2021年中考数学 汇编：相似三角形及其应用（含答案）.pdf

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1、2021中考数学 专题汇编：相似三角形及其应用一、选择题（本大题共i o 道小题）1.如图，在 A BC中，D,E分别是A B,AC 边上的点，DE/BC,若 A O=2,AB=3,D E=4,则 3 c 等 于()D.8AV 92.（20 20 永州）如图，在 AB C 中，EF/BC,=-,四边形3 C E E 的面积EB 3为 21,则 AB C 的面积是（）C.35D.6 33.（20 20.嘉兴）如图，在直角坐标系中，0 48的顶点为。（0,0）,A （4,3）,B（3,0）.以点。为位似中心，在第三象限内作与0 A 8的位似比为的位似图3形 O C0,则点C坐标为（）4 4A.(-

2、1,-1)B.(-,-1)C.(-1,-)D.(-3 32,-1)4.(20 19 巴中)如图 ABCD,产 为 中 点，延长A。至 E,使OE：A D =1：3,连接E F交D C于点G,则S&DEG:SM F GA.2：3C.9：4B.3：2D.4：95.（2020.河南）如图，在 ABC中，ZACB=90,边BC在x 轴上，顶点A,B的坐标分别为（-2,6）和（7,0）.将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）6.（2020.河北）在图5所示的网格中，以点。为位似中心，四边形ABCO的位似图形是A.四边形NPM。B.四边形NPMRC.四边形N H M Q D

3、.四边形N H M R7.（2019贺州）如图，在“吕。中，D,E 分别是AB,AC边上的点，DE/BC,若4）=2,43=3,D E =4,则 3C 等于A.5B.6C.7D.88.如图，在放a A B C中，ZC=90,N C A B的平分线交B C于D,D E是AB的垂直平分线，垂足为E.若B C=3,则D E的长为（）A.1 B.2 C.3 D.49.（2020丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形A B C D与正方形E F G H.连结EG,B D相交于点0、B D与H C相交于点P.若G O=G P,则13丝的值是（）5正方形A DB CA.1 +f2 B.

4、2+/2 C.5 J215T10.（2020 新疆）如图，在 ABC中，Z A=9 0,。是A B的中点，过点。作B C的平行线交A C于点E,作B C的垂线交B C于点F,若A B=C E,且。产E的面积为1,则3 C的长为A.2人C.4有D.10二、填空题（本大题共8道小题）11.如图，在ABC 中，Z A C D=Z B,若 AD=2,B D=3,则 AC 长为.12.在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时同地测得一栋楼的影长为90 m,则这栋楼的高度为 m.713.（2020郴州）在平面直角坐标系中，将AAOB以点O为位似中心，4为位似3比作位似变换，得到AA。？

5、.已知A（2,3），则点A,的坐标是.14.如图，在 中，ZA C B=90,A C=3,B C=4,CD L A B,垂足为D,E为8 C的中点，A E与C D交于点尸，则D F的长为.15.（2019泸州）如图，在等腰R tA A B C中，N C =90。，AC=1 5,点E在边CB上,CE=2 E B,点。在边A 3上，C D L A E,垂足为F，则A D长为.16.（2020.杭州）如图是一张矩形纸片，点E在河边上，把 8C E沿直线CE对折,使点3落在对角线AC上的点F处，连接O F.若点、E,F,。在同一条直线上，AE=2,则 DF=,BE=.17.如图，在 R Q A 8C

6、中，ZB A C=90,A B=5,A C=2 0,点。在边 AC 上,A D=5,Q E L B C于点,连接A E,则 A B E的面积等于.I)18.合）（20 20长沙）如图，点尸在以MN为直径的半圆上运动，（点尸与MN不重P Q L M N,N E平分/M N P,交PM于点E,交P Q于点、F.喘(2)若 PN2=P M MN,则竺2 =NQ三、解答题（本大题共4道小题）19 .（20 20凉山州）（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形A B C,边8 C=120 mm,高A =8 0 m m,把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在A 3、AC上，这个

7、正方形零件的边长是多少？20 .如图，在 RQA3 C 中，ZACB=90,A 3=10,BC=6,CD/AB,N A B C 的平分 线 交AC于点,求。E的长.21.已知：在等边A 3C中，D、E 分别是AC、上的点，且N B A E=N C B D、E 分别在边AC、上时，求证：X A B E Q X B C 6(2)如图，当点。、E 分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、A H、BE的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图，作 EK8O 交射线AC于点K,连接 K,交于点 G,交B D 于点P,当AC=6,B E=2时，求线段BP的长.22.已知在4A B C 中，AB边上的动点D

