2021中考数学：知识点26等腰三角形与等边三角形.pdf

《2021中考数学：知识点26等腰三角形与等边三角形.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021中考数学：知识点26等腰三角形与等边三角形.pdf（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、12.（2021烟台）如图所示，AB是。的 直径，直线。E与。相切于点C,过点A,8 分别作A D L O E,B E D E,垂 足 为 点 D,E,连接4C,B C.若百，CE=3,则 A C 的 长 为（）.第12题答图【答案解析】D【解题过程】连 接OC,因为 ADDE,BEA.DE,所以 ZADC=ZCEB=90所以 ZDAC+ZACD=90因 为 AB是。的 直径，所以 NAC5=90,所以 NBCE+ZACD=90,所以 N3CE=NZMC,在 AOC 与CEO,因为 ZADC=NCEB=90,NBCE=ZDAC所以AO CsaCE。，由 1“BC CE 3/T所以=7=，3AC

2、 AD V3在 RtZkACB 中，sin ABAC=V3,所以 4 A C =60。,又 因 为O A =O C,所以AOC是等边三角形，所以 NACO=60。，因 为 直 线OE与。相切于点C,所以 OC_LDE,因为 A D L D E、O C L D E,所以4O OC,所以 A D A C =Z A C O=60,所以 Z A C D=90-A D A C=30,所以 AC=2AO=2 6,所以AOC是等边三角形，所以 O4=AC=2 百，ZAOC=60,b,，八，60 x7x26 2 G所以A C的 长 为 二*?180 38.（2021 娄底）如 图（2）,边 长 为 的 等 边

3、AABC的 内 切 圆 的 半 径 为（）A.I B.&C.2 D.2#）【答案解析】A【试题解答】由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形OCD中,从而解 得.如图(2 1),设D为。0与AC的 切 点，连接0 A和OD,等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的.,.OD XA C,ZOA D=30,OD 即为圆的半径.又，：AC=2瓜：.AD=-AC=-X2V3=/32 2.在 直角三角形O AD中,t a n NC MD =t a n 30 =OD OD y/j而一耳一彳代入解得：OD=1.故 答 案 为1.1.(2 02 1 潍 坊)如图已知/A O 8,

4、按照以下步骤作图：以点。为 圆心，以适当的长为半径作弧，分别交N A O B的 两 边 于C,。两点，连接C Z).分别以点C,。为 圆心，以大于线段O C的 长 为半径作弧，两 弧 在2 4 0 B内交于点E,连接C DE.连接O E交C D于点M.下 列 结 论 中 错 误 的 是()A.ZCEO=ZDEO B.CM=MDC.OCD ECD D.S CD,OE2【答案解析】C【试题解答】由作图可知OC=OD,CE=DE,O E=O E,所以OC E丝0 E,:.N C E 8 N D E O,选项A正确,根 据“三线合一”可知，CM=MD,CD L O E,所以选项B、D正确；选项C错误：

5、故选C.2.（2021 衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借 助 如 图 所 示 的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若NBDE=75,则NCDE的度数是A.60 B.65 C.75 D.80【答案解析】D【试题解答】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因 为 OC=CD=DE,所以NO=NCDO,ZDCE=ZCED,所以NDCE=2NO,NEDB=3NO=75,所以NO=25,ZCED=ZECD=50,所以NCDE=180-NCED-NECD=18

6、0-50-50=80,故选 D.3.（2021,重庆A 卷）如图所示，在 ABC中，。是 AC边上 的 中 点，连结把B O C 沿 8。翻折,得 到 8O C,OC与AB交于点E,连结A C,若4D=A C=2,8。=3,则点。到 BC的 距 离 为（）3石 3而-B.-C.7 7 D.V13【答案解析】B【试题解答】如答图，过 点。作。ML BC丁 点 过 点 8 作O C 于点N,由翻折可知。C =OC=AO=2,Z B D C=Z B D C .：AI)=AC=2,.*.ADC是 等边三角形，从而 Z AOC=N 8 OC=N8DC=*八 1 360.在 RtABDN 中，DN=-BD

7、=.力 S隆=g D CBN=；B C-D M,：.=也患=耳.故选B.4.（2021 聊城）如图在 等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90,一个三角尺的 直角顶点与BC边 的 中 点 O 重合，且两条直角边分别经过点A 和 点 B,将三角尺绕点O 按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的 两直角边与AB,AC分别交于点E,F 时，下列结论中错误的是A.AE+AF=ACB.ZBEO+ZOFC=180C.OE+OF=BC2D.S 四边形 AEOF=SAABC【答案解析】c【试题解答】连 接 A O,易得 AEOg/CFO,AE+AF=CF+AF=AC,故 A 正确；ZBEO+ZOFC=ZBEO+

