X 1 时,g (x)v0,当Ov x

39、v l时,g (x)0,X X函数g M在(0,1)上单调递增,在(1,田)上单调递减，故函数g(x)要有2个零点，必有g (1)=-1-机0,即机1,要证 x2-x+em+en,0 即证 x2-em-en,只需证明d X 1 w 一6加口，由于2 1,en,G(0,1),g(em)=m-en,-w 0 ,函数g(x)在(J 1)上存在唯一零点为，即0一%1 口，又 g(-em)=ln(-em)+em-m(m -l),t(m)=In(-em)+e m-m(m-1),t,(m)=-+e-=e-(一-),mm,/tn 0 ,in 加)在(f 0,T)上单调递增,故f(m)f(T)=l-e+l =2

40、-e 0,函数h(x)在(1,-e m)上存在唯一零点X2,即1 v电v-em ,由可知成立，tx2-xi+em+em 0 .【点睛】试卷第2 4页，共3 7页方法及关键点点睛：(2)利用零点存在定理及导数研究零点的范围，其中构造g(-em)=加(-的)+e 机-(机 e2.【答案】(1)4=1;(2)答案不唯一，具体见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)求出原函数的导函数，由函数在x=l时的导数值等于0求得。的值；(2)把。=1代入函数解析式，利用导数求出函数的单调区间，构造函数(?)=/(?)f(，)，由导数得到函数(加)的单调性，在定义域内分机VI,m=,得到人(机)的符号，从而得到/

41、(?)与/(,)的 大 小；tn(3)由函数/(x)有两个零点X I、X 2,得至lj I n x i-*1=0,卮立-a 丫 2=0,进一步得到 2-=a,hu：+l n x 2=Q(x i+x 2),把证明工工2/转化为证山+加 2 2,结合 nx+nx2X X2=a(X 1+X 2)转化为证明/五2(*m 2)(X|X 2),换元后利用导数得到证明.x2 x+x2【详解】(1)解：由/(x)=I n x -3 得：f x)=-a ,函数外)在 x=l处的切线与x轴平行，/r(l)=l-a =0 ,即 Q=1；(2)当 a=1 时，/(x)=l n x 7,/r(x)=-l =X X当 O

42、 V x V l 时，r(x)0,/(X)单调递增，当了 1 时，/(x)v。，段)单调递减.令|=Inm-m-In-|=2lnm-m-,tn)I m m)m则，=2 _ 1 _ =一 八 为T=_(竺 2 4 0.m nr m m又 口 (1)=0,当 0 加VI 时，h(加)0,即 当加=1 时，h(川)=0,即/()=(,)；当”1 时，h(加)0 即 “)2,B R iiE 1H X I+1I U：2 2,l n x i+l n x 2=a (x i+x z),、2 即证-，玉+Z 原命题等价于证明 网-g ,X j -X2 玉 +工 2即证：历工生 二也1 (x i x2),x2 X

43、 j +x2令土=兀 贝 h i,设g )=/而一改D (/1),X2t+1 g (f)在(1,+o o)上单调递增，又Dg =0，g (t)g(l)=0,加A 2(1),即 为 x,e2.t-22.(2021四川树德中学高三开学考试(理)已知函数/(x)=x l n x-o v 2-x,a e R.(D 若 x)存在单调递增区间，求”的取值范围；(2)若 X”(演 3.【答案】(1),8 )；证明见解析.【分析】(1)由题意知/(x)=l n x-2 磔 0 有解，分离a 可得。有解，令8 口 卜?：，可得 a g(x)3，利用导数求g(x)的最大值即可求解；(2)由题意知为,是r(x)=0

44、 的两根，将X =X|,X =X 2 代入/(x)=0 整理可得试卷第2 6 页，共3 7 页2a=I n%-I n%,所证明不等式为n 华=-L&_ 2,令，。/1问士一%电 4玉+42+1 4%题转化为证明8。)=Inf-七 二?(0有解，即 宇 有 解，令g(x)=，g,x)=I；：,2x 2x 2x且当0 x0,g(x)单调递增，当x e时，gx)vO,g(x)单调递减，所以a3,由彳弋入即证4-2必1 +2 a 3,即2“（4内+9）3,由代入可得加 Z(你+七)3 口，3(五-1因为A-,%,则等价于In五 3 a -)=1 2 )%4%,+x,4 J 令十。1问题转化为证明颂=3