8、 由A 向B 运动(与A,B 不重合)，同时，点E 由点C 沿 BC的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE交AC于点 F,点H 是线段AF上一点.A T(1)如图，若4A BC是等边三角形，DH1AC,且 D,E 的运动速度相等，求一上HF的值.(2)如图，若在4ABC 中，ZABC=90,ZADH=ZBAC=30,且点 D,E的运动速度之比是：1,求4 c 的值；HF(3)如图，若在4ABC 中，AB=AC,NADH=NBAC=36,记 生=m，且点A CD,2021中考数学 专题汇编：相似三角形及其应用-答案一、选择题(本大题共io 道小题)1.【答案】B 解析.OE8C,/.A

9、D E A A BC,AD DE 2 4.-.A B=BC,E P 3=BC,解得 BC=6,故选 B.2.【答案】B【详解】解：E F/5C:.ZAEF=/B,Z A F E=N C:.A E E s.AE_2 E B-3.AE 2-=AB 5 S AEH _ 4S 四 边 形 BCF E 2.S 四 边 形BCFE=21S AEB=4 ,S A BC=25故选：B.3.【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（依，ky）或

10、（-依,1 4-0）.由A（4,3）,位 似 比 仁 可得C 因此本题选B.4.【答案】D【解析】设。=X,v DE：A D =：3,A D =3x,四边形AB C。是平行四边形，/.AD/BC,B C =A）=3 x,1 3 点F是 的 中 点，彳x,2 2AD/BC,：.4DEGs/CFG,/DE 2 1%、2 4=旨=（=X2故选D.5.【答案】B【解析】,点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0),/.OC=2,AC=6,OB=7,，BC=9,正方形的边长为2.将正方形OCDE沿 轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与*轴的两个交点分别为G、F,.EF，x轴，EF=GF=DG=

11、2,，EFAC,D,E两点的纵坐标均为2,二 空=空，即:=竺，解得BF=3.；.OG=OB-BF-GF=732=2，二D点的横坐AC BC 6 96.【答案】A【解析】解析：连接AO并延长AO至点N,连接BO并延长PO至点P,连接CO并延AO BO CO DO长CO至点M,连接DO并延长DO至Q,可知N P MO Q O 耳，所以以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPM Q,故答案为A.7.【答案】B【解析】V DE/BC,：.2 D E S&B C,即2=/-,解得:AB BC 3 BCBC=6,故选 B.8.【答案】A【解析】：A D 是NBAC的平分线，ACU8C,AE

12、DE,：.DC=DE,AE=AC又 YOE 是 A3 的垂直平分线，：.B E A E,即 AB=2AE=2AC,Y 1NB=30.设。E=尤，则 B=3x.在 中，丁一=7，解得 x=l,:.DE3x 2的长为1.9.【答案】C【解析】.四边形EFGH为正方形，.,.ZEGH=45,ZFGH=90,VOG=GP,/.ZGOP=ZOPG=67.5,A ZPBG=22.5,又；NDBC=45,A ZGBC=22.5,/.ZPBG=ZGBC,VZBGP=ZBG=90,BG=BG,A ABPGABCG,.*.PG=CG.设 OG=PG=CG=x,.0为EG,BD的交点，EG=2x,FG=x-.四个全

13、等的直角三角形拼成“赵爽弦图，.BF=CG=x,.+J5 口巾一口八0”0 =苫2（应+1尸+/=（4+2 0）x?BG.BC2 BG2+CG2 7,Si L s c。=（4+2）厂=2+应%方 彩 印21,因此本题选D.10.【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理.如答图,过点E 作 EGLBC于G,过点A 作AH_LBC于 H.又因为D FLB C,所以DFAHE G,四边形DEGF是矩形.所以B D F s4BAH,D F=E G,所以=因为D 为 AB中点，所 以 =所以AH BA BA 2 AH=1.设 D F=E G=x,则 A H=2x.因为NBA

