2021年中考数学二轮复习 05 一次函数中的四边形综合式问题(解析版).pdf

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1、专题05 一次函数中的四边形综合式问题1、如图，正方形4 4%的边长为2,点。为坐标原点，边 防，力分别在x轴，y轴上，点是a 1的中点,点?是线段力。上的一个点，如果将勿沿直线在对折，使点力的对应点/恰好落在如所在直线上.（1）若点尸是端点，即当点P在4点时，A,点 的 位 置 关 系 是,伊 所 在 的 直 线 是,当点户在C点时，/点 的 位 置 关 系 是,伊 所 在 的 直 线 表 达 式 是.（2）若点一不是端点，用你所学的数学知识求出神所在直线的表达式.（3）在（2）的情况下，x轴上是否存在点0,使 质 的周长为最小值？若存在，请求出点。的坐标;若不存在，请说明理由.解：（1）由

2、轴对称的性质可得，若点是端点，即当点在4点时，。所在的直线是y轴；当点P在C点时，:N A O C=N BO C=4 5 ,点的位置关系是点8，利所在的直线表达式是尸工故答案为：A,y轴；B,尸工4 点的位置关系是点4(2)连 接O D,M.正方形1仍C的边长为2,O D=VOB2+B D2=V22-点是用的中点,卜 2 =加.由折叠的性质可知，O A =（2 4=2,Z O A Q 9 0.A D=l.设 点(x,2),P A =x,P C=2 -x,CD=.(A+1)2=(2 -x)2+l2.解得x=2.3所以一(2,2),3利所在直线的表达式是y=3%.(3)存在.若加怨的周长为最小，即

3、是要质制为最小.:点 关 于x轴的对称点是(2,-1),设直线P U的解析式为尸k/b,2 k+b=-l 2 ，k+b=2of,9k=T解得4 _ ,直线P D的函数表达式为y=-户工.4 2当y=o时，9.点 Q(A,0).9图1图2(1)操作：过点力作4 9，1于点，过点6作 跖_ 1/于点笈 求证：X CA g/X BCE.(2)模型应用:如图2,在直角坐标系中，直 线/：/=3广3与y轴交于点4与x轴交于点8,将直线，绕着点1顺时针旋转4 5得到直线勿.求直线加的函数表达式.如图3,在直角坐标系中，点6 (4,3),作戌L L y轴于点4,作a轴于点C,一是直线回上的一个动点，点。(a

4、,5a-2)位于第一象限内.问点/、P、0能否构成以点。为直角顶点的等腰直角三角(2)过点6作6d加，交直线A于 点C,过 点C作 曲，x轴于点.形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由.个y个y4 -B -Bo cx图3 备用图解：（1）N=9 0 ,:./A O/B C E=9 V*：A DL 1,BE 1.1,:./A DC=4C EB S ,./绥 /%占9 0 ,：.Z DA C=Z E CB 在和&B 中，N A DC=/CE B,/DA C=/E CB,:,D A g R E C B k A A S）；BD C E图1A C=CBVD 7BO 图2由直线h y=3 x+3与

5、y轴交于点A,与x轴交于点B,可 求 点/坐 标 为（0,3）,点8坐 标 为（-1,0）,.A O=3,O B=.由比侬。物可得，D C=O A ,DB=O A=3,.点C的坐标为（-4,1）设直线力的解析式为：尸 k a b,把（0,3）,（-4,1）代入，求得y弓x+3.(3)如图 3,由可得 4 =伊；3 -(5a-2)=4 -a,求得J.点。纵坐标为-W，此时点。在第四象限，与题意不符，故因舍去.3、如图1,等腰直角三角形/8 C中，/AC B=90：CB=CA,直 线 口 经 过 点C,过力作/，功于点,过8作班工劭于点E.求证：巫 缁 物；A已知直线Z：尸 X+4与x轴交于点A,

6、与y轴交于点B,将直线绕着点 逆时针旋转4 5 至直线O1 2,如图2,求直线4的函数表达式；如图3,在平面直角坐标系中，点8 (8,6),作 物，y轴于点4作轴于点G尸是线段勿上的一个动点，点0是直线y=2 x-6上的动点且在第一象限内.问点/、P、0能否构成以点0为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点0的坐标，若不能，请说明理由.解：Q）证明：.力阿为等腰直角三角形:.CB=CA,NAQ升/BCE=180-90=90y.：Al）LCD,BEL EC:.N D=N E=90又/幽 /以 方=90:./ACD=NEBC在 与 侬 中，Z D=Z E,AACD=AEBC,CA=BC,

