2022年高考II卷数学高考试卷(原卷+答案).pdf

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1、绝密启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考H卷)(适用地区：辽宁、重庆、海南)数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 =l,l,2,4,B =xk-l l ,则A n B=()A.-l,2 B.1,2)C.1,4 D

2、.-1,42.(2+2 i)(l-2 i)=()A.-2 +4i B.-2-4 i C.6+2i D.6-2 i3.图 1是中国古代建筑中的举架结构，4 4,8 8,。,。是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图 2 是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。A,C G,8 4,4 41是举，。4，。1，。田，8 4 是相等的步，相D D.八 U CCl邻桁的举步之比分别为而L=0 5,-J-,必L=网#=G1 CB1 2 BAi 3已知勺,右,匕成公差为0的等差数列，且直线。4 的斜率为0.725,则&=()A.0.75C.0.85 D.0.94.已知向量Q=(3,4)1=(1,0),。=

3、。+亦，若=,则()A.6 B.5 C.5 D.65.有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有()A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种6.若 sin(+)+cos(+夕)=2COS a +工 sin ,则()A.ta n(-7)=l B.tan(+4)=1C.t a n(-/)=-1 D,tan(+)=-l7.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3 6 和46,其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.100 B.128 C.144 兀 D.192228.已知函数/()的定义域为 R,/(+)+f(-y)=

4、f()/(),/(1)=1,则W y(幻=()A=I1 /15A.-3B.-2C.OD.1二、选择题：本题共4 小题，每小题5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0分.(2兀 、9.已知函数/(*)=$皿(2*+。)(0。0)焦点厂的直线与C交于Z,B 两 点,其中才在第一象限，点”(p,0),若IA用=IAM I,则()A.直线AB的斜率为2的 B.I OBI=IOFIC.AB 4 0 F D.NoAM+NOBM _L平面ABC。，FB/E D,A B =ED =IF B,记三棱锥E AC。，F-A B C,E-A C

5、E的体积分别为忆匕,贝J()A,匕=2%C,=V1+V212.若 X,V 满足 J?+J?-砂=,则（）A,x+y lC.%2+y2 2B.x+y-2D.X2+y2三、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共 20分.13.已知随机变量X服从正态分布N(2,O 2),且P(22.5)=.14.曲线y=In I x 过 坐 标 原 点 的 两 条 切 线 的 方 程 为,.15.设点A(-2,3),B(0,),若直线AB关于V=。对称的直线与圆(x+3+(y+2=1有公共点，则的取值范围是_.16.已知直线/与椭圆?+?=1在第一象限交于4 8两点，/与X轴，y轴分别交于例，N 两 点,且I MA

6、=N B ,M N I=23,则/的方程为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知 4 为等差数列，是公比为2的等比数列，且。2-4=。3-a=包一包.(1)证明：4=4；2/15（2）求 集 合,也=,+q,l加500中元素个数.18.记AABC A8C的内角4 B,C的对边分别为a,b,c,分别以4,b,C为边长的三个正三角形的面积依次为 S,S 2,S 3,已知 SI 一S2+S3=年,sinB=g（1）求 4BC的面积；行(2)若SinASinC=求 6319.在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100位某种疾病患者的年龄，得到如下

7、的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 20,70）的概率:（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间 40,50）的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 40,50）,求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.20.如图，P o是三棱锥P-A B C的高，PA=PB,A B L 4C,E是PB的中点.3/15P(1)证明：O E/平面PAC；(2)若

8、乙43。=NCBO=30,PO=3,PA=5,求二面角 C-A E-B 的正弦值.21.己知双曲线C：5-=l(a0,b0)的右焦点为尸(2,0),渐近线方程为y=ir.(1)求C的方程；(2)过尸的直线与C的两条渐近线分别交于4 8两点，点 尸(3,弘),。(与,乂)在C上，且X1 x2O,y1 0.过尸且斜率为-6的直线与过。且斜率为由的直线交于点M从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：”在A5上；PQ/AB-,IMAHM8|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.22.已知函数/(x)=x e-e.(1)当=l时，讨论/()的单调性;(2)当x0时，/(%)n(/?+1

