2021年中考数学复习讲座3：开放性问题(含详细参考答案).pdf

《2021年中考数学复习讲座3：开放性问题(含详细参考答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年中考数学复习讲座3：开放性问题(含详细参考答案).pdf（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2021年中考数学复习专题讲座三：开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题.这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中.根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类.二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需

2、探求与结论相对应的条件.解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求.例 1（2020义乌市）如图，在AABC中，点 D 是 BC的中点，作射线A D,在线段AD及其延长线上分别取点E、F,连接CE、B F.添加一个条件，使得BDFgZXCDE,并加以证明.你添加的条件是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.（不添加辅助线）.考点：全等三角形的判定。810360专题：开放型。分析：由已知可证NECD=Z FB D,又NEDC=

3、Z FD B,因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等.故添加的条件是：DE=DF（或 CEBF或/ECD=/D BF或NDEC=NDFB 等）；解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或 CEBF或NECD=/DBF或/D EC=/D FB 等）.（2）证明：在4B D F和4C D E中BDXD ZEDC=Z FDBDE=DF,.BDFACDE.点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.考点二：结论开放型:给出问题的条件，让

4、解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题.这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍.例 2（2020宁德）如图，点 E、F 分别是AD上的两点，ABCD,AB=CD,AF=DE.问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明.考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质：平行线的判定与性质。810360专题：探究型。分析：CE和 BF的关系是CE=BF（数量关系），CEBF（位置关系），理由是根据平行线性质求出/A=/D,根据SAS证4ABF丝ZDC

5、E,推出CE=BF,NAFB=/DEC即可.解答：CE和 BF的数量关系是CE=BF,位置关系是CEBF,证明：ABCD,/.ZA=ZD,.在ZXABF 和4DCE 中 A B=C D,Z A=Z D A F=D E/.ABFADCE,，CE=BF,NAFB=NDEC,，CEBF,即 CE和 BF的数量关系是CE=BF,位置关系是CE/7BF.点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，主要考查学生运用性质进行推理的能力.考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或

6、特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断.例 3（2020广元）如图，在AAEC和DFB中，/E=/F,点 A、B、C、D 在同一直线上，有如下三个关系式：AED F,AB=CD,CE=BF.（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果，那么”）（2）选 择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由.E考点：全等三角形的判定与性质。810360专题：开放型。分析：(1)如果作为条件，作为结论，得到的命题为真命题；如果作为条件，作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可；(2)若 选 择(1)

7、中的如果，那么，由 AE与 DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AB=DC,等式左右两边都加上B C,得至UAC=DB,又NE=N F,利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等得到CE=BF,得证;若选择如果，那么，由 AE与 FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由/E=N F,CE=BF,利用AAS可得出三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AC=BD,等式左右两边都减去B C,得至ljAB=CD,得证.解答：解：(1)如果，那么；如果，那么；(2)若选择如果，那么，证明：AEDF,AZA=ZD,

8、VAB=CD,；.AB+BC=BC+CD,即 AC=DB,在4A C E和aD B E中，N E二N F N A=N D，A C=D B.,.ACEADBF(AAS),，CE=BF；若选择如果，那么，证明：；AEDF,.,.ZA=ZD,在4A CE和4D B F中，ZE=ZF 0,解得x l,故答案是2（答案不唯一）.点评：本题考查了绝对值，解题的关键是知道负数的绝对值等于其相反数，非负数的绝对值等于它本身.2.（20 20 宁波）写出一个比4小的正无理数.考点：实数大小比较。专题：开放型。分析：根据实数的大小比较法则计算即可.解答：解：此题答案不唯一，举例如：&、兀等.故答案为：兀（答案不唯

