2022年3月辽宁省沈阳市普通高中2022届高三年级下册学期3月一模考试数学试题（一）及解析.pdf

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1、2022年3月辽宁省沈阳市普通高中2022届高三下学期3月一模考试数学试题（一）祝考试顺利（含答案）一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）集合 4=x|-2V xW 2,B=-2,-1,0,1 ,贝 lj4 A 8=（）A.-1,1,2 B.-2,-1,0,1C.-1,0,1 D.-2,-1,0,1,2【分析】进行交集的运算即可.【解答】解：.M=x|-2 V xW 2,8=-2,-1,0,1）,1,0,1.故选：C.2.（5 分）已知/为虚数单位，若复数z=L,贝 l|z|=（）1 +i【分析】直接利用商的模等

2、于模的商求解.【解答】解：由 2=二 2_1 +i得|z|=|3-1 3 T l1+i I1+i|故选：D.3.（5 分）关于双曲线G：f-7=2 与 G：y2-x2=2,下列说法中错误的是（）A.它们的焦距相等 B.它们的顶点相同C.它们的离心率相等 D.它们的渐近线相同【分析】求出双曲线焦距，顶点坐标，离心率，渐近线方程，即可判断选项.【解答】解:双 曲 线 G：x2-?=2 焦 距 4,顶 点 坐 标（，0）,离心率、无，渐近线方程 y=x,双曲线G：/一/=2 焦距4 顶点坐标(o,/),离 心 率 渐 近 线 方 程 y=x,故选：B.1 1 14.(5 分)夏季里，每天甲、乙两地下

3、雨的概率分别为上和上，且两地同时下雨的概率为上,3 4 6则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为()AA.1 Bn.1 Cc.2 Dc.312 2 3 4【分析】记事件A为甲地下雨，事件8为乙下雨，根据条件概率的公式能求出在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率.【解答】解：记事件4 为甲地下雨，事件8 为乙下雨，111.(=,P (8)=，P(A B)=,3 4 6.在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为：10(川8)=任1=五=2P(B)_ 34故选：C.5.(5 分)已知等差数列的公差为2,且 色,生，决成等比数列，则 的 前 项 和$=()A.n(-2)B.n(-1)C.n

4、(/7+1)D.n(亦2)【分析】由已知列式求得如 进一步求得首项，再由等差数列的前项和公式求解.【解答】解：等差数列 a 的公差为2,且 条 成 等 比 数 列，则 即 Q g=(Q%2)(。？+4；,解得&=4.a =a3-4=0.a)的前 n 项和 S =X 2=n(n-1；.2故选：B.6.(5 分)如图，在直角梯形4 8 3 中，A D/B C,A B 1 B C,4 7=1,B C=2,。是线段4 8 上的动点，贝 H +4 立方1 的最小值为()【分析】以 8为原点建立平面直角坐标系，设 4 (0,加，D(1,加，P(0,y),结合平面向量的坐标运算推出|万+4 万 引=/3 6

5、+(4 山_ 5 y 故当4 6-5 y=0 时，得解.【解答】解：以8 为原点，B C,仍所在直线分别为x,p 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则 B(0,0),C(2,0),设 4 (0,勿),D(1,勿),P(0,y),所以(2,-y),p5=(1,m-y),所 以 同+4 AB=(6,4m-5y),所以I 用4 打|=)3 6+(4 m _ 5 y J_ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _当4 勿-5 y=0,即 左=一 裾 时，I 无+4 益|取得最小值，为 6.y27.（5 分）已知 a=l o g 3 2,b=l o g43,c=,贝 U（）A.a c bB.c a

6、bC.b a cD.b c l o g 2 y 2=log.22=,2 2 2 2 2 2 43 2所以。,0 Q c a.故选：48.(5分)若函数f(x)=e+x-2x-ax,则 a e 是大(x)在(0,+)有两个不同零点的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】将问题转化为a=f _+*-2x,令 g(x)=+A2-2x(x0),利用导数讨论gX X(X)的单调性，求 出 g(x)的最小值，由 f(X)在(0,+O O)上有两个不同零点的充要条件为a e-1,进而得到答案.PX【解答】解：f(%)=e+x-2x-ax,令尸(x)=0

