2021年陕西省宝鸡市高考数学大联考试卷（理科）（解析版）.pdf

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1、2021年陕西省宝鸡市高考数学大联考试卷（理科）一、选 择 题（共12小题）.1.已知集合斗二民4-2 x-3 V 0 ,B=N,则集合4 GB=（)A.0B.0,1C.0,1,2D.1,2,32.已知i 为虚数单位，纯虚数z满 足（z+a）i=l+i,则实数a=()A.-1B.1C.0D.23.我国古代数学名著 九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有748 8 人，南面有69 12人，这三面要征调300人,而北面共征调108 人（用分层抽样的方法），

2、则北面共有多少人（）A.8 000B.8 100C.8 200D.8 3004.2 2设双曲线C：因-31金 0,b 0）的实轴长与焦距分别为2,4,则双曲线C 的渐近线方程为（）A.y=土 坐c.y=V3D.y=3xB-y=4-o5.函数/(x)=0/的 零 点 之 和 为(x+l o g612,x 0A.-1B.1C.-2D.26.J T函 数&）飞 0 5（3乂 咛）的单调递增区间为（）A.兀 2k 兀 兀 2k 兀(k Z)B.丁+3，(k z)广+3 71 k 兀 K k 兀c.兀 k 兀-6 36 3-(k z)D.n 2k 兀 n 2k 兀3 (k z)7.设公差为质数的等差数列

3、 小 的前n项和为Sn,已知的+。7+。9=15,则 与5不可能为（）A.120 B.135 C.18 0 D.240 8.已知两个单位向量e j e 2的夹角为60 ,向量1r=/e +2 e 2(f 0)，则()A.上吐的最大值为一返 B.上吐的最小值为-2t2tC.上 吐 的 最 小 值 为-返 D._ LB1的最大值为-2t2t9 .已知不等式组j k x-yO 表示的平面区域为等边三角形，则z=x+3y的最小值为x+/ly-3V 4 0（）A.2+3 B.1+3 C.2+73 D.1+10.点 M 为圆 C：（x+2）2+（y+1）2=1 上任意一点，直 线（1+3入）x+（1+2入

4、）y=2+5入过定点P,则I M P I的最大值为（）A.273 B.773 C.2扬 1 D.V I 3+111.已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4,6,12,则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.361T B.521T C.56T T D.224T t1 2 .抛物线/=8 x的焦点为尸，设A（x i,y）,B（及，”）是抛物线上的两点，制+及+4=北4 8|,则N A F 8的最大值为（）A.2 L B.2 L C.3 2 L D.S K3 2 4 6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.兀1 3 .已知t an（a+-）=6，则 tana=.1 4

5、.若（a 4）5的展开式中t的系数为1，则同=.x x1 5 .在等差数列 中，0 2=4,且1+4 3,4 6,4+S 0成等比数列，则公差d=.1 6 .若 曲 线y n V-a x2存 在 平 行 于 直 线y=-3 x+l的 切 线，则a的取值范围为.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.第1 7-2 1题为必考题，每个试题考生都必须作 答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.A 11 7 .在ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为“，b,c,己知 4 c s i n B=3 as i n C,t an=.2 2（1）求 s i

6、 n B；（2）设。为A B边上一点，且8 0=3 4。，若 A8 C的面积为2 4,求线段C。的长.18.如 图，在多面体A8CDEF中，平面ABC。JL平 面 CD EF,四边形CZ5EF是边长为2 的正方形，四边形4BC。是直角梯形，其中BCA。，fiC C D,且8C=C D=/A。.(1)证明：BELD F-(2)求平面A8F与平面CCEF所成的锐二面角的余弦值.19.抖音是一款音乐创意短视频社交软件，是一个专注年轻人的15秒音乐短视频社区.用户可以通过这款软件选择歌曲，拍 摄 15秒的音乐短视频，形成自己的作品.2018年 6月首批25家央企集体入驻抖音.一调研员在某单位进行刷抖音

7、时间的调查，若该单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,1 6.现采用分层抽样的方法从中抽取7 人.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7 人中有3 人是抖音迷，4 人为非抖音迷，现从这7 人中随机抽取3 人做进一步的详细登记.(i)用 X 表示抽取的3 人中是抖音迷的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望;(i i)设 A 为事件“抽取的3 人中，既有是抖音迷的员工，也有非抖音迷的员工”，求事件A 发生的概率.20.已知函数f (x)=(x-a-l)e-a x Z +ax，其中“b 0)的一个焦点，点 M(F，焉)a /2在椭圆C 上.(1)求椭圆

