2021年新高考数学模拟试卷四.pdf

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1、2021年新高考数学模拟试卷4选 择 题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.（5 分）设集合 A=川-1XW2,B=-1 ,0,1,2,3 ,则 A C B=（）A.-1,0,1,2 B.0,1,2 C.0,1 D.x|-l 0）的左右焦点分别为Q、&，圆，+）2=/与双曲线在第一象限内的交点为M,若|MF|=3|MF2 l，则该双曲线的离心率为（）C.V 2D.V 38.(5 分)已知定义在R 上的函数/(x)是奇函数，且/(x)在(-8,0)上是减函数，/(2)=0,则不等式好(x+2)W0的解集是()A.(-8,-2 U 2,+8)B.-4,-2 U 0,+8)C.(-8,-4 J

2、U -2,+8)-8,-4 U 0,+0 0)二.多 选 题(共 3 小题，满 分 15分，每小题5 分)9.(5 分)已知函数/(x)X,g(x)x-4,则下列结论正确的是()A.若 人(x)f(x)g(x),则函数4(x)的最小值为4B.若 h(x)=f(x)|g (x)I，则函数/z (x)的值域为RC.若 h(x)=|f(x)-g(x)I，则函数/?(x)有且仅有一个零点D.若 h(x)=1/(x)I T g (x)|则|/z (x)|W 4 恒成立1 0.(5 分)若非零实数m 6满 足 则 下 列 不 等 式 不 一 定 成 立 的 是()I I.(5 分)已知半径为1 0 的球的

3、两个平行截面圆的周长分别是1 2 n 和 16m则这两个截面圆间的距离为()A.2 B.4 C.1 2 D.1 4三.填 空 题(共 4 小题，满分20分，每小题5 分)1 2.(5 分)某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C 三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有 种.1 3.(5 分)意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4,5 5,即 F (1)=F(2)=1,F()=F(n -1)+F(n-2)(3,N*),此数列在现代物

4、理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整 除 后 的 余 数 构 成 一 个 新 数 列 则 能 0 1 9=，数列%的 前 2 0 1 9项的和为.1 4.(5 分)已知函数f(x)=ex(x -1)-ax+,若存在唯一的整数演)，使得f(x()W O,则。的取值范围是x y1 5.（5分）在平面直角坐标系x O y 中，己知双曲线我 记=1 （a 0,b 0）的右顶点A（2,0）到渐近线的距离为迎，则匕 的 值 为.四.解 答 题（共6小题，满分70分）1 6.（1 0 分）在 A B C中，内角A,B,C 的对边分别为a,h,c,且 4 反o s1-=2+si n B

5、.2 2（1）求 co sA；（2）若 a=2 近，c5,求。.1 7.（1 2 分）已知等差数列 斯 的前2 L 1 项中，奇数项的和为5 6,偶数项的和为4 8,且“2=3 （其中 m G N ）.（1）求数列 为 的通项公式；（2）若a ,ak 2,，是一个等比数列，其中心=1,依=5,求数列 般 的通项公式；（3）若存在实数a,6,使得aW总 争 Wb 对任意吒N*恒成立，求-a 的最小值.1 8.（1 2 分）某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量.当Z28时，产品为优等品；当 6Z8时，产品为一

6、等品；当 2Z6时，产品为二等品，第三方检测机构在该产品中随机抽取5 0 0 件，绘制了这5 0 0 件产品的质量指标Z的条形图.用随机抽取的5 0 0 件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率.（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1 件，求该产品为优等品的概率；（2）现某人决定购买8 0 件该产品已知每件成本1（X）0元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的8 0 件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从 8 0 件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3 件或4件为优等品，则按每 件 1 60 0 元购买，否则按每件1 50 0

7、元购买，每件产品的检测费用2 50 元由企业承担.记企业的收益为X元，求 X的分布列与数学期望：（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖“活动，客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是方格图上标有第0格、第 1 格、第 2格50 机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从 k 到 Z+1）,若携出反面，机器人向前移动两格（从到A+2）,直到机器人移到第4 9格（胜利大本营）或第50 格（失败大本营)时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营“，则可获得优惠券，设机器人移到第 格的概率为(0，