7、,贝 l j a=-2x,XXp令 g(x)=+*-2x(x0),x贝 Ijg(x)=*二L 十 *=*_=o 可得 xe-e*+24-2*=(e+22)(x-1)=0,2X解得X=1 ,所以当X 1 时，g(x)0,g(x)单调递增，当0 V x V 1 时，夕(x)e-1,即尸（x）有 2 个零点的充要条件为ae-1,又 3 6 是 ae-1 充分不必要条件，所以a e 是/（X）在（0,+8）有两个不同零点的充分不必要条件，故选：A.二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得。分.（多

8、选）9.（5 分）某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示，年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（）A.众数是32 B.众数是5C.极差是17 D.25%分位数是30【分析】根据表中数据，分别计算这组数据的众数、极差和百分位数即可.【解答】解：根据表中数据知，这 20个人年龄的众数是32,选项力正确、8 错误；极差是45-28 =17,选项C正确；因为20X25%=5,所以百分位数是30,选项正确.故选：A C D.（多选）10.（5 分）已知函数尸（x）=sir）2 （+sinxcosx（xWR）,贝（）A.f（x）的最小值为0

9、B.f（x）的最小正周期为nC.尸（x）的图像关于点苣，0；中心对称8D.f（x）的图像关于直线1=一二轴对称8【分析】由题意，利用三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，得出结论.【解答】解：函数 式（x）=sin2x+-sinxcosx=c o sx+J ls jn2x=l-sin（2x-）2 2 2 41 ,+（xR）,2故它的最小值为1.2,故彳错误；2它的最小正周期为2H=n,故 8 正确;2令 x=_ ,求 得f（x）=-，可 得f（x）的图像关于点（二，-1）中心对称，故 C8 2 8 2错误；令*=-二，求得/（X）=-左-_1,为最小值，可得尸（X）的图像关于直线=一 工8 2

10、2 8轴对称，故。正确；故选：B D.（多选）11.（5 分）已知圆0：A?=2,直 线/：y-4=0,。为直线/上一动点，过点P作圆。的两条切线外，PB,A,8为切点，则（）A.点 P 到圆心的最小距离为2 0B.线段以长度的最小值为2 0C.PA,方的最小值为3D.存在点只使得必8 的面积为3【分析】利用圆的有关性质，可求得。到圆心的最小距离，可判断4同时可求必长度的最小值，可判断8;同 时 可 求 其 的 最 小 值，可判断C；求出必8的面积的最小值可判断D.【解答】解：点户到圆心的最小距离为圆心到直线的距离4=回=2屈故/正确;由平面几何知识知线段PA长度的最小值为J 0P|.J _/

11、=）值二=/,故 8 错误；由向量运算可知方同的最小值为以长度的最小同时N 408最大时，所 以 外=/时，NA PB=6G,所以/X/Xcos60=3,故 C正确；1由平面几何知识知线段PA长度的最小时，XPAB的面积最小值为S 物=X2Z A P B=3&1a1C.a+b 2a 3b【分析】由题意可知a=Iog62,b=log63,作商可判断选项人 由6,6”=6.=2 X 3=6可得金6=1,结合基本不等式可判断选项B C-,利用换底公式并结合基本不等式的应用即可判断选项2【解答】解：由 6=2,6=3,得 a=log62,b=log63,所以h 1。黑3=L _=|Og23 1,故选项

12、4正确；a log.o2由 6360=6=2X3=6,得 6=1,又 a0,b0,a丰b,2所以abV包土啰_=，故选项8正确；4 41 1由选项8可知才+9=(/。)2-2a6=1-2 ab -2 X =,故选项C错误;4 2由士换如底一公 一式,曰得 a=-/-n-2-,b=-i-n-3-,C所C1以S.1一,(,Z 1./n 6,i n 3 i n 6.H-)=-X(-+-),I n 6/n 6 a 3b I n 2 I n 6 31n 3由ui。，q。，且生手匹，得2吧+x _ 2、虚x 3-=2、3l n 6 31n3/n 6 31n3/n 6 31n3 ln 6 3 In 3 V

13、3又1吧 上 士=2,所以(ZH-)2X 2 I T 2,故选项。正确.M2 ln 2 a 3b 3故选：ABD.三、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共 2 0 分.1 3.（5 分）函数尸（x）=2 c o s x-c o s 2 x 的最大值为2【分析】利用换元法，通过三角函数的有界性，转化函数为二次函数，求出值域即可.【解答】解：尸（x）=2 c o s x-c o s 2 x=-2C O S2A+2C O S A+1 ,设 t=cosx,t e -1,1 ,2 3则 g（t）=-2 t2+2 1 =-2（t-）+,2 21Q当 t=时，g（t）皿=,2 2二.函数尸（x）=2c o

