2021年新高考数学模拟试卷二.pdf

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1、2021年新高考数学模拟试卷2选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.（5 分）已知集合 A=x0 x l,8=国3 1 ,则（）A.ACB=x|x0 B.AUB=RC.AUB=x|xl D.AAB=02.（5 分）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为（-1,2）,则-=（）1+1A 3 3.心 31.厂 1 3,卜1：3.A.一 不 +与 i B.-不 +i C.一 刁 +不 i D.十 一i2 2 2 2 2 2 2 23.（5 分）设=log20.4,6=0.42,c=2 t 则 Q,b,c 的大小关系为（）A.a h c B.a c h C.b a c D.hc 0,

2、xER）的值域为-5,3,函数 g（x）=b-cosax,则 g（x）的图象的对称中心为（）A.（竽，-5）（/c e Z）C.（塔，-4）（/c G Z）B.（竽+今，-5）（k 6 Z）D-（第 +需，-4）（/c e Z）8.（5 分）己知，（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x 都有/（x）=e（2x+3）4/（x）（e 是自然对数的底数），/（0）=1,若不等式/（x）-k 0 的解集中恰有两个整数，则实数A的取值范围是（）1 1 1 1A.,0）B.21 0 C.（2）0 D.（2 1。）多 选 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）9.（5 分）下面四个说法中，正确

3、的是（）A.“直线。直 线 的 充 要 条 件 是“直线a 平行于直线人所在的平面”B.“直 线 平 面 a 内所有直线”的充要条件是“直线/J_平面a”C.“直线、人为异面直线”的充分不必要条件是“直线“、6 不相交”D.“平面a平面0”的必要不充分条件是“a 内存在不共线的三点到0 的距离相等”1 110.(5 分)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为二和；，甲、乙两人各射击一次，2 3下列说法正确的是()A.目标恰好被命中一次的概率为工+工2 31 1B.目标恰好被命中两次的概率为a X,1 2 1 1C.目标被命中的概率为；;x-+-x-2 3 2 3D.目标被命中的概率为l-x.

4、11.(5 分)如图,知是正方体48。-4 8 心。1的棱。0 1的中点，下列命题中真命题是()A.过 M 点有且只有一条直线与直线A3、21。都相交B.过 M 点有且只有一条直线与直线A从都垂直C.过 M 点有且只有一个平面与直线AB、BICI都相交D.过 M 点有且只有一个平面与直线AB、BICI都平行12.(5 分)已知函数/(x)=匚 尸，g(-则f(x)、g(x)满 足()A./(-x)=-f (x),g(-x)=g(x)B./(-2)/(3),g(-2)Vg(3)C.f (2x)=2 f(x)g(x)D.f(x)2-g(x)2=1三.填 空 题(共 4 小题，满分20分，每小题5

5、分)13.(5 分)研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数X 服从正态分布N(90,。2),且 P(x b 0)与 圆C2：/+/=必，若在椭圆。上存a2 bz在 点P,过P作圆的切线以，P B,切点为4,8使得则椭圆C l的离心率的取值范围是.四.解 答 题(共 6 小题，满分70分)1 7.(1 0分)已知等比数列 加 的前项和为S”.已知5 3=-6,5 6=4 2.(1)求 4 ,%；(2)证明S+l,Sn,S +2是成等差数列.1 8.(1 2分)A B C的内角A,B,C的对边分别为，b,c,已知6 a s i n 3 c o s=加i n A.(1)求 c o s A；

6、(2)若 a=V H,h+c=5,求A B C 的面积.1 9.(1 2分)已知两圆C i：(x-1)2+y 2=9.C2：(x+1)2+/=l,动圆在圆。内部且与圆。相内切，与圆C 2向外切(1)求动圆圆心C的轨迹方程；(2)已知A (-2,0),过A作斜率分别为七，上的两条直线交曲线C于。，E两点，且内公=2,求证：直线D E过定点，并求出该定点的坐标.2 0.(1 2分)如 图，在四棱锥P-A B C D中，P O _ L平面A 8 C。，底 面A 8 C。是正方形，PD=AB,E为P C的中点(1)求证：力E J_平面PCB-,(2)求二面角E-B。-尸的余弦值.2 1.(1 2分)公

