2021年新高考数学考前10天模拟定心卷三（解析版）.pdf

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1、高考前10天模拟考试-定心卷(解析版)数学(三)本试卷分选择题和非选择题两部分，共 1 6 道小题，6 道大题，满 分 1 5 0.考试时间1 2 0分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A =y|y =炉+2 x+3 ,B =x y=J ,则 A p|B=()A.2,3 B.2,3)C.(2,3 1 D.(2,3)【答案】B【分析】分别化简集合A,集合3,然后取交集即可.【详解】A =y|y =炉 +2 x+3 =(x+l)2 +2 =y|y.2,B =x y=2-=x 因此，Z =i-故选：A.3 .把

2、物体放在冷空气中冷却，如 果 物 体 原 来 的 温 度 是,空 气 的 温 度 是.那么/mi n后物体的温。(单位：。C)可由公式。求得，其中A 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有4 6 的物体，放 在 1 0的空气中冷却，Imi n以后物体的温度是3 8,则衣的值约为(l n3。1.1 0,l n7 b 1.9 5)A.0.25【答 案】A【详 解】B.-0.2 5C.0.89D.-0.8 9由题意可知：。=%+（4仇”-当4 =4 6,4=1 0,f=l时，e =3 8，代入公式得:3 8 =1 0 +(4 6 -1 0 1 1 即 e-k2 8。_ 736：97-92 1

3、 n3-l n 7 =2.2 0-1.9 5 =0.2 5.A.【点 睛】本题主要考查指数对数函数的运算，属于简单题.4.在 平 面 直 角 坐 标 系x如 中，角e的顶点为，始 边 为x轴的非负半轴，若 点P（-1,2）是 角a终边上的一点,则t a n（一2 c）等 于（）3 4 3 4A.-B.-C.-D.一4 3 4 3【答 案】B【分 析】由三角函数的定义可求t a na的值，再利用诱导公式及二倍角正切公式可求.【详 解】解：由题意，得t a n a=-2,从 而t a n（左一2 a）=-t a n2 a =2 t a n a _ 2 x (-2)_ 41 t a n2 a l-(

4、-2)2 -3故选：B.5.已知双曲线-马=l（a0,00）的离心率为K，则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为（）a b-A.y=g x B.y=x C.y-4 1 x D.y=2x【答 案】C【分 析】直接利用6=,。2=4 2+6 2进行齐次转化得到g =,即得结果a a【详解】双曲线中，6 =?=石,所以2 =杵=/三:=后=1 =J T =0，故该双曲线的渐近线方程为y=y/2x.故选：C.6.已知（eN*）的展开式中有常数项，则”的值可能是（）x）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【分析】写出二项展开式通项公式，令的指数为0,此式有正整数解，从而可得的范围.【详解】由

5、 题 意 展 开 式 通 项 公 式 为=。;（/）（工）=c 2,-3r所以关于r的方程2-3 r =0有正整数解，必是3的整数倍.只有B满足.故 选:B.7.如图所示，在正四棱锥S-中，A B =6,SA =3 6，它的内切球。与四个侧面分别相切于点发F,G,，处，则四边形E尸G”外接圆的半径为（）2 2【答案】C【分析】作出过正四棱锥顶点和底面对边中点的截面ASMN,M,N是A D,8c中点，ASMN的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点 G为球与正四棱锥侧面的切点，求得ASMN的边长，得切点E,G位置求得EG,而四边形EFG 是正方形，对称线为其外接圆直径，山此可得.【详解】如图，作出过

6、正四棱锥顶点和底面对边中点的截面AS“V,不妨设M,N是中点（SM,SN是正四棱锥的斜高），则ASMN的内切圆是正四棱锥内切球的大圆，切点E,G为球与正四棱锥侧面的切点，正四棱锥S-A 8 8 中，AB=6，SA =3亚,则 S M =S N =&后=6，M N =A B =6,ASMN是等边三角形，则E,G分别为SM,SN的中点，EG=LMN=3,213由正四棱锥性质知四边形E FG H是正方形，所以外接圆半径为r=-E G =-.2 2故选：C.【点睛】方法点睛：在涉及到正棱锥与内切球、外接球的计算中，常常需要作出截面得出相应关系求解.对正四棱锥来讲，有两个截面，一个是本题中作出的过棱锥的

