2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷(二模).pdf

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1、2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（二模）一、单项选择题：本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）s i n 2 0 s i n 1 0 0 -co s 2 0 co s 1 0 =（）A.B B.-i C.1 D.走2 2 2 22.（5 分）在复数范围内，己知，q 为实数，是关于x的方程/+p x +q =0的一个根,则 p +g =（）A.2 B.1 C.0 D.-13.（5 分）已知集合4=0 ,B=xx a,若=则实数。的取值范围是（）A.（Y O,0）B.（-o o,0 C.（0,+o o）D.0,+o o

2、）4.（5 分）2 0 2 1 年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立1 0 0 周年革命歌曲展演.现从 歌唱祖国 英雄赞歌 唱支山歌给党听 毛主席派人来4 首独唱歌曲和 没有共产党就没有新中国 我和我的祖国2首合唱歌曲中共选出4 首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（）A.1 4 B.48 C.72 D.1 2 05.（5 分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为/g E =4.8+L 5M.2 O l l年 3 月 1 1 日，日本东北部海域发生

3、里氏9。级地震，它所释放出来的能量大约是2 0 0 8年 5月 12日我国汶川发生里氏8.0 级地震所释放能量的少倍？（参考数值：而x 3 62,而2 2.1 54）（）A.31.6 B.1 5.8 C.4.6 D.1.56.（5 分）关于函数/（x）=1 2 -a，x 2,其中”，b&R 给出下列四个结论：b-x,x,.2甲：6 是该函数的零点；乙：4 是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0；T：方程/（x）=g有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.（5 分）已知函数/（x）=sin（2x+?）,若函数g（x）=/（x）-在,芳

4、 上恰有三个零点大，x2,%3 8 0,b 0,a+2b=,下列结论正确的是（）A.1+2 的最小值为9 B.片+从的最小值为更a b 5C.loga+logzh的最小值为-3 D.2+4 的最小值为2夜11.（5 分）已知双曲线C:x 2-q =1,其左、右焦点分别为耳，F2,过点工作一直线与双曲线C 的右支交于点P,Q,且 西,=0,则下列结论正确的是（）A.2耳。的周长为4 B.尸月鸟的面积为3C.PFt=/l+D.尸耳。的内切圆半径为疗-112.（5 分）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、

5、乙的选择互不影响，则（）A.甲选择的三个点构成正三角形的概率为三5B.甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为5c.乙选择的三个点构成正三角形的概率为37D.甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为口3 5三、填空题：本大题共4个小题，每小题5 分，共 2（）分.1 3.（5 分）设（x +1）=41，则 q+%+%+%=1 4.（5分）数学史上著名的“冰雹猜想”指的是：任取一个正整数机，若用是奇数，就将该数乘3 再加上1；若加是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1 4 2 1 .按照上述猜想可得到一个以，为首项的无穷数列记作&

6、,q满足的递推关系为q =机，。向=才 吗为偶数如取利=6,根据上述运算法尻,+1,为奇数则得出q=1,0=4.若 =1 ,则 满 足 条 件 的 一 个 机 的 值 为.1 5.（5分）已知一张纸上画有半径为2的圆O,在 圆 0内有一个定点A ,且 0 4 =1,折叠纸片，使圆上某一点A刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A 取遍圆上所有点时，所有折痕与。4 的交点形成的曲线记为C,则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为.16.（5分）已知向量方，b,1 满足|一+方|=3,修|=1且小5+1=（反+5）.乙,则|a-6|的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共 7（

7、）分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况，随机选取了 10 0 名学生进行调查，其中男生有6 0 人.下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图.将日均校内体育锻炼时间在 6 0,8 0 内的学生评价为“锻炼时间达标”,已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生.（1）若该校共有2 0 0 0 名学生，请估计该校“锻炼时间达标”的学生人数；（2）根据样本数据完成下面的2 x 2 列联表，并据此判断是否有9 0%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关？n(ad-be)是否达标性别锻炼时间达标锻炼时间未

8、达标合计男女合计(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2.k)0.100.0 5 00.0 100.0 0 1k2.7 0 63.8 4 16.6 3 510.8 2 818.（12 分）如图，。为 A A B C 中 8 C 边上一点，Z B =6 0 .A B=4,A C =46.给出如下三种数值方案：AD=y/5；A D =yf5：AD=2币.判断上述三种方案所对应的A A B Z）的个数，并求A A B Z）唯一时，%的长.19.（1 2 分）如图，在四棱锥P-A 6 C D 中，四边形A 8 a 为矩形，平面A 8 C ）,P D =C D =1,4 与平面A B C Z）所