7、 元2 0 2 0年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期；试验共进行3 个周期.1已知每只小白鼠接种后当天出现Z 症状的概率均为一，假设每次接种后当天是否出现Z4症状与上次接种无关.(I)若某只小白鼠出现Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概

8、率；(II)若某只小白鼠在一个接种周期内出现2 次或3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期数为X,求 X 的分布列及数学期望.22.(1 2 分)已知函数/(x)曲线(x)在 点(2,f (2)处的切线/的斜率为3e-2.(1)求 a 的值及切线/的方程;(2)证明：f (x)NO.2021年新高考数学模拟试卷2参考答案与试题解析一.选 择 题(共 8 小题，满分40分，每小题5 分)1.(5 分)已知集合 A=x|0Vxl,8=x|3 Y l,则()A.4nB=x|x0 B.AUB=R C.A U B=4r1 D.4 c B=0【解答解：A=x|0

9、 xl,B=Rx0,：.AH B=0,AU8=x|x0 或 0 xV l.故选：D.2.(5 分)已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则37=()1+13 3 3 1 1 3 1 3A.亍 +亍 i B.-亍+亍 i C.亍 +5 i D.+一i2 2 2 2 2 2 2 2【解答】解：由题意，z=-l+2i,z-1+21(-l+2 i)(l-i)1 3,则-=-=-=-+-1 1+i 1+i(l+i)(l-i)2 2故选：D.3.(5 分)设。=k)g20.4,b=OA2,c=2。，则 a,b,c 的大小关 系 为()A.a b c B.a c b C.b a c D.bc

10、2=1,AC1,:.aV bV c,故选：A.4.(5 分)已知面=网=应，且(之-2 b)与软垂直，则友与b的夹角是()7T71 3 7r 7 1A.-B.-C.D.一3 6 4 4【解答】解：,向=山=或，(-2b)1 a,T T T T TA(a-2b)-a=a2-2a-b=2 2a-b=0,T Ta-/?=1,T T C l h 1 r-i T T/.cos =-=且0 4 0,xG R)的值域为-5,3,函数 g(x)=b -cosax,则 g(x)的图象的对称中 心 为()A.借,-5)(k G Z)C.f 4)(/c 6 Z)B.(竽+/-5)(fceZ)D-(等+点，-4)(f

11、c G Z)【解答】解：由于。0,所以函数f(x)=-asin3 x+q+Z?(。0,xWR)的值域为b,2a+b=-5,3,所以。=4,b=-5.所以 g(x)=-4cos4x-5.令4x=k7r+*(Z w Z),解得1=竽+1(AwZ),Z C T T I T所以函数的对称中 心 为(+一，5)(依Z).4 8故选：B.8.(5分)已 知/(x)是函数/(x)的导函数，且对任意的实数x 都有，(x)=F(2x+3)4/(x)(e是自然对数的底数)，/(0)=1,若不等式/(x)-k 0 的解集中恰有两个整数，则实数)1的取值范围是()1 1 1 1A.,0)B.9，0 C.(2,0 D.

12、(一 9，0)!【解答】解：令 G (%)=绛，则G(x)=e 叫e 幻=2x+3,可设G(x)=/+3x+c,V G (0)=f(0)=1.：.c=.V(x)=(7+3x+l):f(x)=(/+5x+4)-=(x+1)(x+4)可得：x=-4 时，函数/(x)取得极大值，x=-1时，函数/(外取得极小值.1I1/(-1)=一 3 f(0)=1,/(-2)=-0.时，不等式“X)7V0的解集中恰有两个整数-1,-2.故女的取值范围是(-也，0.9.(5分)下面四个说法中，正确的是()A.“直线。直线6”的充要条件是“直线a 平行于直线方所在的平面”B.“直 线 平 面 a 内所有直线”的充要条

13、件是“直 线 平 面 a”C.“直线a、。为异面直线”的充分不必要条件是“直线。、匕不相交”D.“平面a 平面0”的必要不充分条件是“a 内存在不共线的三点到0 的距离相等”【解答】解：A.“直线。直线6”与“直线a平行于直线人所在的平面”相互推不出，因此不正确：股“直线/，平面a内所有直线”的充要条件是“直 线 平 面 a”，正确；C.“直线a、b为异面直线”=直线”、。不相交”，反之不成立，“直线。、人为异面直线”的必要不充分条件是“直线。、匕不相交”，因此不正确；Q.“平 面 a 平面0”的必要不充分条件是“a内存在不共线的三点到p的距离相等”,正确.故选：BD.1 11 0.（5分）甲

