2022年【人教版】2016年八年级数学上：第12章《全等三角形》单元测试（含答案）.pdf

《2022年【人教版】2016年八年级数学上：第12章《全等三角形》单元测试（含答案）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年【人教版】2016年八年级数学上：第12章《全等三角形》单元测试（含答案）.pdf（45页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第12章全等三角形一、选择题1.如图，在ABC中，ZABC=45,AC=8cm,F 是高AD和 BE的交点，则 BF的 长 是（）2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，0 是原点，A 的坐标为（1,）,则点C 的坐标为（）A.（-止，1）B.（-1,7 3）C.诉,1）D.（-7 3，-D3.在连接A 地与B 地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B 地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）4 .如图，坐标平面上，A A B C与4 D E F全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F,且A B=B C=5.若A

2、点的坐标为（-3,1）,B、C两点在方程式尸-3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴5 .平面上有4 A C D 与Z B C E,其中 A D 与 B E 相交于 P 点，如图.若 A C=B C,A D=B E,C D=C E,Z A C E=5 5 ,NB C D=1 5 5 ,则 NB PD 的度数为（）A.1 1 0 B.1 2 5 C.1 3 0 D.1 5 5 6.如图，在a A B C 和4 B D E 中，点 C在边B D 上，边 A C 交边B E 于点F.若 A C=B D,A B=E D,B C=B E,则 NA C B 等 于（）A.Z E D B B.NB E

3、 D C.Z A F B D.2 NA B F27 .如图，A B=4,射线B M和 A B 互相垂直，点 D是 A B 上的一个动点，点 E 在射线B M上，B E=D B,作 E F _ LD E 并截取E F=D E,连结A F 并延长交射线B M于点C.设 B E=x,B C=y,则 y 关于x的函数解析式 是（）8 .如图，在四边形 A B C D 中，A B=A D=6,A B B C,A D C D,Z B A D=6 0，点 M、N 分别在 A B、A D 边上,若 A M：MB=A N：ND=1 ：2,则 t a n/MC N=()9 .如图，点 E 在正方形A B C D

4、的对角线A C 上，且 E C=2 A E,直角三角形F E G 的两直角边E F、E G 分别交 B C、D C 于点M、N.若正方形A B C D 的边长为a,则重叠部分四边形E MC N的面积为（）GA.a2 B.a2 0.1 a2 D.3 4 9 9二、解 答 题（共 21小题）1 0 .如图，已知 A B D E,A B 二 D E,A F=C D,Z C E F=9 0 .（1）若 NE C F=3 0 ,C F=8,求 C E 的长；（2）求证：Z A B F 丝4 D E C；1 1 .已知a A B C 为等边三角形，D为 A B 边所在的直线上的动点，连接D C,以 D C

5、 为边在D C 两侧作等边4 D C E 和等边4 D C F （点 E 在 D C 的右侧或上侧，点 F 在 D C 左侧或下侧），连接A E、B F（1）如 图 1,若点D 在 A B 边上，请你通过观察，测量，猜想线段A E、B F 和 A B 有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2,若点D 在 A B 的延长线上，其他条件不变，线段A E、B F 和 A B 有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；（3）若点D 在 A B 的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段A E、B F 和 A B有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）12.如图，ZAB

6、C 与4DCB 中，AC 与 BD 交于点 E,且 NA=ND,AB=DC.(1)求 证:AABEDCE；(1)求证：4ACD 丝 ZAED；(2)若 NB=30,C D=1,求 BD 的长.14.如图，点 D,E 在AABC 的边 BC 上，AB=AC,BD=CE.求证：AD=AE.15.已知：如图，AD,BC相交于点0,0A=0D,ABCD.求证：AB=CD.Ar-7BO,CD1 6.如图，把一个直角三角形A C B (NACB=90)绕着顶点B顺时针旋转60,使得点C旋转到A B边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG,延长CF与DG交于点(1)求证：

