2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（二十三）（解析版）.pdf

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1、2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（二十三）选 择 题（共25小题）1.(2021未央区校级模拟)数列 斯 满足“i =l,n an+=(n+1)an+n(n+l)若b”=a71c o s飞-,且数列 为 的前项和为S”则S ii=()A.6 4 B.80 C.-6 4 D.-80【解答】解：数列 如 满足m =l，n an+i=(M+1)a,+n(n+1),则皿=%+l,n+l n可得数列 a 是首项为1、公差为1的等差数列，n即 有 公=n,即为an=1T,n则 b=anco s-=2c o s-,则 S ii=-/(12+22+42+52+72+82+102+112)+(32

2、+62+92)=-1(12+22-32-32+42+52-62-62-72+82-92-92+102+112)=-1 x (5+23+41+59)=-6 4.故选：C.2.(2021昆明一模)已知函数/(x)=sin (uir+(p)(3 0,0(p 0,0 8=2,4V2若四面体A 3C Z）的体积是丁，则这个球面的面积是（）32 76A.16T T B.-7i C.411 D.n3 3【解答】解：由题意，几何体的直观图如图，四面体A B C D的体积是土经，可得。到平面BCD的距离为/,X x 22 x 2/1=-,解得人=等,3 3 4 3 3所以外接球的半径为R=OB=OD=OC=OA

3、=J（孥/+G X日 x 2/=2,所以外接球的表面积为：4n X 22=16 ir.故选：A.Dlog2x,x l4.(2021江苏模拟)已知函数/(x)=，g(X)=/(x)-k x,若函数g(x)有两个零点,3+1,%l【解答】解：函数f(x)=1,/+1,X b 0)的左焦点，椭圆E上一点P (2,1)关于原点的对称点为Q,若 P Q F的周长为4 a+2遍.则 离 心 率e=()V3A.一2V2B.2C心3V2D.3【解答】解：与。关于原点对称，则 Q (-2,-1),：.PQ=2J12+22=2V5,又三角形PQF的周长为|Q P|+|P F|+|Q F|=4夜+2 遥,，|P F

4、|+|Q/q=4&,设椭圆的右焦点为M,则由椭圆的性质可得|P F|=|Q M，I Q M+I Q Q=2 a=4 V L 得 a=2&,4 1将 点 p代入椭圆方程可得y +记=|,解 得 仁 历.c=V a2 b2=V 6.则离心率6.=翁=李.故选：A.6.(2 0 2 1 新余二模)对于函数 y=/(x)与 y=g(%),若存在 x o，使/(x o)=g(-x o),则称 M(x o,N(-x o,g(-x o)是函数/(x)与 g(x)图象的一对 隐对称点已知函数/(x)=机(x+1),g(x)=竽函数/(X)与 g(x)的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数机的取值范围为()A.

5、(-1,0)B.(-,-1)C.(0,1)u (1,+8)D.(-8,-)u (-1,0)【解答】解：/(x)=m(x+1)恒过定点(-1,0),/(x)关于y轴对称的图象的函数解析式为丫=-m(x -1)依题意可得，y=-6(x -1)与 g(x)=竽 有 2个交点,由g O)=，得 g/、1lnx(x)=-当O V x V e 时，hr(x)0,函数g(x)单调递增，当时,g (x),关于 x 的方程/(x)+tf(x)+1=0(兀 R)l|Q+1)|,x0 时，/(X)=xlnx,令 F(x)=xlnxf F (x)=bvc+l,i 1 ill令尸(x)=/x+l=0,解得x=F(-)=

6、f (-)=,e e e e e1 1故当x 0 时，函数/(x)在(0,-)上单调递增，在(-,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增;e e当 x 0 时，可得函数/(x)在(-8,-1)上单调递减，在(-1,-1)上单调递增，在(号，0)上单调递减.又/(-分=/,=1,故刻画出函数/的大致图象如图：VA,令=f (x),则已知方程可化为m2+lm+1=0.观察图象可知，当?寸，只有2 个交点；当/=:时，有 3 个交点；当时，有 4 个交点；当时，有 6 个交点.1 1 1要想满足题意，则只需使得方程加2+袱+1=0在(-，-)上存在两个不同实数根，或 在(-+8)和(0,4 e e