9、成角为3 0。，M 为 上 一 点 且 CM _ L A 4 .(1)证明：P A A.D M；(2)设平面与平面P B C 的交线为/,在/上取点N使 所=D 4,。为线段PN上一动点，求平面ACQ 与平面PD C所成二面角的余弦值的最大值.2 0.(12 分)已知函数/(幻=竺*上的单调递增区间是 0,1,极大值是3.e e(1)求曲线y =/(x)在点(-1,f (-1)处的切线方程;(2)若存在非零实数%,使得f(x 0)=l,?0,求/(x)在区间(-8,加 上的最小值.2 1.(1 2 分)己知一个半径为3的圆的圆心在抛物线C:y 2=2 p x(p 0)上，该圆经过坐标原2点且与

10、C的准线/相切.过抛物线C的焦点P 的 直 线 交 C于 A,3两点，过弦回的中点作平行于x 轴的直线与直线OA,OB,/分别相交于尸，Q,N三点.(1)求 C的方程；(2)当|PQ|=g|M N|时，求直线AB的方程.2 2.(1 2 分)设。“=/，瓦=工 5“为数列”“？的前项和，令力(x)=S“-l，其中x eR,nnw N.(1)当x =2 时，数列 中是否存在三项，使其成等差数列？并说明理由；证 明：对 D N+,关于x的方程力(x)=0 在1 上有且仅有一个根乙；(3)证明：对 VpwN*,由(2)中方构成的数列%满足0 c x 一 七+夕 ，.2021年山东省潍坊市高考数学模拟

11、试卷(二模)参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5 分)s i n 2 0 s i n 1 0 0 -c o s 2 0 c o s 1 0 0 =()A 白 R 1 c 1 62 2 2 2【解 答】解：s i n 2 0 s i n 1 0 -c o s 2 0 c o s 1 0 =-(c o s 2 0 c o s 1 0 -s i n 2 0 s i n 1 0 )=-c o s(2 0 +1 0 )=-c o s 3 0 =-2故选：A.2.(5 分)在复数范围内，已知，q 为实数

12、，1-i 是关于x的方程d +p x +q =0的一个根，则 p +4 =()A.2 B.1 C.0 D.-1【解答】解：因为1-i 是关于x的方程V+p x +q =0的一个根，则 1+i 是方程f+p x +g=0的另一个根，由韦达定理可得l +i +(j)=_ p,(1 +0(1-/)=,解得=-2,4 =2,所以p+q=。.故选：C.3.(5 分)已知集合 4 =0 ,B=xx af若 713=人，则实数的取值范围是()A.(-c o,0)B.(-0 0,0 C.(0,+a o)D.0,+o o)【解答】解：,.4|8=4，/.A c B,且 4=0 ,B =xx a9.的取值范围是

13、0,+o o).故选：4.（5 分）2 0 2 1 年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立1 0 0 周年革命歌曲展演.现从 歌唱祖国 英雄赞歌 唱支山歌给党听 毛主席派人来4首独唱歌曲和 没有共产党就没有新中国 我和我的祖国2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（）A.1 4 B.4 8 C.72 D.1 2 0【解答】解：根据题意，在 2首合唱歌曲中任选1 首，安排在最后，有 2种安排方法，在其他5 首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有 反=6 0 种安排方法，则有2 *6 0 =1 2 0 种不同的安排方法，故选：D.5

14、.（5 分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为/g E =4.8+L 5M.2 Ol l年 3月 1 1 日，日本东北部海域发生里氏9.0 级地震，它所释放出来的能量大约是2 0 0 8年 5月 12日我国汶川发生里氏8.0 级地震所释放能量的少倍？（参考数值：V1 0 3.1 6 2,师 a 2.1 54）（）A.3 1.6 B.1 5.8 C.4.6 D.1.5【解答】解：设日本地震释放的能量为耳，汶川地震释放的能量为刍，则由已知可得心酒=4.8+1.5x 9=1 8.3,lgE2=4.8+1.