8、50,C N*),试证明(1WW49,”C N*)是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买：该款产品.1 4 0IIOMOS8MOEefw 2时，修、工 2 是 y=g（兀）的两个零点，证明:/(工1)一/(%2)x1-x2V a 2.（可能用到的参考结论：函数y =2 x +1 x 在 区 间（0,+8）上单调递减）2021年新高考数学模拟试卷4参考答案与试题解析一.选 择 题(共 8 小题，满分40分，每小题5 分)1.(5 分)设集合 A=x|-1 XW2 ,2=-1,0,1,2,3 ,则 ACB=()A.-1,0,1,2 B.0,1,2)C.0,1 D.x|-1 X2,或X=3【解答】

9、解：A=x|-1 XW2 ,0,1,2,3 ,.A nB=0,1,2).故选：B.2.(5 分)已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则=-=()1+13 3 3 1 1 3 13A.一 得+*B.一得+策 C.一微+力 D.一+T2 2 2 2 2 2 2 2【解答】解：由题意，z=-1+2/,z -l+2 i (-l+2 i)(l-l)1,3.贝 U-=-=-=_+_ I.1+i 1+i (l+i)(l-i)2 2故选：D.3.(5 分)已 知 a,b E R,则“必=0”是“函数/(x)=x|x+a|+6 是奇函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

10、D.既不充分也不必要条件【解答】解：函数的定义域为R，若函数f(x)=x|x+a|+b 为奇函数，则/()=b=0,当 6=0 时，f(x)=Rx+a|,若为奇函数，则/(-x)=-x|-x+a|=-f(x)=-xx+a,即|x-a|=|x+a|,.a0,即函数f(x)=-Rx+“|+/?为奇函数的充要条件是a=b=0,Va b=0,，。=0 或。=0,/.uab=0n推不出“函数f (x)=x|x+a|+b 是奇函数”，“函数f(x)=小+&+力 是奇函数 =而=0；则“必=0”是“函数/(X)=#r+a|+是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.4.（5 分）某市为了解全市居民日常用水量的分

11、布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分别直方图如图：则图中才的值为（）分组频数频率0,0.5)40.040.5,1)50.081,1.5)15a1.5,2)220.222,2.5)m0.252.5,3)140.143,3.5)60.063.5,4)40.044,4.5)20.02合计1001.00A.0.15B.0.075C.0.3D.15【解答】解：由频率分布表可知，=1.00-(0.04+0.08+0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02)=0.15,则 仁 常=港=3故选：C.5.（5 分）如图，在中,AB=BC=4,NABC=30。，

12、AQ是边BC上的高，则 而 后 的值等于（）Ax.2 lB.4 C.6 D.8【解答】解：A D-A C A D A B +B C）=ADAB+ADBC=AD*AB=ADABcosZBAD=|6|sin300&|cos60。1 1=4X 4x/宏=4；故选：B.6.（5 分）函数/（X）=昂 君 的 图 象大致是（）1 1 1【解答】解：由2田-1#0 得因即x关士大 即函数的定义域为由:力士;,/（-X）=克治=一 身 志=（X），即函数了（X）是奇函数，图象关于原点对称,乙|八|JL 4|八|JL排除B,当元一+8,f(X)f+8,排除 A,1当 O V x V 时，2x-1 G,此时/(

13、x)0)的左右焦点分别为F i、&，圆/+y 2=/与az b2双曲线在第一象限内的交点为M,若|M Q|=3|M F 2 l，则该双曲线的离心 率 为()A.2 B.3 C.V2 D.V3【解答】解：由双曲线的定义可得-|M&l=2 a,若|M Q|=3|M&I，则|M F 2 l=。，设 M(3 n),m 0,由双曲线的定义可得M F2 (“1-)a!可得加=竽，由|O M=b,可得：2 2 4 a 4 b2(4 a2 c2).2m +n=-7-4-5-=b,cL cL由 f e2=c2-a,化为。2=3/,则e=a=故选：D.8.(5 分)已知定义在R 上的函数/(%)是奇函数，且/(x

