2021年新高考数学模拟试卷37.pdf

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1、2021年新高考数学模拟试卷（37）选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.（5 分）已知集合 4=0,1,2,3,集合 8=x|x|W 2,则 AA8=（）A.0,3 B.0,1,2 C.1,2 D.0,1,2,3）2.（5 分）已知i是虚数单位，复数z 满足a=1 t,则2=（）A.l+5z B.-1-5/C.1 -5 i D.-l+5z3.（5 分）设命题p：所有正方形都是平行四边形，则p为（）A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形4.（5 分）2010-2018 年之间，受益于基础设施建

2、设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态.根据该折线图，下列结论正确的个数为（每年市场规模量逐年增加；增长最快的一年为2013 2014；这 8 年的增长率约为40%；2 0 1 4 年 至 2018 年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳十亿美元8070605040302010059 7 63.555?56 56.945.3 48.9 47.6 48.5Z _ _ -1-1-1-1-1-1-1-1 年）2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

3、2017 2018一 按 营 收 划分之全球连接器市场规模A.1B.2C.3D.45.（5 分）青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展,高度重视农村义务教育”精神，现有5 名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1 人，则恰好有2 名大学生分配去甲学校的概 率 为()6.(5 分)函 数 f G)=，+*的图象只可能是()7.(5 分)矩形ABC。中，B C=2,沿对角线AC将三角形AOC折起，得到四面体4-8C。，四面体4-BC。外接球表面积为16TT,当四面体A-BC的体积取最大值时，四面体A-BCD的表面积为()/O

4、Q_/OQ_A.4V3+2 B.4A/3+739 C.2V3 H D,2/3+-398.(5 分)/(x)是定义在R 上的奇函数，当x 0 时，(，+1)/(x)+2xf(x)0 的解集是()A.(1,+8)B.(-1,0)U(1,+8)C.(-1)D.(-o0,-1)U(0,1)多 选 题(共 4 小题，满分20分，每小题5 分)9.(5 分)给出下列命题，其中正确的命题有()A.若“6 R,则(a+1)i 是纯虚数B.随机变量XN(3,22),若 X=2n+3,则。(可)=1C.公共汽车上有10位乘客，沿途5 个车站，乘客下车的可能方式有IO、种D.回归方程为，=0.85%-85.71中，

5、变量y 与 x 具有正的线性相关关系E.P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,则 P(A|B)=0.4x2 y210.(5 分)已知双曲线良一 公=1(Q 0,b0)的左、右 焦 点 分 别 为 点 M 在双曲线的左支上，若 21Mb2|=5|MA|,则双曲线的离心率可以是()7 5A.3 B.-C.2 D.一3 31 1.（5分）已知函数/（x）=2 s ir t ic o s x -2 s in2x,给出下列四个选项，正确的有（）A.函数/（X）的最小正周期是7 TB.函数”x）在区间有，等 上 是 减函数C.函 数 的 图 象 关 于 点（一，0）对称1TCD.函数f（

6、x）的图象可由函数、=&s in2 x 的图象向右平移 个单位，再向下平移1 个单位得到.1 2.（5分）已知正方体AB C。-4 B 1 G Q 1 的棱长为1,E是。功 的 中点，则下列选项中正确 的 是（）A.A C IB iEB.B iC 平面 AiB O1C.三棱锥C,-B C E的体积为孑D.异面直线B iC 与 BO所成的角为4 5 三.填 空 题（共4小题，满分20分，每小题5分）1 3.（5 分）已知向量之=（1,1）,b=（jn,2）,且a（a+2b）,则m的值等于.1 4.（5分）函数/（x）=喈 在 点 P （1,/（I）处的切线与直线+y-3=0 垂直，则 a1 5.

7、（5分）抛物线j=6y的焦点到直线3 x+4 y -1 =0的距离为.1 6.（5分）已知数列&满足对V/,6 N ,都 有 +”=斯+,成立，a7=p函数/（x）-sin2x+4 c o s 2 1,记（即），则数列）%的前 1 3 项和为.四.解 答 题（共6小题，满 分70分）c 0 s A C L1 7.（1 0 分）在 AB C 中，内角4,B,C对应的边分别为a,b,c,且满足-=.cosC 3b-c（1）求 s in2 A；（2）若 a=l,AB C 的面积为/，求+c 的值.1 8.（1 2 分）记”为等比数列 斯 的前项的和，且 斯 为递增数列，已知砌=4,电=1 4.（1）

