2022届全国高考模拟信息卷 数学（理）试题（二） 解析.pdf

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1、2022年高考模拟信息卷02（理）（本卷满分150分，考试时间120分钟。）一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=sin20+icos。，z?=cos6+i后 sin。,4=z2,则夕等于（）A.kn（攵 c Z）B.2k7r+（左 c Z）kTT jrC.2k兀土一（A e Z）D.2%乃 +一（Z e Z）k 62.已知 P =Z|2 =（1,O）+?（O,1）,，WR ,Q =B|B =（1,1）1）,72 G R是两个向量集合，则 m。等于（）A.（11）B,（-1,1）C （I，。）D.（0,1）3

2、.设 x,y w R,向量 =（x,i）,b=（1,y）9 c=（2,-4）,且bile 9 贝！ll1+石 I等 于（）A.2aB.VioC.3D.44.已知函数 x）=5,贝 U （）A./（0.5）/（2）/（3.1）B.C./（2）/（0.5）/（3.1）D./（3.1）/（2）/（0.5）/（2）/（3.1）/（0.5）5.若 x,）满足约束条件x0 x+0,x-y-1 /5-1B.5/5+1C.#-1D.7 6+112.若/+6,则 +出+4 的值为.14 .已知数列也 满足q=l,%=5%,则数列 4%+1 的前项和为.15 .已知圆柱的高为2 夜，它的两个底面的圆周在直径为4

3、的同一个球的球面上，则 该 圆 柱 的 体 积 为,16.关于圆M:(x -3%)-+(y -4%2)2=1 +有如下四个命题：若圆M与)，轴相切，贝！U=；圆 M 的圆心到原点的距离的最小值为5 ；若直线丫=内平分圆M 的周长，则 A =2；圆 M 与圆(X-3%)2+V=4二可能外切.其 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .如图，在直三棱柱ABC-A4G中，A B 1 A C,AB=A C =AA=4,。、。分别为线段Bg、AQ的中点.B(D 证明：平面B|B CG；(2)求。C 与平面A 田C 所成角的正弦值

4、.18 .为了测出图中草坪边缘A,B 两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C 与。(A,B,C,。四点 共 面)，测得A C =1.6m,C D =2m,B =1.8 m,已知c o s N B O C=-立，tanNACD=3币.(1)求的面积；(2)求 A,B 两点间的距离.19 .2 0 2 1年，“十四五”开局全面建设社会主义现代化国家新征程由此开启，这一年，中国共产党将迎来建党 10()周年.某企业开展“学党史，颂党恩，跟党走”的知识问答活动，该企业收集了参与此次知识问答活动的员工得分情况，得到如下频率分布表：得分 4 0,5 0)5 0,60)60,7 0)7 0,8 0)8 0

5、,9 0)9 0,10 0)频率0.0 40.10ab0.2 00.12其中样本的平均数是7 3.6.(假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替)(1)求。，的值；(2)根据此次知识问答活动的得分，评出四个等级，并根据等级给予如下的奖励：得分(0,60)60,7 0)7 0,8 0)8 0,10 0)评定等级不合格合格良好优秀抽奖次数0124每次抽奖的中奖率均为每次中奖的奖金都为10 0 元，求参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X的数学期望.2 0 .已知函数”X)=t a n x f c r3 x,Z w R.(i)求曲线y=/(x)在点(o j(o)处的切线方程；(2)当 =；，时

6、，求证：/(x)0；若/(x)0 对 x。,?恒成立，求实数大的最大值.2 1.已知椭圆C：W+=l(a b 0)的离心率为巫，椭圆C 与抛物线、，2=3 交 于 仞，N两点(用在xa b-2 12轴上方)，椭圆C 的右焦点在直线MN上，。为坐标原点，A,B,E分别为椭圆C 的左、右、上顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设。为椭圆C 上一点(异于顶点)，直线。E与x 轴交于点P,直线4)上有一点。满 足 丽 丽=4,证明：直线8 E 经过点Q.选做一 同 上 1)X=1 I T l H2 2 .在直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为 2/为参数)，以坐标原点。为极点，X 轴y =m

7、-I 2 1 mJ的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕c o s 。.(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；(2)已知点P(2,0),若直线/与曲线C交于A,B 两点,求|尸4|-归同的值.23.已知函数函x)=|x-2|-a|x+l|.(1)当。=1 时，求不等式/(x)+l 恰有2 个整数解，求实数，”的取值范围.2022年高考模拟信息卷02(理)(本卷满分150分，考试时间120分钟。)一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数A =s i n2，+i c o s。，z?=c o s 6+

