2021年中考数学第三轮解答题冲刺：二次函数 复习（含答案）.pdf

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1、2021年中考数学第三轮解答题冲刺：二次函数专题复习1、已知二次函数y=a x2-2a x+c (a 0)的图象与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点,与 y 轴交于点C,它的顶点为P,直线CP 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D,且 CP：P D=2：3(1)求 A、B 两点的坐标；(2)若 t a nN P D B=，求这个二次函数的关系式.42、如图，在平面直角坐标系中，ZACB=9 0 ,0 C=20 B,t a nN AB C=2,点B的坐标为(1,0).抛物线y=-x2+b x+c 经过A、B两点.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点

2、P 作 P D 垂直x 轴于点D,交线段AB 于点E,使 P E 蒋 D E.求点P的坐标；在直线P D 上是否存在点M,使a AB M 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点/(-2,0)，点 6(4,0),与 y 轴交于点。(0,8),连接以7,又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴 的 动 直 线 沿X 轴正方向从。运动到6(不含。点和8 点)，且分别交抛物线、线段勿以及X 轴于点尸，E.(1)求抛物线的表达式；(2)连接力C,A P,当直线/运动时，求使得%1 和 相 似 的 点 P的坐标；(3)作 取 184垂足为凡当直线/运动时

3、，求 Rt 板面积的最大值.4、如图，已知二次函数的图象过点0 (0,0).A(8,4),与 x 轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.(1)求该二次函数的解析式；(2)若 M 是 O B 上的一点，作 M N AB 交 O A于N,当AAN M 面积最大时，求M的坐标；(3)P 是 x 轴上的点，过 P 作 P Q _ L x轴与抛物线交于Q.过 A 作AC_ L x轴于C,当以0,P,Q为顶点的三角形与以0,A,C 为顶点的三角形相似时，求 P点的坐标.5、如图，在平面直角坐标系中，点0 为坐标原点，抛物线y=a x?+b x+5经过点M (1,3)和 N(3,5)(1)试判断该抛物线与x

4、 轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(-2,0),且与y 轴交于点B,同时满足以A、0、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由.6、如图，已知二次函数y=a x2+2x+c 的图象经过点C(0,3),与x 轴分别交于点A,点B (3,0).点 P 是直线B C上方的抛物线上一动点.(1)求二次函数y=a x2+2x+c 的表达式；(2)连接P 0,P C,并把AP O C沿 y 轴翻折，得到四边形P O P C.若四边形P O P C 为菱形,请求出此时点P的坐标；(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACP B 的面积最大？求出此时P 点的坐

5、标和四边形ACP B的最大面积.7、函数的图象与性质拓展学习片段展示：【问题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a (x-2)经过原点0,与x 轴的另一个交点为A,则a=.【操作】将图中抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,如图.直接写出图象G 对应的函数解析式.【探究】在图中，过点B (0,1)作直线1 平行于x 轴，与图象G的交点从左至右依次为点 C,D,E,F,如图.求图象G在直线1 上方的部分对应的函数y 随 x 增大而增大时x 的取值范围.【应用】P 是图中图象G 上一点，其横坐标为m,连接P D,P E.直接写出

6、4 P D E 的面积不小于 1 时 m的取值范围.8、如图，抛物线尸a f+b x+4 交 x 轴于/(-3,0),B(4,0)两点，与 y 轴交于点C,连接 AC,8 C.点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，点尸的横坐标为朋.(1)求此抛物线的表达式；(2)过点P 作用此才轴，垂足为点忆P M交.BC于点、Q.试探究点在运动过程中，是否存在这样的点0,使得以4 C,0 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点。的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过 点 尸 作 砒 8a垂足为点儿 请用含的代数式表示线段Q V 的长，并求出当山为何 值 时 有 最 大 值，最大值是多少？9、如图1,

7、在平面直角坐标系中，点B在 x 轴正半轴上，O B 的长度为2 m,以O B 为边向上作等边三角形A O B,抛物线1：y=a x?+bx+c经过点0,A,B 三点(1)当 m=2 时，a=-逅，当 m=3 时，a=-逅；2 3（2）根 据（1）中的结果，猜想a 与 m的关系，并证明你的结论；（3）如图2,在图1 的基础上，作 x 轴的平行线交抛物线1 于 P、Q 两点，P Q 的长度为2 n,当4 A P Q 为等腰直角三角形时，a 和 n的关系式为a=-n-;（4）利 用（2）（3）中的结论，求A A O B 与4 A P Q 的面积比.1 0、如图，抛物线y=a x2-2 x+c（a W