15、5x 8=1 6.8,所 以&=1 0 电 3,2=IO16,Ijjlj A =1 2 2 1 =i o1-5=10 1 0 x 3.1 6 2 =3 1.6 2 ,所以日本地震释放的能量约为汶川地震释放的能量的3 1.6 倍，故选：A.6.（5 分）关于函数f（x）=1 2 -a，x 2,其中”，h&R 给出下列四个结论：b-x,x.2甲：6是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0;T：方程f（x）=g有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解答】解：当X 0,2 时，f(x)=2 -。为增函数，当x w 2,+

16、8)时，/(x)=6-x 为减函数，故 6和 4只有一个是函数的零点,即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙、丁均正确.由两零点之积为0,则必有一个零点为0，则 f(0)=2-=0,得 a =l,若甲正确，则/(6)=0,即。一 6 =0,6 =6,可得f (x)=,2X-1,()x 2 ,.56-由0 x 2 x.2可 得 2 一二或6-4解得x =/o g 2 g 或 x =g,方程/(x)=|有两个根，故丁正确.故甲正确，乙错误.故选：B.7.(5 分)已知函数/(x)=s i n(2 x +。)，若函数 g(x)=/(x)-a(a e R)在 x e 0 ,言 上恰有三个零点X，X

17、2,X j C X j X2X)1则工 3-%的值是()ITTTA.-B.-C.4 D.2兀4 2【解答】解：.当x 0,2 x +-e -,2 3 3 327r函数 g(x)=/(x)-a(a wR)在 x c 0 ,j-上恰有三个零点%,x2,x2 的中点记为O,连接O C,OA,分别取 M C D与 M B D的外心 与F,过这两点分别作平面8DC、平面/W 3 的垂线，交于点P,则 P 就是外接球的球心，连接OP,CP,NAOC为二面角A-M-C 的平面角为60。,则AAOC是等边三角形，其边长为6 x =：3A/3 ,2O=-OC=-X3 73 =/3 ,3 3在 APQE中，ZPO

18、E=30P,A P=(9F tan3 0o=/3 x =1.3又 CE=|OC=2 6 PC=R=4 PE2+CE?=J f +(2面=屈,则四面体C 的外接球的表面积为4万x(炉 了=52万.二、多项选择题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得()分.9.(5 分)定 义 在 R 上的奇函数f(x)满足/(x+2)=f(2-x),且在 0,2 上是增函数，下面判断正确的是()A.f(x)的周期是4B.f (2)是函数的最大值C./(x)的图象关于点(-2,0)对称D./(x)在 2,6

19、 上是减函数【解 答】解：定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f(x)满 足/(x+2)=/(2-x),得/(%+2+2)=/(2 -x-2)=/(-x)-/(%),即 f(x+4)=_/(x),则 f x+8)=-f(x+4)=4-/(x)=f(x)./(X)的周期为8.函数/(x)的图形如下：由图可得，正确答案为：B,D.故选：BD.10.（5 分）已知a 0,b 0,a+2b=l,下列结论正确的是（）A._1+2 的最小值为9 B.+从的最小值为更a b5C.Iog2 +log28 的最小值为一3 D.2+4”的最小值为2&【解答】解：因为a 0,b0,a+2b=，所以1 I 2 二（z

20、 1 I 2）（a+.2b）.=5 2b 2a,1 2b 2a 八H-1 .5+2 J ,=9,a h a h a h N a b当且仅当a=6 时取等号，工+2 取得最小值9,A 正确；a ba2+b2=b2+（l-2b了=5从 _ 劭+=5 s _|）2+1,根据二次函数的性质可知，当8=2 时，上式取得最小值1，B 错误；5 5因为1 =q+2b.2y12ab,当且仅当4=2/?=，即4=,力=时取等号，2 2 4所以ab,L,8log2a+log2b=log2ab-3 ,即最大值一3,C 错误；2“+4，,.2 尺r=2夜，当且仅当4=2。=，,即 =!力=时取等号，此时2“+型取得最

21、2 2 4小值2/，D正确.故选：AD.211.（5 分）已知双曲线C:d-=1,其左、右焦点分别为冗，F2,过点心作一直线与双曲线C 的右支交于点尸，Q,且 尸,尸=0,则下列结论正确的是（）A.耳。的周长为4B.尸耳工的面积为3C.严|=+1D.的内切圆半径为-1【解答】解：如图,由双曲线方程-二=1,得/=1,尸=3,3可得c =2 ,则 丹玛|=4,由双曲线定义可得：I 尸耳|-|夕亮|=|。片|-|。6|=2,v P F;P Q =O,ZFiP Q =90,则 I P F+I 尸鸟 引耳入;处，.J PF +PF2=J2(|P 6+|P K F)一(|P6H”=1 2 x 1 6-4