7、CF=DG；(2)求出NFHG的度数.匕17.如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE,ABE DD18.如图，ABC和4ADE都是等腰三角形，且NBAC=90,证：BD=CE.BCD19.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF,ACFD,求 证:AC=DF.NDAE=90,B,C,D在同一条直线上.求ABDE,NA=ND.求证：AB=DE.D2 0 .已知A A B C 为等腰直角三角形，NA C B=9 0 ,点 P 在 B C 边 上(P不与B、C重合)或点P 在4 A B C内部，连接C P、B P,将 C P绕点C逆时针旋转9 0 ,得到线段C E；将 B P绕点

8、B 顺时针旋转9 0 ,得到线段B D,连接E D 交 A B 于点0.(1)如图a,当点P 在 B C 边上时，求证：0 A=0 B；(2)如图b,当点P 在A A B C 内部时，0 A=0 B 是否成立？请说明理由；直接写出NB PC 为多少度时，A B=D E.2 1 .(1)如图 1,在A B C 和4 D C E 中，A B D C,A B=D C,B C=C E,且点 B,0,E 在一条直线上.求证：NA=ND.(2)如图2,在矩形A B C D 中，对角线A C,B D 相交于点0,A B=4,Z A 0 D=1 2 0 ,求 A C 的长.(2)列方程解应用题把一些图书分给某

9、班学生阅读，如果每人分3 本，则剩余2 0 本；如果每人分4本，则还缺2 5 本,这个班有多少学生？ABD23.已知：如图，D 是 AC 上一点，AB=DA,DEAB,N B=N D A E.求证：BC=AE.24.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定 方 法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在a A B C 和4 D E F 中，AC=DF,BC=EF,N B=N E,然后，对 NB进行分类，可 分 为“N B 是直角

10、、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况：当N B 是直角时，ZiABC丝ZWEF.（1）如图，在AABC 和aDEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE=90,根据,可以知道 RtZXABCRtADEF.第二种情况：当N B 是钝角时，ZXABC父ZkDEF.(2)如图，在A A B C 和A D E F,A C=D F,B C=E F,N B=N E,且 N B、NE 都是钝角，求证：A A B C 丝D E F.第三种情况：当N B是锐角时，A A B C 和4 D E F 不一定全等.(3)在a A B C 和A D E F,A C=D F,B C=E F,Z B=Z E

11、,且 N B、N E都是锐角，请你用尺规在图中作出 D E F,使4 D E F 和A A B C 不全等.(不写作法，保留作图痕迹)(4)N B还要满足什么条件，就可以使a A B C 丝Z D E F?请直接写出结论：在4 A B C 和4 D E F 中，A C=D F,B C=E F,N B=N E,且 N B、NE 都是锐角，若,则A A B C 丝Zk D E F.2 5 .问题背景:如图 1:在四边形 A B C D 中，A B=A D,ZB A D=1 2 0 ,NB=NA D C=9 0 .E,F 分别是 B C,C D 上的点.且ZE A F=6 0 .探究图中线段B E,

12、E F,F D 之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长F D 到点G.使 D G=B E.连结A G,先证明4 A B E g A A D G,再证明 A E F A A G F,可得出结论，他 的 结 论 应 是；如图2,若在四边形A B C D 中，A B=A D,NB+ND=1 8 0 .E,F分别是B C,C D 上的点，且 NE A F=/NB A D,上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(0 处)北 偏 西 3 0 的 A处，舰艇乙在指挥中心南偏东7 0 的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向

13、正东方向以6 0海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东5 0 的方向以8 0 海里/小时的速度前进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇之间的夹角为7 0 ,试求此时两舰艇之间的距离.2 6 .如图，在四边形A B C D 中，A B=A D,C B=C D,A C 与 B D 相交于0点，0 C=0 A,若 E 是 C D 上任意一点,连接B E 交 A C 于点F,连接D F.(1)证明：ZXC B F 丝ZXC D F；(2)若AC=2愿，BD=2,求四边形ABCD的周长；(3)请你添加一个条件，使得NEFD=NBAD,并予以证明.D27.如图，已知四边形A

