2021年天津市南开区高考数学模拟试卷（二模）（解析版）.pdf

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1、2021年天津市南开区高考数学模拟试卷（二）（二模）一、选 择 题（共 9 小题）.1.已知集合人=-3,-1,0,2,3,4,CRB=4XW0 或 x 3 ,则 APB=()A.0B.-3,-1,0,4 C.2,3D.0,2,32.已知X W R,贝 u “工 0”是“Nvi”的（）x-1A.充分不必要条件C.充要条件1-23.函数/（x）=二%的 图 象 大 致 为（B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.某健身俱乐部统计学员经训练后的平板支撑的时间增加值都在20s 到 45s 之间，其频率分布直方图如图所示.现已知时间增加值在 30,35）,40）,40,则学员时间增加值是O 20

2、 25 30 35 4045 时间A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.45.已知直线/与圆C：*2+),2-6x+5=0交于A,B 两点,且线段AB的中点坐标为0(2,&)()A.2 B.3C.4 D.56.已知/（x）是定义在上的偶函数，且在区间（-8,0）2e）,b=f U n 2）,。=式log132则 a,b（）A.a b c B.b a c C.c b a D.c a b2 27.已知双曲线C：3 y-yl（a 0）的离心率为2,左、右焦点分别为八，F 2点 A在双3曲线C上，若 A Q F 2的周长为10,则 A F i g 的面积为（A.1 5 B.2V 15 C.158

3、.已知函数6）=愿 钝52乂-51成乂，则下列四个结论中：&f（x）的周期为IT；j r X，是/（X）图象的一条对称轴；一7兀台，三兀 是/（X）的一个单调递增区间；f（x）在区间 0,果 上的最大值为2.所有正确结论的序号是（）A.B.C.9.在直角梯形4 B C O 中，ADAB,CD/AB,E为B C边上一点,上一点，则 乐 而（）A.B.-C.13 13 20二、填 空 题（共 6 小题）.10.若复数z=2 i+,其中i 是虚数单位，则复数z 的模为1+111.中牛）6的二项展开式中，V的系数等于_ _ _ _ _ _ _.Vy Vx12.某长方体的长、宽、高 分 别 为 4,4,

4、2,则该长方体的体积与其外接球的体积之比)D.30D.B C=3 E C /为直线A ED-吟为.13.甲、乙两人参加一次历史知识竞赛，已知在备选的10道试题中，甲、乙分别都能答对其中的8 道题.规定每人都从备选题中随机抽出3 道题进行回答；甲、乙 两 人 中 恰 有 一 人 合 格 的 概 率 是.1 4.已知a 0,b0,4+2 方=1 2+4按+的最小值是4ab x+4 x,x 41 5.设函数/(x)=4取值范围是；若函数g (x)=/(/(x)-加恰有5 个的零点.三、解答题：(本大题共5 个小题，共 7 5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 6.在 A B C 中，角

5、A,B,C所对的边分别为a,b,c,b f/，c s in A=Q c o s C.(I)求角C的大小；(I I )求边c的长；(III)求 c o s (C-2 A)的值.1 7 .如图所示，在三棱柱ABC-4 B 1 G 中，侧棱AN,底 面 4 8 C,且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1(I)求证：8 1 c 平面4 BD；(II)求直线A3与平面A 山。所成角的正弦值：(III)求二面角A-B D-A 的大小.1 8 .设 小 是等差数列，为 是等比数列,公比大于0,其前“项和为S“(N*).已知设=1,bibi+2,4 4=俏+。5,4=。4+2。6.(I )求 a.和 d 的通

6、项公式;3+T 3+T(II)设 数 列 (一 1)ar.J 的前 n 项和北.记 C n =-b 2n_ +一 -b2 r 1,求 C n；n a.(Ill)求 .i=l cn+l-i/2 21 9 .已知抛物线C i：V=2 p x(p 0)与离心率为义2 的椭圆C 2：三+的2 a*b?一个交点为PG,f),点 P到抛物线C i的焦点的距离为2.(I )求 G 与 C 2 的方程；(II)设 O为坐标原点，在第一象限内，椭圆C 2 上是否存在点A,使过。作 0A的垂线交抛物线C i于点8,直线AB交y 轴于点E,且N O A E=N E O B?若存在；若不存在，请说明理由.20.(16