9、一）.点评：本题考查了实数的大小比较，解题的关键是理解正无理数这一概念.3.（20 20 连云港）写一个比百大的整数是.考点：实数大小比较；估算无理数的大小。专题：开放型。分析：先估算出右的大小，再找出符合条件的整数即可.解答：解：.符合条件的数可以是：2（答案不唯一）.故答案为：2（答案不唯一）._点评：本题考查的是实数的大小比较，根据题意估算出右的大小是解答此题的关键.4.（20 20 天津）将正比例函数y=-6 x 的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是（写出一个即可）.考点：一次函数图象上点的坐标特征。8 1 0 36 0专题：开放型。分析：根据“上加下减”的原则在函数

10、解析式后加一个大于0的数即可.解答：解：上加下减 的原则可知该函数的解析式可以是：y=-6 x+l （答案不唯一）.故答案为：y=-6 x+l （答案不唯一）.点评：本题考查了一次函数的性质，只要比例系数k相同，则直线平行，保证k不变的条件下，b的正负决定平移的方向.5.（20 20 益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：考点：实数范围内分解因式.专题：开放型。分析：显然答案不唯 一.只需符合平方差公式的应用特征即可.解答：解：答案不唯一，如x2-3=x2-（灰）2=（x+）（X -）.故 可 填x2-3.点评：此题考查在实数范围内分解因式，属开放型试题，比较简单.6.（2

11、020湛江）请写出一个二元一次方程组.,使它的解是x=2y=-1考点：二元一次方程组的解。专题：开放型。分析：根据二元一次方程解的定义，可知在求解时，应先围绕x=2,y=-l列一组算式，然后用x,y代换即可列不同的方程组.答案不唯一，符合题意即可.解答：解：此题答案不唯一，如：X+y=1，x -y=3 x+y=l,x -尸3+得：2x=4,解 得:x=2,将x=2代入得：y=-1,.-个 二 元-次 方 程 组 付 尸1的解为：（x=2.x _ y=3 y=1故答案为：此题答案不唯一，如：Jx+y=1.x -y=3点评：本题主要考查了二元一次方程组的解的定义.此题属于开放题，注意正确理解定义是

12、解题的关键.7.（2020镇江）写出一个你喜欢的实数k的值，使得反比例函数y=二的图象在x每一个象限内，y随x的增大而增大.考点：反比例函数的性质。810360专题：开放型.分析：根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围，在此取值范围内找出一个符合条件的k的值即可.解答：解：.反比例函数y=E二的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，xAk-2 0,解得 k2.k可以为：1 （答案不唯一）.故答案为：1 （答案不唯一）.点评：本题考查的是反比例函数的性质，根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围是解答此题的关键.8.（2 0 2 0 陕西）在同一平面直角坐标系中，若一个反

13、比例函数的图象与一次函数y=-2 x+6的图象无公共点，则这 个 反 比 例 函 数 的 表 达 式 是 （只写出符合条件的一个即可）.考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：开放型。分析：两个函数在同一直角坐标系中的图象无公共点，其 k要满足-2 x 2 -6 x -k=0,（）即可.解答：解：设反比例函数的解析式为：y=KX（y=-2x+6 一次函数y=-2 x+6 与反比例函数y=上图象无公共点，则 k,xy=x/.-2 x2-6 x -k=0,即二（-6）2-8 k 22则这个反比例函数的表达式是y=?；X故答案为：x点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.解题的关键是：两

14、个函数在同一直角坐标系中的图象无公共点，其 k要满足-2 x 2-6 x-k=0,A 0,反比例函y=-x数图象在一、三象限；（2）k 0 时，y 随 x 的增大而减小，这 个 函 数 的 解 析 式 是 （写出一个即可）.考点：反比例函数的性质。专题：开放型。分析：设此函数的解析式为y=X（k 0）,再 把（1,1）代入求出k 的值即可.X解答：解：设此函数的解析式为y=X（k 0）,X,此函数经过点（1,1）,k=l,答案可以为：y=（答案不唯一）.X故答案为：y=l（答案不唯一）.x点评：本题考查的是反比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一.11.（2020三明）如图，在AA BC