7、-)4各 有 1个根，方程M2+制+1 =()的两根之积为1,令 g(根)=/n2+Z/n4-l,由题意，卜 刃 解得/一，即 r 的取值范围是(-8,约.(5(4)0 故选：C.8.(2021 佛山模拟)在棱长为1 的正方体ABCQ-AiBiCiQ 中，点 P 是正方体棱上一点，若满足|PB|+|PCi|=d 的点P 的个数为4.则 d 的取值范围为()A.(V2,2)B.(V2,2V2)C.2,1+V3)D.(I+V3,2V2)【解答】解：点 P 分别在881，BC,CCi,81cl上运动时，的取值范围是 VL 2,当点P 分别在AB上运动时，用的取值范围是 或，1+V5,当点P 分别在棱

8、481，CO上运动时，,的取值范围是 2,2夜 ,当 P 分别在棱4 0，DDi，AD,A 4 上运动时，加的取值范围是 丁 4+2vL 2y/2,由结合图形可知，点 P 在正方体的每一条棱上运动时,它所在的位置与m 的值是一一对应的,当伊用+|尸。|=4 的点P 的个数为4,则 d 的取值范围为 2,1+V5),故选：C.9.(2021佛山模拟)已知不相等的两个正实数x,y 满足/-y=4 (log2y-logM)，则下列不等式中不可能成立的是()A.x y B.y x l C.x y D.l y,-log4.r),因为 210g4X=log”,所以原式可变形为7+21og”=y+41og2

9、_y,令 f (x)=/+2l0g2X,g(x)=X+41og2X,函数/(x)与 g(x)均 为(0,+8)上的增函数，且/(x)=g(y),且/(1)=g(1),当 x l 时，/(x)1,g(y)1,y l,当 x 1 时，f (x)L g(y)1，y 0),则”(x)=1-2%+故”(x)在(0,+8)上单调递减，2 1又“=-1 +2 0,H(2)=-3+0,当(xo+)时、h(x)h(1)=0,(4)=-12+4=-80,所以当x V l时，h(x)l时，h(x)正负不确定，故当冗1,y 时，h(x)0,所以 g(x)Vg(y)l,y l时，h(x)正负不定，所以g(x)与 g(y

10、)的正负不定，所以Q y l,x=y ,y x l均有可能，即选项A,C,均有可能，选项8 不可能.故选：B.10.(2021江门一模)正实数”，b,C满足4+2一=2,h+3b=3,c+log4c=4,则实数a,h,c 之间的大小关 系 为()A.b.a.c B.abc C.acb D.bcg4c=4-c,即 C为函数y=log4A与 y=4-x 的图象交点的横坐标；+3占=3=1+3&=4-b,即b为函数y=I+3*与 y=4-x 的图象交点的横坐标；.1a+2=2=2+呼=4-a,即a为函数y=2+/与y4-x的图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出图象，可得匕ac.故选：A.11.（20

11、21江苏模拟）九章算术是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得 几何原本相媲美的数学名著，在 九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖席”.已 知 某 鳖 膈A-BCD的外接球半径为1,则该鳖膈A-BCD的体积最大值为（）【解答】解：四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖席”.如 图：某鳖腌A-BCQ的外接球半径为1,可知 8=2,设B C=b,A D=c,所以 a1+b1+c2=4,可得 4=”2+/+c2?371ab ey,所以 ab c 当 且 仅 当 a=b=c=时，取等号.该鳖腐 A -B C D 的体积：-x ab c +1=0 C.遮x-y-l=0 D.x-V 3 y=0【解

12、答】解：y=/+m x-2与x轴交于4,B,设两点 A （x i，0）,B（X 2，0）,设圆。的方程为/+y 2+D r+E y+F=0,取），=0,可得/+D x+尸=0.则方程 X2+DX+F=0 与方程 x2+/n x -2=0 等价，则 D m,F-2,则圆的方程为JT+Z+m x+E y-2=0.,圆。过 C（3,1）,.1 0+3，+E-2=0,即 E=-8-3 n?,得圆Q的方程为+）2+江-（8+3加）y-2=0,即 W+y2-8 y -2+m（x -3 y）=0 由圆系方程可知，圆/+./-8 y-2+m（x -3y）=0经过圆/+/-8 y -2=0与直线x -3 y=0

13、的交点，则圆。被直线x-3 y=0所截弦长为定值.故选：A.ex1 3.（2 0 2 1 路桥区校级模拟）对任意%0,若不等式一+a/n x +e2 a x恒 成 立（e为自然对数的底数）,X则正实数。的取值范围是（)A.(0,e B.(0,e2 C.|,e D.1,e2eXeXeX ex【解答】解：不等式一+al n x+e2 a x可化为一-a (x -I n x)+e2 0,即-al +e2 0；x x x x设f=三，其中x 0；由知所 以/=t-al n t+e1(f 2 e),只需证明/的 最 小 值/，“加20即可；对函数/G)求导数，得/(/)=1-号=?(f N e),当0

