2022-2023学年北京三中九年级（上）期中数学试题及答案解析.pdf

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1、2022-2023学年北京三中九年级（上）期中数学试卷一、选 择 题（本大题共8小题，共1 6.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.2.A.C.a*o将抛物线y =-2/先向右平移1个单位,y=-2(x +1产 +3B.y=-2(x +l)z 3D.再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）y =-2(x-l)2-3y=-2(%l)2+33.关于x的一元二次方程（m -1）/+%+巾2 -i =o的一个根为0,则7 n为（）A.0B.1C.-1D.1 或一14.二次函数y =/-2 x-3的最小值为()A.5 B.0 C.3 D

2、.45.如图，线段4B是。的直径，弦C D 1 HB,/.CAB=2 0,则440。等于（）A.1 2 0 B,1 40 C.1 50 D,1 6 0 6 .如图，将 A B C绕点4逆时针旋转1 0 0。，得到力D E.若点D在线段B C的延长线上，则NB的大小为（）C.50 D.6 0 7 .函数y =ax +1与 丫 =ax?+匕 +1（。4 0）的图象可能是（）8.如图，点M坐标为(0,2),点4 坐标为(2,0),以点M为圆心，MA为半径作O M,与x轴的另一个交点为B,点C是O M 上的一个动点，连接8C,A C,点。是4 c 的中点，连接。，当线段。取得最大值时，点。的坐标为()

3、A.(0,1+V2)B.(1,1+72)C.(2,2)D.(2,4)二、填空题(本大题共8 小题，共 16.0分)9.方程产+2x=0的解为.10.若关于x的一元二次方程/-3刀+2加=0有两个不相等实数根，则m 的取值范围是11.某种药品经过两次降价，由每盒60元调至52元，若设平均每次降价的百分率为x,则由题 意 可 列 方 程 为 .12.如图，O。的直径为10,4B为弦，OC 1 A B,垂足为C.若OC=3,则弦AB的长为13.已知二次函数、=。/+以+。的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量 的取值范围是14.关于x的二次函数y=x2-kx+k-2的图象与y轴的交点在%轴

4、的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：.15.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,6)进入其中时，会得到一个新的实数a?+2b-3.例如把(2,-5)放入其中，就会得到22+2 x(5)3=-9,现将实数(m,-3 6)放入其中，得到实数4,则m=.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点4 与点B的坐标分别是(1,0)与(7,0).对于坐标平面内的一动点P,给出如下定义：若NAPB=45,则称点P为线段4B的“等角点”.若点P为线段4B在第一象限的“等角点”，且在直线x=4上，则点P的坐标为.三、计 算 题(本大题共1小题，共5.0分)1 7 .解方程：x2+2 x 8 =0.四

5、、解答题(本大题共1 1小题，共6 3.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 8 .(本小题5.0分)二次函数y =x2+bx+3的图象经过点(4,3).(1)求b的值；(2)写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.1 9 .(本小题5.0分)已知关于x的一元二次方程/-(m +3)x +m +2 =0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的绝对值相等，求此时机的值.2 0 .(本小题5.0分)已知二次函数y =x2+4%+3.(1)将其化成y =a(x-h)2+k(a40)的形式_；(2)图象与x轴 的 交 点 坐 标 为；(3)用五点法画出二次函数的图象；(4)当一

6、3 x 0时，函数值y的范围是?4-2-32 1.（本小题5.0分）如图，AB是。的直径，点C在0。上，D是 前 中 点,Z-BAC=7 0 ,求乙C.下面是小诺的解答过程，请帮她补充完整.。是 诧 中点，:.BD=DC fA Z.1=Z.2.v Z-BAC=70,z2=35.4B是。的直径，乙4DB=90（）（填推理的依据）.ZB=90-Z 2 =55.力、B、C、。四个点都在。上，NC+48=180（）（填推理的依据）.乙C=180-ZS=（填计算结果）.2 2 .(本小题5.0分)如图，A 4 B C的顶点坐标分别为4(一3,3),8(0,1),C(-l,-l).(1)请画出 力B C关