8、ZAEO=180,故 B 正确；随着三角形的 转动,O E和 O F的 长度会变化，故 C 错误；S 网 边 形AEOF=SZAEO+SAAFO=SZSCFO+SAAFO=:SAABC,故 D IE确；故选 C.2B6.7.10.二、EO填空题14.（2 02 1绍 兴）如图所示，在 直 线 AP 上方有一个正方形A B C D,ZPA D=30,以 点 B为 圆 心，A B为半径作弧，与 AP 交于点A,M,分别以点A,M 为 圆 心，AM 长为半径作弧，两弧交于点E,连结E D,则N ADE的度数为.【答案解析】15。或 4 5。【试题解答】因 为 N P A D=3 0。，以点B为圆心,

9、AB为半径作弧，与 AP 交于点A,M,而N B A M=6 0。,所以 BAM 是 等边三角形；又以点A,M 为圆心,AM 氏为半径作弧，交点布两个E或 B有两种情况:由题意AAM E是等边三角形，所以N EAM =6 0。,所以/D A E =30+12 0 =15 0,又 AD=AM =A E,所以Z ADE=Z AED=-(18 0-15 0)=15 ；点 E 与 B 重合，所以N A D B (E)=4 5.2c14.（2021常德）如图所示，ZVIBC是等腰三角形，AB=AC,ZBAC=4 5 ,点。在 A C 边 上，将4BZ）绕点A逆时针旋转4 5 得 到A C。，且点 、D、

10、B 三点在 同一直线上，则/ABO 的 度 数 是.【答案解析】22.5。【试题解答】根据题意可知 A B O 四A C。，N BAC=N C A D =4 5 ,A。=A ,/.Z A D D Z A D D=1800-452=6 7.5 ,：D D、8 三点在 同一直线上，A Z.ABD=Z A D D ZBAC=22.5 .1.（2021 怀化）若等腰三角形的一个底角为7 2。，则这个等腰三角形的顶角为.【答案解析】36。.【试题解答】解：等腰三角形的一个底角为7 2 ,这个等腰三角形的 顶 角 为 18 0o-7 2 x 2=3 6 .故答案为3 6 .2.3.4.6.7.8.三、解答

11、题1 9.（2 0 2 1 浙江省杭州市，1 9,8分）（本题满分8分）如图在 Z X AB C 中，AC AB B C.（1）已知线段AB 的垂直平分线与B C 边交于点P,连接A P,求证：/AP C=2 N B.以点B 为 圆 心，线段AB 的长 为半径画弧，与 B C 边交于点Q,连接A Q.若N A Q C=3 N B,求/B的 度数.【解题过程】（1）证明：.线段A B 的垂直平分线与B C 边交于点P,.,.P A=P B,.-.Z B=Z B AP,VZ AP C=Z B+Z B AP,.,.Z AP C=2 Z B；（2）根据题意可知 B A=B Q,/.Z B AQ=Z B

12、 Q A,V Z AQ C=3 Z B,Z AQ C=Z B+Z B AQ,/.Z B Q A=2 Z B,VZ B AQ+Z B Q A+Z B=1 8 0 ,.5/B=1 8 0 ,/.Z B=3 6 .2 5.（2 0 2 1 江苏盐城卷，2 5,1 0）如图是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（I）将矩形纸片沿。尸折叠，使点A 落 在 CO边 上 点 E处，如图；（I I）在 第 一 次 折 叠 的 基 础 上，过点C再次折叠，使 得 点 8落 在 边 CD上 点 及处，如图，两次折痕交于点O;（I I I）展开纸片，分别连接0 8、O E、O C、尸。，如图【探究】（1）证明：O 8

13、 C 丝Z X O E。；（2）若 A8 =8,设 BC为x,O B?为y,求 y关 于 x的关系式.图 图 图 图【解题过程】解：（1）由折叠可知 2 C=A D=A f=D E .：CB=CB；由两次折叠可知N 3 c O=N 0 C O=/O ）E=4 5,是 等腰直角三角形，O C=O D：.A O B C A O E D（2）如图所示，过 O向 8c做 ON1BC于 N,则Z i O C N 是等腰直角三角形，又/OCD是等腰直角三角形，O C=O DA CD=8,O C=4&O N=C N=4,在直角三角形 B O N 中，y -（x 4）+4 =x?8 x +32（4 x 7 A

