2022年高考数学模拟卷（新高考专用）（解析版）.pdf

《2022年高考数学模拟卷（新高考专用）（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学模拟卷（新高考专用）（解析版）.pdf（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、【赢在高考黄金20卷】备战2022年高考数学模拟卷（新高考专用）三轮冲刺卷07（本试卷共6 页，22小题，满 分 150分.考试用时12（）分钟）一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若4、B是全集/的真子集，则下列四个命题：；A u B=4;4 n（C/B）=0；4 n B =/;中与命题4 U B 等价的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【分析】本题考查了集合的运算性质、集合之间的关系，属于中档题.利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论.【解答】A ClB=4=4 U 8;A U B=Z

2、=B U 4;4 n(C/B)=0 Q A U B;A QB=1(i)A Q I A Q B,B /但力U B不一定能得出4=B=1,故4 C B=/与A c 8不等价；故和命题A 8等价的有，故选8.2 .若复数z=F是实数，则实数m =()1+1 /A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.利用复数代数形式的乘除运算化筒，然后由虚部等于0求解n i的值.【解答】A M_ m-i _ _ m-l-(l+7n)i解：z 1 7 7 -(i+o(i-i)-2 若复数z为实数，则1 +m =0,则 m =-1.故选A

3、.3 .已知。(0渡)，ta n(0+)=-；ta n 0,则 等*=()2 4，3 sm0+cos0A.B.-I C.3 D.一：2 5 3【答案】B【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及其应用,属于中档题.根据题意利用两角和与差的三角函数公式得出ta n。=3,即可得出si n。=双亚，c os。=10垣，再化简求解即可.10【解答】解：由 夕 (0,今，得ta n。0,又ta n(6 +?)=-|ta n 6,0 tan0+tan?7得-=-ta n l-tan 0tan-34tan0+ll-tan02一/aM整理，得ta n。=3或ta

4、n。=一(舍去),所以sin。=3 co s0,又siMe+cos20=1,6 W （0（）,解得sin。=cos0=10 io故sin8cos26 _ sin0(cos2-sin20)_ sin6(sin6+cos6)(cos6-sin6)sin8+cos8 snO+cos0 sin0+cosO.nz n.C、3/10,/10 3再、3=sin8(cos9 sin。)=(7?-)=-?故选：B4.倜髀算经少是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数,日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，.生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.某老年公

5、寓住有19位老人与1位义工，老人与义工的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中义工年龄不满24岁，老人的年龄依次相差1岁，则义工的年龄为A.18岁 B.19岁 C.20岁 D.21 岁【答案】B【解析】【分析】本题主要考查等差数列求和以及等差数列的应用，属于中档题；根据题意知：19位老人与1位义工的年龄之和为1 5 2 0,并设出未知量，列出等式为：n+(n+1)+(n+2)+(n+18)+x=1 5 2 0.再根据等差数列求和并化简可得：x=1349-1 9 n,最后通过对n取值和义工的年龄限制得出结论.【解答】解：根据题意可知：19位老人与1位义工的年龄之和为1520,设19位老人中年龄最

6、小的为：n,且1位义工的年龄为：X,老人的年龄依次相差1岁，+1)+(九 +2)+(7 1 +18)+x=1520 r 2 +7+1町 +x=1520,2即：=1349-19n(n E N x E N*),当？i=69 时,x=38,当n=70/V；x 19,当ri=71 时，x=G,义工年龄不满24岁,二 当 n=70时，x=19符合题意，.义工年龄为：19岁，故选B.5.已知函数/(x)=/+a/+x+b的图象关于点(1,0)对称，则b=()A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性和对称性，由/(尤)的图象关于点(1,0)对称，得“X+1)为奇函数

7、，可得b的值.【解答】解：由f(x)的图象关于点(1,0)对称，知/(x +1)=(x+1)3+a(x+1)2+(x+1)+b=x3+(a+3)x2+(4+2a)x+a+b+2 为奇函数.所以 解得 二 3.6.已知以F为焦点的抛物线C:y2=2px(p 0)经过点(1,2),直线=k(x-1)与C交于A,B两点(其中点4在x轴上方)，若|2F|=(3+26)尸8|,则I 在y轴上的截距为()A.2 B.1 C.-：D.1【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的概念及标准方程、抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关 系，属于中档题；先求得抛物线C的方程为y2=4x,再由抛物线的几何意义