22、 =2 .从而放 与 尸。的内切圆半径：r =g(|PF,+PQ-FIQ)=(PFl +PF2)-(QFl-QF2)=x2 7 x 2 =y/l-I .故耳。的内切圆半径为-1,故。正确；PF.-PF,|=2 广 r-联立 一 厂，解得|尸 耳=+1,|?乙|=疗-1,故C正确；|P|+|P K I=2 将邑 哂=白 用 1 1 尸玛1=3(0+D.(6 T)=3,故 8正确;由耳|-|出=|。I Q 6|=2，|尸耳+|PQ=|Q 耳，且|。耳|=6 +1,PF2=-,解得：|。5|=9 +3 救，QFt 1=1 1+3 7 7 .耳。的周长为1 8 +8 万，故 A 错误.故选：BCD.1

23、2.（5 分）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，则（）A.甲选择的三个点构成正三角形的概率为25B.甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为25c.乙选择的三个点构成正三角形的概率为37D.甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为口3 5【解答】解：甲随机选择的情况有C；=20种，乙随机选择的情况有C；=56种，对于A,甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有C；C；=8种，故甲选择的三个点构成正三

24、角形的概率为刍=2,故选项A 正确；10 5对于8,甲选择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：上下两点都选，中间四个点中选一个，共有C：=4 种；上下两点钟选一个，中间四个点中选相对的两个点，共有C；C；=4 种；中间四个点中选三个点，共有C：=4 种，故共有4+4+4=12种，所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为工=?,故选项8 正确；20 5对于C,乙选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四个面的中心中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有C：C；=8种，所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为刍=,

25、，故选项C 错误；56 77 4 a对于）,选择的三个点构成等腰直角三角形同上所求，共有8 +1 6 =2 4 种，概率为兰=士，5 6 7甲乙相似，则甲乙均为正三角形或均为等腰直角三角形，所以甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为2X1 +2X3 =H ；故选项。正确.5 7 5 7 3 5故选：ABD.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共2（）分.1 3.（5 分）设（x +l）4 =旬+q d，则 q+a +d+4 4=1 5 .【解答】解：,.（X+1）4 =%+/工3+%於，令 X =1 得：2 =1 6 =4）+4 +2 +。3 +4，令 X =

26、0 得：1 =，.,.%+%+/+4=1 6-1 =1 5 ,故答案为：1 5.1 4.（5分）数学史上著名的“冰雹猜想”指的是：任取一个正整数机，若 m是奇数，就将该数乘3再加上1；若加是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1 4 2 1.按照上述猜想可得到一个以根为首项的无穷数列记作&,4 满足的递推关系为4=7,%=.字 为 偶 数 如取根=6,根据上述运算法3。“+1,4 为奇数.则得出%=1,4=4,，若%=1,则满足条件的一个二的值为1 .【解答】解：若 7=1，则 4=2,5=4，%=8或 1,当。4 =8 时，q=1 6,=3 2 或 5,

27、若&=3 2 ,则 q=6 4 ；若 4=5 ,则 q=1 0 ,若 =1 时，4=2，出=4，4 =8 或 1,综上所述，?的值为1 或 8 或 1 0 或 6 4,故答案为：1 或 8 或 1 0 或 64（只需填一个）.1 5.（5分）已知一张纸上画有半径为2的圆O,在圆0内有一个定点A,且。4 =1,折叠纸片，使圆上某一点A 刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A取遍圆上所有点时，所有折痕与04的交点形成的曲线记为C,则曲线C上的点到圆O上的7点 的 最 大 距 离 为-.2【解答】解：以。4 中点为G坐标原点，所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.可知0（,0）,A

28、（-,0）,设折痕与CM 和 A4分别交于M,N两点，2 2则 MN垂直平分A 4 L .I M A F M A I，又 T AO RMO I+I,:MO+MA=2,r.M 的轨迹是以O,A为焦点，2为长轴的椭圆.的轨迹方程C 为 2+士匚=1,3曲线C 上的点到点O 距离的最大值为d =l +；=g,曲线C 上的点到圆O 上的点的最大距离为d +r=Z.2故答案为：21 6.（5分）已知向量G,b,满足|M +E|=3,|己|=1 且亦5 +l =（a+5）上,则旧-5|的取值范围是_ 口2 _ 5 _.【解答】解：,.恒+6|=3,.旧一斤=|1+点一4 无万=9 一 4 1 石，,d-b