15、 中，D 是 BC边上的中点，ZB D E-ZC D F,请你添加一个条件，使 DE=DF成立.你添加的条件是.（不再添加辅助线和字母）考点：全等三角形的判定与性质。专题：开放型。分析：答案不唯一根据AB=AC,推出N B=N C,根据ASA证出ABED和4C FD全等即可；添 力 口/B E D=/C D F,根据AAS即可推出4B E D 和4C FD 全等；根据/AED=NAFD推出Z B=Z C,根据 ASA 证BEDCFD 即可.解答：解：答案不唯一，如 AB=AC或/B=N C 或/B E D=/C F D,或/A E D=/A F D 等；理由是：；AB=AC,.ZB=ZC,根据

16、ASA证出B E D g/C F D,即可得出DE=DF；由N B=/C,ZBDE=ZCDF,BD=DC,根据 ASA 证出 ABED丝ZCFD,即可得出 DE=DF；由 NBED=NCFD,/BDE=NCDF,BD=DC,根据 AAS 证出 ABED岭ZXCFD,即可得出DE=DF；VZAED=ZAFD,ZAED=ZB+ZBDE,ZAFD=ZC+ZCDF,又：NBDE=/CDF,.*.ZB=ZC,即由NB=NC,/BD E=/CD F,BD=DC,根据 ASA 证出B ED C FD,即可得出 DE=DF；故答案为：答案不唯一，如 AB=AC或NB=NC或NBED=/CFD或NAED=NAF

17、D.点评：本题考查了全等三角形的判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目.12.（2020盐城）如图，在四边形ABCD中，已知ABDC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只 需 再 加 上 的 一 个 条 件 是.（填上你认为正确的一个答案即可）考点：矩形的判定；平行四边形的判定。810360专题：证明题；开放型。分析：根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案.解答：解：添加的条件是NA=90。，理由是：VABDC,AB=DC,二四边形ABCD是平行四边形，VZA=90,平行四边形ABCD是矩形，故答案为：ZA=90.点评：本

18、题考查了平行四边形的判定和矩形的判定的应用，能熟练地运用判定定理进行推理是解此题的关键，此题是一道比较好的题目.13.（2020佳木斯）如图，在平行四边形ABCD中，点 E、F 分别在边BC、AD ,请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）.考点：平行四边形的判定与性质。810360专题：开放型。分析：根据平行四边形性质得出ADB C,得出AFC E,根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形推出即可.解答：解：添加的条件是AF=CE.理由是：四边形ABCD是平行四边形，ADBC,；.AFCE,VAF=CE,二四边形AECF是平行四边形.故答案为：AF=CE.点评：本题考

19、查了平行四边形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，本题题型较好，是一道开放性的题目，答案不唯一.15.（2020郴州）如图,D、E 分别是 ABC的边AB、AC上的点，连接DE,要使AD EsaACB,还需添加一个条件（只需写一个）.考点：相似三角形的判定。810360分析：由/A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得可以添加NADE=/C或/A E D=/B；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 可以添 力 口 AD：AC=AE：AB或 ADAB=AEA C,继而求得答案.解答：解：是公共角，.当NADE=NC或NA ED=/B时，A

20、ADE-AACB（有两角对应相等的三角形相似），当 AD：AC=AE：AB或 ADAB=AEAC时，AADEAACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），要使ADES/A C B,还需添加一个条件：答案不唯一，如NADE=NC或NAED=NB或AD：AC=AE：AB 或 ADAB=AEAC 等.故答案为：此题答案不唯一，如/A D E=/（:或/A E D=/B 或 AD：AC=AE：AB或ADAB=AEAC 等.点评：此题考查了相似三角形的判定.此题属于开放题，难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用.三、解答题