14、、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为一和一，甲、乙两人各射击一次，2 3下列说法正确的是（）1 1A.目标恰好被命中一次的概率为二+;2 31 1B.目标恰好被命中两次的概率为：x；2 312 1 1C.目标被命中的概率为；x；+；x；2 3 2 3D.目标被命中的概率为1 4X称1 1【解答】解：甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为二和；，甲、乙两人各射击一次，在 A中，目标恰好被命中一次的概率为尸=*x（l-+（l-x g,故 A错误；在 B 中，由相互独立事件概率乘法公式得：1 1目标恰好被命中两次的概率为二乂二，故 8正确；在 C中，目标被命中的概率为P=1 -（1 ）（1 /）

15、，故 C错误；在。中，目标被命中的概率为P=1 -（1-1）故。正确.故选：BD.1 1.（5 分）如图,“是正方体4 8。-4 1 8|。|的棱。1 的中点，下列命题中真命题是（A.过 M 点有且只有一条直线与直线4B、BiCi都相交B.过 M 点有且只有一条直线与直线AB、劭。都垂直C.过 M 点有且只有一个平面与直线4 8、81cl都相交D.过 M 点有且只有一个平面与直线4 8、曲。都平行【解答】解：直线AB与 BICI是两条互相垂直的异面直线，点 M 不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取 C1C的中点M 则M N/A B,且M N=A B,设B N与BC交 于H,则 点 A、

16、B、N、H共面，直线H M必与A B直线相交于某点0.所以，过 M 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 直 线 AB、田。都相交；故 A 正确.过 M 点有且只有一条直线与直线AB、Bi。都垂直，此垂线就是棱D D 1,故 B 正确.过 M 点有无数个平面与直线A8、81cl都相交，故 C 不正确.过 M 点有且只有一个平面与直线AB、BiCi都平行，此平面就是过M 点与正方体的上下底都平行的平面，故。正确.故选：ABD.12.(5 分)已知函数/(x)=-Y，8(X)=6+2 则/(X)、g(x)满 足()A./(-%)-f(x),g(-x)g(x)B./(-2)/，g(-2)g(3)C

17、.f(2x)=2f(x)g(x)D./-(x)2-j?(x)F=i【解答】解：/（-x）=2 =-2=一 于（1），g（-/）=-2 =g（X），故 A正确，f (x)为增函数，则/(-2)g(-2),故 B 正确，px_p-x ex+ex p2x_p-2x2fCxg(x)=2x 2*-=2 x-氏 一=2 fC 2 x),故 C 正确，f(x)?-g(x)2=/(x)+g(x).f-(x)-g(x)=，(-e x)=-1,故。错、口送，故选：ABC.三.填 空 题（共 4 小题，满 分 20分，每小题5 分）13.（5 分）研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数X 服从正态分布N（

18、90,。2）,且 尸（x70）=0.1,从中随机抽取10株，果实个数在 90,110 的株数记作随机变量X,假设X 服从二项分布，则 X 的 方 差 为 2.4.【解答】解：N（9 0,。2）,且 P G V 7 0）=0.1,：.P(90 x 解得 ai=2,时，4S/i-1 an-1+2.cin-1 又 4s相减可得 4fln=4 7 n-+247n-tin-I-2t/zi-1,化为J)(O n-an-I-2)=0,由 4”0,可得 4-4-1 =2,则=2+2(n-1)=2n,bn=(-1)n,anan+i=(-1)4可得 T2=4-1X2+2X3-3X4+4X5-5X6+6X7-(2-

19、1)(2)+(2”)(2+l)1=4 (2 X 2+2 2 4+2 2 6+2 6 2，)=8 x 加(2+2 n)=3n(n+1).故答案为：8 n (n+1).15.(5 分)已知函数/(x)的定义域为R,当(0,2 时，f(x)=x (2 -x),且对任意的 x 6 R,均有/(x+2)=2 f(x)，若不等式f(x)W竽 在 X 6 (-上恒成立，则实2 7数a的 最 大 值 为 一.41 c 1 c【解答】解：利用转点法，设 A (%,个，在 炉 8 上，则(/一 2,竽)在 烧 4,6 上，(殉一4,祟 在 x 2,4 上，(殉一6,I I)在 x 0,2 上，即f(x)=x(2-