9、)12+1 22+2 yjn2+n4/15参 考 答 案L【答案】B【解析】【分析】求出集合B后可求A n 8.【详解】B=x 0 x 2 ,故 A nB =1,2,故选：B.2.【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求(2+2i)(l-2i).【详解】(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,故选：D.3.【答案】D【解析】【分析】设OD1=D C I=C B l=B A =1,则可得关于k3的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设 ODl=DC1=CB1=BA1=1,则 CC1=ki,BBi=k2,AAt=ki,依题意，有 占 一2=kDD1 CG+BB,+AA.l,

10、ki-O =k2,JL=0.725,ULfl+ZC1+e 1+D所以 十丝W故-0 9,故选：D4.【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得z、9+3/+1 6 3 +1【详解】解：？=(3+r,4),cos,c=cos,c,BP 洞 一=解得f=5,故选：C5.【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有 2 种插空方式：注意到丙

11、丁两人的顺序可交换，有 2 种排列方式，故安排这5 名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式，故选：B6.【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sin a cos +cos a sin +cos cos 夕-SinaSin 夕=2(COSa-Sina)Sin ,即：sin a cos -cos a sin +cos a cos y?+sin a sin =2,即：sin(-4)+cos(-P)=0,所以 t a n(-)=-l,故选：C7.【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径4,为，再

12、根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径大弓，所以2耳=上 叵 一,2/;=又 回 一，即乙=3,右=4,设球sin 600 2 sin 600心到上下底面的距离分别为44,球的半径为R，所以&=JR2 _ 9,4=JR2 故|4 一 蜀=1或4+4=1，即 J R 2 _ 9 _ J/?2 _ 6 =1 或 J R2 _ 9 +JR2 _ 6 =1，解得R 2=2 5 符合题意，所以球的表面积为S=4兀 尺 2=oo.5/15故选：A.8.【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6

13、,求出函数一个周期中的1),/(2),-,6)的值,即可解出.【详解】因 为 +y)+(-y)=)y),令=l,y=O可 得,2/=1)/(0),所以/(0)=2,令X =O可得，y)+-y)=2(y),即“y)=(-y),所以函数/(x)为偶函数，令 y=l得,/(x+l)+(x-l)=(x)(l)=(x),即有/(x+2)+x)=(x+l),从而可知/(x+2)=-(x-l),/(x-l)=-(%-4),故/(x +2)=(x-4),即/(%)=+6),所以函数的一个周期为6.因为/(2)=/一/(0)=1-2=1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2

14、)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,46)=0)=2,所以一个周期内的/(l)+j(2)+(6)=0.由于22除以6余4,22所以 /(%)=/+2)+3)+4)=1一1 2 1 =-3.A=I故选：A.9.【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选、项，即可解出.(2【详解】由题意得：=Sin /44+。=0,所以7 +9 二 而，ZZ,3/4兀l (p F kj,Z 2兀 (又0 8 故/(x)=Sin2x+23、2对 A,当 X (5 时l，C2 xd2-2兀 ,3yJT|,山正弦函数y=sinu图象知y=(x)在I 0,三5 上是单调递12减:(T I I E

15、)L C 2对 B,当 X -,-时,2 x H-I 12 12 J 32 52,2,由IE弦函数y=sin图象知y=()只有1个极值点，由3/32x+y =y ,解得X =I l,即X =I l为函数的唯一极值点;7兀 2兀 7兀 7兀对C,当X =时，2%+=3兀，/(),直线X =不是对称轴;6 3 6 62对 D,由 y=2cos 2x+三=一1 得：cos 2 x+j=2372 T T 271 271 4兀解得2元+=+2攵兀或2x+,=+2k兀次Z,3 3 3 3T T从而得：X =E或x=+E,ZZ,所以函数y=f(x)在点(,当)处的切线斜率为左=N.=2 cos1=1,切线方