21、16.（2020张家界）先化简：空二2.乌 _+1，再用一个你最喜欢的数代替a 计算结果.a2-4 a+2 L考点：分式的化简求值。专题：开放型。分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a 的值代入进行计算即可.解答：解：原式=,2 a：2)x 亘出+(a+2)(a-2)2aJ+la*.*ar0,a抖2,.a 可以等于1,当 a=l时，原式=1+1=2.点评：本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意a 不能取0、2、-2.17.(2020 新疆)先化简(二+一,然后从-2SXS2的范围内选择一个合x-l x+1 2x2-2适的整数作为x 的值代入求值.考点：分式的化简求

22、值。专题：开放型。分析：将原式被除式的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分母提取2 并利用平方差公式分解因式，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后从已知解集中找出整数解为-1,-2,I,2,0,但是当x=-1,1,0 时原式没有意义，故 x 取 2 或-2,将 x=2或-2 代入化简后的式子中，即可求出原式的值.解答：解：()-T-x-1 x+1 2x2-2x+1-x+1+x(x+1)(x-1)2(x+1)(x-1)=_ 2.2(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)x-,4,X由解集-2WXW2中的整数解为：-2,-1,0,1,2,

23、当 x=l,-1,0 时，原式没有意义；若 x=2时，原式二曳2；若 x=-2 时，原式=-2.2-2点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，本题x 的值不能取-1,1,0,做题时要注意.18.（2020吉林）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a,b 两情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里,于是返回了家里找到了作业本再去学校;情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进.（1）情境a,b 所 对 应 的 函 数 图 象 分 别 是、（填写序号）;（2

24、）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境.考点：函数的图象。专题：推理填空题；开放型。分析：（1）根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案；（2）把图象分为三部分，再根据离家的距离进行叙述，即可得出答案.解答：解：（1）.情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0,此时都符合，又去学校，即离家越来越远，此时只有返回，.只有符合情境a；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，,只有符合，故答案为：，.（2）情境是小芳离开家不久，休息了一会儿

25、，又走回了家.点评：主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目.19.（2020衢州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F 是对角线BD上的两点，且 BE=DF,连接AE、C F.请你猜想：AE与 CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：探究型。分析：由四边形ABCD是平行四边形，即可得ABCD,AB=CD,然后利用平行线的性质,求得NABE=NCDF,又由BE=DF,即可证得4ABE丝A C D F,继而可得AE=CF.解答：解：猜想：AE=CF.证明：四边形AB

26、CD是平行四边形，ABCD,AB=CD,/.ZABE=ZCDF,在4A B E和4C D F中，A B=C D-Z A B E=Z C D F B E=D F.,.ABEACDF(SAS),/.AE=CF.点评：此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质.此题比较简单，注意掌握平行四边形的对边平行且相等，注意数形结合思想的应用.20.(2020佳木斯)在菱形ABCD中，ZABC=60,E 是对角线AC上一点，F 是线段BC延长线上一点，且 CF=A E,连接BE、EF.(1)若 E 是线段AC的中点，如 图 1,易证：BE=EF(不需证明)；(2)若 E 是线段AC或 AC延长线上的任

27、意一点，其它条件不变，如图2、图 3,线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明.A-rD A-D 4A-iD考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。810360专题：综合题。分析：(1)根据菱形的性质结合NABC=60。可得4A B C是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得/CBE=/ABC=30。，AE=CE,所以CE=CF,然后等边对等角的性质可得/F=/C E F,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出NF=30。，从而得到NCBE=NF,根据等角对等边的性质即可证明；(2)图 2,过点E 作 EGB C,

28、交 AB于点G,根据菱形的性质结合/ABC=60。可得4ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到AB=AC,ZACB=60,再求出AAGE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AG=AE,从而可以求出BG=CE,再根据等角的补角相等求出NBGE=/ECF=120。，然后利用“边角边”证明ABGE和4E C F全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；图 3,证明思路与方法与图2 完全相同.解答：证明：(1)四边形ABCD为菱形，AB=BC,又；NABC=60,/.ABC是等边三角形,：E 是线段AC的中点，/.ZCBE=1ZABC=3O,AE=CE,2VAE=CF,；.CE=CF,.,.