14、e时，f(/)在 e,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增，所以/(f)的最小值是 f (?)m i n=f (a)=a-al n a+e20设 g (a)=a -a/n a+e?,其中 a e,则 g ()=1 -I n a-1=-l n a e知，a的取值范围是(e,e2；综上知，正实数a的取值范围是(0,e2J.故选：B.x2 y2_1 4.(2 0 2 1 路桥区校级模拟)已知双曲线。-7 7=l(a 0,2?0)的左、右焦点分别为Q,&，。为坐标a b 乙原点，点尸是其右支上第一象限内的一点，直线尸O,P F 2分别交该双曲线左、右支于另两点4 B,若A.A/3 B.V2 C.-3

15、V5D.2)【解答】解：由双曲线的定义可得尸尸1 5甲 尸2|=2小由|PQ|=2|PF2|，可得|P 3|=2 a,PF=4a,结合双曲线性质可以得到|PO|=HO|，而国。|=|&0|,结合四边形对角线平分，可得四边形PFA Fi为平行四边形，结合乙4&8=60,得NQA&=60,对三角形尸凶尸2,用余弦定理，得到|AFI|2+|4F2|2-|Q F2|2=2HQ|HF2|COSN Q P F 2,山|PQ|=2俨 广 2I，可得|A尸 i|=2a,H 3|=4 a,/低|=2。，代入上式子中，得到 3a2c1,.*.*=三=V3,故选：A.X V15.（2021 淮南一模）如图，双曲线F

16、：-7 7 =1（。，b 0）以梯形A3CO的顶点A,D为焦点、,且经过点8,C,其中4 8 CO,ZB A D=60 ,C D=4A B f则 F 的离心率为（）C.一55遮D.66【解答】解：如图，不妨设以用=1,|C Q|=4,则|BD|=l+2m|AC|=4+2a,在48。中，由余弦定理得1+4/-2l 2ccos60=(l+2a)2,在ACD中，由余弦定理得16+4-242ccosl20=(4+2 0,则不等式/(x+5)f(x)+s i i i x-c o s x 的解集为()717r 7T 7 1A.(-8,)B.(,+8)c.(-8,-)D.(-,+8)2 2 4 4【解答】解

17、:令 g(x)=,/(x)+s i n x,则 g(-x)=j(-x)+s i n(-x)=/(-x)-s i n x,又 7 U)=y(-x)-2 s i a r,.7/U)+s i n x=/(-x)-s i r i r,故 g(-幻=8(x),七。)为定义在R上的偶函数；当 时,g (x)=/(x)+c o s x 0,，g(x)在 0,+8)上单调递增，又 g(x)为偶函数，故 g。)在(-8,0 上单调递减，由+*)+cosx=/(%+刍+sin(x+./(%)+sinx得g(%+专)g。),|%+*|解得%-*,不等式的解集为(-/+8).故选：。,%2 y 21 7.(2 0 2

18、 1 巴中模拟)已知双曲线C：=1 (0,/?0),过 C的右焦点F作垂直于渐近线的直线a1 bz/交两渐近线于A,8两点，A,B两点分别在一、四象限，若 器=卷，则双曲线C的离心率为()13yfl3A.B.12 3V1 3 ,C.-D.V1 35【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点尸(c,0),渐近线方程为产土加即 hxay=0f如下图所示：由点到直线距离公式可知：必i=Y =b,又；c2=a2+/，。人 仁 小 踹=卷，.|8F|=?b,设NAO产=a,由双曲线对称性可知NAO5=2a,丁 b AB 18b而tana=田地。=商=黄,由正切二倍角公式可知：tan2a=2”当=产l-tana

19、 1一(软 Q2 f2ab 18b即一 一 77=二一，az-bz 5a化简可得：4/=9/，由双曲线离心率公式可知：e=(=2-2b-a1+同一34-=9+1故 选:B.18.(2021 太和县校级二模)数学中一般用相讥 表示m 中的较小值.关于函数f (%)=m讥 s讥 +3cosx,s勿x-V5cosx有如下四个命题：(X)的最小正周期为T T;/(X)的图象关于直线 =当 对 称；/(x)的值域为-2,2；/Y x)在区间(一Q 9上单调递增.其中是真命题的是()A.B.C.D.【解答】解：令g(x)=sinx+Hcosx=2sin(x+分 4(x)=sinx j3cosx=2sin(