7、于点B成中心对称的A A iB C i，并写出点&,G的坐标;(2)四边形4G 4C的面积为.2 3 .(本小题6.0分)如图，四边形4 B C D内接于。，0 C =4,AC=4 7 2.(1)求点。到A C的距离；(2)直接写出弦力C所对的圆周角的度数.2 4 .(本小题6.0分)如图，在 A B C中，/.ACB=9 0 ,AC=BC,。是4 8边上一点(点。与4,B不重合)，连结C D,将线段C D绕点C逆时针旋转9 0。得到线段C E,连结DE交B C于点F,连接B E.(1)求证：4 A C D三X B C E；(2)当N B DE =2 5。时，求N B E F 的度数.25.(

8、本小题6.0 分)为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练.在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处4 距离地面的高度是 米，当铅球运行的水平距离为3 米时，达到最大高度|米的8 处.小丁此次投掷的成绩是多少米?在平面直角坐标系O y 中，已知抛物线y =%2-2mx+m2-1.5 -4 -3 -2 -1 -I I I I I_ 11111A-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x-1 _-2 -3 -4-(1)当m =2 时，求抛物线的顶点坐标；(2)求抛物线的对称轴(用含小的式子表示)；若点(m-L y i)，(m,%)，(瓶+3,%)都在抛

9、物线y =x2-2mx 4-m2-1 上，则y】，y2 为的 大 小 关 系 为 ;(3)直线y =x +b 与 不轴交于点4(-3,0),与y 轴交于点B,过点B 作垂直于y 轴的直线E 与抛物线y=/-2瓶 乂 +瓶 2一1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P,当AOAP为钝角三角形时，求m的取值范围.27.(本小题7.0分)如图，在AABC中，AC=BC,Z.ACB=90,D是线段4 c延长线上一点，连接B D,过点4作AE 1 BD 于 E.(1)求证：乙CAE=4CBD.(2)将射线4E绕点4顺时针旋转45。后，所得的射线与线段BD的延长线交于点F,连接CE.依题意补全图形；用等

10、式表示线段EF,CE,BE之间的数量关系，并证明.28.(本小题7.0分)定义：在平面直角坐标系中，点(犯7 1)是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于小的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点(m,n)的“派生函数”.例如：图是函数y=尢+1的图象，则它关于点(0,1)的 派生函数”的图象如图所示,且它的“派生函数”的解析式为y图图图(1)直接写出函数y=x+l 关于点(1,2)的“派生函数”的解析式.(2)点M是函数G：y=/+4x 3的图象上的一点，设点M的横坐标为m,G是函数G关于点M的“派生

11、函数”.当m=l 时，若函数值y的范围是一 1 W y 0 时，直线y=QX+1从左至右上升，抛物线y=a/+b%+1开口向上,选项A 正确，选项3,。错误.当a 0与Q D/.-.OD/BC,OD=BC,X 当 BC取得最大值时，线段。取得最大值，如图，BC为直径，/.CAB=90,CA 1%轴,v OB=OA=OM,Z,ABC=45,OD/BC,AOD=45,是等腰直角三角形，:*AD=OA=2,0 的坐标为(2,2),故选：C.根据垂径定理得到。力=O B,然后根据三角形中位线定理得到ODBC,OD=；B C,即 当 取 得最大值时，线段0。取得最大值，根据圆周角定理得到CA IX 轴，

12、进而求得是等腰直角三角形，即可得到。=。4=2,得到。的坐标为(2,2).本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时，线段0。取得最大值是解题的关键.9.【答案】0-2【解析】解：x2+2x=0 x(x+2)=0:.x=0 或x+2=0:.x=0 或 2故本题的答案是0,-2.本题应对方程进行变形，提取公因式X,将原式化为两式相乘的形式，再 根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0”来解题.本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.本题运用的是因式分解