7、旅 鹿（44S）；(2)过点8作8 d A 8交h于3 过C作 龙，y轴于D,，力比为等腰心由(1)可知：X CBI运X BA O：.BD=A O,CD=O B4,*y x+4，o令 y=0,贝ij x=-3：.A(-3,0),令 x=0,则 y=4：.B(0,4):.BD=A O=3,CD=O B=.勿=4+3 =7.：.C(-4,7),设直线人的解析式为尸k x+b,将点力(-3,0),C(-4,7)代入y=户6中,得 产-3k+bI 7=_4k+b解得，k=-7,6=-2 1,则A的解析式：y=-7 x-2 1；(3)如下图，设 点Q(如2/7 7-6),当/4火=9 0 时、由(1)知

8、，侬 Q W(/M S),：.A M=QN,即|8-血=6 -(2/-6),解得：0=4或O故：。(4,2),(2当0，年22).O o4、如图，在平面直角坐标系中，直线y=2户8与x轴交于点4与y轴交于点6,过点6的直线交x轴于点 C,且 A A BC.(1)求直线比1的解析式；(2)点。为 线 段 上 一 点，点。为线段8c延长线上一点，且国交x轴于从 设 点0横坐标为勿，A/W的面积为S,求S与小的函数关系式(不要求写出自变量力的取值范围)；(3)在(2)的条件下，点M在y轴负半轴上，且物三,M 2,若/8QW=4 5,求直线掰的解析式.解；(1);直线y=2 x+8与x轴交于点4与y轴

9、交于点6,.点 8(0,8),点/(-4,0)：.A O ,BO=8,；A B=BC,BO L A C,：.AO=CO=,.点 C(4,0),设直线比解析式为：尸k汕b,由题意可得:fb=8l0=4k+b解得:fk=-2I b=8 直线欧解析式为：y=-2A+8；(2)如 图1,过点作 用，；PEHBC交AC于E、过 点0作偌力乙 :AB=CB,：.ABAC=BCA,点。横坐标为加，点0(R，-2研8)*.HQ=2m-8,CH=m-4,AP=CQ,/B A C=/B C A=/Q C /AG P=/Q HC=9N,：./AGPCHQ(A/1S),:G=H C=f”4,PG=HQ=2m-8,:P

10、E BC,:/P E A=/A C B,/E P F=4CQF,：/PEA=/PAE,：.AP=PEf 且力。=%,:.P E=C Q,旦 NEPF=/CQF,4PFE=4CFQ,:.XPE阳4QCF 二阳。的面积=四 边 形 况%的面积+Z (7 W的面积=四 边 形8馆 的 面 积+叱 的 面 积=四边形 战 方的面积，S=5k 4-五 满=*X8 X8-*X(2/-8)X (2 m-8)=1 6/z z-2nf；(3)如 图2,连接力/,CM,过 点 作 皿 力G图1VAB=BC,BO A.AC,加 是力C的垂直平分线，：.AM=CM,且PM=MQ,相 侬2 8犷(5期):./PAM=/

11、M CQ,/BQM=4APM=45,:AM=CM,AB=BC,:ABgAC BM (SSS):./BAM=/BCM,:./BCM=NMCQ,且N C/柳*=1 80 ,：4BCM=4MCQ=NPAM=90。,且N4/浙=4 5,加湖=N 4 W P=4 5,：.AP=AM,./必/物3=9 0 ,/物 仆N4/=9 0 ,:./P A O=/A M 0,且N/i=N 0 Q 9 O ,AM=AP,/必/物0 (%S)AE=OM,PEAO=4,2 m-8=4,ni-6,：.Q(6,-4),夕(-2,4)设直线，。的解析式为：户C,.f-4=6a+cI 4=_2a+c解得：卜I c=2直线。的解析