20、x j),则/(%)=ming(x),h(x)=g(x),g(x)h(x)2sin(x+g)，*+2krcx 4号+2kn2sin(x 今，5+2k7r V5.外接球的体积的最小值为：y x(有)3=驾 包.故选：D.2 0.(2 0 2 1安庆模拟)已知函数/(x)=|/Of2 X|(X 0),若函数F(x)=f(x)-6有四个不同的(2 x2+4 x +1(%0)零点 X I，X2，X3，X4，且满足：X IX 2X 3 0),若关于尤的不等式/(x)0 恒成立，则实数。的取值范围为()A.(0,e2 B.(0,e2)C.1,e2 D.(1,e2)【解答】解：V/(x)=ev-al n(o

21、r -a)+a 0(4 0)恒成立，ex /n(x -1)+I n a 1,a/.l n a+x-l n al n(x -1)+x -1,：.ex hl a+x-l n ael n(x V+l n(x-1).令 g (x)=ev+x,易得g (x)在(1,+)上单调递增，.x -l n al n(x -1),/.-l tI n(x -1)-x.*.*I n(x -1)-x Wx -2 -x=-2,/.-l n a-2,/.0 a 笔p=1 _2,当且仅当时取等号，Zac 2ac ac、叵所以 c os B 1 一 勺 si n B,即 3c os 8+V 5s i n 8 2 3,所以 2 M

22、 s i n (B+J)2 3,所以s i n (8+,)之孚，因为 8 6(0,n),y r n 4TT所以8+亍 (一,),3 3 3一 一 ,yr IT 27r所以8+亍 (一,3 3 371所以 8 W(0,-J,则NA 8C 的最大值为三.3故选：B.2 4.(2 02 1马鞍山二模)在平面直角坐标系x O y 中，若抛物线C：y22px(p 0)的焦点为F,直线x=3与抛物线C 交于A,B两 点,|AF|=4,圆 E为 E W 的外接圆，直线OM与圆E切于点M,点 N在圆E上，则。m的取值范围是()63 63A.一浣，9 B.-3,2 1 C.,2 1 D.3,2 7【解答】解：抛

23、物线C：)2=2 px (p 0)的焦点B(1,0),准线方程为广一分设 A(3,历)，所以|4F|=3+=4,解得p=2,所以抛物线的方程为丁=41，A(3,2V3),B(3,-2V3),F(1,0),所以直线A尸的方程为y=V5(x-1),设圆心坐标为(xo，0),所 以(xo-1)2=(3-AO)2+12,解得抑=5,即 E(5,0),圆的方程为(无-5)2+)，2=6,不妨设州7 0,设直线OM的 方 程 为 则 0,根据J 笠 1=4,解得k=当，Vl+k2 34由、=尹G 5)2 4-y2=169 12解得M(9 )设 N(4COS0+5,4sin0),所以OMON=cos0+si

24、n0+9=(3cos0+4sin0)+9,因为 3cos8+4sinB=5sin(6+(p)-5,5J,所以6加 田-3,21.故选：B.x v25.（2021乌鲁木齐二模）已 知 双 曲 线-=1 的右焦点为尸，点 M 在双曲线上且在第一象限，若线段4 5M尸的中点在以原点。为圆心，|OQ为半径的圆上，则直线M b的斜率是（）,5711 5V11,A.一，35 B.-=C.D.7357 7【解答】解：如图所示，设线段M尸的中点为“，连接O,设双曲线的右焦点为立连接M F.双曲线的左焦点为F ,连接M F,则.又|0H|=|0F l=c=3,FH=MF=1(2a-2c)=a-c=l.设 NHF

25、O=a,在0 4 F 中，t a n a=V35,2二直线M F的斜率是一闻.故选：A.二.多 选 题（共 7 小题）26.（2021 江苏模拟）下列结论正确的是（）A.存在这样的四面体A 8C D,四个面都是直角三角形B.存在这样的四面体A8CC,/B A C=/C A O=N D 4B=/8C=90C.存在不共面的四点 A、B、C、D,使NABC=N8C）=N CD 4=90D.存在不共面的四点 A、8、C、D,使NA8C=N8C）=N C D 4=N D 48=90【解答】解：对于A,在长方体ABC/）-4 修。中，四面体4 -ABC的四个面都是直角三角形，所以选项A 正确；对于8,三个