8、 O）与x 轴、y 轴分别交于点A,B,C 三点，已知点A （-（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1,抛物线的对称轴与x 轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将4 E B P 沿直线 E P 折叠，使点B的对应点B 落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2,设 B C 交抛物线的对称轴于点F,作直线C D,点M是直线C D 上的动点，点N是平面内一点，当以点B,F,M,N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标.1 1、抛物线产-f+4 a x+8（a 0）与 x 轴相交于0、4 两点（其中。为坐标原点），过点尸（2,2 a）作直线闾吐x 轴于点M,交抛物线于点B

9、,点8关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、。不重合），连 接 交 y 轴于点儿 连接6。和 R.（1）制 时，求抛物线的解析式和能的长;(2)如图a l 时，若 心 P C,求 a的值.是否存在实数。，使 募=g,若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由1 2、如图，抛 物 线 尸 广 4交 x轴于/(-3,0),B(4,0)两点，与丁轴交于点C,连接4 C,8 0.点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，点尸的横坐标为加(1)求此抛物线的表达式；(2)过点夕作灯吐x 轴，垂足为点轨P M交 BC于点Q.试探究点尸在运动过程中，是否存在这样的点。，使得以4 C,。为顶点的三角形是等腰三角形.若存

10、在，请求出此时点0的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点尸作MUS C,垂足为点儿 请用含勿的代数式表示线段/W 的长，并求出当勿为何值时/W 有最大值，最大值是多少？1 3、如图1,直线y=-素+1 1 交 x 轴于点A,交 y 轴于点C (0,4),抛物线y x 2+bx+c经过点A,交 y 轴于点B(0,-2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作 x 轴的垂线P D,过点 B 作 B D _ LP D 于点D,连接P B,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当B D P 为等腰直角三角形时，求线段P D 的长；(3)如图2,将4 B D P 绕点B 逆时针旋转，得到A

11、B D P,且旋转角N P B P =ZO A C,当点9、41 4、如图，直线y=-QX+C与x 轴交于点A (3,0),与 y 轴交于点B,抛物线y=-Q x +bx+c经过点A,B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M (m,0)为 x 轴上一动点，过点M且垂直于x 轴的直线与直线A B 及抛物线分别交于点P,N.点M 在线段0 A 上运动，若以B,P,N为顶点的三角形与4 A P M 相似，求点M的坐标；点M在 x 轴上自由运动，若三个点M,P,N中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M,P,N 三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N 三点成为“共谐点”1

12、 5、抛物线 y=a x?+bx+3 经过点 A (1,0)和点 B (5,0).(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y=x+3 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x 轴下方,5直线P M y 轴，分别与x 轴和直线C D 交于点M、N.连结P C、P D,如图1,在点P运动过程中，4 P C D 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连结P B,过点C作C Q P M,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得A C N Q 与P B M 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.1 6 如图1,经过原点0的抛物线y=a

13、 x?+bx (a W O)与 x轴交于另一点A (慨，0),在第一象限内与直线y=x 交于点B (2,t).(1)求这条抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,0,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标；(3)如图2,若点M在这条抛物线上，且N M B O/A B O,在(2)的条件下，是否存在点P,使得 P O C s M O B?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.1 7、如图，抛物线y=a x +bx -2的对称轴是直线x=l,与 x 轴交于A,B两点，与 y 轴交于点C,点A的坐标为(-2,0),点P为抛物线上的一个动点，过点P 作 P D，x 轴

14、于点D,交直线 B C 于点E.(1)求抛物线解析式；(2)若点P 在第一象限内，当0 D=4 P E 时，求四边形P O B E 的面积；(3)在(2)的条件下，若点M为直线B C 上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N 为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.备用图参考答案2 0 2 1年中考数学第三轮解答题冲刺：二次函数专题复习1、已知二次函数y=ax2-2 ax+c(a 0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,它的顶点为P,直线C P与过点B且垂直于x轴的直线交于点D,且C P：