8、求数列%的通项公式:(2)设瓦=(-1)-;-,求数列 瓦 的前2项之和Q,”log2an-log2an+11 9.(1 2分)直三棱柱A B C-4 B C 1中，4 4产AB=4 C=1,E,F分别是C C|,B C的中点，且 A E U 1 5,(1)证明：4 8,平面AAC G.(2)棱4B上是否存在一点。，使得平面。E F与平面AB C所成锐二面角的余弦值为包1 4若存在，说明点。的位置，若不存在，说明理由.2 0.(1 2 分)已知函数/(X)=x-asinx,g(x)=x+tnlnx.(I )求证：当时，对 任 意 那(0,+),f(x)0恒成立；(I I)求函数g(x)的极值；

9、1(I I I)当 4=时，若存在 X,X2(0,+8)且 X H X 2，满足f(X l)+g(X 1 )=f(X 2)+g(田)，求,、证：-X-iX2 I4m2 9%2-/22 1.(1 2分)已知椭圆C：+y2-1(a 1)的离心率是3.(I)求椭圆C的方程；(I I)已知人，乃 分别是椭圆C的左、右焦点，过 出 作斜率为的直线/,交椭圆C于A,8两点，直线Q A,QB分别交y轴于不同的两点M,N.如果/MQN为锐角，求k的取值范围.2 2.(1 2分)公 元2 0 2 0年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为

10、了尽快遏制住病毒的传播,我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期；试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现z 症状的概率均为3假设每次接种后当天是否出现Z4症状与上次接种无关.(I)若某只小白鼠出现Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；(I I)若某只小白鼠在一个接种周期内出现2 次或3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期数为

11、X,求 X 的分布列及数学期望.2021年新高考数学模拟试卷（37）参考答案与试题解析一.选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.（5 分）已知集合 4=0,1,2,3 ,集合 8=X|R|W 2,则 4GB=（）A.0,3 B.0,1,2）C.1,2 D.0,1,2,3【解答解：A=0,1,2,3,8=x|-2W xW 2,AG 3=0,i,2.故选：B.2.（5 分）已知i是虚数单位，复数z满 足 皇 j=1-i,则2=（）A.1+5/B.-1-5/C.1 -5 i D.-1+5/z-i【解答】解：因为：=1-。所以2”=（1 7*3+2 储=5-3 所以2=1 5,Z-1

12、 +3+215 1,故选：D.3.（5 分）设命题p：所有正方形都是平行四边形，则P 为（）A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形【解答】解：命题的否定为否定量词，否定结论.故p,有的正方形不是平行四边形.故选：C.4.（5 分）2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态.根据该折线图，下列结论正确的个数为（每年市场规模量逐年增加；增长最快的一年为20132014；这 8 年的增长率约为40%；20

13、14年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳个十亿美元8070605040302010059 7 63.5552 56 56.9二 二45.3 48.9 47.6 48.5 iZ _-1-1-1-1-1-1-1-1 （年）2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 按营收划分之全球连接器市场规模A.1B.2C.3D.4【解答】解：对于，除 2012年外，每年市场规模量逐年增加，即错误，对于，增长最快的一年为2013 20 1 4,且增量为6.7（十亿美元），即正确，对于，这 8 年的增长率约

14、为4 0%,因为45.3X（1+40%）=6 3.4 2 7 6 3.5,即正确，对于，分析数据可得：2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年 至 2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，即正确，即正确，故选：C.5.（5 分）青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5 名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1 人，则恰好有2 名大学生分配去甲学校的概 率 为（）2 3 12A.-B C.一 D.5 5 5 15【解答】解：现 有 5 名师范大学毕业生主动要求赴西

15、部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1 人，基本事件总数=（5,3+5 V1）a=150,人2 人2恰好有2 名大学生分配去甲学校包含的基本事件个数m=Cj Cj Cl=60,恰好有2 名大学生分配去甲学校的概率为？=盖=|故选：A.6.（5 分）函数=）+加的图象只可能是（）【解答】解：因为对于任意的尤R,/(x)=，+*0 恒成立，所以排除A,B,由于/(0)=。2+31=1,则排除。，故选：C.7.(5 分)矩形A8C 中，B C=2,沿对角线AC将三角形ADC折起，得到四面体A-BCD,四面体A-B C D外接球表面积为1 6 m 当四面体A-B C D的体积取最大值

