2022-2023学年重庆市某中学高二（上）第一次月考数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2022-2023学年重庆市巴蜀中学高二（上）第一次月考数学试卷1.点P是椭圆+1=1上的动点，则P到椭圆两个焦点的距离之和为（）A.22 B.23 C.25 D,272.一条直线过（1,2遮）,（2,旧）两点，则该直线的倾斜角为（）A-B-C D 6 3 j 3 63.圆（%1）2+（丫+1）2=8与圆0 +1）2+（、-1）2=2的公切线共有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4.点 尸 是 椭 圆 总+卷=1的一个焦点，点P在椭圆上，线段尸产的中点为N,且IONl=1（。为坐标原点），则线段尸尸的长为（）A.2 B.4 C.5 D.65.阿基米德在他的著作 关于圆锥体和球体中计算了

2、一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时,我们得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率”与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积,已知椭圆C：盘+A=l（b 0）的面积为8兀，两个焦点分别为0,F 2,点P为椭圆C的上顶点，NFlPF2=120。，则椭圆C的短轴长为（）A.2 B.4 C.22 D,426.圆C与直线X y=1相切于点B（2,l）,且圆心的横坐标为1,则圆C被y轴截得的弦长为（）A.2 B.22 C.I D.27.已知鼻，F?分别为椭圆C：标+*1（。匕 0）的左、右焦点，P,Q是椭圆上两点，线段尸Q经过点鸟，且PQ IPF2，PQ=IPF21-则椭圆C的离心率为（）cA 2 B-2 jC

3、3 D-38.平行四边形ABCZ）内接于椭圆马+马=l（b O）,椭圆的离心率为斗，直线AB的斜率 为1,则直线A D的斜率为（）A.-i B.-C.-y D.-19.过点（0,1）且与圆（x I）?+（y+2）2=1相切的直线的方程是（）A.X =0 B.y=0 C.4x 3y 3=0 D.3%+4y-4=010.下列关于曲线C：+ny2=i（zn o,rl 0）的说法正确的是（）A.当Tn=九时，曲线C表示圆B.当 几 时，曲线C表示焦点在X轴的椭圆C.点(0,0)是曲线C 的对称中心D.曲线C表示椭圆时，其焦距为211.下列结论正确的是()A.若A(-2,3),B(3,-2),C(I,m

4、)三点共线,则机的值为0B.已知两点4(-3,4),B(3,2),过点P(l,0)的直线/与线段AB有公共点，则直线/的斜率女的取值范围为-l k lC.圆/+y2=4上有且仅有3 个点到直线/：x-y +2=0的距离都等于1D.与圆(X-2)2+y2=2相切，且在X轴、)，轴上的截距相等的直线有三条12.过椭圆C：+4=1外一点P(XO，%)作椭圆C 的两条切线，切点分别为A,B,如果O 4kpB=m(m 0),若圆 C：/+-6-8y+24=0上存在点 P,使 得 前BP=0,则 机 的 取 值 范 围 为.17.已知直线k (a l)x+y =0,l2：ax+by-2=0(a 0,b 0

5、),Z3:y=x,直线k 与，3相交于点P(I)求点P 的坐标；(2)若。经过点P 且与两坐标轴围成的三角形的面积为2,求实数”,人的值.18.已知圆 C 的方程为：X2-2(-l)x+y2-2+2a2=0(R).(1)求实数0 的取值范围；(2)当圆C 半径最大时，点 0 在 圆 C 上，点 P 在直线x-y-4 =0上，求IPQl的最大值.19.在正方体ABCD-4 再传1劣中，直线AC】与平面AlBD交于点E.(1)求证：直线AC11 平面&BD；(2)若 荏=4 幅，求4的值.20.已知椭圆C b 0)的左、右焦点分别为F(-c,0)和F2(c,O),离心率是苧，直线X=C被椭圆截得的

6、弦长等于2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线/：x+2 y-2 =0与椭圆相交于A,B 两点，O 为坐标原点，求 04B的面积.21.已知椭圆盘+*l(b 0)的一个焦点为(诟 0),点Q(2,l)在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若 4 8 是椭圆上异于点。的两动点，当NAQB的角平分线垂直于椭圆长轴时，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由.22.已知点M(XI,y)N(X2而在椭圆C：+y2=l(1),直线OM,ON的斜率之积是一5且好+慰=。2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点Q(0,2)的直线与椭圆C 交于点A,B,且IQBl=t Q*(t

