2021年中考数学重难点题型05 圆与三角函数、相似结合的综合问题【含答案】.pdf

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1、专题0 5圆与三角函数、相似结合的综合问题【典例分析】【例1】如图，M,N是以4 3为直径的。上的点，且AN=B N，弦MN交4 8于点C,8M平分NABD,于点尸.(1)求证：MF是。的切线；(2)若 C N=3,B N=4,求 C M 的长.思路点拨(I)根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得NOMB=N M B F,得出OMB F,即可证得O M M F,即可证得结论；(2)由勾股定理可求AB的长，可得A O,B O,O N的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明 A C N A M C B,可得生=丝，即可求CM的长.CM BC满分解冬(1)连接0 M：OM=OB,:.NOMB=NOB

2、M,.8加 平 分/4 8),ZOBM=ZMBF,：/OMB=NMBF,：OMBF,VMF1BD,OM_LMF,即NOM尸=90。,.MF是。的切线；(2)如图，连接AN,ON,/AN=BN，：.AN=BN=4Q AB 是直径，AN=BN，/.ZAA=90,O N I AB/.AB=JAM+BM=4A/2/.AO=BO=ON=2五：.OC=y/CN2-ON2=/8 =l.AC=2 夜+1，BC=2y/2-,:ZA=4NMB,/ANC=4MBC.M C N SMCB.AC CN：,AC.BC=CM*CN 7=3CM7,CM=-3【例2】如图，Ab为。O直径，4C为。的弦，过。O外的点。作OJ_O

3、A于点E,交AC于点F,连接OC并 延 长 交 的 延 长 线 于 点P,且N O=2N 4,作CH_LAb于点H.(1)判断直线。C与。O的位置关系，并说明理由；思路点拨(1)连接 0 C,易证/C O B=/,由于/P+/=90。，所以/P+/C O B=90。，从而可知半径 OCJ_OC；3(2)由(1)可知：COS/C O P=COS/=M，设半径为r,所以C W=r-2,从而可求出r的值，利用勾股定理即可求出C 4的长度，从而可求出AC的长度.满分斛答解：(1)0 c与。相切.理由如下：连接 0C,：ZCOB=2A,ZD=2ZA,：.ZC0B=ZD,：DEVAP,：.ZDEP=90,

4、在 R s OEP中，NDEP=90,：.ZP+ZD=90,；.NP+NCOB=90,：.ZO C P=90,半径 OC_LOC,.DC与。O相切.3(2)由(1)可知：ZOCP=90,ZCOP=ZD,：.cosZCOP=cosZD=-,：CHLOP,：.ZCHO=90,0H r _ 2 3设。的半径为 r,则 0 H=r-2.在 R s CHO 中，cosNHOC=一,；.尸5,：.0H=5OC r 5-2=3,二由勾股定理可知：CH=4,：.AH=AB-HB=W-2=8.在R SA H C中，NCHA=90。，.由勾股定理可知：A C=4 6.【例3】如图，AB是。的直径，D、E 为。O

5、上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C,使 得 CD=BD,连 接 AC交。于 点 F,连 接 AE、DE、DF.(1)证明：NE=NC；(2)若NE=55。，求NBDF的度数；2(3)设 DE交 AB于点G,若 DF=4,cosB=-,E 是弧A B的中点，求 EGE D 的值.3思路点拨(1)直 接 利 用 圆 周 角 定 理 得 出 劲 儿 利 用 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 出A 8=4 C,即可得出NE=/C；(2)利用圆内接四边形的性质得出N A F =18 0。-N E,进而得出N 8 D F=N C+N C F ,即可得出答案；2(3)根据c o s B=-

6、,得出A B的长，再求出A E的长，进而得出 A E G s D E A,求出答案即可.3满分斛答解：(1)证明：连接A Q,是。的直径，N A 08=90,即 ADLBC,：CD=BD,：.AD垂直平分BC,：.AB=AC,：.ZB=ZC,又,：NB=/E,，/E=/C；(2)解：.四边形A E Z 是。的内接四边形,ZAFD=180-ZE,XVZCFD=180-NAFD,；NCFD=NE=55。,又,:ZE=ZC=55,.ZBDF=ZC+ZCF=110；(3)解：连接OE,VZCFZZE=ZC,:.FD=CD=BD=4f2在 RQABO 中，cosB=-,BD=4,3：.AB=6,T E

