2021年中考数学一轮复习《与相似三角形相关的综合压轴题》专项突破训练2（附答案）.pdf

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1、2021年中考数学一轮复习 与相似三角形相关的综合压轴题专项突破训练2(附答案)1.如图，点 E是正方形A 8 C Z)的边BC延长线上一点，连接O E,过顶点B作垂足为尸，B 尸交边D C于点G.(1)求证：D G BC=D F，B G；(2)连接C F,求NCF 8的大小；(3)作 点 C关于直线。E的对称点H,连 接 C H,F H.猜想线段O F,BF,CH之间的数量关系并加以证明.2 .已知 A B C,过 A B C 的顶点B作直线M N A C,。为 8C边上一点，连结A。，作NA E=N B A C 交直线MN于点E,DE交 AB 于点F.(1)如 图 1,请找出图中与/B E

2、。相等的角(直接写出，不必证明)；(2)如图2,当 A B C 是等边三角形时，请探究出线段A O,OE之间的数量关系，并证明；(3)如图3,当A8=A C 8 C 时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.(4)当A B=f c 4 C 时，请直接写出此时4 0,D E之间的数量关系.(用含左的式子表示)图1图2图33.如图，A B C 中，AB=A C=5,B C=6,点。、E分别是边A B、AC上的动点(点。、E不与 A B C 的顶点重合)，AD 和 8 E 交于点F,且/A F E=N A B C.(1)求证：AABDS/BCE；(2)设 4 E=x,A

3、D-F D y,求 y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围;(3)当 A E F是等腰三角形时，求 QF 的长度.4 .如 图 1,M 为线段AB的中点，AE与 交 于 点 C,N D M E=N A=N B=a,且。”交AC于尸，M E 交 B C 于 G.(1)求证：L A M F s B G M；(2)若 AM=2&,A F=3,求 8 G 的长；(3)如图2,连接尸G,在(2)条件下，若 a=4 5 ,求 的 面 积.5.如 图 1,在矩形A8CO中，AB=6cm,B C=8 a n,如果点E 由点8 出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点尸由点。出发沿0 A 方向向点A 匀速运动

4、，它们的速度分别为每秒2cm和 1即，F Q L B C,分别交AC、BC于点P 和。，设运动时间为f 秒(0?4).(1)连接E F,若运动时间f=2 秒时，求证：EQF是等腰直角三角形；3(2)连接E P,当的面积为时，求 f 的值；(3)在运动过程中，当，取何值时，EPQ与ADC相似.6.(1)问题发现如图，在 RtZABC 中，NA=90,点。是 AB 上一点，DE/BC.填空：BD,CE的 数 量 关 系 为；位置关系为；(2)类比探究如图，将绕着点A 顺时针旋转，旋转角为a(0 aW90),连接BD,CE,请 问(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.(3

5、)拓展延伸在(2)的条件下，将AOE绕点A 顺时针旋转，旋转角为a,直线5。，C E 交于点F,若 AC=1,A B=g 当/A C E=1 5 时，请直接写出B尸的长.图图备用图7.如图，己知等腰 A B C中，A B=A C,A D BC,A C与x轴交于点E,D(2,0),A (5,3).(1)求点B的坐标；(2)求。E的长；(3)探究：在尤轴上是否存在点P,使以A、。、P为顶点的三角形与A C O E相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.8.在a A B C 中，N A B C=9 0。，(1)如 图1,分别过A,C两点作经过点3的直线的垂线，垂足分别为M、N,求证：A

6、 BM 4 B C N；(2)如图2,P是边B C上一点，Z B AP Z C,尸M _ L朋 交A C于点M,里=冬 区，A P 5求 坐 的 值；B C(3)如图 3,。是边 C 4 延长线上一点，A E=A B,ND E B=90 ,A D：B C：A C=2：3：5,求区的长.E B9.如图，在R t/S A B C中，Z C=9 0,A C =2 0m,B C=5 c m.现有动点P从点4出发，沿AC向点C方向运动，动 点。从点C出发，沿线段C B向点8方向运动.如果点尸的速度是3c血秒，点Q的速度是2 /秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动.设运动的时间为f秒

7、.求：(1)用含f的代数式表示R t C PQ的面积5；(2)当f=4秒时，P、。两点之间的距离是多少？(3)当f为多少秒时，以点C、尸、。为顶点的三角形与A B C相似?10.如 图I,在 A B C中，A B=4 C=10,B C=16,点。为8 c边上的动点(点。不与点8,C重 合).以。为顶点作射线O E交4 c边于点E,过点4作4凡LA。交射线。E于点凡 连接C F.(2)图2当Q E A B时(如 图2),求A E的长;(3)点。在8 c边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=C F?若存在，求出此 时 的 长；若不存在，请说明理由.11.在正方形A B C。中，对角线A C