16、时，四面体A-B C D的表面积为()A.4 V 3+p B.4V3+V39 C.2遮 +缪 D.2V3+V39【解答】解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以长宽分别为2 和 1 的长方形A8C。沿对角线AC折起二面角，得到四面体A-BCZ),则四面体A-B C D的外接球的球心。为 AC中点，半径R=%C,所求四面体4-B C D的外接球的表面积为4nX R 2=i6n；=K=2nA e=4=A B=2四二矩形ABC。中，A B=2 g,B C=2,沿 AC将三角形AQC折起，当平面A O C,平面A8C时，得到的四面体A-BC的体积最大，如图所示；过点。作。0J_平面A 8

17、 C,垂足为0,则点D到平面A B C的距离为d=O D=空烂=空 叵=V 3,/1 C T,过点。作O M _ L A B,作O N _ L B C,垂足分别为M、N,连接D M,D N；贝lj B MLA B,D N L B C；所以 AO=1,0C=3,所以0 M=$0 N=竽；所以 D M=y/D O2+0 M2=孚，D N=y/D O2+ON2=竽；X SADC=S&ABC=X2 V 3 X2=2 V 3,SACD=A B-D M=1x 2%x 孚=竽，SABCD=B C*D N=x2x所以四面体4 -B C D的表面积为：S=2 SAAf i C+SAAC D+SAB C D=4

18、V 3+V 39;故选：B.8.(5分)f (x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，(/+1)/(x)+2xf(x)0的解集是()A.(1,+8)B.(-1,0)U(1,+o o)C.(-8,-1)D.(-=,-1)U(0,1)【解答】解：令/(x)=(x2+l)/(x),则用(x)=(x2+l)/(x)+2xf(x),:当 x 0 时，(7+1)f (x)+2xf(x)0 时，F(x)0,:.F(x)=(/+)于(x)在(0,+8)上单调递减，V/(%)是定义在R上的奇函数，/(-1)=0,：.f(1)=0,.当 0c x 0,：.f(x)0；又 尸(-尤)=(/+1)/(-%)=-(x2+

19、l )f(x)=-F(x),：.F(x)=(x2+l)/(x)为奇函数，又x0 时，F(%)=(x2+l)/(x)在(0,+8)上单调递减，；.x0 时，F(x)=(x2+l)f (x)在(-8,o)上单调递减，：f (-1)=0,.,.当 x 0,从而/(x)0；由 得：O V xV l或 x0.二不等式f (x)0 的解集是(0,1)U(-8,-1).故选：D.多 选 题(共 4 小题，满分20分，每小题5 分)9.(5 分)给出下列命题，其中正确的命题有()A.若“6 R,则(+1)，是纯虚数B.随机变量 XN(3,22),若 X=2T+3,则。(q)=1C.公共汽车上有10位乘客，沿途

20、5 个车站，乘客下车的可能方式有IO,种D.回归方程为，=0.85x 85.71中，变量y 与 x 具有正的线性相关关系E.P(A)=0.5,P CB)=0.3,P(AB)=0.2,则 P(A|B)=0.4【解答】解：A：若&CR,当。=-1 时，(a+l)i是实数；故 A 错；B：随机变量 XN(3,22),：.EX=3,DX=4；若 X=2T+3 6=与则。(rp=D 一|)=芬。(X)=b 4=1；3 对；C：根据题意，公共汽车沿途5 个车站，则每个乘客有5 种下车的方式，则 10位乘客共有 51种下车的可能方式；故 C 对；D：因为J=0.85X-85.71中，0.85 0,故量y 与

21、 x 具有正的线性相关关系，即。对；E：因为 P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,贝 ij P(A|B)=瞿=京r D)U.S D故 错.故选：CD.x2 y210.(5 分)已知双曲 线 成 一 公=l(a 0,b0)的左、右 焦 点 分 别 为 尸 2，点 M 在双曲线的左支上，若 2|M&|=5|M Q|,则双曲线的离心率可以是()7 5A.3 B.一 C.2 D.一3 3【解答】解：由双曲线的定义可得I M F,-|M F i|=MF=2a,根据点M 在双曲线的左支上，可得|“尸 11=竽 2。-小 C /7a 37二双曲线离心率的最大值为3观察选项，选项8c。符合