13、法.10.【答案】m 0.:.9-87n 0.9故答案为：m O根据一元二次方程根的判别式与根的关系解决此题.本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解决本题的关系.11.【答案】60(1-x)2=52【解析】解：设平均每次降价的百分率是X，则第二次降价后的价格为60(1-%)2元，根据题意得:60(1-%)2=52,故答案为：60(1-x)2=52.本题可设平均每次降价的百分率是x,则第一次降价后药价为6 0(1-x)元，第二次在6 0(1-乃元的基础之又降低X,变为6 0(l-x)(l-x)即6 0(1-久)2元，进而可列出方程，求出答案.本题考查了由

14、实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是利用公式：“a(l 土x)=b”的应用，理解公式是解决本题的关键.12.【答案】8【解析】解：连接。儿OC 1 AB,：.Z.OCA=90,AB=2AC.的直径为10,OA 5.在R tA O A C中，0A=5,0C=3,.AC=y/OA2-OC2=V52-32=4.AB 2AC 8.故答案为：8.先连接0 4根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB=2 A C,进而可得出结论.本题考查了垂径定理及推论、勾股定理，熟练的掌握垂径定理及推论、勾股定理是解题的关键.13.【答案】一3 c x 0【解析】解：抛物线的对称轴为x=1.5,点

15、(0,2)关于直线x=-1.5的对称点为(-3,2),当3 x 2,即当函数值y 2时，自变量x的取值范围是一3 x 0.故答案为：-3 x 0,解得：k 2,所以取k =3,所以二次函数的表达式为：y =/-3尤+1（答案不唯一）.故答案为：y =%2 -3 x +l（答案不唯一）.1 5.【答案】7或1【解析】【分析】根据公式&2 +2 3,可将（m,3 m）代入得出巾2 +2 x （3 m）-3 =4,解方程即可.本题考查了解一元二次方程的应用及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程.【解答】解：根据题意得，m2+2 X （3 m）3 =4,解得H i 17,m2=-1,

16、故答案为：7或1.1 6.【答案】（4,3鱼+3）【解析】解：如图，作A A P B 的外接圆，设圆心为C,连接A C,BC,点4 与点B 的坐标分别是(1,0)与(7,0),AB=7 1 =6,v 乙4 P B =4 5,2LACB=9 0 ,v AC=B C,.4 B C 是等腰直角三角形，AC=BC=3A/2，.PC=3 V 2,点P 在直线=4 上，.-.AD=4-1 =3,AD=B D,v CD 1 AB,CD=AD=3,P(4,3 V 2 +3):故答案为：(4,3 a +3);根据P 在直线x =4 上画图，作 4 P B 的外接圆C,连接A C,BC,可知：AB=6,Q C 的

17、半径为3 V L最后计算P D 的长可得点P 的坐标.此题主要考查坐标和图形的性质，勾股定理等知识，作 的 外 接 圆 是 本 题 的 关 键.17.【答案】解：%2+2%-8=0(%-2)(%+4)=0%2=0,%4-4=0%1 2%2=4【解析】利用因式分解法解出方程.本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.18.【答案】解：(1)二次函数y=x2+bx+3的图象经过点(4,3),16+4b+3=3,解得b=-4.(2)1 y=x2 4%+3=(x 2)2 1,抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴x=2.【解析】(1)利用待定系数法转化为方程组

18、即可解决问题；(2)利用配方法即可解决问题.本题考查二次函数的性质、二次函数的图象上的点的特征、待定系数法、配方法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.19.【答案】解：(1),.1=(m+3)2-4(m+2)=(m+I)2 0,二方程总有两个实数根；(2)x2 (m+3)x+m+2=0,(x-l)x-(m+2)=0,*,X1=m+2,%2=1 .方程两个根的绝对值相等，m+2=1.m=-3 或一1.【解析】(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；(2)根据题意列方程即可得到结论.本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式与0的关