8、即可求解；【解答】解：因为抛物线C:/=2px(p 0)经过点(1,一 2),所以4=2p,解得p=2,即抛物线C的方程为y2=4x,焦点F(l,0).因为直线I:y=k(x-1)恒经过点(1,0),即直线/恒过焦点用设直线，的倾斜角为。，则k=tan。.如图，直线I是抛物线C的准线,过点4作44_Ll 于点4,过点8作88_L Y于点夕,BE 1 4 4于点E,贝=A F,A E =BB=田尸|,故|AE|=A F-BF,A B=A F+BF.因 为 叫=(3+20|B F|,所 以 黑 需=今 所 以cos乙BAE=耨=cos”圣所以直线/的倾斜角为%即直线1的斜率为1,所以直线1的方程为

9、y=x-1.令x=0得y=-1,则直线，在y轴上的截距为-1.故选力.7.已知函数/(x)满足f(x)=/(3 x),当x 6 口,3),/(%)=In x,若在区间 1,9)内,函数g(x)=/(x)-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是()A.(第)B.(*分 C.D.(吟 阴【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的零点问题，同时考查函数的单调性与最值，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于难题.可以根据函数/(x)满足/(x)=/(3 x),求出 3,9)上的解析式，在区间口,9)内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点，可转化成/(X)-ax=。在区间 1,9)上有三

10、个解，即a=竽在区间口,9)上有三个解”，最后转化成y=a与h(x)=修在区间口,9)上的图象有三个交点，根据函数的单调性画出函数h(x)的图象，即可求出所求.【解答】解：v x 6 1,3)f(x)=InXf设x e 3,9),则在 1,3),.皤)=1 畤 函数 f(x)满足/(x)=/(3x),居)=f(x)=呜,(Inx,1%3,(x)=(ln|,3 x 0,当 (%3)时,h(x)0.当xe(3 e,9)时，h(x)0,即函数八(x)=e=竽在 3,3e)上单调递增，在(3e,9)上单调递减，当x=3e处，函数八=号=苧在 3,9)上取最大值5根据函数的单调性，以及八=0,/i(e)

11、=旗3)=0,h(3e)=？，八(9)=等，画出函数的大致图象，根据图象可知y=a与/i(x)在口,3)匕一个交点，在 3,3e)上两个交点，在区间 1,9)内，函数g(x)=/(%)-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是(等总.故选B.8.连续向上抛一枚硬币五次，设事件“没有连续两次正面向上”的概率为Pi，设事件“没有连续三次正面向上”的概率为P2,则下列结论正确的是（）A.P1+02=1 B.P2 2Pl【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了古典概型的应用以及二项分布，属于中档题.由题意分别求出P1和 尸 2的值，比较得出结果.【解答】解：由题意可知：“没有连续两次正面向上“有四种情

12、况：没有正面向上的；1次正面向上；2次正面向上；3次正面向上$+啕$+a丁+母针=*”没有连续三次正面向上“没有正面向上；1次正面向上；2次正面向上；3次正面向上；4次正面向上八针+崎+呜 -崎+T所以P2 2Pi，故选艮二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在 弓-）6的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为160 B.第4项的二项式系数最大C.第3项的系数最大 D.所有项的系数和为64【答案】BC【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，二项式定理的应用，属于中档

13、题.根据二项式定理，表达通项公式，二项式系数，对各个选项逐一验证可以得出答案.【解答】解：因为T r+1 =(-l)y(|)6 r(x)r=(-l)S 26 f x 2r-6对于A,当r =3时，是常数项，则常数项为(一1)3点23=一1 6 0,故 4 错误；对于B,展开式中有7 项，二项式最大的项是第4项，故 8正确；对于C,根据二项式系数的性质，系数最大的项为第3项或第5 项，因为第3项为(1)2/24=2 40,第5 项为(1)4 22=6 0,所以第3项的系数最大，故 C正确;对于。，令x =1 可得所有项的系数和为1,故。错误.故答案为：BC.1 0.若a =l o g z 3-l