26、直角均以A 为顶点，那么4 台。为锐角三角形，故选项8 错误：对 于 C,存在不共面的四点A、B、C、Z),使/ABC=N8C。=/C D 4=9 0,如图所示，故选项C 正确;对于。，若乙4次：=/8。=/1,则曲线y=/(x)上存在相异两点M,N 处的切线平行【解答】解：函数/(x)=/-or-加(aR),对于 4,当 a=-1,/(x)=/+x-Inx(x0),f (x)=2%+1-：在(0,+)上单调递增，又 f (一)=%20,11故 当 居(0,-)时，/(x)0),令 g(x)=x (x 0),则屋(x)=吐哭=%再 令。(x)=/+加x-1 (x 0),显然，h(x)在(0,+

27、8)上单调递增，又h(1)=0,所以，当 正(0,1)时，h(x)0,即g(x)0,即 g(x)0,则 g(x)在(1,+8)上单调递增，故 g(x)m in=g(1)=1,要使/(X)有零点，则2 1,故 8 错误；r1对于 C,当 a=时，f (x)=j?-x-ln x (x0),/(x)=2x-在(0,+0)上单调递增，又/(1)=0,故当x e (0,1)时，(x)0,则/(x)在(1,+8)上单调递增，故f (x)司(1)=0,故C正确；对于。，由于/(x)=2 x-“-1(尤0),若曲线y=f (x)上存在相异两点例(X i，/(X i),N(X 2,f(x2)处的切线平行，则 f

28、 (X I )=/(X 2)(X I，X 2 0,且加力1 2)，即 2 x 1 -=2 x 2 -4，即 2制 一;=2 x 2-4，x-i X o X i X o也就是/(x)=2 x -=0有两异根，即a=2 x-1 (x 0)有两个交点.令/(x)=2x(x 0),则 t(x)在(0,+8)上单调递增，当/()+时，t(x)-8；当/f+8时 ,t(X)f+8,故y=a与/(x)=2 x-i(x 0)只有一个交点，故。错误.综上所述，A C正确，故选：A C.2 8.(2 0 2 1佛山模拟)已知无穷等差数列 斯 的公差dN*,且5,1 7,2 3是“中的三项,则下列结论正确 的 是(

29、)A.d的最大值是6B.2。2 48C.金一定是奇数D.1 37一定是数列传 中的项【解答】解：,无穷等差数列 如 的公差能N*,且5,1 7,2 3是 斯 中的三项，1 7 5=1 2 =m d(2 3-1 7=6=W解得d=,m-n的最大值为6,故A正确;t/6N2a2 8=41 -5dW0,故 B 正确;4=总不，.当?-=2时，d=3,数列可能为5,8,1 1,1 4,1 7,2 0,2 3,，故 C 错误;.1 37=2 3+1 9X 6,二1 37 一定是等差数列 斯 中的项，故。正确.故选：A B D.2 9.(2 0 2 1 江门一模)已知函数/(x)=(s io v+co s

30、 x)|s ia r -co s x|,下列说法正确的是()A./(x)是周期函数B./(%)在区间-彖 不 上 是 增函数/2C.若/O n)|+|f(X 2)1=2,则总+%2=詈(依 Z)D.函数g (x)=f(x)+1 在区间 0,2 冗 上有且仅有1 个零点co s2Xf si n x co sxco s2x-SIT T X,si n x co sxT T 7T/(x)在区间-,以上不是单调函数，故 8 错误；若 I f(x i)K (x2)|=2,由/(X i)0,|/(X 2)区 1，则只有|f(x i)|=/(X 2)1=1，即用，刈只能是函数的最值点的横坐标，可得川+1 2=

31、等(髭 Z),故。正确；函数g (x)=f(x)+1 的图象是把y=f (x)的图象向上平移1 个单位得到的，则在区间 0,2 用上有且仅有2个零点，故。错误.说法正确的是AC.故选：AC.X v30.(2 0 2 1 江门一模)已知为，尸 2 是双曲线E：-yr=1 (a 0,b 0)的左、右焦点，过 F i作倾斜az bin角为 的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M、点 P,且|P M=M Q I，下列判断正确的是()A.E 的渐近线方程为 y=&x B.MF2=1|PFI|C.E的离心率等于2+百 D.ZFPF2=To【解答】解：如右图，由|P M|=|MQ|,可得M 为尸F i的中点，