14、)在(-8,0)上是减函数，f(2)=0,则不等式#(x+2)W O 的解集是()A.(-8,-2 U 2,+8)B.-4,-2 U f O,+)C.(，-4 U -2,+8)D.(-8,-4 U 0,+8)【解答】解：根据题意，设 g G)=/G+2),g (x)的图象可以由/(x)的图象向左平移 2个单位得到的，函数/(x)是 R 上的奇函数，则函数g (x)的图象关于点(-2,0)对称,则 g(0)f(2)=0,g(-4)f(-2)0,则 g (x)的草图如图：故 xf (x+2)wonxg(x)这0=蓝)Z o咪露 0则有xW-4或xN -2；即x的取值范围为(-8,-4 U -2,+

15、)；故选：C.多 选 题(共 3 小题，满 分 15分，每小题5 分)9.(5分)已知函数/(X)=x,g(x)=x-4,则下列结论正确的是()A.若/?(x)=/(x)g(x),则函数(x)的最小值为4B.若h(x)=f(x)|g(x)I，则函数/z (x)的值域为RC.若(j t)=/(x)-g(x)I，则函数/?(x)有且仅有一个零点D.若 h(x)f(x)|-|g(x)I，则 4 (x)|W 4 恒成立【解答】解：因为函数/(x)=x,g(x)=x-4,.h(x)=f(x)g(x)=x(x-4)=(J C-2)2-4；故 A 错；h(x)=f(x)g(x)I，x4 时，h(x)=x(x

16、-4)在区间上单调递增，所以函数值大于等于零；x|x|=|x-4|=x=2,所以 C对;又；同-|x-4|W|x-(x-4)|=4；故。对；故选：BCD.1 0.(5分)若非零实数a,b满足a b,则下列不等式不一定成立的是()aA.-1 B.b1 1C.7 D.ab azb【解答】解：当 b V 0时，7I不成立，D a,a,a b 一 当工时，工十一2 2不成立，b b a1 1 c i b 因为n -2h=则n 一定成立，abz azb(ab)2 abz alb因为J-/?2+a-=(a-b)(a+b+1)符号不定，故J a /+匕不一定成立.故选：ABD.1 1.(5分)已知半径为1

17、0的球的两个平行截面圆的周长分别是1 2n和1 6 m则这两个截面圆间的距离为()A.2 B.4 C.1 2 D.1 4【解答】解：两个平行截面圆的周长分别是1 2n和1 6 m可得两个半径分别为6,8,如果这两个平行平面在球心同一侧时，取球的中截面可得球心到截面的距离。8=y/R2 r j2=V 1 02 62=8,O A=y/R2 r22=V 1 02 82=6,所以平行线间的距离d=O B-OA=8-6=2,如果这两个平行平面在球心两侧时，所以平行线间的距离=08+04=8+6=1 4,故选：AD.三.填 空 题(共 4 小题，满分20分，每小题5 分)1 2.(5分)某地开展名优教师支

18、教活动，现有五名名优教师被随机分到A、&C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有8 1种.【解答】解：根据题意，分2步进行分析：，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C 3 1=3种情况，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则乘IJ下三人有3 X 3 X 3=27种不同的选法，则有3 X 27=81种不同的分配方法；故答案为：811 3.(5分)意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,1 3,21,3 4,5 5,，即尸(1)=F(2)=

19、1,F(n)=F (n -1)+F(n -2)(“23,6N*),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2 整除后的余数构成一个新数列 斯,则 加“=0,数列 斯 的前2019项的和为 1346.【解答】解：“兔子数列”的各项为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,5 5,，.此数列被2 整除后的余数依次为：1,1,0,1,1,0,1,1,0,即。1 =1,畋=1，。3=，。4=1，。5=1，。6=，.，数列%是以3 为周期的周期数列，。2019 =。3=，*.数歹U 4”的前 2019 项的和为：。1+4 2+4 3+.+。2019 =673(。|+4

20、2+3)=673 X 2=1346故答案为：0,1346.14.(5 分)已知函数/(x)e(x-1)-ax+1 若存在唯一的整数x(),使得了(xo)W0,则 a 的 取 值 范 围 是 0,1)【解答】解：设 g(x)=/(x-1),y=ax-1,由题知存在唯一的整数x o,使得g(出)Wor()-1.因为 g(x)=xeL当x0 时，g(x)0 时，g(x)0,即 g(x)单调递增，g(1)=0 且 g(x)的值域为(-I,+8),直线y=a r-1恒 过 点(0,-1).作出图象：图象中红色直线不满足题意，蓝色直线满足题意,当且仅当1)时满足题设.故答案为：0，1).%?y215.（5