15、P D=2：3(1)求A、B两点的坐标；(2)若tan N P DB=S，求这个二次函数的关系式.【解答】解：(1)过点P作P E J_x轴于点E,/y=ax2-2 ax+c,二该二次函数的对称轴为：x=l,.0 E=l，C P：P D=0 E：E B,.,.O E：E B=2：3,3，E B=,.,.O B=O E+E B=-|,A B (1,0)；A与B关于直线x=l对称,(2)过点C作C F L B D于点F,交P E于点G,令 x=l 代入 y=ax2-2 ax+c,y=c-a,令 x=0 代入 y=ax2-2 ax+c,；y=c P G=a,V C F=O B=,C F二 tan/P

16、 DB 端，AF D=2,P G BD/.C P G AC DF,P G_C P=_一2F D C D 5.y_=-4 x 2-8 x+上c,5 5把 A(-),0)代入 y=7X2-1 x+c,2 5 5解得：c=-1,.该二次函数解析式为：y=&-1 x-1.5 52、如图，在平面直角坐标系中，ZAC B=9 0 ,0 C=2 0 B,tan/ABC=2,点B 的坐标为（1,0）.抛物线y=-x?+bx+c经过A、B 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是直线AB上方抛物线上的一点，过点P 作 P D垂直x 轴于点D,交线段AB于点E,使 P E=yDE.求点P的坐标；在直线P D

17、上是否存在点M,使AABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)V B(1,0),.,.O B=1,V 0 C=2 0 B=2,AC (-2,0),R tAABC 中，tan N ABC=2,.AC-n.AC-n.3-2,/.AC=6,AA(-2,6),把 A(-2,6)和 B(1,0)代入 y=-x?+bx+c 得：,I -l+b+c=0解 得:(胃,抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4；(2)YA(-2,6),B(1,0),易得AB的解析式为：y=-2 x+2,设 P (x,-x2-3x+4),则 E (x,-2 x+2),V P

18、E=1-DE,-x-3x+4 -(-2 x+2)(-2 x+2),x=l(舍)或-1,：.P(-1,6)；;M在直线P D上，且 P (-1,6),设 M (-1,y),.,.AM2=(-1+2)2+(y-6)I+(y-6)2,BM2=(1+1)2+y2=4+y2,AB2=(1+2)=62=4 5,分三种情况：i)当N AM B=9 0 时，W AM2+BM2=AB2,A1+(y-6)2+4+y2=4 5,解得：y=3 士 JIT，AM (-1,3+V T T)或(-1,3-V T 1)；i i)当N ABM=9 0 时，有 AB+BM AM2,.4 5+4+y2=l+(y-6)2,y=-bA

19、M (-1,-1),i i i)当N BAM=9 0 时，W AM2+AB2=BM2,.*.1+(y-6)，4 5=4+y2,1 3F/.M (-1,;综上所述，点M的坐标为：M(-1,3+J H)或(-L 3-J U)或(-1,-1)或(-1,3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a*+8 x+c与 x 轴交于点（-2,0）,点 3（4,0）,与 y 轴交于点。（0,8）,连 接 又 已 知 位 于 y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线/,沿 x 轴正方向从。运动到8（不含。点和6 点），且分别交抛物线、线段a 以及x 轴于点P,D,E.（1）求抛物线的表达式；（2）连接/G A P,当直线，

20、运动时，求 使 得 陶 和 相 似 的 点 尸 的 坐 标;（3）作 叽 6C,垂足为居 当直线/运动时，求 R ta/T。面积的最大值.4 a 2b+c=0【解答】解：（1）将点4、8、。的坐标代入二次函数表达式得：1 6a+4 6+c=0,解得:c=8a=-1b=2,c=8故抛物线的表达式为：尸-y+2 矛+8；（2）.点/（-2,0）、C（0,8）,：.OA=2,OC=8,轴，：.ZP EA=ZA OC=dQ ,:/P A E乎/CA O,只有当/陶=N2%时，P EA/XA OC,此时些=空，即：生=竺，CO 710 8 2:.A E=4P E,设点尸的纵坐标为A,则如=A,A E=4