14、,2b =|,则下列结论正确的是()A.a +b =2 B,a-b 2 D.ab 1【答案】A C【解析】【分析】本题考杳了对数的运算，考查基本不等式，属于中档题.由题意得a =l o g 23-1,b=l o g2|=3-l o g23,计算出a +b,b-a的值，即可判断出4,B；由a 0,b 0,a+b=2,a丰b,利用基本不等式判断C；利用对数的运算和配方法判断出。.【解答】解：由题意得a =l o g?-1,b=l o g2 =3-l o g23,Q+b =2,故 A正确；b-a=4 -21 o g23=4 l o g29,而1%9 3,A h a =4 l o g29 1,故 8

15、错误;因为Q 0,b 0,a +b =2,a 手 b,所以!+?=X a+b)C +)=T(2+2+a bJ*2+2,故 C正确;ab=(l o g23 1)(3 l o g23)=(l o g23)2+41 o g23 3=(l o g23 2)2+1 0,0 尹 勺的图象在丫轴上的截距为色，在y轴N2右侧的第一个最高点的横坐标为卷则下列说法正确的是()A7 1A.=-B./(x)+f(-x)V5C.函数在(0,勤上一定单调递增D.在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为3【答案】A C【解析】【分析】本题主要考查了由y =Z s in Q x +s)的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质的

16、运用，属于中档题.根据已知依次确定4,3,9 的值，即可求函数/(X)的表达式；根据函数y =4s in(3X +9)的性质验证即可.【解答】解：由题意可得s im p =争且0 V 0?,则 卬=工，A正确；又因为/(功在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为工，故:3+。=，所以3 =2.二函数f(x)的表达式为(切=ein(2+w)；V所以 f (劝+r (T)=由(为+J)+2 C8(-2+3)V w=皿(2+书+2 coe(2x-V V1 r-V 3=(-4-V 3)s in 2x +(+l)c o s 2x2+追所以/（X）+f -x）V5+2V3，B错;当(%)时，如+；呜款由正弦函数

17、y=sinx在(0,)上单调递增得/(x)在(0,3)上一定单调递增，C正确;令为+0=券，解得H=言.所以。错误.1 2.正三棱柱4BC-&B1G的各条棱的长度均相等，D为441的中点，M,N分别是线段BB】和线段CCi上的动点(含端点)，且满足B M =C N,当M,N运动时，下列结论正确的是()A.在)村内总存在与平面ABC平行的线段B,平面DMN 1平面BCC$iC.三棱锥4 一 DMN的体积为定值D.AOMN可能为直角三角形【答案】A BC【解析】【分析】本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质，锥体的体枳，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.直接利用线面垂直的判

18、定和性质及锥体的体积公式的应用判断4、B、C、。的结论.【解答】解：根据正三棱柱ABC-4当6的各条棱的长度均相等，。为A a的中点，M,N分别是线段BB和线段CG上的动点(含端点)，且满足BM=N,如图所示：对于4：连接。，由于。、。为中点，所以。平面4B C,故在ADMN内存在。与平面4BC平行的线段，故A正确；对于B：作NKJL4K,MH 1 AD,所以DM?=DfP+HM2,D N2=D K2+K N2t整理得：DN=DM,所以DMN为等腰三角形，所以。O_LMN,同理C0 1.BC1，所以。平面BCG BI，所以平面DMN 平面B C G a,故 B 正确；对于C：匕-DMN=%-A

19、OM=1 x，4。4B,苧48=.4。(定值)，故 C正确；对于D：4D M N,当 和N在中点时，为等边三角形，为最大角，不可能为直角三角形,故。错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.已知直线y=x+1与圆C：(x-I)?+y2=9交于4,B两点，贝!ICOSZJICB的值是【答案】_59【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，训练了利用垂径定理求弦长，考查余弦定理的应用，是中档题.由圆的方程求得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长，利用余弦定理求cos乙4cB.【解答】解：圆C的标准方程为(x-l)2+y 2 =9,圆心为(L