14、BCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF.求证：AE=CF.A D)28.(1)如 图1,正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD,ZEAF=45,延长CD到点G,使DG=BE,连结 EF,AG.求证：EF=FG.(2)如图，等腰直角三角形ABC中，NBAC=90,AB=AC,点M,N在边BC上，且NMAN=45,若BM=1,CN=3,求 M N 的长.29.如图，在AABC中，ZACB=90,AC=BC,E为AC边的中点，过点A作AD_LAB交BE的延长线于点D,CG平分NACB交BD于点G,F为AB边上一点，连接C F,且NACF=NCBG.求证：(1)AF=CG

15、；(2)CF=2DE.C30.如图，在aABC 和4ADE 中，AB=AC,AD=AE,ZBAC+ZEAD=180,ABC 不动，ZXADE 绕点 A 旋转，连接BE、CD,F 为 BE的中点，连接AF.(1)如图，当NBAE=90时，求证：CD=2AF；(2)当NBAE：#90时，(1)的结论是否成立？请结合图说明理由.第12章全等三角形弁考答案一、选 择 题（共 9 小题）1.如图，在AABC中，N ABC=45,AC=8cm,F是高AD和BE的交点，则BF的 长 是（）D CA.4cm B.6cm C.8cm D.9cm【解答】解：.下是高AD和BE的交点,N ADC二 Z ADB=N

16、AEF=90 ,ZCAD+ZAFE=90,NDBF+NBFD=90,-ZAFE=ZBFD,ZCAD=ZFBD,VZADB=90,N ABC=45 ,/.ZBAD=45=ZABD,.AD=BD,在DBF和ADAC中NFBD 二 NCAD ZAD0=Z0EC=90,OA=OC.,.AODAOCE(A A S),.,.0E=AD=V3,CE=OD=1,点C在第二象限，点C的坐标为(-畲，1).故选：A.3.(2014湖州)在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线(箭头表示行进的方向),则路程最长的行进路线图是()s解：A、延长AC

17、、BE交于S,VZCAB=ZEDB=45,/.AS/ZED,则 SCDE.同理SECD,四边形SCDE是平行四边形,SE=CD,DE=CS,即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B、延长AF、BH交于和，作FKGH与BH的延长线交于点K,NSAB=NSiAB=45,NSBA=NSiBA=70,AB=AB,.AS=AS1,BS=BSi,VZFGH=180-70-43=67=ZGHB,.,.FG/7KH,FKGH,二四边形FGHK是平行四边形，.,.FK=GH,FG=KH,r.AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB,.,FS,+S1KFK,；.AS+B

18、SAF+FK+KH+HB,即 AC+CD+DE+EB AF+FG+GH+HB,c、D、同理可证得 AI+IK+KM+MBVAS2+BS2AN+NQ+QP+PB.综上所述，D选项的所走的线路最长.故选：D.4.如图，坐标平面上，ZXABC与4 D E F全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F,且AB=BC=5.若A点的坐标为（-3,1）,B、C两点在方程式y=-3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴A.2 B.3 C.4 D.5【解答】解：如图，作AH、CK、F P分别垂直BC、AB、D E于H、K、P.N DPF=N AKC=Z CHA=90 .,.,AB=BC,ZBAC=ZBC

19、A.在AKC和a C H A中NAKC=NCHA AC=CA,ZBAC=ZBCA.,.AKCACHA(A S A),.,.KC=HA.,B、C两点在方程式y=-3的图形上，且A点的坐标为(-3,1),/.AH=4.,.KC=4.,ABCADEF,/.ZBAC=ZEDF,AC=DF.在a A K C和4 D P F中，/AKC=NDPF,ZBAC=ZEDF,AC=DF.AKCADPF(A A S),.,.KC=PF=4.故选：C.5.平面上有AACD 与/SBCE,其中 AD 与 BE 相交于 P 点,如图.若 AC=BC,AD=BE,CD=CE,ZACE=55,ZBCD=155,则 NBPD