45、-黜 （0Y）,浓)在(0,1)上单调递增,当止(0,1),8(。1.【答案】(1)(9,-1);(2)证明见解析.【分析】(1)求(x),讨论a N O 时/(x)单调不合题意，”0 时 需/.,求出的范围，再讨论。的范围，结合单调性以及零点存在定理即可求证”的范围符合题意；(2)由(1)知：/(x)在(0,-4)和(-，+)上分别有一个零点；不妨设0 公 1，只-a x-x2五T需证:i n2-4 0,令/=五，构 造 函 数=二，f 0,l)利用导数求最x2 L 4-1”2 2 14-1值即可求证万Q)0),X X当“W 0 时，f(x)0,则 x)在(0,+8)上单调递增，“力至多有一

46、个零点，不合题意；当 a 0 时，当 xe(0,-a)时，/(x)0,/(X)在(0,+8)上单调递增，则/(幻时,=/(-)=出(-a),解得“,(i)当-2 4。0,此时则/(x)在(0,-)和(-,+)上分别存在一个零点；(i i)当 a-2 时，f(e-0)=anea+ea+a=ea-a2+a,设g(a)=e-t?+a,a 0,所以g(a)在(心-2)单调递增，贝 i j g a)/(-2)=-e2+5 g(-2)=eJ60,即/。)0,试卷第2 8 页，共3 7 页此时-a e-a，则在(0,-a)和(+8)分别存在一个零点;e综上，若/(X)有两个零点，贝 I 。的取值范围为(3,

47、-1);(2)不妨设0%1,只需证I n+1 1 1 七 0,只需证 (l n%T n x 2)2,一 I n x-I n x,x,因为0占 一“三，所以只需证-,2 xl+x2即证土-1I n x,-l n x2%-电 _ 15王 公2%+&2%+1 0,所 以 在(0,1)单调递增,则(。2,求整数，的最小值.(参考数据：I n2no.69 3 1,l n3 1.09 8 6)【答案】（1）（-8，；u/田）；（2）3.【分析】（1）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（2,3）上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；1 ,15（2）由题意得，f Mmin+g（x）m x 2,分

48、 析 可 得 必 有 汽 幻=+-对28/（X）求导，对m分类讨论即可得答案.【详解】解：（1）尸 （“）=族+（，”）1=区3）,X X X若函数“X）在区间（2,3）上单调递增，则丫=3-1 2 0 在（2,3）恒成立,所以2 1 n-1 03/n-1 0解得m ；若函数 x）在区间（2,3）上单调递减,则 y =w l O 在（2,3）恒成立,2 m 10 1所 以 a ivn,解得“（，3/n-l 由/=*),3当“w o 时，因 为/。）=51 0 时，由/(x)=0,得1=,或 工=_ (舍 去),m当0 x 0,f(x)单调递增.m所以/(x).=/f-K ,即-!-l n-,V

49、，mn ym)8 2 m m 81 1 7整理得，I nm-,2 m Q试卷第30页，共 37页设(x)=lnx-；,/(x)=-+-0,乙X X N X 所以Mx)单调递增，m Z,1 7 1 7又因为M2)=ln2_：-,4 8 6 8所以“2 3,故整数机的最小值为3.【点睛】关键点睛：在求解利用函数的导数分析函数的单调性以及求函数的最值问题时，分类讨论思想是解答本题的关键.25.(2021四川省大竹中学高三期中(理)设函数x)=x2,g(x)=alnx+6x(a0).(1)当片4 1时，若g(x),2x+m恒成立，求，”的取值范围.(2)设6(力=司+2-8 )有两个零点中，且占，x。

50、，9成等差数列，试探究G(x。)值的符号.【答案】(1)m-1；(2)G(x0)值的符号为正.【分析】(1)不等式参变分离后得Inx-xM机恒成立，即，心(lnx-力皿，转化为利用导数求函数的最大值；(2)首先利用函数G(x)有两个零点，变形为 +刊6=a(l；2：l n x J,利用/、-2三-1%)+x2=2x,变形G(x0)=-历上-,换元上=f,得入2-%王 强+1%再G(xo)=/J J 分。不 七,。七。%,X|/+I【详解】解：(1)g(x)=lnx+x.问题转化为】nx-x机恒成立，即mnx-同侬设 (x)=lnx x,所以(x)=1 =-,当O v x v l时，(x)0,力