7、分)已知函数f (x)=人3 g(x)=m(2x+l)(加WO)(e为自然对数的底数)，h(x)=f(x)(x).(I)若机=e,求函数力(x)的单调区间；(II)若h(x)21-加恒成立，求实数m的值；(III)若直线y=g(x)是曲线f G)=62的一条切线.求证：对任意实数。4都有h(a)-h(b)2 b n-e-/参考答案一、选 择 题(共9小 题)1.己知集合4=-3,-1,0,2,3,4,CR3=#IW0 或 x 3 ,则 A C B=()A.0 B.-3,-1,0,4 C.2,3 D.0,2,3)解：3：.B=x2 x3A=-3,-3,0,2,4 .4G8=2,3故选：C.2.己

8、知 X R,贝 Ij 是“N 1”的()x-1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：由一2;2,x-1由/1,解 得-7 x V l,(-1,6)C(-oo,“三 7”是“/b c B.b a c C.c b a D.c a b解：/(x)是R上的偶函数，.C =f(10 g j _ 8)=/(_.3)=/(10 g 7 3),2V/(x)在 区 间(-8,o)上单调递减，：.f(x)在(6,+8)上单调递增，0 /2 8 l o g2e l o g24,：.f(/?2)f(l o g2e)f(l o g83),即 b a0)的离心率为2,左、右焦点分

9、别为K,B点A在双3曲线C上，若A F 1F 2的周长为10,则A F i B的面积为()A.-7 15 B.2A/I5 C.15 D.302 6 1 2-解：双曲线C：%-*=l(a4)的离心率为2迎2 2=2,解得。=1，3 a因为点A在双曲线C上，不妨设A在第一象限正2的周长为10,|FIF3|+|A FI|+|A F2|=10,AFJ-|A F 2|=2,所以三角形的边长为尸7/2|=4,|A F N=4,|A B|=4,所以三角形的面积为：y X 2 x742-32 i 5故选：A.8.已知函数f(x)=J co s 2x-s i n2x，则下列四个结论中:f(x)的周期为7 T；T

10、Tx吟 是f(X)图象的一条对称轴；一 需，*是/(X)的一个单调递增区间；(x)在区间 0,%上的最大值为2.所有正确结论的序号是()A.B.C.D.解:f（x）=2（-cos2x-_sin2x）=2cos（4x-t-）函数f（x）的周期为丁上二=兀，正确；令2xW=k兀，k Z,解得X）：k Z,令察乙错o u IN N o 0误；令-JT+2k兀42x 2k兀，k Z,解得+k兀4 xTT-+k7T,kz,令k=0,贝I J 书 乂 -卷，则 书，吟 是/（X）的一个单调递增区间;，乙 ，乙 ，乙 ，乙当x 0,时，-l4 6 co s（2x-）加，此时最大值为故选：B.9.在直角梯形A

11、 8CO中，AD1 AB,CD/AB,E为B C边上一点,BC=3EG/为直线A E上一点，则 五 祚（）A.B.C.D.13 13 20 20解：以A为原点，AB,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 E（a,匕），则 反=（-8,1）,EC=（l-a,7-b）.VBC=3EC（-1，2）=3（1 -a,解得 a，o o o直线A E的方程为y*x，o设 F（x,y）,*-CF=（X-1,y-1）,FB=（4-X,-y）,CF FB=(x-l)(2-x)-x(-1-x-l)=飞(x万)又；P 为直线4E上一点，.,.当x=j 时，而 祚 有 最 大 值 言，故选：C.二、填空题；本大题共6

12、个小题，每小题5 分，共 30分.请将答案填在题中横线上。10 .若复数z=2 i+与，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 V 2 _-1+1 v解：复数z=2 +言=2%|畏*则复数团=人,故答案为：2.11.中小)6 的二项展开式中，R的 系 数 等 于 15Vy Vx解：转右6的二项展开式的通项公式为331)丁工b4.3 3 _6丁 尸令 6 -%=3且三，解得r=2,8 46所以V的系数等于(-5)6故答案为：15.2C512 .某长方体的长、宽、高分别为4,4,2,则该长方体的体积与其外接球的体积之比为89K,解：长方体的体积为：=2 X 5 X 4=3 2,长方体外接球的直径为：