12、式为：尸-卢2.5、已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形/胸的顶点。的坐标是(6,4),动点P从点/出发，以每秒1个单位的速度沿线段力。运动，同时动点。从点8出发，以每秒2个单位的速度沿线段加运动，当。到 达。点时，P,0同时停止运动，运动时间是t秒(t 0).(1)如 图1,当 时 间 力=秒 时，四边形力尸0。是矩形；(2)如图2,在 只Q运动过程中，当&=5时，时 间t等于 秒；(3)如图3,当P,。运动到图中位置时，将矩形沿网折叠，点4 0的对应点分别是，E,连 接 砒0E,此时/Y於=4 5,连接阳求直线丝的函数表达式.解：I矩形力施1中，C(6,4)：.O B=A C=&,BC=0

13、A=4依题意得：A P=t,BQ=2 t(0 4MPE=ZAP(hZAOP90：.乙MPE=ZAOP在物E与力/中，Z P M E=Z O A P=9 0 Z M P E=Z A O PP E=O P:心 野 恒IXAOP(44S):PM=0A=4,ME=AP=t：.ON=AM=APP=,EN=MN-ME=4-t:.QN=ON-O Q=t*(6-2Z)=3，-2在口%中，EN+QN=EQ：.(4-t)2+(3-2)2=(6-2 0 24解得：1产-2(舍 去)，匕 芍-4上 一16 G一44 83 3 3 3，点/坐 标 为(当-，德)O O直线龙的函数表达式为y x.6、一边长为4 正方形而

14、 放在平面直角坐标系中，其 中。为原点，点力、6 分别在x 轴、y 轴上，为射线加上任意一点.(1)如 图1,图3若点坐标为（0,2）,连 接 交 利 于 点 ，则 的 面 积 为.(2)如图2,将 勿 沿 四 翻 折 得 若 点 1在 直 线 尸 条 图 象 上，求出6点坐标;O(3)如图3,将必沿/翻折得力口，龙和射线比1交 于 点 用 连 接；若/仅W=7 5,平面内是否存在点0,使得/园 是 以/月为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点。坐标；若不存在,请说明理由.解：（1）：边长为4正方形以放在平面直角坐标系中,.点 4 坐 标(4,0)，点 C(4,4),直 线3解析式为：

15、y=x,:点 坐 标 为（0,2）,点4坐 标（4,0）,二直线/解析式为：y=-G 2,y=xy=9 x+2解得：，4X=T_4y三4 4,点少坐标（,）1 4 R力施的面积=不X 4义不=5,故答案为:得;0(2)如图2,过 点 作 敬1勿,图2,将力勿沿翻折得力皮，：.A0=AE=4,4设点 E(a?),o4：.OH=a,EH=a,:AH=4-a,:A E#+A k,.16=学 才+(4-a)2,9a=0(舍 去)，25.人72 96.点 度2 5)(3)将/切沿力。翻 折 得 刃，：.ZDAO=ZDAE=75,04=AE,Z DOA=Z DEA=90,N4=150,AE=AC9 4AC

16、F=4AED=gq0,：.ZCAE=60,：AE=ACf AF=AF,.,.RtA/i7RlA/1CF(/a)：.ZCAF=ZEAF=30,且、=4,：.C F=-,34W是以 尸为直角边的等腰直角三角形，.若/加(?=90,AF=FQ,如图3,过 点0作出工即：/N Q F+N Q F N=g y,且/&MNT=90 ,：.A N Q F=A A F C,且/。=/0步=90 ,QF=A F,；./侬 心（/M S）十A C=N F=4,.点0（州 里 4+包33 3同理可求：Q（8+生 叵，4-2西）3 3若/用g 90,1Q/1。时，同样方法可求，（0,1/1）,0 3 37、知识再现:

17、如果（小，%）,N,%）,则线段，必V的中点坐标为（H三2,V l+，2）,对于两个一次函数了2 2=L广力和夕=左/A 若两个一次函数图象平行，则&=左 且6H员；若两个一次函数图象垂直，则 扭k2=-1.提醒：在下面这个相关问题中如果需要，你可以直接利用以上知识.在平面直角坐标系中，已知点1（0,8）,B（6,0）.（1）如 图1,把直线16向右平移使它经过点一（6,4）,如果平移后的直线交y轴于点H ,交x轴于点 夕，请确定直线/夕的解析式.（2）如图2,连 接 朋 求S P的长.（3）已知点C是 直 线 尸-X上一个动点，以4 6为对角线的四边形力劭是平行四边形，当切取最小值时，请在图