7、是 A 8 的中点，A 5是。的直径,NAOE=90。，.且 40=03,:AE=3yi，Y E 是 A 3 的中点，NADE=NEAB,，A E G s XDEN,.AE DE-=-，EG AE即 GED=AE2=18.【例 4】如图，在A A O B 中，N A 0 3 为直角，OA=6,O B=8,半径为2 的动圆圆心。从点。出发,沿 着 O A 方向以1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点尸从点A 出发，沿着4 8 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为/秒(0/5)以 P 为圆心，口长为半径的。P 与AB.O A的另一个交点分别为C、D,连 结C D、QC.(1)当

8、，为何值时，点。与点O 重合？(2)当。经过点A 时，求。尸 被 截 得 的 弦 长.(3)若。P 与线段0 c 只有一个公共点，求，的取值范围.B思路点拨(1)由题意知C D L O A,所以A C D saA B O,利用对应边的比求出A D 的长度，若 Q 与 D 重合时,，贝 I,AD+OQ=OA,列出方程即可求出t 的值；(2)由于0 _LAB,垂足为点R连接AC,O C,则 下 列 结 论 正 确 的 是.（写出所有正确结论的序号）B C =B D ；27扇形O B C的面积为J T；4/O C F A O E C,若点P为线段O A上一动点，则AIOP有最大值20.25.【详解】

9、弦 CDJ_AB,AB 是直径，二B C =B D，所以正确；二 /B O C=2/A=2X30=6 0,扇形OBC的面60积x-x二Q2=三?7）,所以错误;360 2.。0 与 CE相切于点C,AOC1CE,二 ZOCE=90,V ZCOF=ZEOC,ZOFC=ZOCE,.,.O C FA O E C,所以正确；9,81APOP=(9-OP)OP=-(OP-+,2 49 81当 OP=一时，A PO P的最大值为一=20.25,所以正确,2 4故.14.如图，已知。是“此的外接圆，且B C为。0 的直径,在劣弧A C 上取一点。，使 CD=A B，将AAOC沿 4。对折，得到AAOE,连

10、接 CE.(1)求证：CE是。的切线；(2)若 C E=6 C O,劣弧CO 的弧长为“，求。的半径.(1)见解 析;(2)圆的半径为3.【详解】(1)V C D =AB *Z C4 )=Z B C A=a=Z,EAD,设：N O CA=N O A=0,Z D C E=Z D E C=y9则AACE中，根据三角形内角和为18 0。，.,.2 a+2 p+2 y=18 0,.,.a+p+7=90,.CE是。的切线；(2)过点A作延长A。交C E于点N,则DNA.CE,.四边形A M C N为矩形，设：A B=C D x,则 C E=6X,则 CN=-CE=而 AB=x,2 2则 s i n Z

11、A B A/=,；.Z AB M=6 0,2.OAB为等边三角形，即/A O B=60。,60CD AB=-x 2nrn,360解得：r=3,故圆的半径为3.1 5.如图，点 C 在以AB为直径的。O 上，AD与过点C 的切线垂直，垂足为点D,AD交。于点 E.(1)求证：AC平分NDAB；(2)连接BE交 AC于点F,若 c o s/C A D=,求 空 的值.7详见解析；(2)【详解】(1)证明：连接O C,则 OCLCD,又 ADCD,.ADOC,，ZCAD=ZOCA,X OA=OC,.ZOCA=ZOAC,，NCAD=/CA O,，AC 平分/D A B.(2)解：连接BE交 OC于点H

12、,易证OC_LBE,可知/O C A=/C A D,4/.C O SZH C F=-,设 H C=4,F C=5,则 FH=3.XAAEFACHF,设 EF=3X,则 AF=5X,AE=4X,.,.0H=2X，BH=HE=3x+3 OB=OC=2x+4在AOBH 中，(2x)2+(3x+3)2=(2x+4)27化简得：9x2+2 x-7=0,解得：x=-(另一负值舍去).9.A F .FC 5 91 6.如图，四边形43C D 内接于。0,AB=AC,B D A C,垂足为E,点尸在3 0 的延长线上，且D F=D C,连接 A尸、CF.求证：Z B A C=2 Z D A C；(2)若 A尸