7、标点，和底面对边中点的截面，它截正四棱锥内切球所得大圆为截面三角形的内切圆，另外一个是正四棱锥的对角面M C,它截外接球的大圆是截面三角形的外接圆.8.定义在R上的函数/（x）满 足/（x）-2/（）一8 0,且/（0）=-2,则不等式/（%）2/-4的解集 为（）A.（0,2）B.（0,+8）C.（0,4）D.（4,+0 0）【答案】B【分析】构造函数g(x)=，：4,利用导数分析函数g(x)的单调性，将所求不等式变形为g(x)g(O),即可解得x的取值范围.【详解】构造函数g(x)=g，则小)()+旷 J(X)一 斗)80,所以，函数g(x)为R上的增函数，g(o)=丛注=2,由 /(x)

8、2g2,一4 可得g(x)=/42 =g(0),所以，X Q.ex故选：B.【点睛】思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下：(1)根据导数不等式的结构构造原函数g(x)；(2)分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数g(x)的单调性；(3)将所求不等式变形为g(a)g(6)或g(M)g(W)(偶函数)；(4)利用函数g(x)的单调性可得出关于。、。的不等式进行求解.二、选 择 题：本 题 共4小题,每小题5分，共2 0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.(山东新高考:全部选对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分.其他八省新高考：全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选

9、错的得0分.)9.已知向量石=(3,4),5 =(2,1),则()A.a-2 =(-l,-6)B.a+hy/34C.与向量平行的单位向量为2 _D.向量M 在向量5上的投影向量为【答案】ABD【分析】根据平面向量的坐标运算求解判断，注意与某个向量平行的单位向量有两个，它们是相反向量.【详解】由题意万一2 5=（1,一 6）,A 正确;a+b=（5,-3）,+目=,5?+（-3）2=-s/3 4,B 正确;与 平行的单位向量有两个，它们是相反向量，c错；石=6 4=2 0，向量M在向量5 上的投影向量与B 同向,a b 2 2 6 I /-2-W=R=不 一，而W=J5,所以向量M在向量5 上

10、的 投 影 向 量 为，D 正确.故选：ABD.10.如果函数/（x）在 3,句上是增函数，那 么 对 于 任 意 的 玉,勿（芯/占），下列结论中不正确的是A,-6/0玉-x2C.右 v x?则/（。）/（西）/（/）/（）D.。【答案】CD【分析】根据单调性的定义百一W与 的符号相同，逐个判断即可.【详解】因为/（x）在。,可上是增函数，所以对于任意的玉,工 2 伍,例（玉。*2），玉一 工 2与/（玉）一）（%2）的符号相同，故 A,B 正确，D 不正确；C 中，若内，则/（。）期（玉）/（%）/S），所以C 不正确，故选CD【点本题考查对单调性定义的理解，是基础题.11.在AABC中下

11、列关系成立的有（）A.si n(A+B)=si n C B.c o s(A+B)=c o s C.A+B C 八 A+B.CC.si n-=c o s D.c o s-=-si n 2 2 2 2【答案】AC【分析】由4+3+。=不，可得4+8=万一。0 4 目=二 一2,再利用诱导公式判断即可.2 2 2【详解】ABC中，因为A+B +C =，A n -4+3 7 1 C所以 A+3 =;r C n-=-，2 2 2所以si n(A+6)=si n(乃一C)=si n C,A 正确;c o s(A+B)=c o s(-C)=-c o s C,B 不正确；D 不正确.故选：AC.12.设。0力