29、ZF=ZCEF,NF+NCEF=NACB=60。，.,./F=30,.,.ZCBE=ZF,/.BE=EF；（2）图 2：BE=EF.（1 分）图 3：BE=EF.（1 分）图 2 证明如下：过点E 作 EGB C,交 AB于点G,.四边形ABCD为菱形，；.AB=BC,又,.NABC=60。，/.ABC是等边三角形，；.AB=AC,NACB=60。，（1 分）又.，EGBC,.,.ZAGE=ZABC=60,又./BAC=60。，.二 AGE是等边三角形，（1分），AG=AE,，BG=CE,.（1 分）又：CF=AE,；.GE=CF,X V ZBGE=ZECF=120,/.BGEAECF（SAS

30、）,（2 分），BE=EF；（1 分）图 3证明如下：过点E 作 EGBC交 AB延长线于点G,四边形ABCD为菱形，AB=BC,又；NABC=60。，:ABC是等边三角形，.,.AB=ACZACB=60,.（1 分）又；EGBC,.,.ZAGE=ZABC=60,又；NBAC=60。，.AGE是等边三角形，（1分），AG=AE,，BG=CE,.(1 分)又：CF=AE,，GE=CF,又,:ZBGE=ZECF=60,.,.BGEAECF(SAS)点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键.21.（2020

31、朝阳）如图，在四边形ABCD中，E 是 BC边的中点，连接D E并延长，交 AB的延长线于F 点，AB=BF,请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形 ABCD为平行四边形，请证明.你添加的条件是.考点：平行四边形的判定：全等三角形的判定与性质。810360分析：由题目的已知条件可知添加NF=NCD E,即可证明aD EC咨FEB,从而进一步证明DC=BF=AB,且 DCA B,进而证明四边形ABCD为平行四边形.解答：解：条件是：ZF=ZCDE,理由如下：VZF=ZCDE，CDAF在4D EC 与4FEB 中，Z D C E=Z E B FB C=E FAAABCADE

32、F(SAS),/.Z 1=Z 2；情况二：题设：；结论：.证明：在AABC和4D EF中，A B=D E,N B=N E，Z 1=Z 2.,.ABCADEF(AAS),，BC=EF,ABC-FC=EF-FC,即 BF=EC；情况三：题设：结论：.证明：BF=EC,，BF+CF=EC+CF,即 BC=EF,在AABC和4D EF中，Z B=Z E；.BD=BC-DC=2-我，.当4A D E是等腰三角形时，BD的长的长为1或 2-圾.点评：本题考查了相似形综合题：运用相似比进行线段的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质；学会运用分类讨论的思想解决数学问题.1.列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）

33、审题：弄清题意.（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系.（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式 子，然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解方程：解所列的方程，求出未知数的值.(5)检 验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.2.和差倍分问题：增 长 量=原 有 量 义 增 长 率 现在量=原有量+增长量3.等积变形问题：常见几何图形的面积、体 积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变.圆柱体的体积公式 V=底 面 积X高=S h=N h长方体的体积 V=长X宽X高=2血4 .数字问题一 般可设个位数字为a,十 位

34、 数 字 为b,百 位 数 字 为c.十位数可表 示 为1 0 b+a,百位 数 可 表 示 为1 0 0 c+1 0 b+a.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.5 .市场经济问题(1)商 品 利 润=商 品 售 价 一 商 品 成 本 价(2)商 品 利 润 率=给 曾 缥商品成本价X 1 00%(3)商品销售额=商品销售价X商品销售量(4)商 品 的 销 售 利 润=(销 售 价 一 成 本 价)义 销 售 量(5)商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如 商 品 打8折出售，即按原标价的8 0%出售.6 .行程问题：路程=速度X时间 时间=路程+速度 速度=路