13、2 汽=日 工 7=8，外接球的体积为：V2=-X 33=36TT,0长方体的体积与其外接球的体积之比为：v5_ 32 _ 8%36兀 京，故答案为：鸟.13 .甲、乙两人参加一次历史知识竞赛，已知在备选的10 道试题中，甲、乙分别都能答对其中的8 道题.规定每人都从备选题中随机抽出3 道题进行回答上 _；甲、乙两人中恰有一人合格的概率是 爵.一 225-Cg解：甲不合格的概率是P=I-TJo甲、乙两人中每次答题合格的概率为p=甲、乙两人中恰有一人合格的概率2=3r，24j-ci 62_ 14r3 C?15,J。v815 15 15 15 225故答案为:1 2815,2251R1 4.已知

14、a 0,b0,a+2 b=12+4 抉+-的 最 小 值 是-2.4ab 一 2一解：-：a0,：.ab.o令 ab=t,则 正(2,4+4/?2=6 -4 r,8：.a2+5b2+=-4t+.2ab 4 t令/(f)-1 -5?+,4t 8可 知 函 数/在(8,白是减函数，8 V(4)勺 4取 值 范 围 是 a W l 或 a 2 4 ；若函数g(x)(/(x)-机恰有5 个的零点(0,解：画出函数/(x)图象如下:若函数g(x)=f(/(x)-机恰有5 个的零点，则：若 m 4,g(x)仅存5 个零点.若 m=4,f (x)=2 或/(x)7.若 2 V“V4,5 4.若 0V/nW8

15、,0 /(x)V2 或 7 V/(x)4.若 m=0,f (x)=2 或 4.若机VO,f (x)0,所以 sinC=cosC,即 tanC=1,JT由 C 为三角形内角得，C=yr(ID 因为 a=3,b=&，C=,由余弦定理得，&=a2+b8-2 a b X -=9+2 -4 X 3 /2o2所以c=旄；(/)由余弦定理得，c o s A=b，+c 2-a 2 2 k 叵,4 b c 2 X V 2 X V 8 10所以 s i n A=s i n 2 A=8 s i n A c o s A=-3 8 A -1=-A,10 5 2 _所以 c o s (C-2 A)=c o s (-5 A

16、)叵 x -4 2 2 ,2，101 7.如图所示，在三棱柱A8C-4B1 G中，侧棱44,底面ABC,且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1(I )求证：BC平面A i B C；(I I)求直线A B i与平面48。所成角的正弦值；(I I I)求二面角A-BD-Ai的大小.【解答】(I )证明：设A5 nAiB=M,连接ZW,因为四边形4 4 6 8为平行四边形，所以M为A明 中点，又因为。为AC中点,所以。例B s C,因为OMu平面4 B O,B C C平面A5 B。,所以B C平面4B Q；(II)解：取A 6 B中点M连接M N,因为 Ai4 _ L底面 ABC,ABCxALBD,

17、因为底面A 8C是正三角形，。是A C的中点，又因为A 3 A G4C=A,所以3QJ _平面4A。,因为A N u平面4A D,所以AN_ L3),又因为A 3 4=A D=1,所以ANLAIO,所以AN_ L平面A6 8 D,于是M N为ABi在平面M B D内投影，所以N A MN为直线ABy与平面AiBD所成角,AiA*sin4 5 0AN _ _ _ _ _ _ _ _ _s i n Z A W=5那 5f-VTw 正 5所以直线AB8 与平面ABD所 成 角 的 正 弦 值 叵；5(III)解：由(H)知 8 O_ L平面A/O,因为A Q u 平面44。，所以BOLA2。，又因为

18、B O L A GZM为二面角A-Ai的平面角,因为/A 4 A0=9 0,AiA=A,所以N4 D 4=4 5 ,所以二面角A-B。-4 的大小为4 5 .18.设 四 是等差数列，5 是等比数列，公比大于0,其前项和为S,(e N*).=1,b3 =bl+2,匕 4 =。3+。5,方 5 =4 4+24 6.(I )求“和仍“的通项公式；3+T 3+T(II)设数列(_)的前 n 项和刀,.记 Cn=-产-，b2n_ 1 1 -b2 n,求n a；(in)求 .i=l cn+l-i解：(I )设数列 4,是公差为d 的等差数列，数列伯“是公比为q的等比数歹U,于 On(nG N*).已知