20、x)过(与一6,强，1 q 2 7所以(%0 6)(8 Xo)=元，解得出=彳.2 7故答案为：一.4%2 y 216.(5 分)已 知 椭 圆 C i：+=1(Z?0)与 圆C1-./+;/=/,若在椭圆C i 上存a2 b2在点P,过 P 作圆的切线必，P B,切点为A,8使得/8 必=*则 椭 圆 C 1的离心率的V3取 值 范 围 是 宁，1).【解答】解：连接OA,OB,O P,依题意，0、P、A、B四点共圆，T T 7 TV ZBPA=/A P O=/B P O=2 o在直角三角形O A P 中，Z A O P=/c o s Z A OP=Tp 得QP|=y =2b,北 V|OP|

21、W m ：.2ba,.,.4 5 2*2,即 4 (/_。2)次r2 34 c 2,gp 一，a2 4e.又 OVe Vl,/o椭圆C的离心率的取值范围是 3，1）,17.（10 分）已知等比数列 ”的前项和为S”.已知S 3=-6,5 6-4 2.(1)求 Un Sn；（2）证明S.+I,Sn,S+2 是成等差数列.【解答】（1）解：由题意设等比数列 ”的首项为G,公比为“，则 q W l,1-q%(1一心)l-q则 6,从而 1+/=-7,即*=-8,=4 2:.q=-2,a-2,f ln =(一 2 尸，sn=(-2)：1；二 2力=|1_(_2)n;(2)证明：由(1)知，Sn+1+S

22、n+2=-1 1-(-2)+1 -5 1-(-2)-+2=-1 2 -(-2)n+1-(-2)n+2 =一|2 +2 x (-2)n-4x(-2)n =-1-(-2)n=2 S n，:.Sn+1,Sn,S/z+2 成等差数列.418.(12 分)A B C 的内角 4,B,C 的 对 边 分 别 为b,c,已知 G a s i n B c o s 2 =bs i rk 4.求 c o s A；（2）若 =值，b+c=5,求 A B C 的面积.【解答】（本题满分为12 分）解：(1)V6 a s i n B c o s2-=bsinAf2 2A Gabcos-=ab，22A 1.C OS -=

23、一,2 6?A 2 八A c o s A=2 c o s 1=一不5 分2 3(2)9：a=V2 1,+c=5,由余弦定理 a2=b2+c2-2/?c c o s A,可得：2 1=/?2+c2+)2-2 bc+c=2 5 孤,Z?c=6,Vs i n A=V1 cos2A 卓，SAABC=|f t c s i n A=后 12 分19.(12 分)已知两圆C”(x -1)2+y2=9.C 2：(x+1)2+)=1,动圆在圆C l内部且与圆C i 相内切，与圆C 2 向外切(1)求动圆圆心C的轨迹方程；（2）已知A （-2,0）,过 4作斜率分别为七，依的两条直线交曲线C于。，E 两点,且,公

24、=2,求证：直线。E 过定点，并求出该定点的坐标.【解答】解：（1）设动圆C的半径为r,根据几何关系，动圆C与圆。内切，所以r=3-C C i,动 圆 C与圆C 2 外切，所以r=C C 2-l,所以，3 -C C i =C C 2-1,即 C CI+CC2=4（定值），因此，点尸的轨迹为椭圆，且=2,c=l,b=V 3,x2 y2所以，圆心C的轨迹方程为：+v =1（x#-2）；（2）因为点4（-2,0）在 x 轴上，根据对称性可知，直线DE所过的定点必在x 轴上,因此，可采取先猜后证的方法确定直线DE必过定点，当点D,E两点无限接近时，直线。E趋于切线，此时修,上 都 趋 于 企（或-企）