20、的度数为()AEA.110 B.125 C.130 D.155【解答】解：在AACD和4BCE中，AC 二 BC CD=CE,AD 二 BE.ACDABCE(S S S),ZA=ZB,ZBCE=ZACD,ZBCA=ZECD,NACE=55,N BCD=155,/.ZBCA+ZECD=100,ZBCA=ZECD=50,NACE=55,ZACD=105ZA+ZD=75,NB+ND=75,VZBCD=155,/.ZBPD=360-75-155=130,故选：C.6.如图，在aABC和4BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则NACB等 于()A.ZED

21、B B.ZBED C.gNAFB D.2ZABF2【解答】解：在AABC和4DEB中,AC=BDAB=ED,BC=BE.,.ABCADEB(S S S),NACB=NDBE.ZAFB是ABFC的外角，ZACB+ZDBE=ZAFB,NACBRNAFB,故选：C.7.如图，AB=4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=,DB,作EF_LDE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析式 是（）【解答】解：作FGLBC于G,/ZDEB+ZFEC=90,NDEB+NBDE=90；ZBDE=ZFEG,在4DBE与aEGF

22、中fZ B=ZF G E NBDE=NFEG,DE=EF.DBEAEGF,；.EG=DB,FG=BE=x,.,.EG=DB=2BE=2x,GC=y-3x,/FGBC,ABBC,，FGAB,CG：BC=FG：AB,8.如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6,ABBC,ADCD,ZBAD=60，点 M、N 分别在 AB、AD 边上,若 AM：MB=AN：ND=1：2,则 tanNMCN=()A.-而-2脏 2娟 r-D.-G.-U.V h-213 11 9【解答】解：AB=AD=6,AM：MB=AN：ND=1：2,.,.AM=AN=2,BM=DN=4,连接M N,连接AC,-.ABBC,AD

23、CD,ZBAD=60在 RtAABC 与 RtAADC 中，AB二AD1A C=AC/.RtAABCRtAADC(HL)/.ZBAC=ZDAC=-ZBAD=30,MC=NC,.BC 卷 AC,.,.AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,3BC2=AB2,.BC=2 y，在RtABMC中,CM诉厢R序而萨2,/AN=AM,ZMAN=60,.MAN是等边三角形，/.MN=AM=AN=2,过 M 点作 MELCN 于 E,设 NE=x,则 CE=2，7-x,.,.MN2-NE2=MC2-EC2,即 4-x J (2 2-(2布-x)2,解得：x平，；.EC=2曲等 一 苧,M E=

24、7MN2-N E2-3.,tanZMCN=-&EC 13故选：A.9.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2A E,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面 积 为（）G3 MCA.a2 B.-a2 C.a2 D.-a23 4 9 9【解答】解：过E作EPLBC于点P,EQ_LCD于点Q,G/.ZBCD=90,又YNEPM=NEQN=90,ZPEQ=90,NPEM+NMEQ=90,.三角形FEG是直角三角形,ZNEF=ZNE0+ZMEQ=90,ZPEM=ZNEQ,AC 是NBCD 的角平分线,ZEPC

25、=ZEQC=90,EP=E Q,四边形PCQE是正方形，在AEPM和AEON中，/PEM二 NNEQ,EP=EQ,NEPM=NEQN.,.EPMAEQN(ASA)SEQN=S EPM,二四边 形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积,.正方形ABCD的边长为a,AC=EC=2AE,tU-3,32.EP=PO|a,9 9 d.正方形PCQE的面积二事义事二小2,j o y二四边形EMCN的面积 二 微 百，y故选：D.二、解 答 题(共21小题)1 0.如图，已知 ABDE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90.(1)若NECF=30,CF=8,求 CE 的长;(2)求证：ZkABF丝ZXDE