8、i后s i n。,4 =z2,则。等 于()A.kn(攵w Z)B.2k/r+(女c Z)kT T T TC.2k九士一(攵w Z)D.2k7T+-(Z w Z)k 6答 案:DIs i n 20=c o s 6,八 厂 八c o s 9=73 s i n 仇c o s0=,sin6 =5+2左)，&W Z 故选：D.2 2 62.已知P =M|=(l,O)+m(O,l),，R,Q=B|B =(l,l)+(I,l),”e R 是两个向量集合，贝！JPCQ等于()A.()B.(-1,1)C.(1,。)D.(0,1)答 案:A解：易知。=(1,0)+m(0,1)=(1,根),=1)=(1 一R,1

9、 z?=1 n=0所 以 由I ,解得,.+n=m m=1所以 PcQ =(l,l),故选：A.3.设 x,yeR,向量 =(x,l),b=(1,y),2=(2,-4),且 _1 _ 1,bUc 贝!J5 +加等于()A.2屈 B.VlO C.3 D.4答案：B解：,.4 b/c 2y =-4 x l ,y=-2,1)-(1,-2),a a b x+1 (-2)=0.:.x=2,a=(2,1),a +f o =(3,-l).|+|=百+(-1)2=V i U.故 选:B4.已 知 函 数=,则()Ig xA./（0.5）/（2）/（3.1）B./（3.1）/（2）/（0.5）C./（2）/（0

10、.5）/（3.1）答案：DD./（2）/（3.1）/（0.5）W：.lgO.5lg2lgl=0,则/（0.5）0,/（3.1）0,由不等式的基本性质可得表 *0,因此，/（2）/（3.1）/（0.5）,故选：D.5.若x,）,满足约束条件x0 x+；y-14 0,x y 1W03贝！|2=一 丫 +2 的最小值为（）D.2答案：B解：作出约束条件所表示的平面区域，如图所示:山图象可知z=x-y +2 在点A（0,2）处取得最小值,且最小值为z=0-2+2 =0,故选：B6.中国古代数学名著 九章算术商功中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方得二堑堵邪解堑堵”塞堵是一个长方体沿不在同一表面

11、上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图（直角三角形）如图所示，则该“堑堵”的外接球的大圆面积为（）A.2 74答案：Bc I*B.7 14C.489-7 11 6D.51 9-n解：由题知：“堑堵”是半个长方体的直三棱柱ABC-A 4 G，如图所示:设外接球大圆的半径为R,(2 R)2 =(6+3)2 +6?=1 1 7.R=叵,所以外接球的大圆面积为匚Z*故选：B247.在等差数列“中，若期+410=18,43+恁+3=12,则使&100成立的正整数的最小值为()A.24 B.25 C.26 D.27答案：D解：设等差数列伍”的公差为 ，在等差数列 m中,6+1 0=1 8,43+4

12、5+41 3=1 2,I +51 +4+94=1 8/.5,解得 a=-2 6,q+2 d+q+4 d +q+l 2 d=1 2d=5./.al t=-2 6+5(-1 )=5/?-3 1,1 3 1由 5H-3 1 1 0 0 得 ,使小 1 0 0 成立的正整数的最小值为2 7.故选：D.8.小雁塔，位于唐长安城安仁坊(今陕西省西安市南郊)荐福寺内，又称“荐福寺塔力建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.小雁塔是密檐式砖结构佛塔,塔身为四方形,底边长11.38米.若某游客在距离塔底中心11.38米的圆周上任取一点，从该点处观察小雁塔，则他可以同时看到塔的两个侧面（即看到图2

13、 中的正方形的两边）的概率为（）图1图2答案：B解：根据题意，设圆的圆心为0,半径为广，厂11.38,只有在劣弧AB,C,F,G 上时，可以同时看到塔的两个侧面，BC=AH=GF=ED=r,则A 4 0 H为等边三角形，AOH=3、AH=,3 3同理：GF=DE=BC=,34万 则 A 4 +GF+O E+3C =而圆的周长/=2，则A5+CQ+EF+GH=半，Inr所以可以同时看到塔的两个侧面的概率是c T 1 ,故选：B.p -=-271r 39.已知函数人x）为 K上的奇函数，且/（-x）=f（2+x）,当工日0,1时，/（力=2，+费，则/（101）4 1 0 5）的 值 为（）A.3