21、k,：.OE=4k-2,将点尸坐标（4 4-2,k）代入二次函数表达式并解得：仁 0 或接（舍去0）,16则点P（芋，77）；4 16（3）在 Rt9 9中，ZP F D=ZCOB=90,/y 轴，:P DF=/COB,:.R SP F DsR SBOC,SPFD _ _ Z2&BOC-I而）而 5A皴=三OB 好 x 4 X 8=16,BC=VCO2+BO2=4%,即当取得最大值时，8W 最大，将 反 C坐标代入一次函数表达式并解得：直线优的表达式为：y=-2矛+8,设点。（加，-/+2 研8）,则点（例-2 研8）,贝！J P D=-/+2G8+2/-8-（勿-2）+4,当勿=2 时，勿的

22、最大值为4,故 当&H 4 时，五物=：阳=.4、如图，已知二次函数的图象过点0（0,0）.A （8,4）,与 x 轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.（1）求该二次函数的解析式；（2）若 M是 0B上的一点，作 M N AB交 0A于N,当aANM面积最大时，求 M的坐标；（3）P 是 x 轴上的点，过 P 作 PQJ_x轴与抛物线交于Q.过 A作 AC_Lx轴于C,当以0,P,Q为顶点的三角形与以0,A,C为顶点的三角形相似时，求 P 点的坐标.【解答】解：（1）.抛物线过原点，对称轴是直线x=3,A B点坐标为(6,0),设抛物线解析式为y=ax(x-6),把A(8,4)代入得a 82

23、=4,解得a=,4 抛物线解析式为 y x (x-6),BP y=1x2-1 x;(2)设M (t,0),易得直线0A的解析式为y=1x,设直线AB的解析式为y=kx+b,把 B(6,0),A (8,4)代入得需解得k=2b=-12直线AB的解析式为y=2x-12,VMN/7AB,设直线MN的解析式为y=2x+n,把 M (t,0)代入得 2t+n=0,解得 n=-2 t,.直线MN的解析式为y=2x-2 t,解方程组1尸，X得.y=2x-2t_43，则N(凯-f t),z0 O.SAAM N=SAAO M -SANOM=%4 t-2 2 3=-*+2 t(t-3)2+3,当t=3时，S那有最

24、大值3,此时M点坐标为(3,0)；(3)设 Q(m,gm?-,m),4 2ZOPQ=ZACO,当瞿=粤 时，APQOACOA,即粤二 整，OC AC 8 4:.PQ=2P0,即|-m2-|-m|=21 m|,解 方 程#-|m=2m得=0(舍去)，ni2=14,此时P点坐标为(14,2 8)；解方程1-余-2得叫=0(舍去)，m2=-2,此时P点坐标为(-2,4)；，当粤=瞿 时，A P Q O-A C A O,即粤=粤，A C 0C 4 8，P Q=PO,B P|-y m|=-1-1 m|,解方程看n?-得叫=0(舍去)，m2=8 (舍去),解方程誉!-专产一 夕!得叱=0(舍去)m2=2,

25、此时P点坐标为(2,-1)；综上所述，P点坐标为(14,28)或(-2,4)或(2,-1).5、如图，在平面直角坐标系中，点0 为坐标原点，抛物线y=a x 2+bx+5经过点M (1,3)和N(3,5)(1)试判断该抛物线与x 轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A (-2,0),且与y 轴交于点B,同时满足以A、0、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由.(1)由抛物线过M、N 两点，把 M、N 坐 标 代 入 抛 物 线 解 析 式 可 得 解l 9a+3b+5=5(b=-3 抛物线解析式为y=x 2-3x+5,令 y=0 可得 x?-3x+

26、5=0,该方程的判别式为=(-3)2-4X 1X 5=9-20=-11 0,.抛物线与x 轴没有交点；(2).A 0B 是等腰直角三角形，A (-2,0),点B 在 y 轴上,B 点坐标为(0,2)或(0,-2),可设平移后的抛物线解析式为y=x2+m x+n,当抛物线过点A (-2,0),B (0,2)时，代入可得n=24 2i n+n=0,.平移后的抛物线为y=x2+3x+2,.该抛物线的顶点坐标为(-看，-1),而原抛物线顶点坐标为(田，芳)，将原抛物线先向左平移3 个单位，再向下平移3 个单位即可获得符合条件的抛物线;当抛物线过A (-2,0),B (0,-2)时，代入可得(：二2 解