8、,B O交于点。，点P在线段B C上（不与点8重合），/B P E=L/A C B,P E 交 B O 于点E,过点B 作 B F L P E,垂足为F,交A C于点G.2（1）当点P与点C重 合 时（如 图1）,求证：B O G 9 4 P O E；（2）当点P在线段3 c上，不与C重合时，结合图2通过观察、测量、猜想：直接写出-B-F-=-,PE（3）把正方形ABC。改为菱形，其他条件不变（如 图3）,若N 4 C B=a,请求出型的PE值（用含a的式子表示）.12.如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形A B C O为矩形，BC=6,点。与点4关于y轴对称，s i

9、n N 4 cB=9.点E、尸分别是线段A。、4 c上的动点5（点E不与A、。点重合），且N CE F=/4 CB.（1）求4 c的长与点。的坐标.（2）说明AE P与1DCE相似.（3）当 为 等 腰 三 角 形 时，求点E的坐标.13.在矩形ABC。中，点尸在4。上，A8=2,A P=.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交A8、8 C于点E、F,连接E F (如图1).(1)当点E与点3重合时，点F恰好与点C重 合(如 图2).求证：AP Bs o cP；求P C、B C的长；(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕 点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是

10、该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：t a n/P E F的值是否发生变化？请说明理由；设A E=x,当 尸 是 等 腰 三 角 形 时，请直接写出x的值.图214.如图，在矩形ABC。中，A8=3,8 C=4,点E是线段A C上的一个动点且细=%(0ACV%=1,直接写出CM：CN的值.16.已知矩形ABCQ中，E 是 BC的中点，QFLAE于点F.(1)如 图 1,若B E=&,求 AEM尸的值；(2)如图2,连 AC交 D F于 G,连 F C,若 旭 工，求 tan/FCE的值；CG 3(3)如图3,延长。产交AB于 G,若 G 点恰好为AB的中点，连 F C,过 A 作 AK尸C交

11、F D于K,则有KD=F K,请直接写出的值_.参考答案1.(1)证明：；四边形ABC。是正方形，：.ZBCD=90,：BFDE,：.ZGFD=90,；.NBCD=NGFD,:NBGC=NFGD,:./XBGCsADGF,.B G B二 C一1DG DF:.DGBC=DF*BG；(2)解：如 图 1,连接B),:BGC ADGF,.BG _ CG,*DGFG BG _ DG,CG F G；NBGD=NCGF,.BGQs/xcGF,:.NBDG=NCFG,.四边形4 8 c o 是正方形，B。是对角线，A ZB D G=A zA D C=45 ,2；.NCFB=45；解：BF=C H+DF,理由

12、如下：如图2,在线段FB上截取F M,使得F M=F D,连接。M,；NBFD=90,；.NM D F=/D M F=45,D M=PF,：ZBDG=45,:B D M=/CD F,:BGDSM G F,:.NGBD=ND CF,B M D M 一二,乐 而 班，：.BM=y2 CF,：Z C F B=45 ,BFA.D E,点C关于直线D E的对称点H,:.NE FG=/E FC=45 ,.ZCFG=90Q,:CF=FG,：.CHy/2 CF,：.BM=CH,：.BF=BM+FM=CH+D F.2.解：NBA D=NBE D,理由为：如图1,记OE与AB的交点为凡证明：M N/A C,；.N

13、E BA=NBA C,；NBA C=/A D E,：.ZE BA=ZA D E,又；N A F D=/E FB,：./E BFA D F,：.N B E D=ZBA D；(2)A D=D E,理由：如图2,在BA上取一点Q,使。B=QQ,ZA BCZD QB,.*.ZB(2=180o-2 A ABC,9：AB=AC9：.ZABC=ZC,A ZBAC=1800-2ZABC,：NBDQ=/BAC,ZADE=ZBACf:/BDQ=/ADE,：NBDE=NQDA,在BED和QAD中，/BE D:/BAD,N BDE=N Q DA，BD=Q D:.BED*AQAD(AAS),：.AD=DE；(3)(2)

14、中的结论仍然成立，即：AD=DEf理由：如图3,在BA上取一点Q,使。8=。，J NABC=NOQ8,：.ZBDQ=S0-2/ABC,AB=AC,ZABC=ZC,A ZBAC=1800-2ZABC,：/BDQ=/BAC,/ZADE=ZBAC,:/BDQ=/ADE,:NBDE=NQDA,在BE。和QAD中，/BE D=/BAD,N BDE=N Q DA，BD=Q D:BEDB4QAD(A4S),：.AD=DE；(4)ZBDQ=ZADEf交A3于点Q,如图4所示,ZBDQ-ZEDQ=ZADE-ZE D Q,即 NBDE=ZADQ,：ZBED=ZBAD,.BEDSXQAD DE =BDAD QD：N