7、 l),求 f 的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】解：点 P 是椭圆9 +9=1 上的动点，其 中=5,所以。=遮，根据椭圆的定义可知，P 到椭圆两个焦点的距离之和为2=25,故选：C.根据椭圆的方程求出”的值，根据椭圆的定义可得结果.本题考查了椭圆的定义，属于基础题.2.【答案】C【解析】解：一 条直线过(1,25),(2,两点，设直线的倾斜角为。，则O e 0。,180。),n23-V3/,2 tan0=1 Q =-3,故。=,1 Z 故选：C.由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，斜率公式，先求出直线的斜率，可得倾斜角.本题主要考查直线的倾斜角和斜率，斜率公式，属于基础题.3.【

8、答案】B【解析】解:因为圆(4-l)2 +(y+1)2=8的圆心为C(L-I),半径为R=2L圆(X+I)2+(y-I)2=2的圆心为D(-l,l),半径为r=2;所以ICDl=(-l-I)2+(1+I)2=22,又因为R-r CD R+r,所以两圆相交，有 2 条公切线.故选：B.先计算两圆的圆心距，判断两圆的位置关系，即可得出两圆的公切线条数.本题考查了两圆的位置关系与对应公切线条数的应用问题，是基础题.4.【答案】D【解析】解：根据题意，椭圆盘+圆的标准方程为(X-I)2 +(y-2)2=2,圆心到y 轴的距离d=1,圆 C 被 y 轴截得的弦长为2j(I)2-/=2.故选：D.根据已知

9、条件求得圆心和半径，进而求得圆的标准方程，再根据弦长公式求解即可.本题考查圆的标准方程，考查弦长的计算，是基础题.7.【答案】C【解析】解：根据题意,不妨设P F 2=4 k,那么IPQl=3k,因为PQ 1 PF2,所以QF2=5k,则PF2+QF2+IPQl=4 a,得k=皋44 2即 PF2=Q，PF1=2 a-a =-,由勾股定理(Ia)2+(Q)2=(2C)2,BP 2=c2,即e?=.解得e=y.故选：C.根据题意，PQLPF2,IPQ l=JlPF2,设 PF2=4 k,那么IPQl=3k,QF2=5 k,结合椭圆焦点三角形周长为4 a,得到 PF2I+IQf2I +PQ=4 a

10、,再结合勾股定理求解离心率即可.本题考查了椭圆的简单几何性质，是中档题.8.【答案】A【解析】解：椭圆的离心率为苧,2匕2a3-4=2C2a1-4，椭圆a +=l(b 0)化简为 2+4y2=a2f设A(无 1，y1),B(x2,y2)则kAB=1,x2-xl 平行四边形ABCD内接于椭圆盘+，=l(b 0),由于B,。关于原点对称，。(久 2,、2)，.k=W l ad x2+x,v,B 在椭圆上，：,%+4yf=Q2,xl+4y1=2,-得：第=V，即G%=一，故=-；.故选：A.根据离心率化简椭圆方程，得到/+4y2-。2,设4 Q,y j,(2,y2),则4B =”-1,kAD=x2-

11、xl空i,根据A,B在椭圆上，联立方程得到k./4 0 =-；,求解即可.本题考查了椭圆的简单儿何性质，是中档题.9.【答案】AC【解析】解：根据题意,圆(1)2+3+2)2=1的圆心为(L 一 2),半径为1；分 2 种情况讨论：若切线的斜率不存在，此时切线的方程为X=0,与圆相切，符合题意；若切线的斜率存在，设切线的斜率为匕则切线的方程为k x-y +l=0,则 有 华 坦=1,解可得：k=府 3此时切线的方程为4x+3y-3=0,综合可得：切线的方程为久=0 或4x+3 y-3 =0,故选：AC.根据题意，分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程，综合可得答案.本题考查直

12、线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于基础题.10.【答案】A C D【解析】解：曲线 C：m x2+ny2=l(m 0,n 0),当m=n时，曲线C /+2=L 表示以原点为圆心，以口为半径的圆，故 4 正确；,z m y m曲线C：+=l,i 0,表示焦点在y 轴的椭圆，故 8 错误；m n以一x、-y 分别替换1,y,方程m%2+兀、2=1不变，则点(o,o)是曲线C 的对称中心，故 C 正确；2 2曲线 C m x2 n y2=l(m 0,n 0),即?+%-=1.,m n当焦点在X轴上时，2=L 62=C=f=户，焦距为2 户=2 陋 三，m n 7 nI n 7 mn y mn

13、mn当焦点在X轴上时，2=炉=工，C=二二户三，焦距为2 户=2 百，n m J m yj mn y mn mn故曲线C 表示椭圆时，其焦距为2 叵 三 i,。正确.7 mn故选：ACD.把已知曲线方程变形，结合条件判断A B d 以-X、-y 分别替换X,y,可知方程m/+ny2=1不变判断C.本题考查曲线方程，考查椭圆的标准方程与几何性质，是中档题.1 1.【答案】A C D【解析】解：对于 4，T=C=-1,AC=7=-71(-2,3),B(3,-2),C(IM)三点共线,-1 =解得m=0,故 A 正确.对于8,点4(-3,4),B(3,2),过点P(LO)的直线/与线段AB有公共点,