14、C=90,所以NB+NC=90,因为 EG_LBC,所以NC+NCEG=90,所以NB=/C E G,又因为/B H A=ZCGE=90,A B=C E,所以AABH0 A C EG,所以 C G=A H=2x.同理可证RF RD 1 1 1BD FA ECG,所 以 一=，因为 BD=AB=C E,所以 Bb=EG=EG EC 2 2 2；x.在 RrABDF 中，由勾股定理得 BD=4DF2+BF1=Jx2+（y%）2=*x,所以A D=x,所以 CE=AB=2AD=7X.因为 DEB C,所 以 空=当=（，2AC AD 2所以 AE=g AC=C E=6 x.在 RfZADE中，由勾股

15、定理得DE=樗）2 +（氐）2 =，x.因 DEF的面积为1,所以;DED F=1,即g x|xx=l,解得x=|石，所以D E=|X|A/5=75 因为 AD=BD,AE=C E,所以 BC=2DE=2正，因此本题选D.二、填空题 1本大题共8道小题）11.【答案】师ZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,：.ACD AABC,AC AD AC 2/.AB=AC,即2+3=AC,：.AC=fi 4。=-呵舍去）.1 2.【答案】5413.【答案】（生2）3【解析】.将AOB以点0为位似中心，2 为位似比作位似变换，得到4 0 B,3A（2,3）,.点4 的坐标是:（2x2,2x3）,即Ai（生

16、2）.故答案为：（生 2）.3 3 3 35414.【答案】85【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质.已知NACB=90,AC=3,B C=4,由勾股定理，得45=5.C D 1 A B,由三角形的面积，得 C D=A C 8C=乜 易得 ABCSAACDS C B D,由相似三角形对应AB 5边成比例，得 AD=A。A。=2,B D=B C B C=.过点 E 作 EGAB 交 COAB 5 AB 5于点G,由平行线分线段成比例，得D G=LCD=9,EG=J 所 以 空=丝，2 5 5 GF EG9即 卢 _ =&,所 以。E=,故答案为四.。乡 855 51 5

17、.【答案】9&【解析】如图，过。作H_L4C于，则乙4。=90。,.在等腰 RtA48C 中，ZC=90,AC=15,AC=BC=15,ZC4D=45,ZADH=9Q-ZCAD=45=Z CAD,：.A H =D H ,：.CH=AC-AH=5-DH,：CFA.AE,:.NDHA=NDFA=90,又NANH=ZDNF,：.ZHAF=ZHDF,.PH CH7c-cF：.AACESADUC,:CE=2EB,CE+BE=BC=i5,，CE=10,.DH 5-DH-=-,15 10:.DH=9,AD=JA H2+DH2=9/2 故答案为：9/2-16.【答案】2 6 一 1【解析】设B E=x,则AB

18、=AE+BE=2+x.四边形ABCD是矩形，；.CD=AB=2+x,ABCD,.*.Z D C E=Z B E C.由折叠得NBEC=/DEC,EF=BE=x,/.Z D C E=Z D E C.，DE=CD=2+x.*.点D,F,E在同一条直线上，；.DF=DC DF x+2DE EF=2+xx=2.：ABCD,ADCFAEAF,:.EA=EF.:.22 _ _ _ _=x,解得%1=逐-1,x2=一6-1.经检验，xl=布-1,x2=一6一1都是分式方程的根”（），即B E=1.17.【答案】7 8【解析】如解图，过 A 作AH_LBC,VAB=15,AC=20,ZBAC=90,.由勾股定

19、理得，BC=）152+勾 2=25,VAD=5,.*.DC=20-5=15,VDE1BC,ZBAC=90,A A CD EA CBA,，齐=7 ，/.CE=|x20=12.CA CD ZJ法-*：BC,AH AB-AC,AH 口 r -TZ 12,SA ABE=12X13 78.DU ZD z法二：DE=-152122=9,由CDEs/CAH 可得，胃=瞿，A H=1=Y LA HA ID亚一118.【答案】1;2【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质,(1)E H LM N,又MN是直径,NE平分/M NP,PQ工M N,，易证出PE=EH=HF=PF,EH/

20、PQ,：.4EM HS4PMQ,ME _ EH _ PF 丽 一 而一而尸+PE _ME _ 卜 PE _PQ PM PM PM(2)由相似基本图射影型得：解得PN?=QNMN又,：PN?=PM MN,：.QN=P M,设QN=PM=a,M Q=b,由相似基本图射影型得：解得PM?=MQMN,02=岫+劝解得，=(T+/)或匕=1二 (舍去).理=2=上；2 2 NQ a 2因此本题答案为1;3 二三、解答题(本大题共4道小题)19.【答案】解：设这个正方形零件的边长为x m m,则4 A E F 的边E F 上的高AK=(80-x)mm.四边形 EFHG 是正方形，；.EFG H,即 EFB