12、0,。+匕=1,则(A./+的最小值为g.C.3+D S+1)ab的最小值为2 J 54 1 八B.H 7 的范围为 9,+8)a hD.若c l,则把-2 +的最小值为8I ab J c-i【答案】ABD【分析】由a?+从 2(+b),可判定A 正确；由一+7 =(+7)。+)=54-F-,可判定B 正确；由2 a b a b J a b(4+D S+1)a b +Q+/?+l f r 2-7=-=-r=V+-7=,结合基本不等式，可判定C 不正确；由7 ab 7 ab 7 ab3/+1abc 4。b、A2=1 4b a/2 得到 -2-c+L(C-1)+!+4,进而判定D正确.ab c-c

13、-1【详解】对于A中，由+82 23 +/斤=L 当且仅当a=b=l时取等，2 2 2可得+后的最小值为工，所以A 正确；24 1 (4 1)/1 x 厂 4b rr对于 B 中，由一+=+(。+。)=5+2 5+2,4 =9,a b ya b J a b2 1当且仅当4=2/7时，即。=一 力=一时，等号成立，取得最小值9,所以B正确；3 3(Q+l)(+l)4。+4+。+1 fr 2对于 C 中，由17=-=-7=V +-7=,slab 7 ab 7 abr-r 2 1 2 =1 4 J又由0 疝弓，所以V+诟 一 万+1=5+5,所以c不正确；2 2,.,3。一 +1 3。一 +(Q+Z

14、?)4。b对于 1)中，由-2=-2=十 2 4,ab ab b a1?当且仅当b=2a时，即。=不/二二时，等号成立，可得-2 C+-N 4(C-1)+-5-+4N8,、ab)c1 c 13当且仅当。=一时取等，所以D正确.2故选：ABD.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“正、二定、三相等”：(1)“一正”：就是各项必须为正数；(2)“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生

15、错误的地方.三、填 空 题：本 题 共4小题,每小题5分，共2 0分.1 3 .如图，在直三棱柱A B C-A B。中，若m=1,而=5,比I =d ,则“=示）.（用 ,B,c 表【答案】-a+b c【分析】_ _ _ _ U U U根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算即可用4,仇C表示出A&【详解】在直三棱柱A B C 4 8 c l中，若 百=2丽=反 反 尸E，则 率=平+/+国qC-C A +CB=-CA+CB-CQ=ci+h c故答案为：-G+B-E【点睛】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.1 4.设随机变量f服从二项分布6,；）,则P信4 2）等于【答案】1【

16、分析】将P ,2)转化为求P e=0)+P K =D +P =2),即可得到答案：【详解】P(2)=P e=0)+P C=l)+P(g =2)2j 2)2)2)2j 2)6 4 6 4 6 4 3 2故答案为：.3 21 5.已知等差数列&,且&+5=1 0,a23 6=2 1,则&=.【答案】/=+1或4 =-+9 .【分析】设等差数列 凡 的公差为4,根据题意列出方程组，求得d的值，即可求解.【详解】设等差数列 q 的公差为d,因为。3 +。5 =2%=1，可得。4=5,又由 a2a6=(%-2 d)(%+2 d)=(5-2 d)(5+2 d)=2 1,解得“2=1，所以d =l或d =l

17、,所以数列 见 的通项公式为4 =+1或 凡=一 +9 .故答案为：氏=+1或=-+9 .1 6 .在平面直角坐标系x勿 中，己知直角AABC中，直角顶点1在直线x-y +6 =0上，顶点B,。在圆V +y 2=i O上，则点4横坐标的取值范围是.【答案】-4,-2【分析】山题意画出图形，写出以原点为圆心，以2有 为半径的圆的方程，与直线方程联立求得工值，则答案可求.【详解】如图所示，当点A往直线两边运动时，4 4 C不断变小,当 点A为直线上的定点时，直 线A 5,AC与圆相切时，N3 A C最大,当AB O C为正方形，则0 4=2逐，则 以。为 圆心，以2石为半径的圆的方程为-+y 2