19、系判定方程根的情况是解决本题的关键.2 0.【答案】y=(x+2)2-l(-3,0)和(一1,0)-1 y 3【解析】解：(l)y=x2+4x+3=x2+4%+4 1=(%+2)2 1,故答案为：y=(%+2)2-1；(2)令y=0,则/+4x+3=0,解得：%!=-1,x2=-3,图象与x轴的交点坐标为(一 3,0)和(一1,0),故答案为：(一 3,0)和(一1,0)；(3)由(1)知，图象的顶点为(2,1),与x轴的交点坐标为(3,0)和(1,0),令x=0,则y=3,二 图象与y轴的交点为(0,3),图象对称轴为直线x=-2,(0,3)关于x=2的对称点为(4,3),用五点法做函数图象

20、如图所示：(4)由图象知，当-3 x 0 时，函数值y的范围是一1 Wy 3,故答案为：-1 y 3.(1)用配方法把函数解析式化为顶点式；(2)令y=0,解关于x的一元二次方程即可得出结论；(3)用五点法画出函数图象即可；（4）结合图象求出当一 3%:.Z l=Z 2.ABAC=70 ,4 2 =35 .4 8 是0。的直径，ADB=90。（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）.4B=90 -Z.2 =5 5 .4、B、C、D四个点都在。上，N C +N B=1 80。（圆内接四边形对角互补）（填推理的依据）.Z C =1 80。一 =1 2 5 （填计算结果）.故答案为：直径所对的圆周

21、角是直角；圆内接四边形对角互补；1 2 5 .根据圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出即可解决问题.本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.2 2.【答案】1 6【解析】解：（1）如图，4/G为所作，点4，G的坐标分别为（3,-1）,（1,3）；(2)AB=ArB,CB=J B,四边形4 G 4 C 为平行四边形，四边形4G41C的面积=4 x 4 =16.故答案为16.(1)延长4B到 公 使=2 B,延长CB到C使B q =BC；(2)利用平行四边形的面积公式.本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应

22、线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.23.【答案】解：(1)过点。作0 E，AC于点E,则 CE=4C.A C =4企，CE=2近，在Rt OCE中，0C=4,0E=VOC2-CE2=J42-(2A/2)2=2A/2-.,点。到a c 的距离为2VL(2)连接。4.由(1)知，在RtAOCE 中，CE=0E,Z.OCE=乙 EOC=45.0A=0C,：.Z.OAC=Z.OCA=45.Z.AOC=90.乙B=45,ADC=180-Z B =180-45=135,.弦 4C所对的圆周角的度数为45。或135。.【解析】(1)过点

23、。作。E,AC于点E,利用勾股定理求解即可.(2)连接。4,利用圆周角定理求出N B,再利用圆内接四边形的性质求出U D C 即可.本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.24.【答案】证 明 将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90。得到线段CE,CD=CE,Z,DCE=90=乙ACB,Z.ACD=乙BCE,v 乙4cB=90,AC=BC,乙CAB=Z-CBA=45,在4CO和ABCE中，AC=BCZ.ACD=乙 BCE,CD=CE4CDwZkBCE(S/S),(2)解：沦 ACD三XBCE,乙CBE=Z.CAD=45,(ABE=Z.ABC+乙CBE=9

24、0,乙BDE=25,乙BEF=65.【解析】(1)由旋转的性质可得CO=CE,乙DCE=90=4ACB,由“S4S”可证 ACOwa BCE,可得BE=AD,Z-CBE=Z-CAD=4 5,可得结论；(2)由等腰三角形的性质可求解.本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.25.【答案】解：建立平面直角坐标系，如图所示.设抛物线的表达式为y=a(x-37+1,点4(0,|)在抛物线上，.-a(0-3)2+|=|)解得a=一需.抛物线的表达式为y =-(x-3)2+|令y =o,则一23产+|=0,解得x =8或x =-2(不合实际，舍去).即O