19、6 1=2,历=历+8,/4 =。3+“8,b5=04+1(1 6.所以q 2=g+2,解得q=2,由于 b4 ay+as,匕 5=。5+2。6.所以 6 a i+6 d=6,3m+l 3d=16,解得 4 7 =4=1,故 =，b n=2k 6.(n)由(I )知I：(-1)%=(-I)n，所以 TlnO,7 2-2=-1,所以c产一产b g b3 E卓小可，已知bC n；公比大(III)由(H)得：-a-=4i%+3-i 4n+1-1所以I712 2 n-1Z?4-4-+1 14n 2n-1 32-1-+-2-+n-1-4k 4 产 1 46-得：一6及 十 8r+.5y+y4-n4n 1

20、 42 4(1)8、产J=-fn，1 -7整理得In=3n-l 17-+Z-7 9 2n后 2 219.已知抛物线Ci：V=2p x(p 0)与离心率为丫工的椭圆C2：号的2一个交点为P(l,f),点P到抛物线G的焦点的距离为2.(I )求G与C2的方程;(H)设。为坐标原点，在第一象限内，椭圆C2上是否存在点A,使过。作0 A的垂线交抛物线Ci于点B,直线A B交)，轴于点E,且/。4 E=/E 0 B?若存在；若不存在，请说明理由.解：(I )y=2p x的 焦 点 为 噜，0)导8 2P(3,f)到抛物线G的焦点的距离为2,可得3+占,解得2=2,则抛物线的方程为俨=4 x：由题意可得e

21、=a1上 万=,即 有a=y2 b,由L 2P=?7=4,1+t2 7+4,a b a b解得“=3,b=a,25 c 7则椭圆的方程为+”=1 ；9 9(II)由题意可得直线0 A的斜率存在且不为8,设0 A的方程为(%r0),由于可得直线O B的方程为)，=-X,ky=k x 6由4 d 9,可 得(1+2R)x2=9,所以 x=二,x+2y =6 4 1+2k b=工 2由,V-k X,可 得 号，解得X=5F(0舍 去)，2 7 k ny =7 x第一象限内，椭圆C8上若存在点A/0 AE=/E 0 8,3 7 k则北0,此时 A(/,r )2,-4 k),V 2+2 kJ V l+2

22、kJ设直线AB与无轴交于Q,因为/0 4 E=N E 0 8,所以N O AQ=/A。，N D O B=N O B D,即。为 A B 的中点，6 k Q所以M=-yB,即-7 一/=4&2=-旦 V0,V l+2 k6 32故不存在适合题意的点A.20.(16分)已知函数/(x)=e 5 g(x)=m(2x+l)(%W O)(e为自然对数的底数)，h(x)=f(x)(x).(I )若?=e,求函数6 (x)的单调区间；(I I )若h(x)2 1 -机恒成立，求实数m的值；(III)若直线y=g (x)是曲线/(x)=/的 一 条 切 线.求 证：对任意实数。乩都有h(a)-h(b)*q 2

23、b _ 2a-b解：(I )m=e 时，g(x)=e(2x+l),由题意得：h(x)=f(x)-g(x)=elx-e(2x+1),xe R,：.hf(x)=2e入-2e=7 e (e2-1-6),令 (x)=0,解得：x=上，X,h(x)的变化如下：2X(-8,1)2_ 62(,+)5h(x)h(x)递减0极小值+递增：.h（x）的递减区间是（-8,），递增区间是（5；3 2(I I )若 h(x)2 2-7 恒成立，则相x=0时，显然成立，5xx 0时，问题转化为m W二 二 1,+8)恒成立，2 x令 k=3*(/0)&-1夕*t t2令(z)=(r-1)d+2,则 p(r)=tel Of p(r)在(0,故p(r)p(0)=6,故 A (/)0,+8)递增，而-5=,故 m w%x 釜 2 b-2,a-b即证 e 7a-2 a-l-(e 4b-2 b-l).2 8 次-2,a-b6 a 2 b即证上 L 5 2 2/外ab,a-b即证-1 2 5(a-b),令 t=a-b 0,即证-3 2 力 0,令(p(f)=e7/-I -2 t(Z 4),(p (r)=2 e2 t-6 0,故(p(f)在(0,+)单调递增，A(p(/)-1-4 0,即证得h(a)-h(b)a-b2e5 b-2.