26、C；【解答】(1)解：,NCEF=90.CEcos N ECF=-.CFVZECF=30,CF=8.CF=CFcos300=8 X =4百(2)证明：ABDE,r.NA二ND,.,ABF 和4DEC 中AB=DE ZA=ZD,AF=DC.,.ABFADEC(S A S)；(3)证明：由(2)可知：ZABF丝ZDEC,:.BF=CE,NAFB=NDCE,.,ZAFB+ZBFC=180,ZDCE+ZECF=180,N B F C=C E C F,.B F/7E C,四边形B C E F是平行四边形，Z C E F=9 0 ,四边形B C E F是矩形.1 1.已知a AB C为等边三角形，D为A

27、B边所在的直线上的动点，连接DC,以D C为边在D C两侧作等边4 D C E和等边4 D C F （点E在D C的右侧或上侧，点F在D C左侧或下侧），连接A E、B F（1）如 图1,若点D在A B边上，请你通过观察，测量，猜想线段A E、B F和A B有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2,若点D在A B的延长线上，其他条件不变，线段A E、B F和A B有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；（3）若点D在A B的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段A E、B F和A B有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）【解答】解：(1)A E+B F=

28、A B,如 图1,.,A B C和4 D C F是等边三角形，.,.C A=C B,C D=C F,Z A C B=Z D C F=6 0 .Z A C D=Z B C F,在4 A C D和ABCF中CAXB ZACD=ZBCFCD=CF.A C D A B C F (S A S).,.A D=B F同理：Z X C B D也Z C A E (S A S).,.BD=AE.,.AE+BF=BD+AD=AB；(2)BF-AE=AB,如图2,易证4CBF义ZXCAD和4CBD丝ZkCAE,.,.AD=BF,BD=AE,/.BF-AE=AD-BD=AB；(3)AE-BF=AB,如图3,易证ACBF

29、丝ZCAD和ACBD丝ZCAE,.,.AD=BF,BD=AE,.,.BF-AE=AD-BD=AB.图112.(2013舟山)如图，ZsABC 与4DCB 中，AC 与 BD 交于点 E,且 NA=ND,AB=DC.(1)求证：ZkABEgDCE；(2)当 NAEB=50,求NEBC 的度数?D【解答】(1)证明：.,在4A BE和4 D C E中2A=ND ZAEB=ZDECAB=DC.,.ABEADCE(A A S)；(2)解：ABEADCE,；.BE=EC,二 ZEBC=ZECB,-Z EBC+N ECB=N AEB=50 ,ZEBC=25.1 3.如图，在aA B C中，ZC=90,AD

30、平分N C A B,交CB于点D,过点D作D E,AB于点E.(1)求证：ZSACD g ZXAED；(2)若 NB=30,CD=1,求 BD 的长.【解答】（1）证明：；AD 平分NCAB,DEAB,NC=90,.,.CD=ED,ZDEA=ZC=90,在 RtZXACD 和 RtAAED 中AD二ADf CD二DE.RtAACDRtAAED(H L)；(2)解：,.DC=DE=1,DEAB,ZDEB=90,ZB=30,/.BD=2DE=2.14.如图，点 D,E 在aABC 的边 BC 上，AB=AC,BD=CE.求证：AD=AE.【解答】证明：；AB=AC,ZB=ZC,在A A B D与A

31、 A C E中，AB=AC,Z B=Z C,BD=EC.,.ABDAACE(S A S),.AD=AE.15.已知：如图，AD,BC 相交于点 0,0A=0D,AB/7CD.求证：AB=CD.【解答】证明：ABCD,NB=NC,NA=ND,.,itAAOB 和DOC 中，NB=NC BC=EF,.NACB=/DFE.,.ABCADEF(A S A),.,.AC=DF.1 8.如图，A A B C和A A D E都是等腰三角形，且NBAC=90,NDAE=90,C,D在同一条直线上.求证：BD=CE.【解答】证明：.ABC和4 A D E都是等腰直角三角形；.AD=AE,AB=AC,又；NEAC

32、=90+ZCAD,ZDAB=90+ZCAD,N D A B=N E A C,在A A D B 和 1/k A E C 中AB=AC-ZBAD=ZCAE.AD=AE.,.A D B A A E C (S A S),；.B D=C E.1 9.如图，已知点B、E、C、F 在同一条直线上，B E=C F,A B/7D E,Z A=Z D.求证：A B=D E.【解答】证明：；B E=C F,；.B C=E F.：A B D E,Z B=Z D E F.在A A B C 与A D E F 中，2A=/D ZB=ZDEF,BC=EF.,.A B C A D E F (A A S),.,.A B=D E.