29、+=（d+byc|（a +/?）|-|c|=3 .-4-b 2 ,:.i-4a-b 25,二 喇 万一讦 2 5,即 掇 觞-B|5 .故答案为 1,5 .四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.（1 0分）某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况，随机选取了 1 00名学生进行调查，其中男生有6 0 人.下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图.将日均校内体育锻炼时间在 6 0,8 0 内的学生评价为“锻炼时间达标”,己知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生.（1）若该校共有2 000名学生，请估计该校“

30、锻炼时间达标”的学生人数；（2）根据样本数据完成下面的2 x 2 列联表，并据此判断是否有9 0%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关？是否达标锻炼时间达标锻炼时间未达标合计性别男女合计附:K J图卷，P(K2.k)0.1 00.05 00.01 00.001k2.7 063.8 4 16.6 3 51 0.8 2 8频 率 w0.04 00.03 50.01 0一 厂 0.005 ,0 3 04 0 5()6 0 7 0 8 0【解答】解：(1)由频率分布直方图可得：在 日 均 校 内 体 育 锻 炼 时 间 在 6 0,8 0内“锻 炼 时 间 达 标”的 学 生 概 率 为：0.01 0

31、 x 1 0+0.005 x 1 0=0.1 5 ,其人数为：1 00*0.01 5 =1 5人，已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生，所以男生有1 0人.未达标人数中男生：6 0-1 0=5 0人，女生：1 00-6 0-5 =3 5人；若该校共有2 000名学生，该 校“锻炼时间达标”的学生人数为：2 000 x 0.1 5 =3 00人；(2)根据样本数据完成下面的2 x 2列联表，是否达标性别锻炼时间达标锻炼时间未达标合计男1 05 06 0女53 54 0合计1 58 51 00K?=(ai f _.=100 x(10 x3 5-50 x5)2 Q,(a+b)(c+d)(a+

32、c)(b+d)6 0 x 4 0 x 1 5 x 8 5故答案为：没有9 0%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关.1 8.(1 2 分)如 图，。为 A A B C 中BC 边上一点，Z fi=6 0,AB=4,4 C =4 6.给出如下三种数值方案：A D =-j5；A D =JT 5；A D =2币.判断上述三种方案所对应的A 4 B D 的个数，并求A 4 3 D 唯一时，B D 的长.AK I)(.【解答】解：.N 8 =60。，A B=4,过 A 作 8C 的垂线A O,垂足为O,则 A O =4 s in 60 o=4 x、-=262 49=百 =J FC(2石，4),此时满足条

33、件的三角形有2个；A )=2 x/7 (4,4 7 3),此时满足条件的A 钻。有 1 个.此时 A D2=AB2+B D2-2 AB-BD-c os 60 ,2 8 =16+BD2-2 x 4 x B D x l ,解得 8 E=6.219.(1 2 分)如 图，在四棱锥尸-y WCE中，四边形438 为矩形，P )_ L 平面A3 CZ),P D =C D =1,F 4 与平面A B C D 所成角为3 0。，为 P 8 上一点且C M J L A4 .(1)证明：P A 1.D M；(2)设平面R4 Z)与平面P 3 C 的交线为/,在/上取点N使/尔=加，Q 为线段PN上一动点，求平面

34、A C Q 与平面叨C 所成二面角的余弦值的最大值.【解答】解：(1)证明：.四边形ABCZ)为矩形，平面 ABC,:.PD VC D,ADpPD=D,AD,P D u 平面 M D,.8 1.平面 A W,平 面 皿 ,:.P A rC D,;CM VPA,CMQCD=C,CM,C O u平面CM),.P4_L 平面 CMD,.ZW u平面CWE,：.PALDM .(2)./)_ 平面ABCD,.NE4)为 孙 与平面ABCn 所成角，B4与平面 A8C)所成角为 3 0。，.-.ZPAD=30,;PD=1,:.AD=43,以。为原点，A 4为x 轴，Z5C为 y 轴，为 z 轴，建立空间直

35、角坐标系，:AD=6 PD=C D=,PN=DA,:.PN=y/3,令 PQ=/l(O麴 4 G),则(0,0,0),A点,0,0),C(0,1,0),Q(7,0,1),AC=(-73 ,1,0),C0=(2,-1,1),设万=(x,y,z)是平面AC。的一个法向量，则4 _ ,取 x=l,得为=(1,V3 ,V3-A),n CQ=A x-y+z=O平面PD C的一个法向量为沉=(1,0,0),_ 一 m-n 1cos=-=j,沆.”+(6 _ 团2 脸 氏 G,.,.当4=G 时，c o s 的最大值!，2平面AC。与平面PDC所成二面角的余弦值的最大值为.220.（12分）已知函数 幻=贮