18、=2 0.y =x+6联 立 ，得X2+6X+8=0.x2+y2=2 0解 得x=T或x=-2.点A横坐标的取值范围是 T，-2 .故答案为：-4,-2 .【点 睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.四、解 答 题：本 题 共6小 题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.从 都是锐角，且 si n a =,cos J3=,、a、f3 都是钝角，且 t a n a =,c o s B -士 心 工；5 1 0 4 3 45 3a是锐角，是 钝 角，且t a n 2 a =方，t a

19、n =一万这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知，求 夕+的值.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.TT【答 案】选择：a +/3=；选择：夕=771；选择：a +/3=3 冗.4 4 4【分 析】选择根据已知条件求出COS a、s in/7的值，再计算c o s(a+)的值即可求解；选择由已知条件先求出S in夕的值，即可求t a n夕得值，计算t a n(a+4)的值，结合a +的范围即可求解；选择先利用正切的二倍角公式计算出t a n a的值，计算t a n(a+4)的值，结合的范围即可求解.【详解】若选择a,夕都是锐角，I L s in ag c s =亚;5

20、 1 0由名，都是锐角，且s in a =更，c o s/3=35 1 0c s(a +0 八叱竽x噜.去噜考,TT因为见方都是锐角，所以O v a +4兀，所以=+月=一;4若选择a,尸都是钝角，且t a n a =L eo s尸=士 叵4 34因为是钝角，c o s/7 =-3昼34所以t a n P =s in f3COS0可得 s in，=Jl-c o s?03取343扃3457 343435因为a是钝角，t a n ct ,41 3所以 tan(a+/?)=tan a+tan，1 -tan a tan f3因为一v a ，B TC,所 以/。+/?2%，2 2所以a+/?=；45 3

21、若选择：。是锐角，夕 是钝角，且tan2a=，tan 二 一 一 ,12 22 tan cc 5由 tan 2a=-=整理可得：5 tan2。+24 tan c 5=0，l-tan2 a 12即(5 tan 二 一 1)(tan a+5)=0 解得 tan a=g 或 tan a=5(舍)所以 tan(a+p)=tan a+tan/?1-tan a-tan 1_3_.、,c TC TC c r-r-I I 冗 c 3 1因为0二 一，所以一。+,2 2 2 2所以。+=型4【点睛】思路点睛：对于给值求角型的题目，要注意先由已知条件判断角的范围，再确定计算哪一种三角函数值,jr 3 4如已知条件

22、给的是弦，角的范闱是 0,乃 或 ,2乃 ,要计算余弦值，角 的 范 围 是 要 计 算 正 弦 值,以保证该三角函数在区间内单调，若已知正切应计算角的正切值，再求角.1 8.已知数列 q 的各项均为正，其前项和为S“，且满足：2S,=%+%(e N)(1)求数列 q 的通项公式；(2)设 =%+,若对任意的eN*，都有求实数c的取值范围.an【答案】(1)a“=(eN*)；6,12.【分析】(1)当=1时，可求得力：当“2 2时，利 用%=S“-S,i可证得数列 4 为等差数列，由等差数列通项公式可求得4；(2)由可得(”3)(3-C)N0,分别在 0,4 =1 ；当 2 2 时，2 s._

23、 =+an_x,2an-2(S“S“_|)=a+an,整理可得：(a.+a,i)(a“_ a,i_ l)=O,又a“+4-0 ,a“a,1-1 =0,即。“一 a,i=l，数列 风 是以1为首项，1为公差的等差数列，%=；经检验：当=1 0寸，满足/=；综上所述：a“=(eN*)；(2)由(1)得：b”=T,由42得：n-2 3H,n n 3.+_3一 =3/-(。+9)+3。=(3)(3-c)2 0 3 3 3n当时，一3v 0,3 0,.3 c6；当=3时，(二3)(3二c)=0,.5 2%恒成立，.。/?；3n当24时，n 3 0,3/1 0/.3n c 0,即恒成立.，/.c 21 9