27、得吁1。，4-2n H-n=0 n=2二平移后的抛物线为y=x?+x-2,，该抛物线的顶点坐标为(-/，-1),而原抛物线顶点坐标为弓，芳)，将原抛物线先向左平移2 个单位，再向下平移5 个单位即可获得符合条件的抛物线.6、如图，已知二次函数y=a x?+2x+c 的图象经过点C(0,3),与 x 轴分别交于点A,点B(3,0).点 P 是直线B C 上方的抛物线上一动点.(1)求二次函数y=a x，2x+c 的表达式；(2)连接P O,P C,并把A P O C 沿 y轴翻折，得到四边形P O P C.若四边形P O P C为菱形,请求出此时点P的坐标；(3)当点P 运动到什么位置时，四边形

28、A C P B 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形A C P B的最大面积.【解答】解：(1)将点B 和点C的坐标代入函数解析式，得(9a+6+c=01 c=3，解 得 尸，c=3二次函数的解析是为y=-x2+2x+3；(2)若四边形P O P C为菱形，则点P 在线段C O 的垂直平分线上,如图1,连接P P ,则P E _L C O,垂足为E,A E (0,y),点p的纵坐标慨，当 y=|时,B P -x2+2x+3=|,解得X 尸 驾 亚，X 广土等(不合题意，舍)，.,.点p的坐标为(2耍，；乙 乙解得P 在抛物线上，设P (m,-m2+2m+3),设直线B C 的解析式为y=k

29、 x+b,将点B 和点C的坐标代入函数解析式，得(3k+3=0l b=3 k=-lb=3 直线B C 的解析为y=-x+3,设点Q的坐标为(m,-m+3),PQ=-m+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.当 y=0 时，-x2+2x+3=0,解得 X1=-l,X2=3,OA=1,AB=3-(-1)=4,S 四边形 A B P C=SA ABC+SA P C Q+SA P W)=yAB OC+*PQ OF+yPQ*FB=4 X 4 X 3+!(-m2+3m)X32 2=-|(m-|)?+亭,当m=1 时，四边形ABPC的面积最大.当m=J时,-m2+2m+3=-,即P点的坐标为(得,与).当点

30、P的坐标为(?，?)时，四边形ACPB的最大面积值为尊.7、函数的图象与性质拓展学习片段展示：【问题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)2-日经过原点0,与x轴的另一个交点为A,则a=_ -_.【操作】将图中抛物线在X轴下方的部分沿X轴折叠到X轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,如图.直接写出图象G对应的函数解析式.【探究】在图中，过点B(0,1)作直线1平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C,D,E,F,如图.求图象G在直线1上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围.【应用】P是图中图象G上一点，其横坐标为m,连接PD,P E.直接写

31、出4PD E的面积不小【解答】解：【问题】.抛物线y=a(x-2)2-日经过原点0,o/.0=a(0 -2)2-_ 1a 3f故答案为：；J【操作】：如图，抛物线：y=(x-2)2-|,对称轴是：直线x=2,由对称性得：A (4,0),沿 x 轴折叠后所得抛物线为：y=-1 (x-2)2+|Y(X-2)2，(X4)如图，图象G 对应的函数解析式为：y=1；)2+-(0X 2+诉时，函数y 随 x 增大而增大;【应用】：VD (1,1),E (3,1),.*.D E=3 -1=2,V S y D E-h l,A h l；当P 在 C的左侧或F的右侧部分时，设 Pm,当(m-2)2-1,o o.,

32、.h (m-2)2-1 2 1,Jo(m-2)I O,m -2 2 Vl够 m -2 W -V1 0，m 2 2+VT或 m W 2 -V1 O，如图，作对称轴交抛物线G于 H,交直线C D 于M,交 x 轴于N,VH (2,2)，4 I/.H M=-1 =Q V 1,点P 不可能在D E 的上方；,.,M N=1,且 0 (0,0),a(4,0),.P不可能在C O(除。点)、0 D、E A (除A点)、A F 上，.P与 0 或 A 重合时，符合条件，m=0 或 m=4 ；综上所述,A PD E 的面积不小于1 时,m的取值范围是:m=0 或m=4 或m W 2 -五 5 或m 2 2+J