14、 s x-c o s 2x 的最大值为一,2故答案为：2i14.（5分）若（2 1-上厂展开式的二项式系数之和为6 4,则展开式中f项的系数为-19 2.（用数字作答）【分析】由已知求出，然后再求出展开式的通项公式，令 x 的指数为3,由此即可求解.【解答】解：由已知可得2=6 4,则=6,所以二项式的展开式的通项公式为产“（2,）6-（-2 ,（.X令 6-3 厂=3,解得=1,则 X，的系数为6 x X （-1）=-19 2,故答案为：-19 2.15.（5分）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活Q1动的甲、乙两班的人数之比为5：3,其中甲班中女生占上，乙

15、班中女生占上.则该社区居5 31民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是上一 2【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解.【解答】解：记彳与区分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，8表示是女生,R Q Q 1由题意可得，P（）=,P（A）=,户（例 =,户（例工）=,8 8 5 3由全概率公式可得，P（8）=P （P+P（A）P（8戛）5 3 3 1 1=X +X =一,8 5 8 3 2故该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为上1,2故答案为：_1L.216.（5 分）已知三棱柱/8C-43G 中，48=47=1,/U=2,N447=N448=60,NB

16、AC=90,则四面体488G的体积为6【分析】由题意画出图形，求出棱柱的高，再由等体积法求四面体486G的体积.【解答】解:如图，B,设4在底面48c上的射影为0,-：ZAAC=N448=60 ,.0在N&IC的角平分线上，过。作宏，四，垂足为,连接贝lj 4 g D 8,在 RtZ48中，44=2,N4/8=60,：.AE=,i41E=A/3,在 中，AE=&NO4E=45,可得如=1,A -O E2=2-VAi-A B C =O XL r X-X1 XV=T,.s=s 人 ,且 4 到平面48 61的距离等于8 到平面4 3 c 的距离，&4BC L i A o C B rV叫=III L

17、 I I L 即四面体A B B C的体积为 遮.6故答案为：&.6四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）从b sin C=，ccosB，N+=才+这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答.已知48 C中，角 4 B,C 的对边分别为a,b,c,且.（填写或，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答.）（1）求 8;（2）若 6=2,Z8 C的 面 积 为 求 a.【分析】（1）选择条件：利用正弦定理化边为角，再结合同角三角函数的商数关系，得解；选择条件：利用余弦定理，求出cos8 的值，即可；1 _（2）由 S=acs i n

18、B,可得ac=4,再结合余弦定理，得解.2【解答】解：（1）选择条件：由正弦定理及bsinC=/c c o s B，知 sin8 sinC=i nCcosB,因为 sinCWO,所以 sin8=、,Q cos8,b,、，门 sin B _所以 tan8=-=/,cosB v因为8 G(0,n),所以8=.3选择条件：2,2,2 1I X -r,TcnA-n c Q 十 C QC 1由余弦ZE理知，cosB=-=-=,2a c 2ac 2所以8=E7 T.3i i/Q(2)因为/8C 的面积 S=acs i rB=acX=/5,2 2 2 V所以ac=4,由(1)知，i)+ac=a+c,所以 4

19、+4=a2+c2,即 8=3+(-)“，a化简得a-8才+1 6=0,解得才=4,又a 0,所以a=2.18.(12分)等差数歹l|a“和等比数歹lj b.满足句=1,/+d=1 4,力儿=为，且60.(1)求数列UU的通项公式；(2)已知：4 V l000；m 加G N,使a.=4.设S为数列 6J中同时满足条件和的所有的项的和，求S的值.【分析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；(2)先由可得的取值；再由通过列举法可得满足题意的的值和4的值，计算可得所求S.【解答】解：Q)设等差数列 4 的公差为4和等比数列 6的公比为g,q0,由句=a=1

20、,a2+a4=14,金仇=26,可得 1+oM+3d=14,q*q=1+5c/,解得 d=3,7 2,则 a=1+3(Z7-1)=3-2,bn=T(2)V 100 0,即 27 PC=(2,72,-2因 为 京前=-2 X 2+溷X 2滤=0，BD-PC=-2X2+2y2Xy2=0所以彳万，豆5，R D 1 PC，BP AC1.BD,BDL PC,又因为AGPC=C,46t平面PAC,%=平面PAC,所以8 D_ L平面PAC.(2)解:设平面&Q的法向量为n =(叫,y /),平面08 c的法向量n=(BC=(0,瓜 0尾葡=-2%十 四 百=0得 r-，|n1-PD=272y1-2z1=0