20、0),半径为3,圆心到直线y =x +1的距离为d =V 2,故|4 8|=2 X V 9 2 =2 则x +y=.【答案】12【解析】【分析】本题考查向量向量的加法、减法、数乘运算，考查平面向量的基本定理及其应用，属于基础题.由 向 量 的 加 法 法 则 知 族=宿+前=；而+；而 化 简 为:而+；前，即可得x、y,2 3 6 3从而可得+y的值.【解答】解：A P =A M +M P =A B +M N1,1.1.1 .一=-A B+-B C =-A B+-(A C-A B)1 _ 1=AB+AC6 3因为A P =+y A C，所以X =，,y =g，所以x +y =:+=,.故答案

21、为也1 5.某校举行“三人制”校园篮球比赛，共有8支代表队报名参加比赛，比赛规则是先抽签随机分成两组，每组4支队伍.则甲、乙 两 支 队 伍 分 在 不 同 小 组 的 概 率 为.【答案】47【解析】【分析】本题考查排列组合的综合应用与古典概型下的概率计算，属于中档题.利用平均分组的计算方法求出不同的分组方法总数仅以及甲、乙两支队伍分在不同小组的分法总数n,再根据古典概型下的概率计算即可.【解答】解：依题意，不同的分组方法总数m=3 5 种，2!其中甲、乙两支队伍分在不同小组的分法总数=堂掰=20种，21/所以所求概率p=l=;.故答案为:1 6.如图，从双曲线圣一，=l(a 0,b 0)的

22、左焦点尸引圆/+y2=a?的切线，切点为7,延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，。为坐标原点，则|MO|一|M7|的值为一(用含a,b的表达式表示)【答案】b-a【解析】【分析】本题主要考查双曲线的定义和几何性质，长度之间的转换，属于中档题.不妨设点P在第一象限.设F是双曲线的右焦点，连接PF.由“、。分别为FP、FF的中点，知|M O|=：|PF|.由双曲线定义，知|PF|-|PF|=2a,FT=y/0F2-OT2=b.由此知|河。|一|M7|=l(PF-PF-)+FT=b-a.【解答】解：不妨设点P在第一象限.设尸是双曲线的右焦点，连接PF.。分别为尸P、FF的中点，|M0|

23、=：|PF|.又由双曲线定义得，PF-PF=2a,FT=y/OF2-0 T 2=b.故|M0|-|M7|=PF-MF+FT=PF-|PF|)+FT=b-a,故答案为：b a.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17.AZBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知力BC的面积为 a?一尼力也仁(1)证 明:sin/4=2sinB;(2)若acosC=|b,求cosA.【答案】解:(1)证明：由题意：SAABC=absinC=(a2-b2)sinCfv 0 C IT,sinC H 0,由正弦定理得:sinAsinB=sin2/l 2sin2Bf即s

24、in2 A-sinAsinB 2sin2B=0,(sinA-2sinB)(sinA+sinB)=0,-r 0 A n,0 B 0,sinB 0,故s E 4 -2sinB=0 ,即s i n 4 =2 s i n 及(2)若a c o s C =|b,则c s C =|=|罂由(1)得 s i 几 4 2sinB=0,B P s i n/1 =2sinB,则c o s C =4由余弦定理得：等气，v sinA =2sinB9由正弦定理得：a=2b,代入得：竺 当 4=2,得c =V b，2x2bb 4A c2+b2-a2 2b2+b2-4 b2 y/2cosA =-=-尸=-2bc 2by/2

25、b 4【解析】本题主要考查正余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.(1)由三角形面积公式和正弦定理得s i M/i -sinA sinB-2sin2B=0 化简整理可证得sinA=2 s i n 8：(2)由已知得c o s C =由余弦定理得：cosC=Xd =3,得b,c 关系，代入c o s 44 2ab 4士竺Y可得结果.2bc1 8.数列 Qn 中，g=7且2 5?1=7 1 册+4 7 1(7 1 村*),其中57 1为 即 的前7 1 项和.(I )求%的通项公式(U)证 明:高+看+”+2：焉(n N*).【答案】解：(I )由2 szi =nan+4 n 取n =1,有2。1