33、 元8、如图，抛物线尸af+8 x+4 交 x 轴于4(-3,0),B(4,0)两点，与 y 轴交于点C,连接 ZC,BC.点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，点尸的横坐标为勿.(1)求此抛物线的表达式；(2)过 点 尸 作 门 轴，垂足为点忆P M交回 于 点。.试探究点尸在运动过程中，是否存在这样的点。，使得以4 C,0 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点0的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点尸作月U 8G垂足为点足 请用含加的代数式表示线段网,的长，并求出当R 为何 值 时 有 最 大 值，最大值是多少？【解答】解：(1)由二次函数交点式表达式得：y=a(广3)(x-4

34、)=a=ax-ax-1 2 a,即：-1 2 a=4,解得：a=则抛物线的表达式为尸-|/+|+4;(2)存在，理由：点 4、B、。的坐标分别为(-3,0)、(4,0)、(0,4),则 4 7=5,A B=1,BC=4,ZOA B=ZOBA=45,将点8、。的坐标代入一次函数表达式：并解得：y=-广4，同理可得直线的表达式为：尸:广4,设直线力。的中点为(一 j 4),过 点 与。垂直直线的表达式中的A 值为一同理可得过点/与直线4。垂直直线的表达式为：尸-9+:，4 8贝 1=第=5,设：Q M=MB=n,则 A M=7 -n,由勾股定理得：（7-/7）W =2 5,解得：=3 或 4 （舍

35、去4）,故点 0（1,3）；当时，如图1,CQ=5,则 BQ=BC-CQ=4a-3,则Q M=MB=吃 咨2故点Q（壁，山）；2 2当=力。时，联立并解得：mg（舍去）；故点0 的坐标为：0（1,3）或（延，世也）；2 2（3）设点尸（加，-：序+：加4）,则点0 （加，-研4）,：OB=OC,:A B C=40CB=45=A P Q N,P N=P Q sinA P Q N=（一与+工 研 4+/-4）=一 返（/-2）旺 延，2 3 3 6 3._ 更0,.B V有最大值，6当勿=2时，/W 的最大值为：塞.39、如图1,在平面直角坐标系中，点B 在 x 轴正半轴上，0 B的长度为2 m,

36、以O B为边向上作等边三角形A O B,抛物线1：y=ax?+bx+c经过点0,A,B 三点（1）当 m=2 时，a=-,当 m=3 时，a=-；2 3（2）根 据（1）中的结果，猜想a 与 m的关系，并证明你的结论；（3）如图2,在图1 的基础上，作 x 轴的平行线交抛物线1 于P、Q 两点，P Q 的长度为2 n,当4 A P Q 为等腰直角三角形时，a 和 n的关系式为a=-；n（4）利 用（2）（3）中的结论，求A A O B与4 A P Q 的面积比.【解答】解：（1）如图1,VOl M B x图1 点B 在 x 轴正半轴上,O B的长度为2 m,/.B(2 m,0),:以0 B为边

37、向上作等边三角形A O B,/.A M=V3m，0 M=m,A A (m,避 m)，.抛物线1：y=ax?+bx+c经过点0,A,B 三点aX (2 m)2+2 b/c=0,aK+bn r t x=V5 m c=0b返.m,小b 二 2c=0当 m=2 时，a=-,当m=3时，a=-零,故答案为：-零，-零；4 O(2)a=-返m理由：如图1,点B 在 x 轴正半轴上，0 B的长度为2 m,A B(2 m,0),以0 B为边向上作等边三角形A O B,/.A M=V3n 0 M=m,/.A (m,5/3 m),抛物线1：y=ax?+bx+c经过点0,A,B 三点aX (2 m)+2 bi r

38、r t-c=0ai n2+bn r i-c=V3n ic=0IDb=2 V3c=0低,i nA P Q 为等腰直角三角形，P Q 的长度为2 n,设 A (e,d+n),/.P (e-n,d),Q (e+n,d),VP,Q,A,0 在抛物线 1：y=ax?+bx+c 上,2ae+be+c=d+n a(e-n)2+b(e-d)2+c=da(e+n)+b(e+n)+c=dc=0ae2+be=d+n I a(e-n)2+b(e-n)=d，a(e+n)2+b(e+n)=d(5)-化简得，2 ae-an+b=l(4),-化简得，-2 ae-an -b=l，-化简得，an=-1,/.a=一 1n故答案为a