16、程为：y=(x 0)即y=-尤.故选：AD.6/1510.【答案】ACD【解析】【分析】再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得5（4,-血），即可求出|。邳 判断B选项：由抛物线的定义求出IAM=署 即 可判断C选项：由 函.丽0，身 心 旃0求得NAOB.N 4 0 B为钝角即可判断D选项.【详解】对于 A,易得F（g,0）,由IAM=IAM可得点A在E M的垂直平分线上，则A点横坐标为受+0=3p,2 2 T瓜P代入抛物线可得y=2 p 型=3/,则&型 血），则直线AB的斜率为,2=2娓,A正确；4 2 4 2 3P _ P 4 2L 1 P 1 对于B,由斜率

17、为2指 可 得直线A 5的方程为X=I石y+f,联立抛物线方程得y =0,设B(X1O i).则 +y=4 5 ，则X=圆,代入抛物线得-I p-Xy,解得 Xy=g 则2 6 3手加JFH,B错误:对于C,由抛物线定义知：IAM=与 +g p =*2p=4 OF,C正确；对于D,诉砺=寻,牛）.（一 个）=当（+当小当卜一乎。，则4。5为钝角,又 丽 丽4-0,则 NAMB 为钝6角，又 Z A O B +N A M B +Z OA M +Z OB M=360 则 Z OA M +Z OB M 则 EM C M，S em=EM-FM=a2,AC=22a-则匕=匕_ 楝+丫仁.“=；4。5 “

18、=2/,则2匕=3匕，=3V2,K=M+%,故A、B错误；C、D正确.故选：CD.12.【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.z,2 2 12【详解】因为加?K 9 巴 乜 (a,bi R),由Y+y2 一孙=1可变形为，=1时取等号,所以C正确；因为Y+y 2 f =变形可得+=1,设X/=CoSe岑y=s in ,所以1 2X=cos +-i=sin ,y-f=Sin。，因此/v3X2+y2=COS2。+-sin2。+T=SineCOSe=1+=Sin 2,一cos2。+3 3 3 3 3=g+：Sin(26用|,2 ,所以当无=*y =_曰时满足等式，

19、但是f +不成立，所以D错误.故选：BC.713.【答案】0.14#.【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.【详解】因为XN(2,O2),所以P(X 2)=0.5,因此P(X 2.5)=P(X 2)-P(2 0和x O时设切点为(,InX),求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出司,即可求出切线方程，当x 0时y=In x,设切点为(XoJn%)，由V=工，所以V L f=,所以切线方程为 y-ln%(-),又切线过坐标原点，所以一 InXO=L(-X 0),解得=e,所以切线方程为y-l=1(x-e),即y=1 x；e e当x 0时y=l

20、n(-x),设切点为(x,ln(一),由y=L所以yL f=-k 所以切线方程为X%-In(-XI)=一(x-x1),又切线过坐标原点，所以T n(-x J=-(-x J,解得Xl=-e,所以切线方程为y l=-(x+e),即%e1y=一X；e故答案为：y=-X ；y Xe e15.【答案】I3 2j【解析】【分析】首先求出点A关于V =。对称点A的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：4(一2,3)关于丁=。对称的点的坐标为4(一2,2。一3),B(OM)在直线y=上，所以AB所在直线即为直线/,所以直线/为y=匕x+,即(a 3)x+

21、2)，2=O；-2圆 C:(x+3y+(y+2)2=l,圆心 C(-3,-2),半径 z=l,|-3(7-3)-4-2|依题意圆心到直线I的距离d=/、-1,-3)+22,91 3 1 3一即(5-5a)-(a-3)+22,解得5 a ,即a ；1 3故答案为：16.【答案】x+2-22=0【解析】【分析】令AB 中点为E，设A(X,),B(x2,y2),利用点差法得到女。&V i=一g，设直线AB-.y=kx+m,k 0,求出M、N的坐标，再根据IMNl求出左、加，即可得解；【详解】解：令AB的中点为E，因为M4=NB,所以IMEl=INE9/15m m 2k,l.,N(O,m),所以 E2