21、分）在平面直角坐标系x O y中，已知双曲线下一言=1（。0,h 0）的右顶点A（2,0）到渐近线的距离为或，则 一 的 值 为2.【解答】解：双曲线。一 三=1（。0,。0）的渐近线方程为y=-X,a2 b2 a则右顶点A （2,0）到渐近线的距离为d=分=/，而解得b=2,故答案为：2四.解 答 题（共6小题，满分70分）16.（10分）在 A B C中，内角A,B,C的对边分别为m b,c,且4反o s=2+s i n 3.2 2（1）求 c o s A；（2）若 a=2遥，c=5,求【解答】解：（1）因为4/T C O S =2b+R a s i n Q所以 2b （1+c o s A

22、）=2c+1 s i n 3,即 4 c o s A =3Q s i n 3,由正弦定理可得，4 s i n B c o s A=3s i n 4 s i n B,因为 s i n B W O,所以 4 c o s A =3s i n A,又 s i n2A+c o s2/4 =1 且 s i n A 0,c o s A 0,所以c o s A=耳；（2）由余弦定理可得，c o s A=|=g ,整理可得，66+5=0,解可得，b=或b=5.17.（12分）已知等差数列 斯 的前2m-1 项中，奇数项的和为5 6,偶数项的和为4 8,且。2=3（其中相W N ）.（1）求数列 为 的通项公式；

23、（2）若a 七,。3 Q 呢，是一个等比数列，其中2 =1，女 2=5,求数列 乂 的通项公式；（3）若存在实数”，b,使得aS剑含 Wb对任意”6N*恒成立，求 6-a的最小值.m 7因为。2+2机-2=。1+。2?-1，所以 7=:，解得 m=l.m-1 6所以0+13=16,因为 0+13=2+。12，且2=3,所以色2=13.设数列 斯 公差为d,则 10d=2-。2=10，所以d=l.所以“1=2,通项公式册=7 1 +1（葭E N*）；(2)由题意，aki=a 1=2,ak2=a5=6,设这个等比数列公比为4,则q=*=3.那 么%”=2*3 时1,另 一 方 面=kn+1,所以k

24、n=2 x 3n-1 1；Ol)an _F，n2-1 _ -2n2+2n+3 一-3 =因为g N*,所以当 时，-2/+2+3=-2（-1）+3 V 0,即品+1 1 时，cn 0,所以，当=1 时，C n 的最小值。1=0,所以a W O.综上，6-a的最小值为土18.（12分）某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量.当 Z2 8时，产品为优等品；当 6WZ1故 P”-PT=-*(P 及-1-尸 公 2)，所 以 1 W 4 9 时，数列 P-P“T 为首项P l-P o=公比为一匏等比数列.11 1

25、1所以 P P o=_/,尸 2-丹=(一/,P3-P2=(-1)3,，P,尸 2=以上各式累加，得 P“-1=_ 3 +(TA+(导+(-畀=理If.乙 ，乙 乙 1 一(2)2 11P=W +可(一)n.(=0,1,2,.,4 9).获胜概率尸4 9=|+j(-护.失败概率尸 50=#4 8=1 1-(1)4 9=1 1 +(1)4 9.尸 4 9 -尸 50=|+j(-1)49-|1 +(1)4 9 =1 1-(1)4 8 X),所以获胜概率更大，故此方案能吸引顾客购买该款产品.1 9.(1 2 分)四边形A 8 C D 是菱形，A C E F 是矩形，平面A C E F _L 平面A

26、8 C ),AB=2AF=2,N B A D=60,G 是 B E 的中点.(I )证明：C G 平面BDF(I I )求二面角E-BF-D的余弦值.【解答】(/)证法一：TSCACHBD=O,BF的中点为H,因为G 是BE的中点,GH|EF|AC,GH=AC=OC,：.OCGH是平行四边形：.CG/OH,CGC平面BDF,04u平面 BDF,；.CG平面 8QF证法二：因为G 是BE的中点，2己=晶+0 =&+於=力，：.CG/DF,VCGtf T2 BD F,。尸 u 平面 8。/，设EF的中点为N,ACEF是矩形，O NLAC,平面ACEF_L平面A8CQ,(97V ABCD：.ONLA