21、C./.AAEFAABC.EF AK x 80-x/.BC AD,即120 80.x=48.这个正方形零件的边长是48 mm.20.【答案】解:BD 平分 ZABC,：.ZABD=Z CBD.,:ABCD,:.ND=NABD,：.NCBD=ND,：.CD=BC=6.在 R S ABC 中，AC以IA B 2-BC 9 J1I0 2-6 9=8：AB/CD,:.XABEs/CDE,CE DE CD 6 3.AE=BE=AB=10=5,3 3 3 3CE=AE,DE B E,即 CE至4。=叔8=3.在 RtA BCE 中，B E=，BC2+CE 6+32=35DE q BE 士 x 3*=.2

22、1.【答案】证明：ABC为等边三角形，.NA3C=NC=NC4B=60,AB=BC,在AABE和BCD中，ZBAE=ZCBDAB=BC,NABE=/BCD：.AABEABCD(ASA)；(2)解：.ABC为等边三角形，A ZABC=ZCAB=60,AB=BC,：.ZABE=ZBCD=SO-60=120.在ABE 和BCD 中，/BAE=/C BDAB=BC,NABE=NBCD：.AABEABCD(ASA),：.BE=CD.,：DHLAB,：.ZDHA=90,VZC4B=60,/.ZADH=30,：.AD=2AH,：.AC=AD-CD=2AH-BE；(3)解：如解图，作。SLBC延长线于点S,作

23、“加4。交8。于点M,D解图：AC=6,BE=2,.,.由(2)得 A=4,BH=2,与(1)同理可得 3E=CD=2,CE=8,V ZSCD=ZACB=6Q,A ZCD5=30,，CS=1,SO=小，BS=7,：BD2=BS2+SD2=l2+(43)2,：.B D=2 g,EK/BD,：./CBD/CEK,.CB CD BD CETCK=EK,CD CE 2X8 8 CE BD 8X2715 8713,C K=CB=T=V E K=CB=6=3 HM/ZAC,：.ZHMB=ZACB=60,.HMB 为等边三角形，BM=BH=HM=2,CM=CB-BM=4,又 ：HM AC,：./H M GS

24、/KCG,.HM MGKC=CGHn2 MG _12 _26 _ 4 0即R 4MG-M G 7，8G7,EG3，：EK/BD,:.丛 GBPs 丛 GEK,.BP GB，EK=GE,BP=26VH15,2 2.【答案】(1)过点。作OGBC交AC于点G,解图,/aA B C是等边三角形，.AGO是等边三角形，：.AD=GD,由题意知CE=AD,：.CE=GD：DG/BC,：.ZGDF=ZCEF,在G D f与CE77 中，ZGDF=ZCEF NGFD=AEFC,CE=GD：./G D F A C E F (AAS),:.CF=GF,JDHLAG,：.AH=GH,：.AC=AG+CG=2GH+

25、2GF=2(GH+GF)=2HF,.AC).-=2；HF(2)如解图，过点。作。G3 c交AC于点G,解图由题意知，点O,E的运动速度之比是道:1,:.也=瓜CE,：ZABC=9Q,ZBAC=3Qa,二四二石，GD.AD AD -=-，CE GD：.GD=CE,.,DG/BC,：.ZGDF=ZCEF,在A G D F和CER中，NGDF=ZCEFNGFD=ZEFC,GD=CE:AG D F A CEF(AAS),：.CF=GF,：ZADH=ZBAC=3G,：.AH=HD,：NAGD=NHDG=60,：.GH=HD,：.AH=HG,：.AC=AG+CG=2GH+2GF=2(GH+GF)=2HF,.AC c.-=2;HF(3)如解图，过点。作。GBC交AC于点G,解图：DG/BC,.AAGDAACB,.GD BC _-=-=m ,AG ACV ZADH=ZBAC=36,AC=AB,：.ZGHD=ZHGD=12,:GD=HD=AH,AH GD -=-m,AG AGAD=CE,.GD GD GD -=-=-二 T H,AD AG CE,:DGBC,:GDFS/ECF,GD GF -=-tn,CE CF：.GH+FG=m(AH+FC)=m(AC-HF),即 HF=m(AC-HF),AC _m+加 一二