35、程个时间（1）相遇问题：快行距十慢行距=原距（2）追及问题：快行距一慢行距=原距（3）航行问题：顺 水（风）速度=静 水（风）速度+水 流（风）速度逆 水（风）速度=静 水（风）速度一水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系.7 .工程问题：工作量=工 作 效 率X工作时间完成某项任务的各工作量的和=总工作量=18.储蓄问题利润=每 个 期 的 利 息义1 00%利息=本金X利率X期数本金实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题【变式1】甲、乙两人相距3 6 千米，相向而行，如果甲比乙先走2 小时，那么他们在

36、乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走2 小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x,y 千米/时，依题意得：（2.5+2）x+2.5y=363x+（3+2）y=36解得：x=6,y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。【变式2】两地相距2 8 0千米，一艘船在其间航行，顺流用1 4 小时，逆流用2 0小时，求船在静水中的速度和水流速度。解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时，则水流速度y千米/小时，有：20(x-y)=28014(x+y)=280解得：x=17,y=3答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水

37、流速度3千米/小时，类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.解：设甲、乙两公司每周完成工程的X 和y,则1 L-11 X-./+7-6 得.1 0 故=(周)=周44 z+9H y=11 y=I 10 15(I 15即甲、乙完成这项工程分别需10周，15周又设需付甲、乙每周的工钱分别为0元，b万元则36a+6”5.2 得此时（叽=6 乎）4a+9b-4

38、.8,_ 4 15b=4（万兀）15比较知，从节约开支角度考虑，选乙公司划算类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题【变式1 (2 01 1 湖南衡阳)李大叔去年承包了 1 0亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利1 8 000元，其中甲种蔬菜每亩获利2 000元，乙种蔬菜每亩获利1 5 00元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设甲、乙两种蔬菜各种植了 x、y亩，依题意得：x+y=102000 x+1500y=18000解得：x=6,y=4答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了 6 亩、4 亩【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6 万元，其进价和售价如下表：A

39、B进 价（元/件）12001000售 价（元/件）13801200（注：获 利=售 价 一 进 价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；解：设购进A 的数量为x 件、购进B 的数量为y 件，依据题意列方程组1200 x+1000y=360000（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000解得 x=200,y=120答：略类型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 4 000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.2 5%；第二种，三年期整存整取，这种

40、存款银行年利率为 2.7 0%.三年后同时取出共得利息3 0 3.7 5 元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？W：设 X为第种存款的方式，丫第二种方式存款，则X+Y=4000X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75解得：X=1500,Y=2500答：略。类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题【变 式 1】现 有 190张铁皮做盒子，每张铁皮做8 个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？解：设 x 张做盒身，y 张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个x+y=1908x=22y

41、/2解得 x=110,y=80即 110张做盒身，80张做盒底【变式2】某工厂有工人6 0人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。解:设生产螺栓的工人为x 人,生产螺里的工人为y 人x+y=6028x=20y解得 x=25,y=35答：略【变式3 一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？W：设用X 立方米做桌面，用丫立方

42、米做桌腿X+Y=5.(1)50X：300Y=1：4.解得：Y=2,X=5-2=3答：用 3 立方米做桌面，2 立方米的木料做桌腿。类型六：列二元一次方程组解决一增长率问题【变式2】某城市现有人口 4 2万,估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。解：设该城市现在的城镇人口有x万人，农村人口有v万人。x+y=420.8%xX+l.l%xY=42x1%解这个方程组，得：x=14,y=28答：该市现在的城镇人口有14万人，农村人口有28万人。类型七：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题【变 式1 略【变式2】游泳池中有一群小朋友，男