24、.某省高考曾经使用过一段标准分制度，标准分是把学生考试的基础分参与全省排出相对名称，通过公式换算成标准分.高考后公布考生的标准分，而不公布基础分.考生根据自己的标准分多少就可以大致估出自己在全省考生的名次.其标准分才是服从正态分布(5 0 0,IO。?)的随机变量.假设某学生的数学成绩不低于6 0 0的概率为R.（1）求 R的值；（2）某校高三的高考英语和数学两科都超过6 0 0 分的有5 人，仅单科超过6 0 0 分的共有8人，在这些同学中随机抽取3人，设三人中英语和数学双科都超过6 0 0 分的有&人，求&的分布列和数学期望.（参考数据：若 h （U ,。与，有产（口 -。（朕 口 +。）

25、=0.6 8 2 6,P（u -2o启 u+2。）=0.9 5 4 4,P（u -3 o 【分析】（1）根据随机变量X 服从正态分布“（5 0 0,l O O J,得到=5 0 0,6 0 0）=1 -（1 W 5 0 0）+（4 0 0 6 0 0）=1 -月（启 6 0 0）,由正态分布的对称性，可知/（x W S O O）=,2则 P（4 0 0 启 6 0 0）=0.6 8 2 6,则 R=P（尤 6 0 0）=1 -P（朕 6 0 0）=1-2（启 5 0 0）+：（4 0 0 C X W 6 0 0）2=1 -（-+-X 0.6 8 2 6 ）2 2=1 -（0.5+0.3 4 1

26、 3）=0.1 5 8 7.（2）英语和数学双科都超过6 0 0 分的有5人，仅单科超过6 0 0 分的有8人,&的所有取值有0,1,2,3,P(g =0)Ci”0（&=2）（&=3）=。犯8 40C；5二&的分布列为:0123P2814370143401435143厂”、，、28 70。40 r 5 15/（自）=Ox-Fix-l-2x-b3x-=143 143 143 143 13【点 睛】方法点睛：求解离散型随机变量才的分布列的步骤：理解才的意义，写出才可能取的全部值：求才取每个值的概率；写出/的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率.2 0.已知M、N是 正

27、 四 棱 柱ABCD-ABCQI的棱与G、G A的中点，异 面 直 线M N与A 4所成角的大小 为arccos典10(1)求 证：M、N、B、。在 同一平面上;(2)求 二 面 角C MN G的大小.【答 案】(1)证明见解析；(2)arctan4 7 2.【分 析】(1)根 据M N 可知四点共线，即可求 证：(2)先 证 明N C O G是 二 面 角C-M N-G的平面角，解三角形求解即可.【详 解】(1)连 接M N、0 5、,取M N的 中 点。，连 接C O,C Q,如图,G2M是 棱 的 中 点.N是棱的G A的中点，则 MN。乃DB H D、B所以 MN/DB，所以M、N、B

28、、。确定一个平面，即A/、N、B、。在同一平面上（2）由（1）可知NA4A（或其补角）是异面直线MN与A 4所成的角设底面A5CD的边长为。，正四棱柱高/?ABt=/a2+h2，AR=yja2+h2，B R =41a，cos ZA.BD.D.=-a-2-+-h-2+2a2-a2-h21 -2“2 +2 .血&取MN的中点。，因为CM=CV,CM=C1N,则CO，MN,C Q上MN,/COC1是二面角C-MN-G的平面角yf2 n八-tan Z.COC.=1=4/2C,O=a，RCOG 中，OC,&4 a4二面角C MN C1的大小为arctan 4/D=巫，解得/z=2a10【点睛】关键点点睛