8、C 的方程；(2)若直线/与椭圆C 交于不同的A,8 两点，且%+如B=(O 为坐标原点)，求直线/斜率的取值范围.(二)选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程2 2 .在直角坐标系x O y中，直线C i：y=-3,圆C 2：(x+1)?+(y -I)2.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求G,C 2的极坐标方程；(2)若直线G的极坐标方程为。=知(pe R),设C 3与C i,C 2的交点为M、N (异于 原 点)，求C 2 M N的面积.选修4-5：不等式选讲2 3 .已知函数/(x

9、)=|x -1|-k+2|.(1)求不等式f(x)W2的解集M；(2)当疣/时，!/(%)|2-a,求实数。的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合4 =4 -2%-3 0,B=N,则集合 ACB=()A.0 B.0,1 C.0,1,2 D.1,2,3 解：集合 A=x F -2J C-3 O,b 0)的实轴长与焦距分别为2,4,则双曲线C 的渐b*2设双曲线C：-a近线方程为(A-v=-xo解：因为2a=2,B-y=4-xoC.y=V 3D.尸 土3x2 c=4,所以a=l,c=2,b=V3所

10、以C的渐近线方程为y=x.故选：C.)5.函数/(x)=0/的 零 点 之 和 为()x+log612,x 0 时，令 6-2=0,解得x=log62,当 xWO 时，令 x+log612=0,解得 x=-log612,故函数/(x)的零点为 log62 和-log612,logg2-lo ggl2=lo gg=-l故选：A.6.JT函数f(x)=c o s(3 x T)的单调递增区间为()A.K 2k兀 兀 2k兀(kz)2 3B.C.兀k兀 兀k兀 八r-Xu o Z o兀k兀 兀k九1 /,r、(kz)6 3 6 3D.n 2k冗 n 2k兀(kz)6 3-+-6 3解:因为/(x)=-

11、sin3x,所以只要求y=sin3x的递减区间.令+2 k兀43x誓+2k兀(kZ)解 得?涔 工(xg W (k C Z)，N N bo Z 6原函数的单调递增区间为：上 二 得L,3得L(k z)6 3 2 3故选：4.7.设公差为质数的等差数列 3 的前n项和为S”己知恁+由+仅=15,则 S15不可能为()A.120B.135C.180D.240解：在等差数列 如 中，由5+OZ+9=1 5,得 3。7=1 5,.7=5,设等差数列 小 的公差为d,(d 为 质 数)，则 8=5+d,Sl 5 =(a +a 5)X 1 5若 Si5=1 20,2则1：5若 Si5=1 3 5,则1 5

12、若$5=1 8 0,则1 5若$5 =24 0,则1 5故选：B.=1 5 a8=1 5(5+d(5+d)(5+d)(5+d)(5+d)=1 20,=1 3 5,=1 8 0,=24 0,得 d=3,符合题意;得d=4,不符合题意;得 d=7,符合题意;得d=l l,符合题意.8.己知两个单位向量；,.的夹角为6 0 ,向量1 r=f e +2e 2 0），则（）A.mt的最大值为-C.mt的最小值为-返2V 32B.mtmt的最小值为-2的最大值为-2解：因为，09.已知不等式组 k x-y =爪 与 直 线X=1的夹角为60,则直线y=履的倾斜角为30,则 =返，直线y=区 为 旷=返3

13、3联立_3/yx,解得A(1,乂3),x=l 3化z=x+3y为y=垮，由图可知，当直线z=x+3y经过点（1,O oz取得最小值 地.故选：D.1 0.点M为 圆C：（x+2）2+（1）2=上任意一点，直 线（1+3入）x+（1+2入）y=2+5入过定点P,则IMPI的最大值为（）A.2 B.713C.273+1D./73+l解：由直线方程(1+3A)x+(I+2A)y=2+5入，得(x+y-2)+(3x+2y-5)入=0,x 4y-2=0,解得3x+2y-5=0X-1,故 P(1,1),y=lp c=(-2-1)2+(-1-1)2+1-/13:11则 在圆外，又点M为圆C:（X+2）2+（