25、，_1 n 1 2 /2故可设/A E：y=V 2 （x+2）,代入椭圆解得。（-7 7，）1 1 1 1且点D处切线斜率&=一 方=婆，因此，椭圆在点。处的切线方程为：）一警=器（叶 岑）,令y=0,解得x=-管，由此可猜测：直线。E恒过定点P （得，0）,证明如下:设。（xi,y i）,E（%2,”），过点P的直线为：联立椭圆方程得,2 5(3川+4)2-6 6 0,町+1 1 52=0,所以,6+”=2 5(3 血2+4)，)1=2 5(3*+4)r n.li.,y-t y-1 yW2因 止 匕 kkl=-5,-=-12-1 2-X i+2 X2+2(m y1-y)(m y2-y)=_

26、_ _ _ _ _ _ _ _2 5 y ly 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 5m 2 y ly 2 6 0 3 丫 1+先)+1 44_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ U 52 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 1 521 1 52 m2-1 2 xl3 2 m2+1 44(3 m2+4)=57 6=2（定值）,符合题意,因此，直线O E恒过定点（一 等0）.2 0.（1 2分）如图，在四棱锥尸-A B C D中，P _ L平面A 3 C Z）,底 面A 8 C D是正方形，PD=A B,E为P C的中点（1）求证：力E J _平面

27、P C 8；（2）求二面角E-B O-P的余弦值.【解答】解：（1）证明：在四棱锥P-A B C Z）中，P。_L平面4B C。,底面4B C D是正方形，PD=AB,E为P C的中点，：.D ELPC,BCrCD,BCLPD,:P D C C D=D,，B C _ L平面尸C D,平面尸C D,：.D EBC,：PCnBC=C,.PCB.(2)解：以。为原点，D 4为x轴，0 c为y轴，C P为z轴，建立空间直角坐标系,设 P O=A 8=2,则 E(0,1,1),8(2,2,0),D(0,0,0),P(0,0,2),D B=(2,2,0),D E=(0,1,1),D P=(0,0.2),设

28、平面8DE的法向量几=(x,y,z),则 W.DB=2x+2y=0(n-DE=y+z=0取 x=1,得n=(1,-1,1),设平面8OP的法向量益=(x,y,z),则+管=2x+2y=0,取k,得蔡=(,_ ,),m -DP=2z=0设二面角E-BD-P的平面角为0.则 8sg叵4=A邛.V6二面角E-B D-P的余弦值为21.(12分)公 元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播,我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现

29、Z症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期：试验共进行3个周期.己知每只小白鼠接种后当天出现Z症状的概率均为假设每次接种后当天是否出现Z4症状与上次接种无关.(I)若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；(I I)若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期数为X,求X的分布列及数学期望.【解答】解：(I)连续接种三天为一个接种周期，每只小白鼠接种后当天出现Z症状的1概率均为一,4假设每次接种后当天是否出

30、现Z症状与上次接种无关若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得：一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为：1 ,3 1 ,3 3 1 3 7P1=4 +4X4 +4X4X4 =6 4-(H)随机变量己=1,2,3,设事件C为“在一个接种周期内出现2次或3次Z症状”,p(x=l)=P(C)=cf(1)2(1)+C在 扔=晟，P(X=2)=1 -P(C)X P (C)=(l-a X条=P(X=3)=1 -P (C)1 -P (C)X 1=(1-层5)X (1-云5)X 1=729所以X的分布列为：X的数学期望E(X)=l x券+2 X需+3 x

31、需=篇.123p513572932102410242 2.(1 2分)已知函数/(x)=xex l-ax+,曲 线y=f(x)在 点(2,/(2)处的切线/的斜率为3 e-2.(1)求。的值及切线/的方程；(2)证明：f(x)2 0.【解答】解：(1)函数/(x)=xe:-ax+的导数为/(x)=(x+1)炭 一】-“，曲线y=/(x)在 点(2,7(2)处的切线/的斜率为3 e-2,可得 3 e-a=3e-2,即 a2：f(2)=2 e-3,则切线方程为 y-(2 e-3)=(3 e-2)(x-2),化 为(3 e-2)x -y -4 e+l =0；(2)证明：函数f(x)=xex1-2x+l 的导数为/(x)=(x+1)-2,当 x W -1 时，/(x)-1),则 g(x)=(x+2)1 O,当 x -1 时，g(x)递增，B|J f(x)递增，又/(1)=0,的-I V x V l 时，/(x)1时，/(x)0,/(x)递增，可得/(x)在(-8,1)递减，在(1,+oo)递增，可得/(x)的最小值为/(I)=0,即有f(x)，。恒成立.