15、ABC=NQBD,ZBDQ ZADE ABAC,M BDQsABAC,BA3而上-BDQ DDEAD即 DE=kAD.图43.:.NBAD=NC BE,NAFE=NABF+NBAF,NABC=/ABF+NC BE,AB=AC,：.NABD=NC,：.ABDS/BCE.(2)解：:NBDF=NADB,NDBF=/BAD,:./XBDFSAADB,.BD=DF AD 而.,.BDDFAD,:ABDsABC E,.DB=AB,而 BC.BD _ 5 5-x 6：.BD=-(5-x),6.产AD。尸=型(5-x)23 6 y：25X2-250X+6253 6(0 x：AAMFABGM,幽=雪BG 丽

16、RG=A M B H=2&x 26=8.A F 3 丁(3)如图2,过点M作例”J _ A E于，,V ZA=ZB=45a,A Z A CB=90,A C=B C,且 A B=2 A M=4&,；.A C=BC=4,且 A尸=3,B G=g，3；.CF=1,CG=A,3V Z A=45,MH A.AC,AM=2 近,:.AH=HM=2,:.CH=2,：ZACB=ZAHM=90，i,：.HM/CB,M E C GSAEHM,.CE =一C G 一,HE HM.CE =3CE+2 2：.CE=4,：.EFCE+CF=5,：.S&EFG=XEFX CG=AX 5 X2 2 3 35.(1)证明：若运

17、动时间，=2秒，则3BE=2 X _ r.=A(cm),DF=(cm),3 3 3.四边形ABC。是矩形：.AD=BC=S(cm),AB=DC=6(cro),ND=NBC D=90；ND=NFQC=NQC D=90,.四边形CDF。也是矩形，:.C Q=DF,C D=QF=6(cm),：.EQ=BC -BE-C Q=S-A -1_=6(cm),：.EQ=QF=6(cm),5L：FQLBC,.EQF是等腰直角三角形；(2)解：由(1)知，CE=8-2f,C Q=t,在 RtZABC 中，tanN A C B=3,BC 4在 RtCPQ 中，tan/A CB=世=3,CQ t 4；.P Q=S,4

18、：EPC的面积为3cm2,SEPC-CEX PQ=XX(8 -2 f)xl/=3,2 2 4.1=2 秒，即：f的值为2秒；(3)解：分两种情况：I.如 图1中，点E在。的左侧.NPEQ=NC4。时，EQP/XADC,.四边形A8C。是矩形，J.AD/BC,：.ZC AD=ZAC B,：/XEQPADC,.ZC ADZQEP,：.ZAC B=ZQEP,：.EQ=C Q,；.CE=2C。,由（1）知，CQ=t,CE=8 -2 t,.-8 -2 t=2 t,.，=2 秒；/P E Q=/A C D 时，E P Qs/X CA。,P Q=E QAD CD JFQL BC,：.FQ/A B,:.X C

19、 P Q s XCA B,P 2.=2,即国_=主，A B BC 6 8解得：PQ=lt,43 _Z.l j=8-2 t-t,8 6解得：r=期；57II.如图2中，点E在。的右侧.V 0f A E A CaBD=A B=A;)/AB D=N A C E,CE A C:.BD=k,EC；,/NC BF+NBC F=ZABD+ZABC+ZBCF=ZACE+ZBCF+ZABC=ZACB+ZABC=90 ,：.ZB FC =90,：.BDCE；(3)拓展延伸：解：由旋转的性质可知：ZBA D ZCAE.A D-A B 9A E A CZACE=50=NABD,；N A BC+/A CB=90,：.Z

20、FBC+ZFCB=90Q,：.NBFC=90,：ZBAC=90,AC=1,AB=-Jz，：.tanZABC=J-,3A ZABC=30,A ZAC B=60,VO ：SAA CD=XA D，CD=lj)E(C G+AH),2 2 O E=AD/2 _ DP,乐:至5：.D P=-,50/=0。+。2=2+超=圆，5 5：.P(圆，0),5当PDAsCDE 时，DP A D “一二 ,CD DE.DP _ 3 722加工5：.DP=5,0尸=0。+。尸=2+5=7,：.P（7,0）,即：满足条件的点P的坐标为（圆，0）或（7,0）.5图2图18.(1)证明：AMLMN,NMA8+NM8A=90,