14、直线I 的斜率k kpB或k kpA，.P4的 斜 率 为 呈 =-l,PB的 斜 率 为 沿=1,-1 J-J L直线/的斜率k l 或k -l,故 B 错误;对于C,圆心(0,0)到直线/：X y+V2=O的距离d=今=I=故圆上存在三点到直线的距离是1,故 C 正确；对于。，当直线截距不为O时，设直线%+y=(0),，6 2：2 _ 7,化简整理可得，2x2-(2+4)x 2+2=0,IIX-I y 一 乙4=(2+4)2-4 X 2 X(a?+2)=0,解得=0(舍)或=4,当直线截距为。时，y=-x 与圆相切，又因为圆的对称性可知，y=x也与圆相切，故圆(X2)2+y2=2相切，且在

15、X轴、y 轴上的截距相等的直线有3 条，故。正确.故选：ACD.根据三点共线与斜率的关系可得出?，即可判断A;根据两点间的斜率公式，结合题意即可求出直线斜率的取值范围，即可判断以求得圆心到直线的距离即可判断C；分当直线截距不为O时，当直线截距为O两种情况讨论，求解即可判断D本题主要考查三点共线，直线的斜率，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.12.【答案】BC【解析】解：设切线方程为y=Zcx+m代入椭圆方程+=1:(2fc2+l)x2+4fcnx+2n2-8=0.o 4 =0,则有 2-8 k 2-4 =0,P(XO/0)，由 于=y0-kx0,带入上式得：(瑞-8)fc2-2

16、x0y0k+光 一 4=0,kpA-kpB-与，-m,整理有(一机)好+%=4-8m(*),故当Tn=-I 时，方程表示圆，故选项B 正确；当m V O且m -1 时，(*)式 化 为 所+4岐=1 4-8m 与黑且均大于0,故选项C 正确.m故选：BC.根据题意，设切线方程为y=kx+n,代入椭圆方程+*=1,令Z=0,结合心.kpB=m(jn o 40),分？n=1和m 0),则有J 驾=L 解得k=,即W 的最大值为：1.x+2故答案为：1.将问题转化为直线方程为y=k(x+2)(k 0)与半圆M+y2 =2(y 2 0)相切时，求 忆 的值，作出图象，根据直线与圆相切的条件求解即可.本

17、题考查了转化思想、直线与圆的位置关系及数形结合思想，属于中档题.1 6 .【答案】4,6【解析】解：由于而 前=0,所以A PIBP,由于直径所对的圆周角是直角，所以，以线段A B为直径的圆。与圆C 有公共点，线段A B 为直径的圆O，圆心为(0,0),半径为m(m 0),圆 C 的方程可化为(x-3)2+(y-4)2 =1,所以圆心为c(3,4),半径为1,圆心距I o Cl=5,所以I n l-I l 5 m +1,解得4 m 6,所以，的取值范围是 4,6 .故答案为：4,6 .由 存 前=0,得AP L B P,然后利用圆与圆的位置关系列不等式来求得机的取值范围.本题主要考查直线和圆的

18、位置关系的应用，是基础题.1 7 .【答案】解：(1)由题意联立方程一 =,解得 =y=l,所以点P的坐标为(1,1)；(2)因为直线经过点P,贝 IJa+b 2=O，O O令 =0,则y=-0,令y=0,则 =-0,所以直线。与两坐标轴围成的三角形的面积为5=!=2 解得的=1，联立方程，解得=l,b=l.【解析】(1)联立直线，力方程，求出X，的值，由此即可求解；(2)直线%的方程代入点P 的坐标得到关于。，。的方程，再分别令x=0,y=0,求出直线，2的横纵截距，由此即可求出直线G与两坐标轴围成的三角形的面积，然后建立方程又得到关于,b 的方程，联立方程即可求出a,b的值.本题考查了直线

19、的交点坐标以及直线的截距的求解，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.18.【答案】解：(1)方程配方得：。一。+1)2+、2 =3 2。一。2,它表示圆，则3-2 a -2 0,解得一3 2,所以直线与圆相离，IPQl的最大值是d+r=3I+2.【解析】(1)方程配方化为圆的标准方程，由此列不等式求得a 的取值范围；(2)利用二次函数的性质求得半径的最大值，得出。值和圆心坐标，利用圆心到直线的距离确定直线与圆相离，由距离加半径得最大值.本题主要考查直线和圆的位置关系应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.19.【答案】解：(1)证明：:A G 在上底面的射影为A C,而D B I4C,二