14、）叶1）2=上任意一点,|MP|的最大值为2+(-卜1)2+l f/i 3+1，故选：D.1 1.已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4,6,1 2,则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.361T B.52JT C.567T D.224T T解：设三条侧棱长分别为m b,c,则 1ab=4，-bc=6，yac=12，解得：=4,b=2,c=6把三棱锥补形为长方体，则长方体的体对角线长为a2+b2+c 2=倔.三棱锥的外接球的半径为运，2 _则三棱锥的外接球的表面积为4兀X（逐）2=56兀.故选：C.1 2.抛物线V=8 x的焦点为F,设A（xi,力），8（汹，）是抛物线上的

15、两点，XI+X2+4=加 依8,则/A F B的最大值为（）解：由题意可得H f l+|B f l=Xi+X2+4,XI+X2+4=&|AB|,：.AF+BF=4AB.在中，由余弦定理得：c os z IA F|2+|B F|2-|A B|22|A F|-|B F|=(|A F|+|B F|)2-2|A F|B F|-|A B|2=2|AB 丘 A Br _|A B|22|A F|B F|2|A F|-BF|2|A F|-|BF|又依卸+|8/=1=我|48|宫24|研|BFMl?；.co s/A F B N i 7 -1=0.2 X y|A B|2兀N A F B的最大值为-了.故选：B.二

16、、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.兀R13.已知tan（a+）=6，则 tana=一_.解：设tana=x,由题意得当区=6，1-x解得X号.故答案为：-y.14.若Q J）5的展开式中士的系数为1,贝 帆=_ 叵 _.x x 10解：因 为（a d）5的展开式中 的项为C葭2（工）3以X X X x3所 以1 0/=1,则I|=Y匝，1 1 10故答案为：匝.101 5.在等差数列 斯 中，“2=4,且 l+s,06,4+0o成等比数列，则公差d=3.解：设等差数列的公差为4*/1 +3 6,4+。1 0 成等比数列，.%2=(1+3)(4+6f|0)，即(。2+4)2=(1+

17、6+.)(4+。2+8 1),2 =4,整理得：2d-3=0,解得：d=3,或 d=-l,当 d=-l时，。6=0 舍去，故答案为：31 6.若曲线=/-加存在平行于直线y=-3 x+l 的切线，则，的取值范围为(-8,-3 U (3,+8).解：设切点为(加，)，-以2的导数为y=3/-2，可得切线的斜率为3-2am,由切线平行于直线产-3x+l,可得3/-2 m=-3,由=4层-3620,解得或。W-3,当切点(加，)在直线y=l-3 x 上，可 得 1 -3加=加-a-,且 3 M-2 M=-3,可得 M-3/n+2=(？-1)2(加+2)=0,解得 m=或 m=-2,当?=1 时，。=

18、3,3m 2-6次+3=0 有两个相等的实数根，曲线y=xi-co(?不存在平行于直线y=-3x+l 的切线，当m=-2 时，a=-E,2m 2+5m+2=0有两个不相等的实数根，4曲线y=/-以 2存在一条平行于直线y=一 3户 1 的切线，故答案为：(-8,-3 u(3,+OO).三、解答题：共 7 0 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.第 172 1 题为必考题，每个试题考生都必须作 答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作 答.(一)必考题：共 60分.A 11 7 .在 AB C中，角 A,B,C 的对边分别为a,h,c,已知4c s i n 3=3s i n C,t

19、a n 万 至.(1)求 s i n B；(2)设。为 A 5 边上一点，且 5 D=3 A D,若 AB C的面积为2 4,求线段C Q的长.W：(1)V4c s i n/?=3 s i n C,4s i n Cs i n B=3s i n As i n C,3V s i n OO,s i n B=T s i n A-4A 1ta巧 为1 4t a n A=-2 而1-A 4 s i n A=b.D 3 s i n D=7 rb(2)V s i n B=/A。.(1)证明：BEYDF-,(2)求平面A B F 与平面C Q E F 所成的锐二面角的余弦值.【解答】(1)证明：连结CE,DF,

20、因为四边形CDEF是正方形，所以.(1 分)因为BC YC D,平面ABC1.平面CDEF,所以BC_L平面CDE尸，从而DF_LBC.又 BCCCE=C,BC,CEu平面 8CE,所以。F_L平面BCE,BEu平面B C E,所以3EJ_Z)F.(2)解：如图所示，以 D4,DC,DE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。-刈z,依题意知 A(4,0,0),B(2,2,0),尸(0,2,2),(0,0,0).设平面AB F的法向量为7=a y”z i),AB=(-2,2,0),AF=(-4,2,2).-2x +2y i=0-4x+2y +2z i=0令 yi=l,则 Yi=1,所以7=(1，