43、孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红 色 的 多 1 倍，你 知 道 男 孩 与 女 孩 各 有 多 少 人 吗？解：设：男有X 人，女有丫人，则X-1=Y2(Y-1)=X解 得:x=4,y=3答：略类型八：列二元一次方程组解决一一数字问题【变 式 1一个两位数，减去它的各位数字之和的3 倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5,余数是1,这个两位数是多少？解：设这个两位数十位数是x,个位数是y,则这个数是(10 x+y)10 x+y-3(x+y)=23(1)10 x+y=5(x+y)+1(2)由(1),(2)

44、得7x-2y=235x-4y=1解 得:x=5y=6答：这个两位数是56【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？解：设个位X,十位丫，有X-Y =5(10X+Y)+(10+X)=143即X-Y =5X+Y=13解得：X=9,Y=4这个数就是49【变 式 3】某 三 位 数，中 间 数 字 为 0,其 余 两 个 数 位 上 数 字 之 和 是 9,如果百位数字 减 1,个 位 数 字 加 1,则 所 得 新 三 位 数 正 好 是 原 三 位 数 各 位 数 字 的 倒 序 排

45、列，求原 三 位 数。解：设原数百位是x,个位是y 那么x+y=9x-y=1两式相加得到 2x=10=x=5=y=5-1=4所以原数是504类型九：列二元一次方程组解决一一浓度问题【变 式 1 要配浓度是45%的盐水12千克，现 有 10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设 10%的 X 克，85%的 Y 克X+Y=12X*10%+Y*85%=12*45%即：X+Y=12X+8.5Y=54解得：Y=5.6答：略【变 式 2】一 种 35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？解：800千 克 1.

46、75%的农药中含纯农药的质量为800 x1.75%=14千克含 14千克纯农药的35%的农药质量为14+35%=40千克由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40=760千克答：用 4 0 千克浓度为35%的农药添加760千克的水，才能配成浓度为1.75%的农药800千克。类型十：列二元一次方程组解决一一几何问题【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？解：设长方形的长宽分别为x 和 y 厘米，则2(x+y)=48x-3=y+3解得：x=15，y=9正方形的面积比矩形面积大(x-3)

47、(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)答：略【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2 倍 多 10m,它的周长是132m,则长和宽分别为多少？解：设草坪的长为X 1E，宽为工，贝 I2 y l0=x y=y所以宽和长分别为竽m、-y-m.类型十一：列二元一次方程组解决一一年龄问题【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.解：设小李X 岁，爷爷Y 岁，则5X=Y3(X+12)=Y+12两式联立解得：X=12 Y=60所以小李今年12岁，爷爷今年6 0 岁。类型十二：列二元一次方程组解决

48、一一优化方案问题：【变式】某商场计划拨款9 万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机5 0台，用 去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？解：Q)分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机P台，丙种电视机z台.x+y=50,x=25(I)购进甲、乙 两 种 电 视 机 上 血 8”90000一解得一x+z=5O,r =35,(H

49、)购进甲、丙两种电视机15 0 G x+2500y=90000-解得&=6J y+z=50,Jx=87.5,(叫购进乙、丙两种电视机12102500Z=90000解得-3 7 5(不合实际，舍去)故商场进货方案为购进甲种2 5 台和乙种2 5 台；或购进甲种3 5 台和丙种1 5 台.(2)按方案(I)，获利 150 x25+200 x25=8750(元)；按方案(口)，获利 150 x35+250 x l5 =9000(元).二选择购进甲种3 5 台和丙种1 5 台.三、列方程解应用题1 .将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做 3 0 分钟，然后甲、

50、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？2 .兄弟二人今年分别为1 5 岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2 倍?3 .将一个装满水的内部长、宽、高分别为3 0 0 毫米，3 0 0 毫米和8 0 毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为2 0 0 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米，%Q3.1 4).4 .有一火车以每分钟6 0 0 米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多 5 秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短5 0 米，试求各铁桥的长.5 .有某种三色冰淇淋5 0 克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5,这种三色