36、 坐 的单调递增区间是0,1 ,极大值是3.(1)求曲线y=f(x)在点(一 1 ,/(-1)处的切线方程；(2)若存在非零实数玉)，使得f(%o)=l，机0，求/(x)在区间(-8 ,刈 上的最小值.【解答】解：(1)x)=贮 士 生 上，e，/、-ax2+(2 a-b)x+b-cr a)=-，.(x)的递增区间是 0,1，一奴?+(2Q-/?)X+/?-C=0 的根是 0 和 1,故b-c=0-a+2 a-b+b-c=0，故。=h=。，又/(X)的极大值是3,故/(1)=a+c=3,e e e故a=b=c=l,+,.、x2+x+l x+x故/(、)=-广(力=,e e故/(-l)=e,/X

37、-l)=-2e,则/(x)在点(-1,/(-1)处的切线方程是：y=-2 ex-e.(2)/(x)在(-co,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减,且/(0)=1,当xe(-co,0 时，/(x),=/(0)=l,若存在非零实数与，使得了(Xo)=l,则%0,0肛,小时，/(x)在(-00,0 递减，在(0,刈 递增，故/(用在区间(-00,m 上的最小值是/(0)=1,题时，/(幻在(T O,0 递 减,在(0,1)递增，在(1,涧 递减,2(.、m+/H+1故/(X)“而=J(M =-不 e21.(12分)己知一个半径为3的圆的圆心在抛物线C：y=2px(p0)上

38、，该圆经过坐标原2点且与C 的准线/相切.过抛物线C 的焦点尸的直线回 交C 于 A,3两点，过弦回的中点 M 作平行于x 轴的直线与直线Q4,0 8,/分别相交于尸，Q,N 三点.(1)求 C 的方程；(2)当|P Q|=:|M N|时，求直线4 B 的方程.【解答】解：(1)设一个半径为|的圆的圆心的坐标为(x。，%),可得y：=2 p x。，由抛物线的焦点为(勺 0),准线方程为x =-g可得看+y：=片+2%=(%+=、,解得/?=2,则抛物线的方程为V=4x；(2)由F(l,0),准线方程为x =-l,设直线A 8的方程为x =m y +l,与抛物线的方程丁=4 x 联立，可得y。_

39、4g，-4 =0 ,设),B(X2,y2),则 乂+%=4，=-4 ,苦+=帆(必+必)+2 =2 +4/，则 的 中 点 用 的 坐 标 为(1 +2/，2 m),由 N(-l,2 m),可得|M N|=2+2/，OA 的方程为y 即 y =巴，03的方程为y 即 =巴，玉 弘%必代入y =2 相,可得P(竺,2 m),。(生巨，2 m),2 2I P Q|=g|m(y -y 2)|=g|M N|=g(2 +2?2),即 为:?2(16毋+16)=J(2 +2/)2 ,解得m=土也,4所以直线45的方程为=士 注 y +1,4即为y =2 夜 x-2 及 或 y =-2 0 x +2 夜.2

40、 2.(12 分)设 q,=x,=二，S 为数列”“？,的前项和，令 4(x)=S,-l,其中 x eR,(1)当x =2 时，数列 a,中是否存在三项，使其成等差数列？并说明理由：(2)证明：对关于x的方程力(x)=0 在 x e|,1 上有且仅有一个根匹,；(3)证明：对 Wp wN*,由(2)中与构成的数列*“满足0 x,-x,”(%)=以(/+i)=0，-：f+l(x)在 x e(0,-H)单调递增,.xB+I 0,又 尢 )=-1 +怎+1 +竽=0,，,、，(，0J八fSn.(X)=1 +X H-22;-F H-(-+-p-)-2 0 ,两式相减，得，=区+厅-区)2 区+J -5)J X 严 6+J+。X“-X,(+1)2 (+p)2 区”严1 I(怎”产5 +1)2(H+p)2i._ G ,1,.*.X-X.-7+,-7 -F 4-p 3 5 +1)(n+n(n+1)(+p-1)(+p)n 7 2 4-1 n+p +n n+p n即数列 X,满足 0 x,-x,Ln得证.