21、1，1)zl=1取平面CO所 的 法 向 量 为(1,0,0),设该二面角的平面角为。，所以cos 8|m-n|二 1 一通.I m|n|V 3 x 1 319.抖 音 是一款音乐创意短视频社交软件，是一个专注年轻人的15秒音乐短视频社区.用户可以通过这款软件选择歌曲，拍 摄15秒的音乐短视频，形成自己的作品.2018年6月首批25家央企集体入驻抖音.一调研员在某单位进行刷抖音时间的调查，若该单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有3人是抖音迷，4人为非抖音迷，现从这7人

22、中随机抽取3人做进一步的详细登记.(i)用乂表示抽取的3人中是抖音迷的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望;(i i)设4为事件”抽取的3人中，既有是抖音迷的员工，也有非抖音迷的员工”，求事件A发生的概率.解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.0k 3-k(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,p(X=k)=二 一 一(k=0,1,2,3)J所以，随机变量X的分布列为X0123P41812135353535随 机 变 量 X 的 数 学 期 望E(X)=0X 展

23、+1X 票+2 X+3x+1.OD 6b oD OD f(涉 设 事 件B为“抽取的3人中，是抖音迷的员工有1人，非抖音迷的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，是抖音迷的员工有2人，非抖音迷的员工有1人 ，则A=BUC,且8与C互斥，由 知 P (B)=P(X=l),P(C)=P(X=2),故 P(A)=P(B U C)=P(X=1)+P(X=2)#.所以，事件A发生的概率为争.20.已知函数f(x)=(x-a-l)e，4ax 2+a 2X,其中”e.(1)若。=2,求/(x)的单调区间；(2)若/CO在(1,2)内只有一个零点，求。的取值范围.解：(1)根据题意,函数f(x)=(x-a-l

24、)e”总a x 2+a%，若。=2,则 f(x)=(x-3)丫-/+4元，则有/(x)=(x-2)(炉-2),令/(x)=0,得 xi=l2,X2=2；令/(x)0,得/2 0,得无 历2或x 2.故了 (%)在(加2,2)上单调递减，在(-8,历2),(2,+8)上单调递增.函数f(x)=(x-a-l)e*4 a x?+a乙X，则/(工)=(x-a)S-a),分3种情况讨论：、当a W l时，f(x)0对 成(1,2)恒成立，则f(x)在(1,2)上单调递增,从而，f =a(a-e)0、当1“2时，/(x)在(1,a)上单调递减，在(。，2)上单调递增，又由E)=a(a-+)0,f(a)0，

25、f l a 0 时无解、当2 W a V e时，,f(x)0,对 立(1,2)恒成立，则/(x)在(1,2)上单调递减，此时/(I)6 0)的一个焦点，点M(,焉)a 2在椭圆C.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/与椭圆C交于不同的A,B两点，且垢A+%B=-(。为坐标原点)，求直线/斜率的取值范围.屋 点3 1 ,解：（1）由题意可得/74一 =1,解 得 层=4,抉=,a 4 b2 椭圆方程为+)a=i；4(2)设直线/的方程为y=+m,A(即，y i),B(及，力)y=k x-+in联立 2 ，得(4/+1)/+弘加什4帆2 -4=0,X.N tv y=1由题意知4=(8切1)2-4

26、(4 F+1)(4m2-4)=1 6 (+4lc-z w2)0,8 k m 4 m2-4.X+X2=-7，XX2=-，l+4 k 4 k 2+1Yi y9 k x 0,解得 1,又，疹=1+软2 0,解得-4故直线/的斜率为取值范围为-，0）U （1,+8）.4（二）选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程2 2.在直角坐标系x Oy中，直线C i：y=-3,圆C 2：（x+1）?+（y -1）2.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求G,。2的极坐标方程；（2）若直线C 3的极坐标方程为g !兀（p e R）,设C 3与C i,C 2的交点为M、N（异于原点），求C z MN的面积.x =P cos 8解：直线G：y=-3,根据，y=P s in ,转换为极坐标方程为p s in8=-3；,x2+y2=P 2x=P cos 8圆 G：(x+1 )2+(y -1 )2=2,根据a2-a,求实数。的取值范围.3,x-2解：(1)/(x)=x-1|-|x+2|=-抖.(2)由(1)得，当 x e M 时，f(x)W 2,那么|/(x)2 0,从而可得层-“0,即实数a 的取值范围是(0,1).