14、 B.2 C.1 D.0答案：A解：根据题意,函数加)为/?上的奇函数,则火0)=0,又由 x G 0,1 时，f(x)=2 +,则有 y(0 户 1+。=0,解可得：=-1,则有=又由,W-x)J 2+x),即/x+2)=-y U),则有y(x+4)=-0,6 0)的右焦点为b(c,0),点 A在 C的一条渐近线上，且 A在第一象限,|Q 4|=c,若 AF 的中点在C上，则 C的离心率为()A.y/s 1 B.s/s+1C.-/6 1 D.,6 +1答案：A解：由题意，设A的坐标为(，”,)，m0,0,由|O A|=c,可 得 病+/=/又点A在 C的一条渐近线上，可得=，机由可得，=a,

15、n=b,即有A(a,b),又尸(c,0),可得AF 的中点坐标为(等,g),由A 尸的但2便 丫中点在C上，可得(2 )2).=1化为(g+ge)-；=1 解得e =故选：A.1 2.若/+/0时成立，此时，设尸(x)=x+V 则(*)式即可表示为 网 加)厂(同，尸 )=1+3工 0恒 成 立,即尸 为单调递增函数；2故有aex 恒成立 恒成立，e令x)=?，则有x)=y=哼立，令J(1)=。=%=2或%=0；则有/(x)0 =0%2：人%)%2或X 之 恒成立 故选：C.e e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。13*若(1 x j(l 2 x)=4 +4 X+a,x-+.+

16、a/,贝!j 4+%+。9 的答案：-1解：由条件得：在等式左右两边取x =0,计 算 得%=1,令x =l,计算得4 +4 T-1佝=,于是 4 +/T-+%=-1.故答案为：-11 4.已知数列%满足4=1,%=5 a”，则数列 4 4+1 的前项和为答案：5 -l +n解：数列 4满足4=1，4“=5%,故 乎=5,所以数列%为等比数列,所以a“=%-=5T,所以4a+l=4x5n-+1 ,所以 4%+1的前 项 和7；=4 x0 +5+5T)+=4X+=5-1+.故答案为:5-1 +n.1 5.已知圆柱的高为2 0,它的两个底面的圆周在直径为4 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为答案

17、：4忘兀.【解析】如图所示，圆柱的高为2点，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径为t 2 2 m,该圆柱的体积为：V=Sh=n(7 2)2A/2=4在兀.故答案为：4应兀.1 6.关于圆M:(x-3 k)2+(y-4k-2)2=l+k2有如下四个命题：若圆M 与)，轴相切，则 k=立；4 圆M的圆心到原点的距离的最小值为号;若直线y=x 平分圆M 的周长，则=2；圆 M 与圆(x-3A;尸+/=4/可能外切.其 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是.答案：解：圆M:(%-34)2+(y-4无-2)2=1 +的圆心坐标为:(3&,4A;+2),半径为广二川+公.若

18、圆河 与y轴相切，则解得*=日，所以为真命题.因为(3k)2+(4k+2)2=25k2+16k+4=(5%+乎 +1|2 1|,所以IO M隹?，所以为真命题.若直线V=x平分圆M的周长，则 圆 心 在 直 线 匕 即弘=44+2,解得A=2,所以为假命题.若圆M 与圆(x-3k)2+y2=4公外切，则|4Z+2|=，1 +公设函数/(%)=|4+2|-，1+左 2-7 ，显 然/)=|4+2|-，1+公 一 疯？为连线函数，又因为/(0)=1。/(-1)=-72 0，所以/(外在(-1,0)内必有零点，则方程|软+2|=朽1 记+屈？有解，所以为真命题故答案为：.三、解答题：共 70分。解答

19、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.如图，在直三棱柱A 2 C-A B C 中，A B V A C,AB=A C =AAt=4,。、。分别为线段用G、的中点.(1)证明：4。，平面用8。6；(2)求 OC与平面ABC所成角的正弦值.解：(1)证明：在直三棱柱AB C-A由G 中，B&L 平面A B C，因为A Qu 平面AEG，所以4。，8 用，片且刈=8 4，所以，四边形A A B/为平行四边形，可得AB=ABI,同理可得AC=A,.AB=AC,/.A5i=Aci，因为。为 8c 的中点，所以，4 D 1 BjCj,.BBiCBiC=B,A。L 平面 B BCC；(2).AA，平面A

20、BC,A B A C,以点A 为坐标原点，AB.A C.人儿所在直线分别为工、z轴建立空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,4)、8(4,0,0)、C(0,4,0)、0(2,2,4)、0(1,1,4),率=(0,4,-4),4 8-(4,0,-4),方=(-l,3,T),设平面ABC的法向量为”=(x,y,z),则有，n-C =0n-AB=04y-4z=04x-4z=0即令 z=l,可得3=(1,1,1),cos 0；(3)若 x)0 对恒成立，求实数人的最大值.解：(1)函 数 的 定 义 域 为 卜 卜 乃+,&e z 1,=1 -3 收-1 =l-3 Ax2 c o s2 x-c o