22、题意.故选：B C D.11.（5分）已知函数/（x）=2 s i n Ac o s.r -2 s i n2x 1 给出下列四个选项，正确的有（）A.函数/（X）的最小正周期是7 TB.函 数*x）在区间碳，引上是减函数C.函数/（x）的图象关于点（一工，0）对称7TD.函数f（x）的图象可由函数y =夜$讥 2 x 的图象向右平移g 个单位，再向下平移1个8单位得到.【解答】解:V/（x）=s i n 2 x -2 s i n2x+l -l=s i n 2 x+c o s 2 x -1=V 2 s i n （2 x+Q -1.对于A：因为3=2,则/（x）的最小正周期T=n,结论正确.7T

23、57T TC 37T IT 57T对于3：当x W g,2 x+注 5,则 s i n x 在g,7 上是减函数，结论正确.对 于 C：因为 Q=7,得到函数/（x）图象的一个对称中心为（一与，-1）,结论不正确.7T对 于/）：函数/（X）的图象可由函数）=V s i n 2 r 的图象向左平移鼻个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确.故正确结论有4,B,故选：A B.12.（5分）已知正方体A 8 C D-A 12 1c l z）i 的棱长为1,E是。的中点，则下列选项中正确 的 是（）A.A C B iEB.&C平面4 出 C.三棱锥Ci-8 CE的体积为1D.异面直线81c 与 8

24、0 所成的角为4 5【解答】解：如图,：A C B D,A C V B B ,，AC _ L平面又 8|E u 平面.AC LB i E,故 A 正确；：B C/A D,A 0 u平面 48。，B i C C 平面 Ai B。，以。平面 4B。，故 8 正确；三棱锥C l -B C E的体积为VC L/CE=%LQCE=与X *X 1 X 1=t，故 C错误；8。81力1，.N C B 15 是异面直线B|C 与 8。所成的角，又C 与 i 是等边三角形,.异面直线B i C 与 8。所成的角为6 0 ,故。错误.故选：A B.三.填 空 题(共 4 小题，满分20分，每小题5 分)13.(5

25、 分)已知向量；=(1,1),b=(m,-2),且+2b),则 m 的值等于-2 .【解答】解：根据题意，向量2=(1,1),b (m,-2),则 a+2 b =(1+2/M,-3),若Z G +2b),则有 1+2加=-3,解可得：z=-2；故答案为：-214.(5 分)函 数 f(x)=警 在 点 P (1,7(I)处的切线与直线Z t+y-3=0 垂直，则“【解答】解：由题意得：(x)=丁 一 咒 伉，=登 上.O e又.切线与直线2x+)，-3=0 垂直，故切线斜率&=；.二 广 =*故答案为：15.(5分)抛 物 线/=6y的焦点到直线3 x+4 y-1=0 的距离为【解答】解：抛物

26、线/=6y的焦点为(0,-3),所 以 点(0,-3)到直线3 x+4 y-1=0 的距 离 公.学=|=i故答案为：1.16.(5 分)已 知 数 列%满足对V?，尤 N,都有 所+斯=斯+加成立，。7=今，函数/(%)=sin2x+4 cos21,记加=/(斯)，则数列 切 的 前 13 项 和 为 26 .【解答】解：对V m,都有斯?+斯=斯+形成立，可令m=1 即有劭+1-劭=田，为常数，可得数列 斯 为等差数列，函数/(%)=sin2x 4-4 cos 2 =s i n2x+2(1+cos x),由/(x)=s i n2x+2(1+cos x)+s i n2(n-x)+2(l+co

27、s (n-x)=4,n可得/(x)的图象关于点(3 2)对称，。1+。13 =。2+12=。6+8 =27 =五，f(1)+f(。1 3)=f 0恒成立；(I I)求函数g (x)的极值；1(I I I)当 4=时，若存在 X,X2G(0,+)且 Xl H x z，满足/(XI)+g(XI )=/(必),、X iXo 4+g(元2)，求证：-一.m2 9【解答】解：(1)f(x)=x-asinx,.*./(x)=1 -acosx.丁 -IWCOSXW L f(x)=1-cos x 20,./(x)=x-s i or 在(0,+)上为增函数，当 烬(0,+8)时，恒有/(x)/(0)=0成立.(