32、又。为尸正2 的中点，可得。仞/叱2,NP&Q=90 ,/尸内尸2=60 ,NQ P F 2=30 ,|例 尸 2|=；伊川，故 8 正确，。正确;设|F|F 2|=2C,则|P F|=4C,|P F 2|=2 ct a n 60 =2场c,v v j O U U则 2a=PF-PFT=(4-2 V 3)c,可得 e=,=2+V 3,-=FT-1 =J6+4 gQ (4-2 V 3)c a 7 az则双曲线的渐近线方程为y=+-x即为)，=j 6+4g x.a故 C 正确，A错误.故选：B C D.31.(2 0 2 1 江门一模)已知函数f (x)=d-co s x,x E R,下列判断正确

33、的是()A.7(x)在(-2I T,-|n)单调递增B./G)在(-五，0)有 2个极值点C./G)在(-2 m -会 仅 有 1 个极小值D.当-2T T 时，f(x)W 1【解答】解：函数f (x)=-c o sx,则/(x)=e+sin x,对于A,当 工 (-2n,|T T)时，f(X)0,所以/(x)单调递增，故A 正确;对于8,函数，(x)=+siax 的零点，即为方程，()=0 的根,作出函数丁=-sit u 与函数y=e 的大致图象，如图所示：由图象可知，当.诧(-n,0)时，函数y=-siiu与函数y=，有两个交点，则方程，(x)=0有两个实根，所以/(x)在(-1 T,0)

34、有2个极值点，故3正确；对 于C,由图象可得，函数y=-sin x与函数y=，在(-2m -上只有一个交点，则方程/(x)=0只有一个实数根刈，且 在(-2H，x o)上，/(x)0,/(x)单调递增，在(刈，一 会 上，f(x)i,故。错误.故选：A B.32.(2021江苏模拟)随着高三毕业日期的逐渐临近，有“(2)个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片一，则()3A.当=4时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为：83B.当=5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为；40C.甲和乙恰好互换了卡片的概率 为 二-三n-

35、1 nD.记”个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为4”,则斯+2=(n+1)(斯+即+i)n G N*【解答】解：考虑+1个同学时的情况，若+1个同学都拿到其他同学的卡片，则第+2个同学可以与其中任何一个交换卡片，若+1个同学只有一个拿到自己的卡片，则第，?+2个同学必须与该同学交换卡片，U n+2(n+1)an+(n+1)an 故。正确；an+2-(+2)an+=-an+-(n+l)an 6 J i 0 。2=1，a”-n（i n-1 （-1）n!,S i=2（H）,代入数据可得44=9,.当”=4 时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为W=?,故 A 正确；4!8当”=5 时，恰有一人抽到

36、自己的卡片的概率为竽=:故 8错误；5!8甲和乙恰好互换了卡片的概率为 J（n 2V上=-1 故1C 正确.n!n-1 n故选：A C D.三.填 空 题（共 1 8 小题）33.（2020靖远县模拟）己知矩形A B C O 中，A B =2,B C =遮,E 是 8 边的中点.现以A E为折痕将4A O E 折起，当三棱锥。-A B E 的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为 坨.3【解答】解：由题意，当平面4 O E,平面A 3 E 时，三棱锥。-A 8 E 的高最大值，此时体积最大.4OE 是直角三角形，三棱锥D -A B E换成B -A D E二底面/1 外接圆半径r=%E=1,垂直面

37、 AB E 是边长为2等边三角形，可得A E边上的高h=V 3：设球心与圆心距离为d,球半径为R,/?2=尸+/y/3-d=R由解得R=专；三棱锥外接球的表面积5=W=苧；故答案为：3 4.（2 0 2 1 昆明一模）由正三棱锥S-A B C 截得的三棱台A B C-4 8 1 c l 的各顶点都在球。的球面上，若 AB=6,三棱台4 B C-Ai B i C i 的高为2,且球心。在平面A B C 与平面之间（不在两平面上），则 AB i的 取 值 范 围 为（2 速，6）.【解答】解：该三棱台的横截面如图所示，因为 AB C 为正三角形，且 A8=6,则 AH=裳=2V3,又G H=2,球

38、心。在 G”上，A,A 都在球面上，故 O A=O A,设 O H=h,A G=m,则由4 G。和AO均为直角三角形，所以序+（2-h）2=4+12,解得P=8+4，由图可知，hw（0,2）,m G （0,2V3）,综上可得，m 6（2V2,2V3）,又 4 8 i=岛 iG,所以431（2 n，6）,即A B i的取值范围为（2布，6）.故答案为：（2V6,6）.35.（2021江苏模拟）设数列m，42,“3,44各项互不相同，且“正 1,2,3,4（i=l,2,3,4）.若下列四个关系。1 =1；。241；43=2;。4彳4 中恰有一个正确，则（101+。2）-（10。3+。4）的最大值