21、V ZABC=90,：.ZCBN+ZMBA=90,：.Z M A B=Z N B C,又/AM B=NBNC=90,4ABM /BCN；(2)解：过点P作尸。_LAM于.A ZBAP+ZAPB=ZC PM+ZAPB=9Q,；./B A P=N CP M=N C,：.MP=MCf外，PD1.AM,:Z D M s X A P M、DM =PM=2F=2DP A P 5 V 5设 0M=2 a,则。P=倔，由勾股定理得，PM=D H2+D p2=3,C D=DM+C M=DM+PM=5a,则比下CD 5；NCOP=NC84=90,NC=NC,:A CD P s/CB A,AB=DP=V.BC CD

22、 5（3）解：过点A作AGJ_8E于G,过 点C作C”_LBE交EB的延长线于从V ZDB=90 ,：.C H/AG/DE,.EG _DA_ 2fGH AC 5,:BC：AC=3：5,:.BC：AB=3：4,由（1）可知，ABGSABCH,幽=竺=处=生BH CH BC s）设 BG=4?，C H=3m,AG=4/7,BH=3n,：AB=AE,AG1.BE,：.EG=BG=4m,：.GH=BG+BH=4m+3n,-E-G _ 2,GH 5 4m _ 2 ,4m+3n 5解得，=2?，AG=4=8m,BH=3=6m,由勾股定理得，BC=J B H 2+C H 2=3yl，9.解：（1）由题意得

23、AP=3/,CQ=2t,则。尸=20-3/,因此 Rt/C PQ 的面积为 S=A cPX C Q=LX(20-3f)X2f=(20/-3?)c/2(0r是正方形，P与C重合,：.OB=OP,ZBOC=ZBOG=90,:PFLBG,NPFB=90,：.ZGBO=90-NBGO,NEPO=90-ZBGO,：.NGBO=NEPO,在 ABOG 和中，Z GB0=Z E P 0 O B=O P ，,Z B0G=Z C0E：./BOG/POE(ASA),:.EP=BG；BF=1,P E 2证明：如图2,过P作PM AC交BG于M,交8。于N,B P C图2.NPNE=N8OC=90,NBPN=NOC

24、B.：NOBC=NOCB=45,:.NNBP=NNPB.:.NB=NP.Y NMBN=90-NBMN,NNPE=9Q-ZBMN,：./MBN=ZNPE,在8MN 和 ；可 中,rZMBN=ZNPE-NB=NP，,ZMNB=ZPNE=90，ABMNg/XPEN(ASA),:.BM=PE.：NBPE=LNACB,NBPN=NACB,2：.ZBPF=ZMPF.JPFLBM,，/BFP=N M FP=90.在ABP尸和AMP尸中，ZBPF=ZMPF=1,：.BD 3-1=2,由【探究】证得 M A DS/X O BN,.幽=迦=殁*BD D N B N：将等边三角形A B C 沿折痕MN 折叠，：.D

25、M=C M,DN=C N,3-CM =CM _ 1*2 CN 3-CN*：.3C N-C MC N=2C M,3cM-C MC N=C N,式和式联立方程组，消去CMCM项得，4C N=5C M,：.C M-.CN=4：5.1 6.解：(1).四边形ABC。是矩形，：.AD/BC,AD=BC,J.Z D A E Z A E B,且/AFZ)=NA8E=90,XADFs&EAB,B E A EA F =A D 是 BC的中点，.BC=AZ)=2&,:.AEAF=BEA D=&,2&=4；(2)如图2,延长。尸交C8的延长线于点H,作 PFJ_BC于 P,C AD/BC,.,.AD G sCH G

26、,A D _ A G _ 2,亩而节，.设 AO=BC=2x,C H=3x,BE=CE=BH=x,JAD/BC,：./XADFSAEHF,A F A D .-=-=1,E F E H：.AF=EFf*：AEF=BE*ADfA2AF2=2X2,：.AF=EF=x,A 杷 2-瓯 2=7 .PF/AB,.PF _ PE _ EF _ 1；A B BE A E 2；.P E=L，PF=叵Y，2 2A tan Z FCE=空=返；PC 3(3)连接 D E,设 AD=8C=2m A B CD=2 b,其中 a 0,b0,；G 点恰好为A 8的中点，E 是 BC的中点，.4G=X4B=6,B E=U c

27、=a,2 2Z ZAEB+ZBAE=90c,NBAE+N4G尸=90,NAEB=ZAGF,HZD AG=NABE,L A B E s W A G,.AB=BE,N I=/3,AD AG 2二b-a，2a b 2。2=2必，：a0,Q 0,a=b,AB=ADf,四边形A8C。是正方形，：AK/FC,/D F C=/A K G,：AB/CD,ZAGD=ZFDC9：.AGKsC DF,.G K A G 1*D F =CD V:.DF=2GK,又 V tanZl=tanZ3=f2 ,设尸G=f.则AF=2b DF=4t,:DF=2GK,：.FK=t,KD=3i,:.KD=3FK,，=3,故答案为：=3