33、20.已知4 A B C 为等腰直角三角形，N A C B=9 0 ,点 P 在 B C 边 上(P 不与B、C重合)或点P 在4 A B C内部，连接C P、B P,将 C P 绕点C逆时针旋转9 0 ,得到线段C E；将 B P 绕点B 顺时针旋转9 0 ,得到线段B D,连接E D 交 A B 于点0.(1)如图a,当点P 在 B C 边上时，求证：0 A=0 B；(2)如图b,当点P 在A B C 内部时，0 A=0 B 是否成立？请说明理由；直接写出N B P C 为多少度时，A B=D E.【解答】(1)证明：:.ABC为等腰直角三角形,.,.CA=CB,ZA=ZABC=45,由旋

34、转可知:CP=CE,BP=BD,；.CA-CE=CB-CP,即 AE=BP,.,.AE=BD.y/ZCBD=90,Z0BD=45,在a A E O和BDO中，ZA0E=ZB0D ZA=Z0BD=45,AE=BD.,.AEOABDO(A A S),.OA=OB；(2)成立，理由如下:连接 A E,则aA EC丝ZkBCP,；.AE=BP,NCAE=NBPC,.,BP=BD,.,.BD=AE,.Z0AE=45+ZCAE,Z0BD=900-Z0BP=90-(45-NBPC)=45+NPBC,Z0AE=Z0BD,在a A E O和BDO中，ZAOE=ZBOD ZOAE=ZOBD,AE=BD.AEOAB

35、DO(A A S),/.OA=OB,当N BPC=135时,AB=D E,理由如下：解法一：当 AB=DE 时，由知 OA=OB,.,.OA=OB=OE=OD.设N P C B=a,由旋转可知，N AC E=a.连接 0 C,则 OC=OA=OB,.,.OC=OE,ZDEC=Z0CE=45+a .设 N P B C=|3,则 NABP=45-p,Z0BD=90-ZABP=45+3 .,/OB=OD,ND=N0BD=45+B.在四边形 BCED 中，ZDEC+ZD+Z DBC+ZBCE=360,即：(45+a)+(45+p )+(90+p )+(90+a )=360,解得：a+P=45,ZBPC

36、=180-(a +3)=135.解法二(本溪赵老师提供，更为简洁)：当AB=DE时，四边形AEBD为矩形则 NDBE=90=NDBP,点P落在线段BE上.ECP为等腰直角三角形，NEPC=45,ZBPC=180-ZEPC=135.21.(1)如图 1,在aABC 和4DCE 中，ABDC,AB=DC,BC=CE,且点 B,0,E 在一条直线上.求证：NA=ND.(2)如图2,在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,AB=4,ZA0D=120,求AC的长.ZB=ZDCE,AB=DC在4ABC 和 ADCE 中，ZB=ZDCE,CB=CE.,.ABCADCE(SAS),NA=ND；(2)解：

37、；四边形ABCD是矩形,.,.AO=BO=CO=DO,VZA0D=120,ZA0B=60,.AOB是等边三角形，.-.A0=AB=4,.AC=2A0=8.22.(1)如图，AB 平分 NCAD,AC=AD,求证：BC=BD；(2)列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本,这个班有多少学生？【解答】(1)证明：:A B平分NCAD,NCAB=NDAB,在4ABC和4ABD中AC=AD,ZCAB=ZDABAB=AB/.ABCAABD(S A S),.,.BC=BD.（2）解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x-25,解得：x