21、 s2 x2CO S X所以/(0)=0,又 0)=0,切点坐标为(0,0),所以曲线y=x)在点(0,0)处的切线方程为y 0=0(x 0),即 昨。；当左=；时，r )(2)1-c o s2 x-x2 c o s2 x s i n2 x-x2 c o s2 x22CO S X CO S X(s i n x +x c o s x)(s i n x -x c o s x)-2，CO S X因为了40卷)，所以s i n x+x 8 S x 0,设(x)=s i n x-x c o s x ,则当尤 w (0,时，/?(%)=c o s x-c o s x+x s i n x =x s i n

22、x 0,所以M x)在区间(0,9 上单调递增，所以当时，(x)/(0)=0,即 s i n x-x c o s x 0 彳 寻 证，所以当x e(o )时，Z(x)0,所以 x)在区 间 恒)上单调递增，又/=0所以x e(0,|时，/(x)/(0)=0；由(2)可知，当&4；时，/(力=1 血 一收3 *0对苫(0,5 卜亘成立,当火g时,/(%)=s i n x-y/3 kx c o s x j s i n x+y/3 kxcos x)c o s2 x设 g(x)=s i n x-*j3 kx c o s x,贝 i j g(x)=c o s x-J3 k c o s x+y/3 kxs

23、in x 0，取x =e,当夕0,工)时,g(x)。,所以当%(0,%)时，f(x)0,所以 x)在区间(0,不)上单调递减，所以x e(O,x()时，/(x)0 并非对x e(o g)恒成立，综上可知，k的最大值为g21.已知椭圆C*=l(a b 0)的离心率为亭，椭圆C 与 抛 物 线/差 工 交 于 加，N 两点(M在 x轴上方)，椭圆C 的右焦点在直线M N 上，。为坐标原点，A,B,E 分别为椭圆C 的左、右、上顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)设。为椭圆C 上一点(异于顶点)，直线O E 与 x轴交于点尸，直 线 上 有 一 点。满 足 丽 丽=4,证明：直线8E经过点Q.解：(

24、1)由题意，设m3 c1 2m2由条件可知，=1a1 b2,解得=2,b=,a2=b2+c2c=小,c.a 2椭圆C 的方程为二+丁=1.4(2)设直线Z5 E 的直线)，=丘+1,则 Py=kx-由2 消去y，整理得（4 犬+l）d+M=0,T+一所以,=0,8 k4 公+1BPT T4-/4+k 21因为 A(-2,0),1-4 公所以直线A O的斜率为 空：+1 =-学 匚-4 +2 4k-24 二+1所以直线AD的方程为y =(X+2),4 Z-2设 点 小。，-数(+2)由 丽.而=4 =!/,可得/=-4 攵，所以。(T N 2 Z +1),K因为百线8 E 的斜率为=1-0 10

25、-2直线8 Q的斜率为 4K 225 所以直线B E 经过点Q.选做2 2.在直角坐标系0 y 中，曲线C 的参数方程为 2 +m(加为参数)，以坐标原点。为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕cos卜+?(1)求曲线C 的普通方程和直线/的直角坐标方程；(2)已知点6 2,0),若直线/与曲线C交于A,B两 点,求旭川-伊网的值.2 m/解：(1)曲线C 的参数方程为 /、(加为参数),tn-m所以-=苏+2+4，4y2 =一 2+二相减可得二-丁=1,即曲线c 的普通方程为 -V =1,33直线/的极坐标方程为外05(9 +?)=应，则0(cosecos?-sin

26、Osi吟 卜 五,转换为宜角坐标方程为x-y-2=0.(2)直线/过点P(2,0),直线/的参数方程为根据直线参数方程令：点A,8 对应的参数分别为k力,代入,一/=1，得/一2 1 =0,则6+“2立，格=7,故忸A|-|P邳=，+q=2&.2 3.已知函数/(x)=|x-2|-a|x+l|.(1)当。=1时，求不等式/(x)+l 恰有2个整数解，求实数m 的取值范围.解:由已知不等式|x-不-|x+l|x,得|x-2|3,所以x 之2；当一 lv x v 2 时，不等式为2 尤 v x+x+1,解得犬 ，所以q x 3,此时无解.综上，原 不 等 式 的 解 集 为 用J C+4,X-1(2)由题意，函数/(力意x-2|-2|x+l|,可得/(x)=-3 x,-l x 2/(X)的图象如图:因为关于X的不等式f(x)m+1恰有2 个整数解,由图可知，1W 6+12,所以0m 1,故m 的取值范围为 0,1).