28、2)由 g (x)=x+mlnx9，/(工)=1 +f =(%0)当机2 0 时，g(x)0,g(x)在(0,+8)上为增函数，无极值;当/n0,0 x -m,g(x)-m,g(x)0,g(x)在(0,-加)上为减函数，在(-?，+8)上为增函数,-m,g(x)有极小值-m+mln(-m),无极大值，综上，当机2 0 时，g(x)无极值；当 mV 0 时，g(x)有极小值-m+加/?(-m),无极大值.1 1(3)当a=,/(%)=x-2sinx.(0,+)上为增函数，由(2)知，当机2 0 时，g(x)在(0,+8)上为增函数，此时f (x)+g(x)在(0,+8)上为增函数，不可能存在用，

29、刈(0,+),满足/(%)+g(X1)=f(%2)+g(无 2)且光 1WX2.有机 V 0,不防设 0 为 I2，则 由/(修)+g(X1)f (%2)+g(12)，,1 1得 2%i 2 sinxt+m/n%!=2x2)si n 2+小 不，1/.m(lnx2 Inx=2(x2-%i)(sinx 2 sinxi)1 1由 X _ sinxi 2(%2%i)-1(x2-%i)3即一 小(仇 2 一仇 1)(%2%1)0,又 hvcilnx2,lnx2-lnx 0,-T H XX2X1lnx2lnxx0，要证)?即证也？5%2,Vfn0,0 xi,iX iQ)，由式，知只需证明 点 7工6 2

30、,即证 程,L71%2 九%1 iTl 7%设 七=孑 1,只需证 V t,即证：pr ZntO(tl),xi Int yjt2令 力(t)=tK -伍则/(t)=0(l),：.h(力 在(1,+8)上为增函数，.(/)h(1)=0，也 一 支 i 占后成立，,.由知，一 m 5 V%ix2。，%1%2 J :玄 3 成立2 1.（1 2 分）已知椭圆C：X2 4-y7 =1 V 2Ca 1）的离心率是一.a22（I）求椭圆C的方程；（I I）已知Q,F 2 分别是椭圆。的左、右焦点，过&作斜率为的直线/，交椭圆。于4,8两点，直线Q A,Q8分别交y 轴于不同的两点M,N.如果NMQN为锐角

31、，求的取值范围.7 22=1=2_c-ab=2Q,解得a2=2.+c2x2,椭 圆 C的方程为万+/=1;（I I）由已知直线/的斜率不为0,设直线/的方程为y=Z （x-1）,直线/与椭圆C的交点A （为，yi）,B（X2，2），（y=k（x-1）联立%2 0,得（2 户+1），-4 女 2%+2 公-2=0.笈+y=1由已知，（）恒成立，且，%1%2 =2k+1 2k+1直线尸1 4 的方程为y=端 看（尤+1）,令 x=0,得 例（0,煮），同理可得N（0,丫？.）.x2+l2 f力&pNN -_ 11 +,（血+当1）、（小2 +1）-_ -11 +,卜（勺一 1）氏-1）X 1+i）

32、（x2+l）9 9 9_ （1+/）%1%2 +（1 ）（%1+%2）+1+巧 2+%1+%2 +1将代入并化简得：版 尸，=普3，T T 7 2 _ 1依题意，N M F 1 N 为锐角，则&M-F 1 N =任 10,8 fc -1解得：产;或 后 号.综上，直线/的斜率的取值范围为（-8,一,）U（_4，0）U（0,）U（,+7 4 4 78）.2 2.（1 2 分）公 元 2 0 2 0 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播,我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进

33、行科学试验.为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期；试验共进行3 个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现Z 症状的概率均 为 士 假设每次接种后当天是否出现Z4症状与上次接种无关.(I)若某只小白鼠出现Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；(I I)若某只小白鼠在一个接种周期内出现2 次或3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期数为X,求 X 的分布列及数学期望.【解答】解：(1 )连续接种三天为一个接种周

34、期，每只小白鼠接种后当天出现Z 症状的1概率均为一,4假设每次接种后当天是否出现Z 症状与上次接种无关若某只小白鼠出现Z 症状即对其终止试验，由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得：一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为：n1,3 1,3 3 1 37F1=4+4X4+4X4X4=64-(I I)随机变量W=l,2,3,设事件C 为“在一个接种周期内出现2 次或3 次 Z 症状”，p(X=l)=P (C)=c%)2(各+或(扔=募P(X=2)=口-P(C)XP(c)=(1-备)XJ 2=4 P(X=3)=1-P(C)1-P(C)X 1=(1一 言)X(1一 宣)X l=p,所以X 的分布列为：X 的数学期望E(X)=lx 券+2x 息+3 x 焉=第123p51357293210241024