13、=10,5 c=4 不，求加”NR4。的值.【详解】解：(1).AB=AC,:.AB=A C，ZABC=ZACB,AZABC=ZADB,Z A B C=-(180-ZBAC)=9 0 -ZB AC,2 2VBD1AC,NADB=90。-NDAC,1A-Z B A C=Z D A C,2.ZBA C=2ZD A C;尸 二 OC,1 1，ZBFC=-ZBDC=-NBAC=NFBC,2 2CB=CF,又 BDVAC,是线段B 尸的中垂线，AB=AF=10,AC=10.又 BC4 5/5，设 AE=x,C=IO x,AB2-AE?=BC1CE?,100-=8 0-(10-)2,=6：.AE=6,BE

14、=S,CE=4,“AE CE 6 x 4 、.DE=-=-=3,BE 8，B D=B E+D E=3 +8 =11,作 D HLA B,垂足为H,1 1-A B D H=-B D A E,22，DH =B A E _l l x 6 _ 33AB 1 0:.B H=y/BD2-DH2=,八 44 6.,.AH=AB-B H=1 0-=-,5 5DH:.tanNBAD=33 1 1-AH 6 21 7.如图，B C 中，以 5 c为直径的。交 A 5 于点O,A E 平分N5 A C 交 5 c于点E,交 C。于点 尸.S.CE=CF.(1)求证：直 线 C A 是。的切线;4 DF(2)B D=

15、-D C,求 的值.3 CFD3（1）证明见解析；（2）【详解】解：（1）证明：:B e为直径,J Z BZ)C=Z ADC=9 0,.Z 1 +Z 3=9 O T AE1平分 N B 4 CAZ 1=Z 2,:CE=CFZ Z 4=Z 5,V Z 3=Z 4,AZ 3=Z 5,AZ 2+Z 5=9 0,A Z ACB=9 0,AC IBC,直线C A是。的切线；(2)由(1)可知，N 1=N 2,Z 3=Z 5,J /ADF/ACEf.AD DF DF*AC CE CF4-：BD=-DC,3CO 3 tan/ABC=-=一BD 4V Z ABC+Z BAC=9 0,N ACQ+N BAO 9

16、 0。,:.ZABC=ZACD93/.tan ZACD=,4AD，sin ZAC)=-AC351 8.如图，AB是。C 的直径，M、D 两点在A B的延长线上，E 是。C 上的点，且 DE?=DB-D A.延4长 AE 至 F,使 A E=E F,设 BF=10,cosZBED=-.求证：ADEBADAE；(2)求 DA,D E的长;若 点 F 在 B、E、M 三点确定的圆上，求 M D的长.【详解】DE2=DB-DA,.DE DB.=,DA DE又：/D=/D,ADEBADAE；(2)：AB是。C 的直径，E 是(DC上的点,，ZA EB=90,即 BEAF,又：AE=EF,BF=10,.A

17、B=BF=10,4*ADEB(ADAE,cos NBED二 一，54ZEAD=ZBED,cos ZE AD=cos ZBED=,54在 RtZkABE 中，由于 AB=10,cos N EA D=,得 AE=ABcosNEAD=8,BE=lAB2-A E2=6，V ADEB S/XDAE,.DE DB EB 6 3DADEE84VDB=DA-AB=DA-10,DE 3DA4DA-10 _ 3DE-4DA，解得DE160T120T经检验，160DA-7八 广 1207)_ 3D A-4DA-1 0DE3 的解,4160DA-120DE=；7(3)连 接 FM,7V B E A F,即NBEF=9

18、0。，.BF是 B、E、F 三点确定的圆的直径，.点F 在 B、E、M 三点确定的圆上，即四点F、E、B、M 在同一个圆上,.点M 在以BF为直径的圆上,/.FM 1AB,.,A M 在 RtZiAMF 中，由 cos/F A M=-得AFAM=AFcos ZFAM=2AEcos ZEAB=2x8x=一,5 5160.MD=DA-AM=764 _ 3521 9.如图，AB是。O 的直径，点 D 是弧AE上一点，且NBDE=NCBE,BD与 AE交于点F.(1)求证：BC是。的切线；(2)若 BD 平分N A B E,求证：DE?=DF-DB；(3)在(2)的条件下，延 长 ED,BA交于点P,