18、3中画出满足条件的口4烟，并直接写出此时C点坐标.b=80=6k+bb=8，直线四的解析式为：尸-等 x+8,直线48向右平移使它经过点（6,4）,4.，直线月月的解析式为：y=-Ar+/?,且过点尸（6,4）O4:4=-X 6+63A b=2.直线/8 的解析式为:y=-4 1 2（2）:直 线 4 夕交y 轴于点H ,交 x 轴于点8.当 x=0 时,y=12,当 y=0 时，%=9二点/坐标（0,12）,点 夕 坐 标（9,0）,：P（6,4）,B（6,0）,点 Z 7 坐 标（9,0）.&y_Lx轴，BP=4,BB=3-加2+B B2=5（3）如图，设 4?与修的交点为笈.四边形/c切

19、是平行四边形：.E C DE CD,A E=BE,2二要使一取最小值,即您的值最小，由垂线段最短可得：当 血 面 时，丝的值最小，即切的值最小,.点 4(0,8),B(6,0),且4=庞.点(3,4)：C D L C O,直线例解析式为：尸-x.设位解析式为：y=x+n,且过点K(3,4)A 4=3+/?:.n=1.CF解析式为：y=x+l.联立直线龙和宓的解析式成方程组，得(y=x+ily=-xf 1x=解得卜 至i.点8、如图，将一张边长为8的正方形纸片的比放在直角坐标系中，使 得 的 与y轴重合，宓 与x轴重合，点P为正方形边上的一点(不与点力、点6重合).将正方形纸片折叠，使 点。落在

20、尸处，点。落 在G处，P G交 BC于 H,折痕为厮.连 接O A 0H.初步探究(1)当前4时直接写出点的坐标；求直线成的函数表达式.深入探究(2)当点夕在边4?上移动时，与/力力的度数总是相等，请说明理由.拓展应用(3)当点尸在边力6上移动时，顺的周长是否发生变化？并证明你的结论.解：(1)设：O E P E a,则 4 =8 -a,4 P=4,在R t ZUiP中，由勾股定理得：P R=A R+A P,即-=(8 -a)斗1 6,解得：a=5,故点 6(0,5),故答案为：(0,5)；过点7 作/T iL y轴于点R,折叠后点。落在P处，则点0、2关于直线婿,对称，则。，步；：.N E

21、F3/FE H9Q,而阵9 0 ,：,/A 0 H/E F R,而 N(M P=/FRE,RF=AO,:、AOPXFRE(A A S),:.ER=AP=4,OR=EO-6!ff=5-4=l,故点/(8,1),(将点反厂的坐标代入一次函数表达式：尸得：(l=8 k+b,解得：Jk=方,1 b=5 b=5故直线好的表达式为：尸-!田5；(2)证明：:PE=OE,：.AEOP=AEPO.又N a E=90 ,A Z.EPH-/E P g/E O C-/EOP.於 NPOC=NOPH.又.36笫/A P g ZPOC.：.AAPO=ZOPH-,(3)解：如图，过0作.OQLPH,垂足为0.由(1)知

22、N A P g/O P H,在祖心和仇W中，ZAPO=AOPH,NA=4OQP,OP=OP,：.AOP/QOP(A A S).:.AP=QP,AO=OQ.又,：A O=O C,：.O C=O Q.又,：4 C=4 0QH=90 ,O H=O H,：./O CH O QH(HL).：.CH=QH.；.池 的周长=P卅B小P H=A田P l B出HC=卅 1 6:故答案为：1 6.Q9、如图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，直线y=jx+W分别交x轴，y轴于4 6两点，点 关于原点。的对称点为点，点C在第一象限，且四边形板为平行四边形.（1）在图中，画出平行四边形4版，并直接写出。、两点的坐标

23、；（2）动点夕从点C出发，沿 线 段 以 每 秒1个单位的速度向终点6运动；同时，动 点。从点4出发,沿 线 段 以 每 秒1个单位的速度向终点运动，设点运动的时间为1秒.若尸。的面积为3,求t的值；点。关于6点的对称点为M,点C关于x轴的对称点为N,过点户作 M x轴，问，仍月先也是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由.解：（1）直线y=*x+3 分别交x轴，y轴于/、6两点，则点4 6的坐标分别为（-4,0）、（0,3）,则点（4,0）,则 4=8=5 C,故点 C（8,3）,故 点C、的坐标分别为（8,3）、（4,0）,画出的平行四边形/腼如下图.y/图1(2)