39、是 18.【解答】解：若正确，则一定正确，因此不符合题意；若正确，此时令4=4,3=1，0=3,42=2,则 有（10,71+2）-（10的+44）的最大值为18;若正确，此时“4=4,2=1，。|=3,3=2,则 有（10|+2）-（10。3+44）的最大值为 7；若正确，此时 44=2,43=3,01=4,0 2=1,则 有（1041+。2）-（1043+。4）的最大值为 9.综上可得，（1041+2）_（10。3+。4）的最大值为18.故答案为：1836.（2021江苏模拟）设抛物线Ci：=7-2%+2和 C2：y=-7+依+方在它们的一个交点处的切线互相垂3直，则C 2过定点（1，二）

40、.2【解答】解：y=7-2x+2,.y=2 x-2,.y=-x1+ax+b,.y 设交点为（xo，vo）=-2x+a,它们在一个交点处切线互相垂宜，/.（2xo-2）（-2xo+a）=-1,即 4X（）2-（2a+4）xo+2a-1 =0,由交点分别代入二次函数式，整理得，2A-O2-（2+）xo+2-h=0,即 4x（）2 -（4+2。）x（）+4-2匕=0,由整理得2a-1-4+2Z=0,即a+b=|,所以 C2：=-x+ax+2 a,令 x=l,可得y=|，3则 C2过 定 点（1,3故答案为：（1,-）,37.（2021新余二模）在三棱锥 A-BCZ）中，A B=A C=B C=B D

41、=C D=6,A O=9,则三棱锥 A-BCQ 外接 球 O 的 表 面 积 为 84蜘.【解答】解：如图所示：取 BC的中点E,连接AE,D E,取 AO的中点凡 连接EF,因为 AB=AC=BC=8/）=C=6,所以AEL8C,D E L B C,且三角形A3C和三角形8CO都是正三角形，所以A E=O E=3%,即 三 角 形 为 等 腰 三 角 形，所以EEL4。，且 EF平分乙4EO,不妨设三角形BCO的外接圆圆心为O,且 O 在。E 上，所以E O=剑=6,设外接球的球心为O，半径为凡 则 OA=O=R,利 用 面 面 垂 直 可 证 得 平 面 平 面BCD,又平面AE0C1平面

42、B C D=E D,则球心O 必在三角形AEZ）中，又O A=O D=R,所以。在乙4EO的角平分线E尸上，连接O。，则 00 _L平面 B C D,即 00 LED,在三角形4EO中，山余弦定理可得:cosZAED=AE2+ED2-AD22AEED12f所以NAEO=120,所以NFED=*N4EO=60,在 RtZXEOO中，ta n N F D=百，所以 O。=3,在 R t。中，OD=R,O D=2V3,所 以 解=。0 2+O 2=2L所以球O的表面积为5=4川?2=84n,故答案为：84n.38.（2021 陕西模拟）如图，在三棱锥A-B C D 中，B C=C D=B D=2 a

43、,A B=A C=A D 2 a,若该三棱锥的侧面积是底面积的百倍，则该三棱锥外接球的表面积为12T T.【解答】解：取 3 c 边的中点,连结A E,如图所示，BCD外接圆的圆心为F,三棱锥A-B C D外接球的球心为O,因为AB=AC且点E 为 8 c 的中点，所以4E=，4a2-2,由此可知该三棱锥的侧面积S翁=3a X V4a2-2=6V2a2-l,底面BCD的面积为2百，所以6v2a2-1 =8 x 2 7 5,解得 a=l,设三棱锥A-B C D外接球半径为R,OFx,因为A B=4C=A O=2,所以点A 在底面B C D上的射影为点F,因为A B 东1又.弓=MA-NA=MA*

44、NA-cos=NA*cos,：.NA=-三，2cos由题意可知点N 在线段BC上，假设点N 与点B 重合，TTT-4TT T-T T则5=AL4 MN=MKMB=|M4|，|MBrcosVM/l,MB=cos,即 cosN8MA=I，兀_1 s b2 7rZBM A=可或1，.NBAM=亨或 BP c o s AL4,或?，假设点N 与点C 重合，T T -T T T T T T 则3=MA MN=MAMC=M AMC-cos=cos=5或,2 21 T综合可得，-WcosVMA,2A 12COS2,11._ -1,2 2cos1 T即5 M4|W1,故答案为：I：（,1.40.（2021江门