19、若 PA=AO,D E=2,求 PD的长.(1)证明见试题解析；(2)证明见试题解析；(3)PD=4,OA=2A/2-【详解】(1)证明：AB 是。的直径，.NAEB=90。，.NEAB+NABE=90,：NEAB=NBDE,ZBDE=ZCBE,.,.ZCBE+ZA BE=90,即/ABC=90。，.ABBC,；.BC 是0 0 的切线；(2)证明：BD 平分/A B E,.Z 1=Z 2,而N2=NAED,/.ZA ED=Z1,V ZFDE=ZEDB,ADFEs/XDEB,ADE：DF=DB：DE,A )f2=DFDB；(3)连结 D E,如图，VOD=OB,.,.Z 2=Z O D B,而

20、N1=N2,A Z O D B=Z 1,，ODBE,/.APD POPO D A P B E,二=，；PA=AO,.PA=AO=BO,PE PB.P-D-2,即H-n-P-D-=一2PE 3 PD+2 3；.PD=4.2 0.如图，AB是。O 的直径，点 E 为线段OB上 一 点(不 与 O,B 重合)，作 EC_LOB,交。O于点C,作直径C D,过 点 C 的切线交DB的延长线于点P,作 AFJ_PC于点F,连 接 CB.(1)求证：AC平分NFAB；(2)求证：BC2=CECP；r p 3(3)当 AB=46且 而=时，求劣弧B 0 的长度.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）二匕

21、万.3【详解】（D VAB是直径，.ZACB=90,ZBCP+ZACF=90,ZACE+ZBCE=90,VZBCP=ZBCE,AZACF=ZACE,V Z AFC=90,ZAEC=90,:.ZFAC=ZEAC,即 AC平分NFAB；（2）VOC=OB,AZOCB=ZOBC,PF是。O 的切线，CE1AB,/.ZOCP=ZCEB=90,.,.ZPCB+ZOCB=90,ZBCE+ZOBC=90,AZBCE=ZBCP,VCD是直径，.,.ZCBD=ZCBP=90,/.CBEcoACPB,.CB CE.BC2=CECP；(3)如图，作 BMJ_PF 于 M.则 CE=CM=CF,设 CE=CM=CF=

22、3a,PC=4a,PM=a,V ZMCB+ZP=90,ZP+ZPBM=90,ZMCB=ZPBM,：CD 是直径，BM1PC,，/CM B=/BM P=90,.BM CM.BM2=CMPM=3a2,B M=6 a,.BM 也.tan ZBCM=-=,CM 3.,.NBCM=30。，ZOCB=ZOBC=ZBOC=60,ZBOD=120,120 x-x2/31804 G-n3，8。的长=2 1.如图，以A 8 边为直径的。O 经过点P,C 是。上一点，连结PC交 4 3 于点E,且NACP=60。,PA=PD.(1)试判断尸。与。的位置关系，并说明理由；(2)若 点 C 是弧A 8 的中点，已知A

23、B=4,求 CE CP的值.p r D(1)PO 是。的切线.证明见解析.(2)8.【详解】(1)如图，PD 是。O 的切线.证明如下：连结 OP,V ZACP=60,A ZAOP=120,VOA=OP,/.ZOAP=ZOPA=30,：PA=PD,；./PA O=ZD=30,A ZOPD=90,；.PD 是。的切线.(2)连结 BC,：AB 是。0 的直径，/.Z A C B=90,又：C 为弧 AB 的中点，NCAB=/ABC=NAPC=45。，VAB=4,AC=Absin45=2.：NC=NC,/CAB=NAPC,.ACAEACPA,2 2.如图，点。在以AB为直径的。上，4。平分NfiA

24、C,D C A C,过点5作。的切线交A D的延长线于点E.求证：直 线。是。的切线.(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】解：证明：连接OD,VAD 平分 4 4 C,ZCAD=ZBAD,：OA=OD,：.ZBADZADO,：.ZCADZADO,：.AC/OD,CD VAC,:.CD1OD,，直线CD是。O的切线；连 接BD,BE是。的切线，AB为。O的直径,:.NABE=NBDE=9(f，：CD1AC,NC=NBDE=90，/CAD=ZBAE=ZDBE,：.ACDBDE,.CD AD 一 ，DE BE二 CD BE=AD DE.2 3.如图，在 八46。中，AB=A C,以A 3为直