27、C,ONLBD四边形A8CD是菱形，.,.AC.LBD,以。为原点，所在直线为x 轴，0C 所在直线为y 轴，ON所在直线为Z轴 建立空间直角坐标系，A8=2,AF=,NBAD=60,则 而=(2,0,0),BF=(-1,-V 3,1),EF=(0,-2炳,0)平 面 8EF的法向量为A =Z 1),平面BOF的法向量为扇=。2,丫 2,Z2),弓 咛=卜 2属令 R=1,财=(i,1),(九 1 =0 _，3yi+Z1=0(n2-DB=0 (2X2=0n2-BF=0 l-x2-V 3 y2+z2=0=九2=(0,1,V3)设二面角后-8尸-。的大小为0贝 iJcosO=|cos V%,一，乃

28、叼1 =1数彳V6则二面角E-B F 的余弦值是，20.(12 分)已知两点 Fi(-V 3,0)、&(V3,0),设圆 O：,+y2=4 与 x 轴交于 A、B 两点，且动点P 满足：以线段F2P为直径的圆与圆。相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为 r,过点尸2与 X轴不重合的直线/与轨迹交于M、N 两点.(1)求轨迹的方程；(2)设线段MN的中点为。，直线OQ与直线x=竽 相 交 于 点 R,求证：(3)记ABM、ZVIBN面积分别为Si、S2,求5 -S1的最大值及此时直线/的方程.【解答】(1)解：依题意：设|尸 产 2|的中点为C,切点为T,由图可知OC为QPF2的中位线，所以|PF

29、i|+PF2=20C+2CF2=2X2=42A/3,所以点尸的轨迹为椭圆，所以”=2,c=圾,h=.比 4所以方程为二 +y 2 =i.4(2)证明：设直线 y=A (x-V3)(&H 0),M(xl)%)，N (x2,刃)X 2 _ 所以 彳+y =1 ,整理得M+4 k 2(x-百)2 =4,y=f c(x -V3)变形为(1 +4 f c2)%2-8 V3 f c2x +12k2-4 =0,点 Q的横坐标&=攵=幽2 l+4/c点Q的纵坐标出=f c（x0-V3）=女（乜 当-V3）=一氏2.1+4 F l+4/cz1 4、反 4 3 V3直线。为y =-谅%与 直 线 x=q-相交于点

30、R，所以/?（有一，-）.由F；R =（母，一 条,直 线/的 方 向 向 量（I ），所以F。？7=0,即：FRL l；（3）在（2）的基础上设点M和 N在 x 轴的上下两侧，1 11所以S i S2=AB-yN =-AB-yN.1l 5i -52l=2履8|丫”+丫浦.由1y l-0 的耍,所以y i+丫2 =做匕+2 -2 次），代入与+%2 =警%y2=k g -V 3）l+4 f c所 以|S i-S2l=1 x 4x|f c（2-2V3）|=4 V 3 x|=4 V 3 x|-|2时，为、血 是y=g（1）的两个零点，证明:r（x1）-r（%2）一-a-7X i-%2（可能用到的参

31、考结论：函数y =2/n x+1-x 在 区 间（0,+）上单调递减）【解答】解：(1)x-ax+1 O,解得 2 或 V-2 时，由/-o x+l=0,解得 x=2-2 八 Zt73Zria-V a2-4 a+Ja2-4 2,%1 一%2化为：br x-X2，把 代 入 可 得：%2 x2r 1即证明：一 一 X2+2历X 21.%2二 函数y=2在 区 间（0,+8）上单调递减,11/.X2+2/HX2彳 T+2/=0.%2*1m,1因此：一 天 2+2。戊 20.%2日 n f(%l)-f(%2)1 Q即：-a-2.XL%2 x-ax+0,解得 x V-5-.2 2.g(x)2 时，巧、X2是 y=g(X)的两个零点，.*.X1+X2=6f,XX2=1.不妨设 0 Vxi 1 X2.函数f(%)=%+a ln x,要证明:i i-%1+。2 九%1 一 (-%2 九 2)