2021年中考数学压轴题专项高分突破训练-03 三角形中的面积和周长问题（教师版）.pdf

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1、专练03三角形中的面积和周长问题1.已知AABC的面积是120，请完成下列问题:(I)如 图 1所示，若 A D 是 AABC的 B C 边上的中线，则 AABD的面积 AACD的 面 积.(填“设 SADO=x,SACEO=y f 则 S4BDO=3x,SAEO=2y,2 i由题意得：SAABE=-SAABC 80,SADC=SABC=30,可列方程组为：您3短3：o解得：二：，S四 边 形 ADOE=SAADO+SAAEO=x+2y=36.2.如图1,R S ABC中，ZACB=RtZ,AC=8,BC=6,点D为AB的中点，动点P从点A出发，沿A C方向以每秒1个单位的速度向终点C运动,动

2、到点B,再沿BA方向向终点A运动，以DP,DQ为邻边构造口 PEQ D,设点P运动的时间为t秒.同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度先沿CB方向运(1)当t=2时，求PD的长；(2)如图2,当点Q运动至点B时，连结D E,求证：DEAP.(3)如图3,连结CD.当点E恰好落在A ACD的边上时，求所有满足要求的t值;记运动过程中。PEQD的面积为S,n PEQD与 ACD的重叠部分面积为Si,当19时，请直接写出t的取值范围.【答案】(1)解：如 图1中，作DFLCA于F,Ac Q B图1当 t=2 时，AP=2,DF=ADsinA=5x|=3,4V AF=AD*cosA=5x-=4,A

3、PF=4-2=2,；.PD=VDF2+PF2=V32+22=V13.图2在平行四边形PEQD中，：PEDQ,；.PEAD,VAD=DQ.PE=DQ,PE=AD,四边形APED是平行四边形,，DEAP.（3）解：分三种情况讨论：I.当点E 在 CA 上时，DQCB（如图3 所示），p图3B1 qVZACB=RtZ,CD 是中线，；.CD=BD,/.CQ=-CB=3 BP：t=-II.当点E 在 CD 上，且点Q 在 C B上 时（如图4 所示），过点E 作 EG C A 于点G,过点D 作 DHLCB于点H,易证 RtA PGERtA PHQ,；.PG=DH=4,:.CG=4-t,GE=HQ=C

4、Q-CH=2t-3,VCD=AD,ZDCA=ZDAC.在 RtA CEG 中，tan Z ECG=-,At=-C G 4 t 4 11III.当点E 在 CD 上，且点Q 在 AB上 时（如图5 所示），过点E 作 EFLCA于点F,图5VCD-AD,/.ZCAD=ZACD.：PEAD,A ZCPE=ZCAD=ZACD,；.PE=CE,；.PF=j PC=芋，PE=DQ=ll-2t,pc 8-T 4在 RtA PEF 中，cosZEPF=-PE ll-2t 548综上所述，满足要求的t 的值为9 或 胃 或 詈；g t/X X x x 4n X /如图6 中，PE交 CD 于日，作 EG AC

5、于 G，EGJ_AC于 G.图6当APDE，的面积等于平行四边形PEDQD的面积的:时，PE-：EE=2：1,由(II)可知 CG=4-t,GE=2t-3,.PG=8-t-(4-t)=4,.,E CEG,PG，_ EtGf _ PE，_ 2 =-=PG EG PE 3.,.PG=-,EG=-(2t-3),CG=8-t-=-t,3 3 3 3式2 5 3)_ 3解 得 白 5 如图7 中，当点Q 在 AB上时，PE交 CD 于日，作 E，G A C于 GLPDE，的面积等于平行四边形PEDQD的面积的；,PE：EE=2：I,1-22-32_3-2t4-5解得t=g ,综上所述，当 费 V 时，请

6、直接写出t 的取值范围是|t0,I V3 a-b|0,，a=6,b=6 y/3，点 A(6,6 V 3);.AOB是等边三角形，点 A（6,6 遍），AO=BO=AB=12,Z AOB=Z ABO=60=Z A,：ZOCP=60=ZAOB,.,.ZAOB=ZQOB+ZAOQ=ZQOB+ZPBO=ZPCO=60,NAOQ=NPBO,Ji AO-BO,NA=NAOB=60,/.AOQAOBP(A S A),AOP=AQ,A 12-2t=3t,/.t=2.4,.当 t=2.4 时，ZOCP=60：(3)解：如图2 中，过点D 作 DFLAO,D E I A B,连接AD,:ABO是等边三角形，D 是