25、径的。分别与8 c A e交于点。,E,过点。作O b L A C,垂足为点尸.(1)求证：直线。b是。的切线;(2)求证：B C2=4CF.AC;(3)若 的 半 径 为4,ZC D F=1 5,求阴影部分的面积.【详解】解：(1)如图所示，连接8,：A B-A C,，ZABCZC,而OBOD)：.NODB=ZABC=N C,：D F1AC,：.ZCDF+ZC 90,：.NCDF+NODB=90。,ZODF=90,二直线。咒是。的切线；(2)连接 A O，则 A D LB C,则 A B =AC,则。B=OC=LBC,2:ZCDF+NC =9 0 ,ZC+ZDAC=9 0 ,，ZCDF=ZD

26、CA,而 NOR?=NADC=90,CFZ)0CZ)A,:.CD2=CF AC，即 BC2=4CFAC;(3)连接OE,NCDF=15,NC=75。,：.ZOAE=30=ZOEA,：.ZAOE=120,ME=AE x OEsinZOEA=x2x OE x cos ZOEA x OEsinZOEA=473,2 2S阴影部分=S扇形Q 4E -S.OAE=X乃X 42 _ 4=等 _ 4百2 4.如图，AABC内接于。O,CO平分N 4C 5交。于 O,过点。作尸QA 8 分别交CA、CB延长线于尸、Q,连接8，(1)求证：尸。是。的切线；(2)求证：BD2=ACBQt4 1(3)若 AC、8Q

27、的长是关于x 的方程x+=加的两实根，且 S N P C D=-,求。的半径.x3(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)2 M.【详解】解：证 明:.PQ/AB,ZABD=ZBDQ=ZACD,:NACD=NBCD,：.ZBDQ=ZACD,如 图 1,连接08,O D,交 A 8于 E,则NOBD=NODB,ZO=2ZDCB=2ZBDQ,在AOBO 中，Z OBD+Z ODB+Z 0=180,2 N 003+2/0=180。,N 005+N 0=90。，PQ是。的切线；（2）证明：如图2,连接4 0,由（1）知PQ是。的切线,:.ZBDQ=ZDCB=ZACD=ZBCD=ZBAD,:.AD=B

28、D9.ZDBQ=ZACDf：./BDQ/ACDf.AD AC 丽 一 茄：.BD2=ACBQ；4（3）解：方程x+=m可化为x2-m+4=0,x4 AC、8。的长是关于x的方程x+=机的两实根，x：.AC-BQ=4,由（2）得3D2=AC,3Q,.B2=4,：.BD=2f由（1）知PQ是。的切线，0DLPQ,*：PQ/AB,：.0DLAB.由（1）得NPCD=/ABD,1*：tanZPCD=-,31.tanZABD=,3 BE=3DE,：.DEr+（3DE）2=4,G 2A/10.DE=-,5：.BE=-5设 OB=OD=R,.C R 2V105OB2=OEr+BEr,*.八(Y)4解得：R=

29、2屈,，。0 的半径为2厢.2 5.如图，AB是半圆O 的直径，C 是 AB延长线上的点，A C 的垂直平分线交半圆于点D,交 AC于点E,连接DA,D C.已知半圆O 的半径为3,BC=2.(1)求 AD的长.(2)点 P 是线段AC上一动点，连 接 D P,作NDPF=NDAC,PF交线段CD于点F.当ADPF为等腰三角形时，求 A P的长.(1)A D=2#；(2)当ADPF是等腰三角形时，AP的长为。或 5 或 8-2 而.【详解】(I)如 图 1,连接0D,图1VOA=OD=3,BC=2,AAC=8,DE是 A C的垂直平分线，1JA E 二 一AC=4,2AOE=AE-OA=1,在

30、 RSODE 中，DE=272;在 RtAADE 中，AD二 JAE?-DE?=2 A；(2)当 DP=DF时,如 图 2,T）图 2 B C点 P 与 A 重合，F 与 C 重合，贝|JAP=O；当 DP=PF时-，如图4,DA ZCDP=ZPFD,DE是 A C的垂直平分线，ZDPF=ZDAC,AZDPF=ZC,VZPDF=ZCDP,AAPDFACDP,/.ZDFP=ZDPC,NCDP=NCPD,CP=CD,AP=AC-CP=AC-CD=AC-AD=8-2 遥;当 PF=DF时，如图3,.ZFDP=ZFPD,VZDPF=ZDAC=ZC,AADACAPDC,.PC _ CD ,CD AC.8-AP 2x/6.防 F；.AP=5,即：当ADPF是等腰三角形时，A P的长为0 或 5 或 8-2#.