39、=-,n(4)Y O B 的长度为2 m,A M二技,/.S&O B=*0 B X A M=2 m X =F m?，由(3)有，AN=nPQ的长度为2n,SAAPQ=-PQ X AN=y X 2m X n=n2，由(2)(3)有，OF-9m n ,m nm=V3n,S/kAOB v 5m2(炳n)2 班SAAPQ n2 n2 1.AAOB与AAPQ的面积比为3 b：1.10、如图，抛物线y=ax?-2x+c(aW O)与x轴、y轴分别交于点A,B,C三点，已知点A(-(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将AEBP沿直线E

40、P折叠，使点B的对应点B落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F,作直线C D,点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B,F,M,N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标.【答案】(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：(4a+4+c=0,lc=-8解得：a=L c=-8.抛物线的解析式为y=x2-2x-8.Vy=(x-1)2-9,AD(1,-9).(2)将 y=0 代入抛物线的解析式得：X2-2 x-8=0,解得x=4 或 x=-2,A B(4,0).Vy=(x-1)，抛物线的对称轴为x=l,A E (1,0).将aE BP 沿直线

41、E P 折叠，使点B 的对应点B 落在抛物线的对称轴上，.E P 为NBE F 的角平分线.Z BE P=4 5 .设直线E P 的解析式为y=-x+b,将点E的坐标代入得：-l+b=0,解得b=l,直线E P 的解析式为y=-x+1.将 y=-x+l 代入抛物线的解析式得：-X+1=X2-2X-8,解得：x=A z 咨 或 x=杂.点P 在第四象限，-X =W37A-.2.,1-V37 y-.2 _.p (2+V37 1-V37),2 2(3)设 C D 的解析式为y=k x-8,将点D的坐标代入得：k -8=-9,解得k=-l,直线C D 的解析式为y=-x-8.设直线C B的解析式为y=

42、k?x-8,将点B 的坐标代入得：4 k 2-8=0,解得：k2=2.直线BC 的解析式为y=2 x-8.将 x=l 代入直线BC 的解析式得：y=-6,A F (1,-6).设点M 的坐标为(a,-a-8).当 MF=MB 时，(a-4)2+(a+8)2=(a-1)2+(a+2)z,整理得：6a=-75,解得：a=-y.点M 的坐标为(-3，?).当 F M=F B 时，(a-1)2+(a+2)2=(4 -1)2+(-6-0)2,整理得：a2+a-2 0=0,解得：a=4或 a=-5.点 M 的坐标为(4,-1 2)或(-5,-3).综上所述，点M 的 坐 标 为(-拳?)或(4,-1 2)

43、或(-5,-3)1 1、抛物线产-*+4 ax+8（a 0）与 x 轴相交于0、4 两点（其中。为坐标原点），过点尸（2,2 a）作直线HUx 轴于点弘交抛物线于点6,点6 关于抛物线对称轴的对称点为。（其中6、。不重合），连接4 尸交y 轴于点M连接6。和 R.（1）制 时，求抛物线的解析式和6。的长；（2）如图a l 时，若A P I P C,求 a 的值.A D 1.是否存在实数“，使 生=:，若存在，求出”的值；若不存在，请说明理由P N 2解：(1)抛物线片-*+4 ax+b(a 0)经过原点0,/.ZFO ,制，抛物线解析式为y=-*+6x,；A=2 时，尸8,.点 6 坐 标(2

44、,8),对称轴产3,B、。关于对称轴对称，点。坐 标(4,8),：.BC=2.(2),J A P LP C,：.ZA P O,：ZCP B+ZA P Q ,/A P楙/PAJ的90 ,，乙 CP人 P A M,：N P B O/P M归9G ,:.XPCBSXAPM,.P B_ BC.6a-4 _ 4 a 4*4 3-2 -2 T-,整理得a，-4 K 2=0,解得”=2 及，Va 0,a=2 +,2 (3)V/l(4 a,0),：.OA=4a,VP(2,2 a),：.02,：.A M=A a-2,：P M/ON,：.=,P N O M 2.4 a 2 1 Q 4 日 3 =彳，解得：a=.2