22、 2 2 2设A(X,),8(%,%)，则 上+里=1，+b6 3 6 3所以日 式+允 五=0,即(L)(2)+()1+为 心 2)=06 6 3 3 6 3所以即/EAAS=-L,设直线 AB:y=履+根，女 0,又sinB=一,Iac 3则CoSB=J I-P)=,ac=-=,则 SABC=LaCSinB=变;v/3 cosB 4 2 8【小问2详解】h ci c由正弦定理得：s n B sin A sin C，2则年sinA sinC SinAsinC32943则 昌sin B32/,=OsinB=L2219.【答案】(1)47.9岁；(2)0.89；(3)0.0014.【解析】【分析

23、】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；(2)设A=一人患这种疾病的年龄在区间 20,70),根据对立事件的概率公式P(A)=1-P(A)即可解出；(3)根据条件概率公式即可求出.【小 问1详解】平均年龄亍=(5 x 0.001+15 x 0.002+25 x 0.012+35 x 0.017+45 x 0.023+550.020+65X0.017+750.006+850.002)10=47.9(岁).【小问2详解】设A=一人患这种疾病的年龄在区间 20,70),所以P(A)=I-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)10=l-0.11=0

24、.89.【小问3详解】设5=任选一人年龄位于区间 40,50)”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由己知得：P(B)=I6%=0.16,P(C)=O.1%=0.001,P(B IC)=0.02310=0.23,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 40,50),此人患这种疾病的概率为P(ClB)=P(BC)P(C P(B lC OOOIXO 23P(B)-P(B)-06 0.0014375 0.001420.【答案】)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)连接5。并延长交AC于点 ,连接。4、尸 ,根据三角形全等得到OA=0 8,再根据直角三角形的性质得到AO=

25、。，即可得到。为BO的中点从而得到OE/PO,即可得证；(2)建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小 问1详解】证明：连接8。并延长交AC于点。，连接OA、P D，因为PO是三棱锥P ABC的高，所以P o I平面ABC,AO,B O u平面ABC,所以P o _LAO、P O l B O,又 PA=P B,所以 即。A=OB,所以 NoAB=N OBA,又 AB L A C,即 NBAC=9 0,所以 NOAB+NQAD=90,ZOBA+ZODA=90,所以 NOZM=N OAO所以AO=D。，即AO=Z)O=。8,所以。

26、为BO的中点，又E为P8的中点，所以OE P。，又OECZ平面PAC,P o U平面尸AC,所以OE平面PAC11/15【小问2详解】解：过点A作AZ 0 P,如图建立平面直角坐标系，因为 Po=3,AP=5,所以 OA=JAP，_ PU=4，又 NOBA=NoBC=3 0,所以 8Q=2OA=8,则 A3=4,B=43.所以AC=I2,所以 0(2 6,2,0),(43,),j(23,2,3),C(0,12,0),所以 6,l,j),则 通=(3曷,养AB(4 6 0,0),X=(0,12,0),设平面AEB的法向量为=(x,y,z),则n-AE=3y3x+y+-z=O2,令 z=2n AB

27、=4 JNr=O则 丁 =-3,=0,所以H =(0,-3,2)；设平面AEC的法向量为加=(,c),贝IJ,ffi AE=3 3a+/?+C =O2mAC=nb=0令=J 5,则c=-6,b-0,所以初=(6,0,-6%所以CoS伍 而)=nm _同 同-12 431339 13-设二面角C AEB的大小为。431所以Sine=l-cos2=，即二面角C AE B的正弦值为.21.【答 案 b /2.C 的方程为：2-2L =l:3【小问2详解】由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线A B的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线A B的斜率存在且不为零；若选推，则M为线段AB的中点，