24、力秒钟时，点的坐标为(8-t,3),/W的面积S=*X Q X 谒=/|为|X 3=3,解得：留=2,故t=2或6；:M Ba P H 豆 Bh f=P H=Z,四边形物以为平行四边形，故P M=BH,:.M BP 出 N4 P 出 B出 M 3+B卅 HN,.当6、H、N三点共线怙，通 P m N H=P IK B*HN=3+B小HN 最小,.点 关于x轴的对称点为“，故点7(8,-3),而点8(0,3),(3设直线m 的表达式为：尸则卜,嘛+匕 解得 k=NI b=3 b=3故直线回，的表达式为：尸-?卢3,4.点 的 坐 标 为(8-t,3),故点(8 -t,0),将点的坐标代入8 v的

25、表达式得：0=-3(8-力)+3,解得：1=4,故点一(4,3).1 0、如图，在平面直角坐标系中，正方形力6 C两顶点为4 (4,0),。(0,4)，点的坐标为(-3,0),在4 8上 取 点 反使得N BCE=N DCO,连接加，分 别 交 出DE于M,“两点.(1)求证：X CB监X CO D；(2)求点的坐标和线段8所在直线的解析式；(3)在M,川两点中任选一点求出它的坐标.(1)证明：.四边形/时是正方形,:./CBE=9Q=A CO D,V A BCE=A DCO,CB=CO,:ZB的CO DqA SQ.(2)解：:X CB蹈X CO D,:.BE=O D=3,：.A E=A B-

26、BE=4 -3 =1,：.E(4,1),设直线如的解析式为了=依，把6 (4,4)代入得到A=l,二直线仍的解析式为y=x.(3)解：设直线a的解析式为尸就r+，把。(0,4),2;(4,1)代入得到:(n=4I4mtn+l=_3.解 矶n=4，直线用的解析式为y=-捻r+4,10、将一矩形纸片的比放在直角坐标系中，0为原点，点C在x轴上，点力在y轴上，力=9,O C=(1)如 图1,在面上取一点 将 比沿宓折叠，使。点落在四边上的点处，求直线欧的解析式；(2)如图2,在 物，OC边上选取适当的点弘N,将例/沿W V折叠，使。点落在48边上的点少处，过 作Z/G，位 于 点G交赫V,于7点，连

27、 接0 7,判断四边形OM.V的形状，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若 点7坐 标(6,!),点尸在助V直线上，问坐标轴上是否存在点0,使以机少，Q,户为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点。坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)如图1中，./=9,比=15,是由小。翻折得到,:.CD=0C=3,在中，D B=VCD2-BC2=1 2,，4 9=3,设 O E=E D=x,在 R t/应中，*=(9 -x)2+3 解得 x=5,：.E(0,5),设 直 线 的 解 析 式 为 尸 上 计5,把(1 5,0)代入得至i J k=，直线 比的解析式为y=V x+5-(2)结论：如图

28、2中，四边形。阳为菱形，理L t l:;椒是山切介翻折得到，.,.Z W Ar=Z.W=9 0o,/D 阳=4 O N M,D f=M O,:.ND M2 N M O N=9Q,/网*MU N G 7 M/公 渺=9 0 ,：.Z U M N=A G T N,而N。TN=Z GTN,：.A D M N=A D TM,：./)T=D Q O M,：M O/D T,，四 边 形 为 菱 形，:M O=M D ,：.四边形O TD.为菱形.(3)以 风D、Q、尸为顶点的四边形是平行四边形时，5：T(6,4),2R 1 QO M=TD=9-4=,2 21 3.,.,1/(0,),2直线 7的 解 析 式 为 尸-多2 十号1 3，当点。在y轴上时，易知0(0,0)或(0,1 3)满足条件,当。在x轴上时，直线 Q 的解析式为尸 谭 广1 3,Q（号，0）,综上所述，点0坐 标（0,0）或（0,1 3）或吟，0）.