25、 C =8.答：小丁此次投掷的成绩是8米.【解析】本题考查的是二次函数的应用，通过建立坐标系，确定相应点的坐标即可求解.由点4、B的坐标求出函数表达式y =(x-3)2+|,令y =0,即可求解.2 6.【答案】解：(1)当m =2时，抛物线的解析式为：y =%2-4%+3=(%-2)2-1,，顶点坐标为(2,-1)；(2),抛物线y =x2-2mx+m2-1,，函数对称轴为=-=m；.,函数开口向上，=zn时函数取得最小值，离对称轴距离越远，函数值越大，vm-l m 71%；故答案为：%丫1、2；(3)把点4(一3,0)代入y =%+匕的表达式并解得：b=3,则8(0,3),直线A 8的表达

26、式为：y =x +3,如图，在直线 =3上，当440P=90。时，点尸与B重合，当y=3时，y=x2-2mx+?n2-1=3,则 =m 2,点P在对称轴的左侧，A x=m 4-2 m不符合题意，舍去，则点 P(m-2,3),当04P为钝角三角形时，则0 m 2 m或m 2 2 或 巾 2或771-1.【解析】(1)先将力=2代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；(2)根据函数对称轴为x=-或计算可得结论；函数开口向上，x=m时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较为，丫 3的大小关系；(3)当 04P为钝角三角形时，则0 -3,分别求解即可.本题考查的是二次函数综合运

27、用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定NAOP为直角时点P 的位置是关键.27.【答案】解：(1)v 乙4cB=90,乙BCD=90,.Z,CBD+乙BDC=90,v AE L BD,.Z.AED=90,/.ZCyIF 4-ZBDC=90,Z-CAE=乙CBD；(2)由题意补全图形如图所示：过点C作CG 1 CE交4E于G,Z,BCG+乙BCE=90,Z,ACB=90,Z-ACG+乙BCG=90,Z.ACG=Z.BCE,由(1)知，4 CAE=LCBD,(/.CAE=乙 CBD在AACG和ABCE中，j/lC=BC,(ACG=4

28、BCE 4CG 三BCE(ASA),AG=BE,CG=CE,R t ECG CG=CE,EG=-2CE 1的部分任取一点(2,3)关于直线x=1的对称点为(0,3),设函数y=x+1图象关于x=1对称的部分的图象解析式为y=kx+b,将(1,2),(0,3)代入解析式，得：g=2,解 得:仁=；1,3 =3 “派生函数”的解析式为y=匕：(2)当m=1时，图像G：y=-/+4 x-3 =-(x-2+1 的顶点坐标为(2,1),关于直线x=1的对称点坐标为：(0,1),1.G：y=-x2+4x-3=(%2)2+1关于直线x=1对称的图像解析式为：y=-%2+1.”的 解 析 式 为 令 y=-1

29、,%2+4%3=-1,解得：x=2 企或=2 4-V2,令y=-1,x2 4-1=-1,解得x=&或 =V2，当一企%0或0 V x 2或2 V%4 2+鱼 时，-1 y 1时，即m|,当 =1 时,一(3-2m)2+1 -1,即 m 图3+V22/.|m 与 0 时G与正方形48CD有两个交点;当 =1时，(1 2m)2 4-1 1,即m 9综上所述，l m 苧 或 m 1的部分任取一点(2,3)关于直线=1的对称点为(0,3),运用待定系数法即可得到答案；(2)当m =1时，G的解析式为y=,分别求出/+4x-3=-1,解得x=2-企或x=2+或；%2+1=-1.解得x=-四 或 x=V2;即可得到当一鱼x 0或0 x 2或2 x 2+或 时，-1 y 1时，即m?,当=1时，一 (3-2m)2+1 -1,即 空 m 型，可 得 字 小 手时G与正方形4BCD有两个交点；当 =-1时，一(1一26)2+1 竽，可得血 与 0,即可求解.本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“派生函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键.