29、：根据二面角的定义，作出或证明二面角，利用直角三角形求解即可，属于中档题.21.已知左、右焦点分别为耳、居 的椭圆a 0+与=1（。匕0）过点（夜,6）,以与尺为直径的圆过a bC的下顶点A.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点P（O,1）的直线1与椭圆C相交于照N两点，且直线AM、AN的斜率分别为占、k2,证明：为定值.%2 v2【答案】（1）+-=1 ；（2）证明见解析.8 4【分析】（1）由以玛为直径的圆过下顶点A得 人=。，结合椭圆参数关系及点在椭圆上求6,写出椭圆方程即可.（2）由题意，可设直线/为丁 =h+1,加（石,%）,%（,%），联立椭圆方程，由韦达定理得不+，%工2，又占=2

30、-2=-，得K 晨表达式并求值，即可证明结论.玉 x2【详解】（1）.以4名为直径的圆过点4 0,4）,:,b=c，,又 a=Jb2+c2-y/2b,二椭圆C:又c过点,2 3/2从 +=1，解得 b-1,a 2.yp2.,2 2.椭 圆c的方程 为 土+匕=1.8 4（2）由题意，直线/的斜率一定存在，,设直线1的方程为y =履+1,M（石,N（/,必），2 2工+2 1 =1由 8 4一，消去 y 得（1 +2左 2）f+4 版一 6 =。，J=642+240.y=kx-于是玉+%2=4 k-6l+2k2 1-1+2 公又 A（0,-2）,X+2 ,必+2（凹+2）（%+2）_（依+3）（

31、5+3）_公 中 2+3%&+）+9,一 ,则片 G 玉 X?XyX2 xx2 XjX22 2 9(l+2k2)3,=k2+2k2 -L=-为定值6 2【点睛】关键点点睛：第二问，首先确定宜线/的斜率一定存在，再设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理、斜率两点式，求得匕&表达式，最后求证是否为定值.2 2.已知函数/(x)=l n x +g,ae R,且曲线y =/(x)在 x =l 处的切线平行于直线2x+y =0.x(1)求 a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)已知函数g(x)=/(%)一 X -图象上不同的两点4(%,y ),6(马,)，试比较&5 与 g 1立 产 Xx2x

32、2 J的大小.【答案】(1)。=3；(2)函数/(X)的单调增区间是(3,物)，单调减区间是(0,3)；(3)“二五8 1胃&马一玉 k 2；【分析】(1)曲线 X)在 X =1处的切线平行于直线2x+y =0,利用导数的几何意义可知f (l)=-2,由此即可求出结果；3(2)由(1)可知，f(x)=nx+-,再利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果；x(3)求出函数g(x)的导数，可得g(土 产)，作差比较资瞪与作差可得五 一（0 1In 互 十-2马 一%2 J x2-x,%强%_ 玉4再构造辅助函数人(x)=l n x +-2,通过函数的X +1导数，求解函数的最值，即可求出结果.【

33、详解】(1)/3 的定义域为(0,+oo),，(X)=L-/.X X 曲线/(X)在x=l处的切线平行于直线2x+y=o,./(1)=1 一。=一2,.,/=3.、1 3.、1 3 x 3(2)*.*f (x)=In x H ,f (x)=.；一.X X X X当尤3时，/(x)O,/(x)是增函数；当0尤3时，/(x)O,/(x)是减函数.函数X)的单调增区间是(3,400)，单调减区间是(0,3).八3，1 4 x.+2.(3)v/(x)=lnx+,g(x)=lnx-x,g(x)=1,g-=-1.x x V 2)x x2又皿x2-x(In9 一)一(111王 一 石)lnx2-In.-=-1In x2-In x,2JnX2 _2(X2-X1)X X+x28,(%+%2、I 2)赴一不xt+x21%一百月一乂了2一%设 心)=E、+A 1 4(无一1)277r2,则)=二曰=会2:/(x)在(0,+=o)上是增函数.令，=土，不妨设0 X 1 1 ,h(t)h()=0,玉ln-+-20即 x&+1%.(X,+X,1 2 一 0,g龙2一网又/一%0,：U-gJ 苞 +X)【点睛】本题考查了导数的几何意义，以及导数在函数函数单调性和最值中的应用，考查转化思想以及计算能力.