26、=Q1+4,得的=4,当n 2 时,2 sn_t=(n l)an_ t +4(n 1),两式相减得2 a =nan 一(九一 l)an_ j +4,即(z i 2)c zn-(n -+4 =0(n 2),(n-3)0nt-(n-2)an_2+4 =0(n 3),两式再相减得(r i -2)0n-(2 n -4)an_ i +(n -2)an_2=0,即0n+an_2=2%1T o i 3),an 为等差数列，又d =a2 =7 4 =3,则=4 4-3(n 1)=3 n 4-1；证明：(U)要 证 衰+,+嵩+*焉,即证2+/+系+需 不 9-公？1(3n+l)2 +乖+(3n+I)2 W(I

27、_ 4 +4 _,+“i 一 熹)T9n+3故嵩+裔+方+V21h=-ci.乂EF=V3a.记EF与平面PBC所成的角为0,则sin。=a x 矗=?所以4M与平面PBC所成角的正弦值为近.7方法二：设正方形48CD的边长为2 a,取2D的中点为0,BC的中点为Q,由(1)可知1。4,0Q,0P两两垂直.以。为原点，。4 OQ,0P分别为%轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz,则 A(a,0,0),B(a,2a,0),C(-a,2a,0),D(-a,0,0),P(0,0,V3a)，0,ya),AM=(-|a,0,Ya),而=(a,2a,V3a)设平面PBC的法向量元=(%,y,z),则

28、 而.n=0,PC n=O.(ax+2ay y/3az=0,ZB 厂,取z=2,得x=0,y=V3,ax+2ay-y3az=0.平面PBC的一个法向量为五=(0,6,2).记AM与平面P8C所成的角为0,则_.万 =瓯 宿=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _四 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=且sine=|cos 所以4M与平面PBC所成角的正弦值为乌7【解析】本题重点考查面面垂直的判定和线面角，属于中档题.(1)通过求证CD 1平面P A D,由面面垂直的判定定理即可求证；(2)方法一：分别取4B,PC,4。的中点E,F,N,连结EF,EC,FM,P N,利用4M 与平面PBC所

29、成角与EF与平面PBC所成角相等即可求解.方法二：设正方形4BCD的边长为2a,取4。的中点为。，BC的中点为Q,由可知知。4OQ,OP两两垂直，以。为原点，。4,OQ,OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。-x y z,设平面PBC的法向量元=(x,y,z),进而利用sin。=|cos|=祠宿求解|西同事眸2 0.第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.某高校学生会随机抽查200名学生在奥运会比赛期间观看比赛实况直播的情况统计如下表：观看比赛实况直播 没有观看比赛实况直播 合计男同学9010

30、100女同学8020100合计17030200(1)能否有99%的把握认为是否在奥运会比赛期间观看比赛实况直播与性别有关？(2)根据题目中表格所给出的数据，视频率为概率，在全校所有女同学中随机抽取4人，记这4人中在奥运会比赛期间观看比赛实况直播的人数为X,求X的分布列和数学期望及方差.附”云端黑布,其中几=a+b+c+dP(K2 k)0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828【答 案】解 11 K 2-2OOX(9OX2()-8OX1O)2 2()()100X100X170X30 513.926.635,故 不 能 有99%的把握认为是否在奥运会比赛期间观看比赛实

31、况直播与性别有关;(2)由100位 女 同 学 中 有80人观看比赛实况直播，故可以估计所有女同学中观看比赛实况直播的概 率 为 提 W，X的 取值分别为0,1,2,3,4,可 知X8(4$P(X=O)=C(I-y=羡P(X=l)x(l-i)3 x%X=2)=此 x(l-y x(铲嚷，P(X=3)=C%x(l令x 守 嗡,P(X=4)=屐 x 4=熬可 得 随 机 变 量X的分布列为：X01234P16251662596625256625256625由随机变量X服从二项分布，可 得E(X)=4x i=,D(X)=4x J x(l1)=?【解析】本题考查了独立性检验，考查了分布列和数学期望及方差