14、D,A ZCHD=ZADB=90,VAC=BC,A ZCAB=45,A ZCDB=ZCAB=45,.DHC为 等腰直角三角形 四边形ABCD是。的圆内接四边形，:.ZPDA=ZPBC,V ZP=ZP,AAPDAAPBC,型=吆=也*PD AD)DHC和为 等腰直角三角形，:.应=3BC,c m叵CH=CAD,AB _ 41BC _ rz.而一及AD-；A B+C D=2(6 +1)VCD+CD=2(迅 +1).*.CD=2,，C H=026.(2021 常 德)在等腰三角形A BC中，A B=A C,作 CM_LA8交 4 8 于点M,BN L A C交A C于 点、N.(1)在 图 12 中

15、，求证：BMCgZsCNB；(2)在 图 13中 的 线 段 CB 上取一动点尸，过 P 作交CM 于 点 瓦 作 PFA C 交 NB于点尸，求证:P E+P F=B M；(3)在 图 14中动点P 在 线 段 C B 的 延 长 线 上，类 似(2)过 P 作 PEA B 交 CA/的延长线于点E,作PF/AC 交 NB 的 延长线于点 F,求证:A M -P F+O M B N=A M -PE.图12图13图14【解题过程】(1)：AB=AC,：.ZABC=ZACB,：CMLAB,BN LAC,；.NBMC=NCNB=90；又；BC=BC,.*.BMC 丝CN8；(2)连接 OP,：PE

16、/B,PF/AC,:.NBMC=NPEC=90：NCNB=NPFB=9G,:S、1soe=S,p+Srn p,/.-OC BM=-OB PF+-OC PE.,:/BMC沿 ACNB,：.ZOBC=ZOCB,：.O B=O C,：.2 2 2PE+PF=BM；(3)同上连接 OP,：S.BOC=S q p-S.p，：.-OC-B M=-O C -P E-O B PF,：OB=OC,：.PE-P F=BM.ZBMC=ZANB=()0o,ZBMO=ZNBA,：.=,：.OM,BN=BM ANBN AN=(P E-P F)AN,：AB=AC,BM=CN,：.AM=AN,：.OM B N=(PEPF)A

17、 M,：.AM PF+OM-BN=AM-PE.1.（2021 重 庆 A 卷）如图所示，在ABC中，A B=A C,。是 BC边 上 的 中 点，连结A,BE平分NABC交 AC于点E,过点E 作 E/8 c 交 AB于点F.（1）若/C=36,求NBA。的 度 数；（2）求证:FB=FE.解：（1）U：AB=AC,A Z B=Z C=36.,.ZBAC=1800-Z B-Z C=1 0 8 .：AB=ACy。是3。边上 的 中点，：.AD 平分 NB4c.ZBAD=-ZBAC=54.2(2)证明：:B E平分NA5C,NABE=NCBE.:EFBC,：.ZFEB=ZCBE.：.ZABE=ZF

18、EB.：.FB=FE.2.（2021 重庆B卷）如图所示，在/A B C中，AB=AC,AO_L3C于点Q.（1）若N C=42。，求NBA。的 度数；（2）若点E在 边A B上，EAC交A O的延长线于点F.求证:AE=FE解：（1）（方法一）：工3=47,ZC=42,/.ZB=ZC=42,：.ZBAC=80-Z B-Z C=1 8 0 -42-42=969：ADA.BCA ZBAD=2 ZBAC=2 X96=48（方法二）：AB=ACNC=42 ZB=ZC=42:A D I.3 c 于点。J ZADB=90AZBAD=180-90-42=48（2）证明：EF/AC：.ZCAF=ZF*：AB

19、=AC,ADA.BC：.ZCAF=ZBAF：.ZF=ZBAF：.AE=FE3.（2021 眉山）如图所示，在 四边形ABC。中ABD C,点E是C O的 中点，AE=BE.求证：Z D=Z C.n第21同图证明：VAE=BE,.,.ZEAB=ZEBA,V DC/ZAB,，NDEA=NEAB,NCEB=NEBA,NDEA=NCEB,在/SEDA 和 ACEB 中，DE=CENDEA=/CEB,AAEDAACEB(SAS),AZD=ZC.AE=BE4.（2021 无锡）如图所示，在 lABC 中，AB=AC,点、D、E 分别在 AB、AC 上，BD=CE,BE、CD相交于点O;求证：(1)DBCQAECB;(2)OB=OC.证明：(1)VABMC,:.NECB;N D B C,在 ADBC与AECB 中,BD=CE,ZDBC=ZECB,BC=C B,：DBC学AECB(SA S)；(2)由(1)知O8C丝EGB,；.NDCB=NEBC,：.OB=OC.5.6-7.8.910.11.12.34.35.36-37.38.3支_