28、假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在X轴上，即为焦点尸，此时由对称性可知P、。关于X轴对称，与从而Xl=X2，已知不符；总之，直线A 3的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为左,直线AB方程为y=攵（犬 2）,则条件M在AB上，等价于%=%（毛-2）o ky0=k（XO-2）；两渐近线的方程合并为32-=0,联立消去y并化简整理得：（公-3卜2-4人+4公=O设 人0卜3），8（0%），线段中点为N（4,八），则0=中=卷,后=NX L2）=3,设 M（XO，%）,则条件I A M=忸 间 等价于（Xo-W）2+（%为=-%P+（%-4）2,移项并利用平方差公式整理得：（一%）

29、2%一（演+%）+（%-%）2%-（丫3+%）=O，2-（+X4）+2%-（丫3 +丫4）=0,即 XO-XN+M%-yN）=0,Y.一 .由题意知直线PM的斜率为-J,直线QM的斜率为L,由 yl-y0=(t-X。)，2 -%=坏(9-X。)，y-/(i+2-2x0),所以直线PQ的斜率m=入二&=-6-%),X1-X2 X1-X2直线 PM:y=-T3(x-x0)+y0,即 y=+3x0-3x,代入双曲线的方程 3x2-2-3 =0,P(3x+y)(v-y)=3 中,得：(%+凤)2ix-(%+Gx)=3,解得P的横坐标：公=+Iy同理：x2 =-23 y-73-+y x，f 3+j4*+

30、/一比13/15.条件 P Q H A B 等价于 m =k=ky。=3 x0,综上所述：条件M在AB上，等价 于 以=r (%-2)；条件P Q /A B等价于ky0=3 x0；条件IAMl=IBMI等价于吃+以=黑；K 一 选推：02QL2由解得：=9.x0+ky0=4x0=，；成立；r-3 k2-3选推：由解得：%=备，啦=4,k-3 k-3.ky0=3x0,.成立；选推：O2 A2 6由解得：x0=-y0=-2 1-2=-,-3 k-k-S佻=/%-2),.成立.22.【答案】X)的减区间为(8,0),增区间为(0,+8).a-2(3)见解析【解析】【分析】(1)求出了(x),讨论其符

31、号后可得/(x)的单调性.(2)设MX)=Xeg-e*+l,求出(X),先讨论 时题设中的不等式不成立，再就O g结合放缩法讨论(x)符号，最后就a 0结合放缩法讨论MX)的范围后可得参数的取值范围.(3)山(2)可得21nt l恒成立，从 而 可 得+1 对任意的GN*恒成t n+n立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小 问1详解】当=l时，/(x)=(X T)e ,则r(x)=xe*,当x 0时，,(x)0时，/(x)0,故f(x)的减区间为(一8,0),增区间为(O,+e)【小问2详解】设(X)=Xe-e*+l,则 z(0)=0,又,(x)=(l+x)efll-ex,5(x)=(l+

32、r)ea r-et,则(x)=(2a+2x)eax-ex,若a g,贝Jg(0)=2-l 0,因为g(x)为连续不间断函数，故存在XOG(O,+8),使得VX(0,xf),总有g(x)0,故g(x)在(0,XO)为增函数，故g(x)g(0)=0.故MX)在(O,XO)为增函数，故MX)(0)=-1,与题设矛盾.若 0 0,总有In(I+x)x成立，14/15证明：设S(X)=In(I+x)-x,故S(X)=-1 =言0,故S(X)在(0,+女)上为减函数,故S(X)S(0)=0即In(I+x)x成立.由上述不等式有e+M(+”)_e*ev+ttt-e=e2ttr-ex0.故(X)0总成立，即/

33、?(无)在(0,+oo)上为减函数,所以(x)z(0)=-l当 40时，有(X)=ettv-er+axeax l-l+0=0,所以力(x)在(0,+8)上为减函数,所以z(x)0,总有成立，v C V I 1&U令(=e*，则r l,=e,x =21nr,故2 H n f r T即21nr?对任意的”1恒成立.t整理得到：ln(H+l)-lnln2-1113-l2lnfl-Inn 12+1 22+2 n2+tt=ln(n+l),故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.15/15