32、，是中档题(1)先求得小的值，故可判断得答案(2)由X 的取值分别为O,1,2,3,4,可知X仇4 3，求出对应的概率，故可求X 的分布列和数学期望及方差.2 1.如图，已知圆0:/+y2=%点以线段AB为直径的圆内切于圆。，点4 的集合记为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已 知 直 线=4,BD=2.所以点4 的 轨 迹 是 以 为 焦 点，长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=l,b=由,则曲线C的 方 程 为+1.4 3(2)设依题意，直线，1的斜率必定存在，所 以,设=+0),将其与椭圆方程联立：x=my+l(m H 0)x2 y2=(3m2+4)y2+6my 9=0,T +T=1由韦

33、达定理，得：+丫2=肃小2=品，易得点K(4,三)，=m 3 3 m 2灯=xd =l,同理，心=纥 1X i-1 myr 4 my2ki-Q _ 七一灼+心 七 _ 3矽 _ 火2-6 2 一 心 火2一 心而后一心_ d 一 1 为一皿呆初1 乃_ 7 7 1 为 力 一 3 九 ，心_ 6-(y2-yi-rnCy1y2 2 1%-3 月(6由%+丫2 =，%丫2 =品得：%丫2 =亮(+丫2)，代入(1)得:kk 3 _ =_ 七 一 心 小 丫 1 九 一 3%所以:4 一 七 _%一心+心 七 _ 灰 一 忆3上2一k 3*2 一 火3 2一 3-1 =-2.【解析】本题主要考查椭圆

34、的定义及标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定值问题，考查韦达定理，属于中档题.(1)设力B 的中点为P,切点为Q,连接O P,P Q,取B 关于y 轴的对称点。，连接49,则|4 叫=20P,可得点4 的轨迹是以B,D为焦点，长轴长为4 的椭圆，即可求出椭圆的标准方程;(2)设M(X i，y i),N(%2，y 2)，设，i：x =m y +l(m H 0),将其与椭圆方程联立x=m y+l(m H O)k _kx2 y2.(3 m2+4)y2+6 my-9 =0,由韦达定理求出六色为定值.1 =1 2一 尺34-32 2.已知函数/(x)=e X-a a(a e R).(1

35、)若f(x)是单调增函数，求a的取值范围；(2)若刀 2 是函数/(x)的两个不同的零点，求证：1%+上 2/n a-)2.【答案】解：(1)因为f(x)是 0,+8)上的单调增函数，所 以/(*)=蜡 一 品 2 0恒成立.所以a 2 女姬在 0,+8)上恒成立，所以a 0即 单 调 递 增,aM0)=0，所以a的取值范围是(-8,0.(2)证明：因为看,血是函数/(x)的两个不同的零点，所以婚工=。4，eM=a 怎.故X =I n a+夕 峪，x2=I n a+|l n x2 故/-x 2 =g (I n x】-I n x?).不 妨 设 勺 小 0,t =t l 则/=裁，x2=-即要证

36、 1+%2=船1，即证l n t 筌.设p(t)=l n t 等，tL 贝如 =?一高=舒0-故p()在(L+8)单调递增，故p(t)p(l)=0.即证%1 +=2 L又4-x2=2 1 n a 4-|l n x1x2 即要证 l n x i%2 -l n 2,即证/不 即 证 舞 蒜:，即 证 蹲 1，即证血i,则 勺 a)=?亲 一 念=一 ，所以q(t)单调递减,所以q(t)q(l)=0,所以I n t 上述两式相减可得力-打=1(I n/-l n x2).要 证/+%2 1-即证I n t 与 千，设p(t)=I n t-笔 1，证明p(t)在(1,+8)单调递增，故p(t)p(l)=0.可证尤i +x2 1.要 证+x2 2lna 2.即证I n t 1,求出q(t)0,q(t)单调递减,所以q(t)q(l)=0,即可证与+&2)a-1 n 2.