7、 O B 中点，点 A(6,6 百)AOD=BD=6,ZAOB=ZABO=60,AD=6 遍,又：ZDFO=ZDEB=90,AAODFABDE(AAS)/.OF=BE,DF=DE,VAO=AB,AAO-OF=AB-BE AF=AE,VDF=DE,PD=DQ,ARtA DFPRtA DEQ(HL)，PF=EQ,VOD=6,ZAOD=60,ZDFO=90,J ZODF=30,AOF=3,DF=V3 OF=3 V3,A AF=AO-OF=9=AE,BE=OF=3,.*AP+AQ=AP+AE+EQ=AP+PF+AE=AF+AE=2AF=18,A2t+3t=18,At=3.6,当t=3.6时,D,P,Q

8、 三点是能构成使NPDQ=120。的等腰三角形,V RtA DFPTRS DEQ,ASA DFP=SA DEQ,S 四边形APDQ二 S 四边形AFDQ=SA AOB-2SA OFD=1 x12x6 73-2x 1 x3x3 V3=27 B C,点在D 边 BC上，CD=2BD,点 E,F 在线段AD上，Z 1=Z 2=Z B A C.若 ABC的面积为1 2,则 ABE与 CDF的 面 积 之 和 为.【答案】(1)证明：VAB1AD,BFAF,；.NDAG+NBAF=90,NB+NBAF=90。，/.ZDA G=ZB,在4 ADG和 BAF中，Z.DAG=Z.BzAGD=ZBFA=90,A

9、D=ABAAADGABAF(A A S):(2)证 明:V Z1=Z2,AZAEB=ZCFA,Z1=ZABE+ZBAE,ZBAC=ZCAF+ZBAE,Z1=ZBAC,./ABE=/CA F,在 ABE和4C A F 中，ZAEB=ZCFAZABE=ZCAF,AB=ACAAABEACAF(A A S)；(3)VCD=2BD,2ASA ADC=-SA ABC=8,3由(2)得，ABEACAF,.,.A B E与A CDF的面积之和=CA F与 CDF的面积之和=5 ADC=8,故答案为8.9.在 ABC中，AB=AC,P 为平面内一点AAA图2图3图1(1)如图 1,若 Z.BAP=zCAP 求证

10、：BP=CP(2)如图 2,若 Z.APB=ZAPC 求证：BP=CP(3)如图3,BD为 AC边上的高，BE平 分 4 ABD交 A C于点E,EF J.BC于 F,EF与 BD交于点G,若 ED=a,CD=b,求BGC的 面 积(用 含 a,b 的代数式表示).【答案】(1)证明：如 图 1TAB=AC、ZBAP=ZCAP、AP=APAAABPAACP(SAS):.BP=CP.(2)解：如下图2过 A 分别作CP、B P的垂线，交它们的延长线于M、NZAMP=ZANP=90Z.APB=ZAPC zAPM=Z.APNXV AP=APAAAPM AAPNJA M 二 AN、PM=PN又 TAB

11、 二 ACAAACM AABN(HL)ACM=BN BP二 CP.(3)解：如下图3VBDCD ZDBC=90-ZACB又AB二 AC，ZABC=ZACBAZABD=ZABC-ZDBC=ZABC-(900-ZACB)=2ZABC-90BE 平分NABD/.ZEBD=ZABC-45 ZEBF=ZEBD+ZDBC=ZABC-45+90-ZACB=45又 EF J_ BC于 F:.ZBEF=45AZBEF=ZEBFAEF=BFVZBDE=ZEFB=90 ZBGF=ZEGDAZGBF=ZFEC/.BGFAECF，BG=EC=ED+DC=a+bBGC的面积为：%=券 =(ab+(b2.10.已知：如 图

12、 1,RtAABC中，ZACB=90,CA=CB,等 边 ACDE的 边 C E 在 C B 上，点 D 在A B 上.EB(1)求证:Z A C D =2 Z B D E(2)如图如将 A A D C 沿 着 CD翻折，得 到 A C D F .连接E F ,求证：A D =E F(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作 D G 1 CD交 CB延长线于点G,若 B E =m ,D G =4 +2 m .求 A F D E 的面积.【答案】(1)证明:C A =C B ,Z A C B =9 0 ,C D E 是等边三角形,ZB=45,Z.CED=ZDCE=60,J ZBDE=4DEC-Z