21、p4-PC=2a；2+y2y2-2z2=0n2-B C=2 y2=O令得 M=1,NI=2；令 X 2=1,解得 b 0）的短轴长为2,离心率 为 登，点4是椭圆G b2的左顶点，点F坐标为（1,0）,经过点E的直线/交椭圆于必两点，直 线/斜率存在且不为0.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线闺/,4V分别交直线x=4于 点 凡0,线段。的中点为G,设直线/与直线的斜率分别为“，川，求证：4为定值.【分析】（1）根据题意可得2 6=2,及椭圆的离心率公式，即可求得a的值，再得到椭圆的方程；（2）设直线/的方程，代入椭圆方程，表示出直线4/的方程，即可求得。和。点坐标，求得G点坐标，即可求得犯的

22、斜率，结合韦达定理即可求得h/=-二3【解答】解：（1）由题意可知，2 6=2,即6=1,离心率 2=二=1一-=-,贝Ua=2,c=J。Y J 2 22所以椭圆C的方程：+y2=l;4 证明：设（x,y 1）,N（x2,必）,直线/的方程y=（x-1）,y=)由2 2 ，消去匕 整理得(1+42)%-8 4/C2-4=0,x+4 y -4 =0所以a?i 2 =-l+4 fc4fc2-4叫*2=-Fl+4 fcy又4(-2,0),所以直线4 的方程为：y=-Q +2：,1 +26 yl 6y2其与直线X=4的交点为P(4,-同理Q(4,-；,r I+2 E 2+23 y 3 y所以。的中点为

23、G(4,-.-1 1 +2 +2%+2 x 2所 以 GF 的斜率为 k =-一4-1为3 2 +2)+%电+2)当 力z +2%+25 +2)(了2+2)k(叫-1)(%+2)+上2-1)(叫+2)2%+(%1+%)-4_=上 z_(i +2)(/+2)w+2 3 +i 2)+48 t*2 3-8 8 r-1-4匕X 1+4/1 +4/_ 8 k 2 8+8 1 2 4 16-24 k 16k2 X 4 k2-4+1 6 fc2+4 +16fc22 2 丁1+4左 1+4左36kz 3k所以k k=-.322.(12 分)已知 f(x)=e -x.(1)求证：对于VxWR,f(x)，。恒成立

24、；(2)若对于VxW(0,+8),有f(x)亍a(大一 x-x/nx)恒成立，求实数a的取值范围.【分析】(1)求出函数的导数，令f(x)=0,求 出x=1,进而求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，由此能证明对于VxGR,f lx)2 0恒成立.(2)将不等式转化为(x-1-/x),令 t=x-1 -Inx,贝I 对V te 0,+8)恒成立，构造新函数g=e-1-a-y0),利用导数讨论函数的单调性，求出最小值即可.【解答】解：(1)证明：由 f(x)得 f(x)=e -1,(xGR),令 尸(x)=0,得 x=1,当 xW(-8,1)时，f(x)0,f(%)单调递增，：.f(x)(1)

25、=0,二对于 VxSR,f(x)20 恒成立.(2)f(x)(x-x-xtnx),e -x-a(.x-x-xtnx),a?-1 a?-1-1=-12a(x-1 -/nx),即 e*1-1 a(x-1 -/x),a Ma;e1 nj 1令 t=x-y -/nx,贝 I t =1-=-,x x当xG(0,1)时，t 0,函九t=x-1 -/X单调递增，.,归 1 -1 -M1=0,即力20,：.e-a t,即 e-1 -对VtW 0,+0)恒成立，令 g(力)e-y -at(t O),则 g(0)=e-1 -aX0=0,g(t)=e -a,若 aVO,g(t)20,g(t)在0,+8)上单调递增，g(t)M3n=g(0)=0,：.g(t)2 0,符合题意，若 a 0,令 g(t)=0,得/a,则当 te(0,/a)时，g(t)0,g(t)单调递增，-g(t)min=g (Ina g(0)=0,不符合 g(t)0,综上，aW1,的取值范围是(-8,1,2022年 3 月辽宁省沈阳市普通高中2022届高三下学期3 月一模考试数学试题（一）