20、根据三垂线定理可得4G 1 DB,同理可证AC】_ L&D,又DBnA1。=D,二 直线4G J 平 面 AIBD；(2)由对称性可得E为正三角形为BD的中心，设正方体的棱长为1,则正三角形AB D 的边长为 L 由正弦定理可得&E =云 焉 =又由(1)可得A G l A1B,AE-A-A =J 一,=,又由正方体的体对角线公式可得&G =3,AE=-A1C1,.=|.【解析】(1)根据三垂线定理及线面垂直的判定定理即可证明；(2)由对称性可得E 为正三角形为BD的中心,设正方体的棱长为1,则正三角形AlBD的边长为 再由正弦定理可求出4 E,从而得A E,再由体对角线公式可得41G，从而可

21、得；I的值.本题考查三垂线定理及线面垂直的判定定理，正弦定理，正方体的体对角线公式，属基础题.220.【答案】解：(1)由题意可得：出=2 解得l2=b2+C2所以椭圆C 的标准方程为刍+4=1；16 4(2)设直线/与椭圆的交点为A(%,y),B(x2 fy2y +2y 2=0联 立/2,消元整理可得：X2-2%-6 =0,-F-=I116 4显然/0,故 +X2-2,X1X2 6,A B=1+k2x1 x2=+卜2.不%+)2 4%1亚=J l +22 4-6=V35,又由于原点到直线/的距离为d=-=4,Jl+?5 O B=j d MB|=j 35=7,所以AOAB的面积为7.【解析】(

22、1)根据题意列出关于,b,C的方程组，求解“，匕可得椭圆的标准方程；(2)将直线的方程与椭圆的方程联立，可得韦达定理，利用弦长公式计算|4 8|,计算原点到直线/的距离，代入三角形面积公式计算可得结果.本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于基础题.21.【答案】解：(1)由题可得:故椭圆方程为(+4=1；O Z6h2=1-2l?-+c24r解得 =2y2,b=V2,(2)是定值；设4(,y J,B(2,y2),由4AQB的角平分线垂直于椭圆长轴可得直线AQ,BQ 的倾斜角互补,所以A A Q +可设直线AQ方程为UQ：y=k(x-2)+1,那么直线8。方程为Q：y=-c(x-2)

23、+l,2 y2联立)万+1=1,消 y 整理可得：(42+l)x2+(8c-16c2)x+16c2-16/c-4y=fc(x 2)+1当d。时，芍l+XQ=由于XQ=2,故当=8 f e 8 f c-2,那么以=忆(%4 2)+I=-4/-4卜+14kz+l即4(8必-8 k-24 f c2+l-4必-4 A+14必+1)，同理可得：B(8/+8 4-2 -4/+4，+14必+1 4 /+1)，所以心B =力一切xA-xB2,即直线AB的斜率是定值.【解析】(1)根据条件列出关于G b 的方程组，求解m b 的值，代入椭圆方程即可；(2)由条件可知4Q +Q=0,设出直线AQ与 BQ的方程，与

24、椭圆的方程联立，求得A,标，利用斜率公式可得直线AB的斜率是定值.本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.3 的坐r222.【答案】解：(I)由点M(Xl,y),N(X2，、2)在椭圆 C：a +丫 2=i(1)上,可得a+资=1,卷+秃=L即 资=1-技,押=1-箫又由Ao”k0N=可得%丫2=-jxlx2上式平方可得：资 羽=J x a 绍可得(I 一条)(1 一1)=3 就据,整理可得1 也(好+以)+警=将 好%2=小代入上式，可得d=9,即M=3,丫 2所以椭圆方程为+y2=.(2)当直线AB斜率不存在时:IAQl=I,BQ=3,此时t=3；当直线AB斜率存在时

25、，可设/：y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由/=(12C)2-36(3C2+1)0,解得/1,12k9%+%2=一行田2=诏r又由IQBl=|QAl可得：X2=tx1,BPt=xI,f J-I-x2/+年-(X+X2)2-2XX2 _ 16后 _ _16_ _t Xl 2 1 2 1 2 3kz+l 3+4由 c2 l,可得2 t+:与，解得l t 3,综上：I V t 3,所以，的取值范围是(1,3【解析】将M,N的坐标代入椭圆的方程，可得资=1一,秃=1 一条，结合直线OM，O N的 斜 率 之 积 是 和 且*+据=2.计算可得a的值，从而可得椭圆的方程；(2)分直线A B的斜率存在与不存在两种情况分别求出t的取值范围即可.本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.