38、=45,答：这个班有4 5名学生.2 3.已知：如图，D 是 AC 上一点，AB=DA,DE/7AB,Z B=Z D A E,求证：BC=AE.【解答】证明：,.DEAB,r.ZCAB=ZADE,在aABC 和4DAE 中，rZCAB=ZADE AB=DA,ZB=ZDAE.,.ABCADAE(A S A),.,.BC=AE.2 4.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定 方 法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在a A B

39、 C和4 D E F中，AC=DF,BC=EF,Z B=Z E,然后，对NB进行分类，可 分 为“N B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况：当N B是直角时，ABC也ZDEF.(1)如图，在 AABC 和aDEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE=90,根据 HL,可以知道 RtZXABCRtADEF.第二种情况：当N B是钝角时，ZXABC丝ZkDEF.(2)如图，在aABC 和aDEF,AC=DF,BC=EF,N B=N E,且NB、NE 都是钝角，求证：ZABC会DEF.第三种情况：当N B是锐角时，AABC和4DEF不一定全等.(3)在4ABC和ADEF,A

40、C=DF,BC=EF,N B=N E,且NB、N E都是锐角，请你用尺规在图中作出D EF,使4DEF和4ABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)(4)N B还要满足什么条件，就可以使aABC会4D EF?请直接写出结论：在4ABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,N B=N E,且NB、NE 都是锐角，若 N B 2N A ,则ABCgzDEF.【解答】(1)解：HL；(2)证明：如图，过点C作CG_LAB交AB的延长线于G,过点F作FHLDE交DE的延长线于H,V Z A B O Z D E F,且NABC、NDEF 都是钝角,.-.180-ZABC=180-ZDEF,即 NCBG=N

41、FEH,在aCBG和AFEH中，NCBG=NFEH N G=/H=90,BC=EF.,.C B G A F E H (A A S),.,.C e=F H,在 R t Z k A C G 和 R t A D F H 中，f A C=D Fl C G=F H.,.R t A A C G R t A D F H (H L),Z A=Z D,在A A B C 和A D E F 中，-D Z A B C=Z D E F,.A C=D F.,.A B C A D E F (A A S)；(3)解：如图，Z D E F 和A A B C 不全等;C(尸)(4)解:若 NBNNA,则A B C 丝Z i D

42、E F.故答案为：(1)H L；(4)N B Z N A.(2)题图2 5.(2 0 1 4德州)问题背景：如图 1：在四边形 A B C D 中，A B=A D,Z B A D=1 2 0 ,N B=N A D C=9 0 .E,F 分别是 B C,C D 上的点.且Z E A F=6 0 .探究图中线段B E,E F,F D 之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长F D 到点G.使 D G=B E.连结A G,先证明 A B E g Z A D G,再证明 A E F A A G F,可得出结论，他的结论应是如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180.E,F分别

43、是BC,CD上的点，且NEAF=5NBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西3 0 的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东7 0 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东5 0 的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇之间的夹角为70,试求此时两舰艇之间的距离.【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.证明如下：如 图,延 长FD到G,使DG=BE,连接AG,-ZB+Z

44、ADC=180,NADC+NADG=180,ZB=ZADG,在AABE和4ADG中，rDG=BE NB=NADG,AB=AD.ABEAADG(S A S),；.AE=AG,NBAE二NDAG,-ZEAF=ZBAD,2Z GAF=Z DAG+Z DAF=Z BAE+Z DAF=ZBAD-Z EAF=N EAF,ZEAF=ZGAF,在AA EF和4G AF中，AE=AG NEAF=NGAF,AF=AF/.AEFAGAF(S A S),.,.EF=FG,.,FG=DG+DF=BE+DF,.,.EF=BE+DF；实际应用：如图，连接E F,延长AE、BF相交于点C,-ZA0B=30+90+(90-7