45、 2 41 2、如图，抛 物 线 尸 a*+6 x+4 交 x轴于1(-3,0),B(4,0)两点，与 y轴交于点C,连接4 C,比：点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，点尸的横坐标为勿.(1)求此抛物线的表达式；(2)过点尸作A M L x 轴，垂足为点机冏/交比 于点。.试探究点尸在运动过程中，是否存在这样的点。，使得以4 C,0 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点0的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点户作总比6G垂足为点正 请用含的代数式表示线段/W 的长，并求出当力为何值时/W 有最大值，最大值是多少？【解答】解：由二次函数交点式表达式得：尸 a (广3)(x-4)=

46、a(V-x-1 2),即：-1 2 a=4,解得：a=-2，则抛物线的表达式为y=-9+2产4；(2)存在，理由：点 4、B、C 的坐标分别为(-3,0)、(4,0)、(0,4),则业=5,A B=7,BC=4yf2,N OA B=/OBA=45,将点6、。的坐标代入一次函数表达式：并解得：y=-广4，同理可得直线的表达式为：尸!户4,设 直 线 的 中 点 为(-擀，4),过 点 与。垂直直线的表达式中的A 值为-卷，同理可得过点 与直线力。垂直直线的表达式为：y=广，q o当4。=/。时，如图1,则 A C=A&=5,设：Q M=MB=n,则 A M=1-n,由勾股定理得：（7-）2+4=

47、25,解得：=3或4（舍去4）,故点 0（1,3）；当47=C。时，如图1,浙5,则 BQ=BC-CQ=4近-5,贝ij Q M=MB=一 萨,故点0（平，粤1）；当 浙 四 时，联立并解得：刀=争（舍去）；故点0的坐标为：Q（1,3）或（平，丝 叵）；2 2（3）设点P（272,-序+；研4）,则点0（勿，-研4）,：OB=OC,:A B C=N OCB=43 =4P Q N,P N=P Q sn乙P Q N=（-士舟士研4+m-4）=-返历+电2处2 3 3 6 6-返0,/W有最大值，6当勿=5时，AV的最大值为：自町.2 241 3、如图1,直线y=-票+1 1交x轴于点A,交y轴于点

48、C(0,4),抛物线y=|x?+b x+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD_ L P D于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当4B D P为等腰直角三角形时，求线段P D的长；(3)如图2,将4B D P绕点B逆时针旋转，得到A BD P,且旋转角/P BP =NOAC,当点【解答】解：(1)点C(0,4)在直线y=-x+n上,/.n=4,4 y=-5 x+4,令 y=0,x=3,/.A (3,0),抛物线y=|v+b x+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).c=-2,6+3 b -2=0,抛 物

49、 线 解 析 式 为-2,(2)点P为抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m.P (m,士 n r -2 n l -2),3 3BD=|m|,P D=|-gm-2+2 1=|-1-n i|,.BDP为等腰直角三角形，且P DL BD,；.BD=P D,I m I =I -|m 2-4m *0 om=0 （舍），口弓，m=/,.P D=1 或 P D=y；（3）V Z P BP Z O A C,O A=3,0 C=4,/.A C=5,A 2/.si n Z P BP，=4，c o sN P BP *5 5当点P 落在x 轴上时，过点D 作 D N _ L x 轴，垂足为N,交BD于点M,N DBD

50、=N N D P =N P BP ,.3 /2。4 、z 4 、.（m 2 -m）-（-z-m）=2,5 3 3 5#.m=V 5 （舍），或 m=-泥，N D+M D=2,鸟2-枭1）+，m=2,5 3 3 5/.m=V 5 或 m=-V （舍），.P （一传岑1）或 p （依，三必），当点P 落在y 轴上时，如图3,过点D 作 D M，x 轴，交BD于M,过/作 P N _ L y 轴,.N DBD =N N D P =N P BP ,V P/N=BM,.4 （.2 m 29 -4 m、）_=3-m,5 3 3 5._ 2 5m-百,.p（2 5 口）P （-旄，誓1）或 P （泥，二+4