13、B =60-45=15,ZACD=90-Z.DCE=90-60=30,J Z.ACD=2ZBDE(2)证明：如图示：由折叠可知，Z.DFC=zA=45,Z.ACD=Z.FCD=30,ZFCB=900-ZACD-ZFCD=90-30-30=30,在 ADFG和 ACGB中，ZDFG=ZB=45,ZDGF=ZCGB,工 Z.FDG=Z.FCB=30,ZFDO=ZFDG+ZGDO=30-F 15=45,即有：ZFDO=Z.FDO=45 ADFO是等腰直角三角形，:.OD=OF:ACDE 是等边三角形，zFCB=FCD=30,J OD=OE=OF,AFOE是等腰直角三角形，并 AFOE=AFOD则 A

14、DFE是等腰直角三角形，DF=FE AD=FE；(3)解：如图3 所示，图3BGZ.DCG=60,DG1CD,J Z.DGC=30,.CD _ CD _ 1 DG-4+2m-V33；DE=CD=同4+如),3由(2)可知，ADFE是等腰直角三角形，DF _ DF _ J_ DE-Q(4+2m)-y f2，3.DF=+m),=工 *|、(2+m)2=(2+m)2IL 如图，在 ABC 中，ZACB=90o,A C=BC,点 D 为 AB 的中点，AE=CF.,SAFDE=|DF2求证：(1)DE=DF；(2)DE1DF；(3)若 A C=3,求四边形CFDE的面积.【答案】(1)证明：如图，连接

15、CD.VBC=AC,ZBCA=90,/.ABC是等腰直角三角形，Y D 为 A B 中点，；.BD=CD,CD 平分NBCA,CDAB.Z A+Z ACD=Z ACD+ZFCD=90,/.ZA=ZFCD,在4 ADE和4 CFD中，AE=CFzA=ZFCD,AD=CDAAADEACFD(S A S),DE=DF(2)证明：由(1)知，ADEACFD(S A S),:.ZADE=ZCDF.ZADE+ZEDC=90,二 ZCDF+ZEDC=ZEDF=90,即 DEXDF(3)证明：VAADEACFD,A SA AED=SA CFD,AS 四边形 CEDF=SA ADC,：D 是 A B的中点，A

16、SA ACD=-SA ACB=-x3x3=4.5.22AS 四边形 CEDF=4.5.12.在 RtAABC 中，zC=90,AC=8,BC=6,P、Q 分别为边 AB、AC 的动点.(1)若 AP=a,则 当 AQ=时，AAPQ与 AABC相 似(用 含 a 的式子表示)；(2)若点P 从点A 处出发，沿 线 段 A B 以每秒钟5 个单位的速度向点B 运动，同时点Q 从点C 处出发,沿 线 段 C A 以每秒钟4 个单位的速度向点A 运动：当运动到第几秒时，BQ 1 CP?令 线 段 P Q 的中点为M,则运动过程中，AMBC的周长的最小值是多少？【答案】(1)：4C=902AC=8,BC

17、=6AB=VAC2+BC2=V82+62=10当 AAPQAACB时，可 知”=竺，即 _1=空AB AC 10 8解 得 AQ=1a同理，当 AAPQAABC时,可 知 V =竺，即 2=任AC AB 8 10解 得 AQ=故答案为：:a 或 a；5 4（2）解：如图，过点P 做 PD_LAC于点D设两点运动时间为t,则 AP=5t,CQ=4tVDP/CB.AD DP APAC CB AB/.AD=4t,DP=3t:.DC=8-4tZACB=90,BQ1 CP:.ZDCP=ZCBQ/ZACB=ZPDC=90A ADCPACBQ剪=2,即 =竺DC DP 8-4t 3t解得t=,1=0（舍去）o如图，分别取AC、A B 中点E、F,接 E F,交 E F 于点M过点P 做 P N LE F与点N由已知，PF=5-5tVEF/7CB,PN/7AC，APNFAACBAPN=4-4tAPN=QE?ZQEM=ZPNM=90ZEMQ=ZNMP，AEMQ=ANMP，M 为 P Q 中点，故在P、Q 运动过程中，P Q 中点M 在 EF上运动.E F为 RtAABC中位线.点 C 与点A 关于直线EF对称工当点M 与点F 重合时，MB+MC最小此时 MB+MC=AB=10则 AM BC的周长的最小值是10+6=16.