45、一模）已知一圆锥纸盒母线长为6,其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为“的正方体，若正方体可在纸盒内任意转动，则”的 最 大 值 为 2.【解答】解：由于正方体可在圆锥内任意转动，故当正方体棱长。最大时，正方体外接球为圆锥内切球，设圆心为P,半径为r,轴截面匕球与圆锥母线切点为Q,SOAB,SO平分AS,由SA8 为正三角形，SA=SB=AB=6,04=08=3,因为P 8为/S A B 的角平分线，所以NP8A=30,PO=O8tan30=y/3=r,由正方体外接球直径与正方体之间的关系可得，2R=V3a,又正方体外接球为圆锥内切球，所以百a=2r=26，故。=2,所以。的最大值为2.故

46、答案为：2.41.（2021 江门一模）若数列 斯 满足递推公式 an+2=如+1 +（於N）,且。1=。2,2020=2021,则 M+。3+。5+,*,4-672019 2021【解答】解：Z i=a2，”+2=斯+1+。（WN）,且 42020=2021,a+3+。5+20!9=。2+3+45+,+2019=44+45+2019=2018+2019=2020=2021，故答案为：2021.42.（2021 江苏模拟）法国著名的军事家拿破仑.波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.在三角形 AB

47、C中，角 A=60,以AB、B C、AC为边向外作三个等边三角形，其 外 接 圆 圆 心 依 次 为。2、03，若三角形01。2。3的面积为由，则三角形A8C的周长最小值为3V2.2-【解答】解：由题意知。02。3为等边三角形，设边长为勿3则5必 02。3=,飞 出 60。=字/=坐,解 得|O Q I=w=V2；设 8C=a,A C=b,A B=c,如图所示:在0 1 4 0 2 中，N Q A 8=N 0 1 A 4=3 0 ,由 NBAC=60,所 以/。3。2=120,A8在等腰BOiA中，01Asinl20si n 3Q 解 得0A=者 同 理 得。加 强在Q A Q 中，由余弦定理

48、得0103?=。1邢+。342-2QA O3ACOS1200c2 h2 be 1即 2=亏+2 一(5),3 3 3 2即 庐 +庆=6,在ABC中，由余弦定理知，2=户+/./A B C 的周长为 a+b+c=/6 2b c+b e,又.居+c222hc,庐+儿=623姐“2.令/(x)=V6-2%4-V6 4-x(0VxW2),则/()=一石+获 q1 1当/(X)0,则当a 2 且 x 0 时，h(x)0,方程/?(x)=0 无解，不满足题意，当。=2 时，方程(%)=0 的根为一会 不满足题意，当 0 a 0,要使方程力(x)=0 在 区 间(0,+8)上有解，只需=4/-4(2-a)

49、(2-2 a)2 0,解得 3-遥 士店3+西，所以 3-V5 a/2AB-2,所以HC=HG-）1C-竽 年，所以点。的轨迹所组成的图形的面枳S=C H -HG s讥120。=故答案为：X2 V245.（2021 黄山二模）己知Q,尸2分别为双曲线二一=1（。0,b 0）的左、右焦点，过 点&作 圆/+尸=”2的切线交双曲线左支于点M,且/Q M F2=60,则该双曲线的渐近线方程为y=（l+竽）【解答】解：设切点为A,过 Q 作 Q8_LMF2,垂足为8,由题意可得|O4|=m OF2=C9 AF2=y/c2 a2=b,由 QA为4BF1F2的中位线，可得|3Q|=2m|8&|=2,又/|

50、例 乃=60,可得IMQI=黑 宗=张，MF2=MB+BF2=2a又眼 2 5|四人1=2a再,4a+2b 一俄+2b,所以b=(1+4-)a,所以双曲线的渐近线方程为y=(1 +,)工46.(2021 巴中模拟)已知函数f (x)=x，g(x)=爸，h(x)=x ln x,现有以下四个命题:f(x)-g(x)是奇函数；函数/(x)的图象与函数g(x)的图象关于原点中心对称；对任意X 6R,恒有/(X)2g(x)；函数/(X)与函数人(X)的最小值相同其中正确命题的序号是 .【解答】解：函数/(x)=xexf g(x)=卷,h(x)=xlnx,对于，令 尸(X)=f(x)-g(x)=x*e-x