45、0 )=140,NE0F=70,NE0F=/NA0B,又；0A=0B,Z0AC+Z0BC=(90-3 0 )+(70+50)=180,二符合探索延伸中的条件，二结论EF=AE+BF成立，即 EF=1.5X(60+80)=210 海里.答：此时两舰艇之间的距离是210海里.2 6.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于。点，0C=0A,若E是CD上任意一点,连接BE交AC于点F,连接DF.(1)证明：ZCBF丝4CDF；(2)若AC=2炳，B D=2,求四边形ABCD的周长；(3)请你添加一个条件，使得NEFD=NBAD,并予以证明.【解答】(1)证明：在ABC和AD

46、C中,AB=AD-BC=DC,AC=AC.-.ABCAADC(SSS),NBCA=NDCA,在4 C B F 和4 C D F 中，BC=DC ZBCA=ZDCA,CF=CF.,.CBFACDF(SAS),(2)解：ABCAADC,.ABC和A A D C 是轴对称图形，.,.OB=OD,BDAC,.OA=OC,四边形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=DA,AC=2百 BD=2,*OAOB 1,AB=V 0 A2+0 B 2=7(V3)2+12=2，二.四边形ABCD的周长二4AB=4X2=8.(3)当 EB_LCD时，即 E 为过B 且和CD垂直时垂线的垂足，NEFD=NBCD,理由：四边

47、形ABCD为菱形，.BC=CD,ZBCF=ZDCF,NBCD二 NBAD,/BCFADCF,，NCBF=NCDF,；BE_LCD,NBEC=NDEF=90,ZBCD+ZCBF=90,ZEFD+ZCDF=90,NEFD=NBAD.2 7.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=D F.求证：AE=CF.【解答】证明：.四边形ABCD是平行四边形,.,.AB=CD,AB/7CD,.ZABD=ZCDB,.180-ZABD=1800-NCDB,即 NABE=NCDF,在A A B E和4 C D F中，AB=CD ZABE=ZCDF,BE=DF.ABEACDF(S

48、A S),；.AE=CF.28.(1)如 图1,正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD ,NEAF=45,延长CD到点G,使DG=BE,连结 EF,A G.求证：EF=FG.(2)如图，等腰直角三角形ABC中，NBAC=90,A B=A C,点M,N在边BC上，且NMAN=45,若BM=1,C N=3,求 MN 的长.【解答】(1)证明：在正方形ABCD中,NABE=NADG,AD=AB,在4 A B E 和4 A D G 中，AD=AB-NABE=/ADG.DG=BE.,.ABEAADG(SAS),NBAE=NDAG,AE=AG,ZEAG=90,在4 F A E 和A G A F 中，

49、AE=AG NEAF=NFAG=45,AF=AF.,.FAEAGAF(SAS),(2)解：如图，过点C 作 C E L B C,垂足为点C,截取C E,使 CE=BM.连接AE、.,AB=AC,ZBAC=90,，NB=NACB=45.,CEBC,NACE=NB=45.在A A B M 和4 A C E 中，AB=AC ZB=ZACEBM=CE.,.ABM丝 ACE(S A S).,.AM=AE,NBAM=NCAE.,/ZBAC=90,ZMAN=45,NBAM+NCAN=45.于是，由 NBAM=NCAE,得 NMAN=NEAN=45.在MAN和4 E A N中，AM二AE ZMAN=ZEANA

50、N=AN.MANDAEAN(S A S)./.MN=EN.在R t E N C中，由勾股定理，得ET=EC，NC2.,.MN2=BM2+NC2.CN=3,.MN2=12+32,.M N=VT62 9.如图，在a A B C中，ZACB=90,AC=BC,E为AC边的中点，过点A作AD_LAB交B E的延长线于点D,CG平分NACB交BD于点G,F为AB边上一点，连接C F,且N A CF=N CBG.求证：(1)AF=CG；(2)CF=2DE.【解答】证明：(1)-.,ZACB=90,CG平分NACB,NACG=NBCG=45,又,.NACB=90,AC=BC,NCAF=NCBF=45,NCA