2021年中考数学二轮复习 06 一次函数中的存在性综合问题(解析版).pdf

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1、专题06 一次函数中的存在性综合问题1、如图直线=+左交x 轴负半轴于点A,交 y 轴正半轴于点3,且 4 3=2(1)求 攵的值；(2)点 P 从 A 出发，以每秒1 个单位的速度沿射线A 8运动，过点P 作直线A 8的垂线交x 轴于点Q,连接。尸，设PQO的面积为S,点 尸 运 动 时 间 为 求 S 与/的函数关系式，并直接写出/的取值范围；(3)在(2)的条件下，当 P 在 A B的延长线上，若。+4 8=有(B Q-O P),求此时直线尸。的解析式.解：(1)对 于 直 线 丫=+&,令 y=0,可得x=-l,(-1,0),：.O A=lf ：A B=2fA O B=VAB2-OA2

2、=V 3(2)如图,：.Z B AO=60fu：PQL ABf，NA P Q=9 0。,ZA Q P=3 0,：.AQ=2AP=2t,当 0 rPy=(1-2/)返/=-返 产+返九2 2 2 2 2 4当 r工时，S=O Q PV=(2/-I)返/=返/2 -返r.2 2 2 2 2 4(3)：O Q+AB=y j(B Q-O P),：.2t-1+2=9时，图形T和线段A B关于原点。的“中位形”与原来的的图形S没有公共点,如图4中，设平移后的正方形7的中心的坐标为（r,f）,则C（r-1,f+1），0c的中点E （工粤），。的中点尸（6,0）,此时直线EF的解析式为丫=三*-缥*，X X

3、o L X O当直线经过（1,-1）时，-i=Tr-空 当，t-13 t-13Q解得t=19观察图形可知，/-微 时，图形7和线段A B关于原点。的“中位形”与原来的的图形S没有公共点,综上所述，满足条件的f的值为9或 V-微43、如图，直线y=-,x+8 与 x 轴、)，轴分别交于点A 和点3,M 是。5 的上的一点，若将人!?沿 M 折叠，点 3 恰好落在x 轴上的点长处.(1)求 A、8 两点的坐标；(2)求直线AM 的表达式；(3)在 x 轴上是否存在点P,使得以点尸、M、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)当 x=0 时，y

4、=8,：.B(0,8),4当 y=0 时，-X+8=0,x=6,A(6,0)；(2)在 RSAO3 中，ZAOB=90,04=6,03=8,：.AB=O9由折叠得：AB=AB=10,.O B=10-6=4,设 OM=m 则 8M=8 M=8-a,由勾股定理得：/+42=(8-a)2,a=3t：.M(0,3),设 AM：y=kx+b,则(6k+b=0，解“得a：lb=3b=3，直线A M的解析式为：y=-X+3；(3)在x轴上存在点尸，使得以点P、M、用为顶点的三角形是等腰二角形，如图：M(0,3),8 (-4,0),当尸8 =8 M 时，P i(-9,0),P2(h 0)；当 历时，Py(4,

5、0),当时，作 的 垂 直 平 分 线，交x轴于心，交 B M 与 Q,易证得 P W QSMQ。，则_=一,即 空=2,耐 0B7 5 a.尸4 8 =孕,7尸4(0),87综上，尸点的坐标为(-9,0)或(1,0)或(4,0)或(-5，0).o4.4 如图，一次函数y i=x+的图象与x轴y轴分别交于点A,点、B,函数9=x+，与/=-万x的图象交O于第二象限的点C,且 点C横坐标为-3.(1)求人的值；(2)当0“2=-4 X上有一动点P,过点尸作x轴 的 平 行 线 交 直 线 于 点Q,当PQ=OC3 5时，求点尸的坐标.4解：(1)将x=-3代入巾=可得 C (-3,4),再将C点

6、代入巾=+力，：.b=l；(2)-7 x -3；(3)I点尸为直线”=-条 上 一 动点，O设 尸(，-拳4)，：P Q x 轴，-,.(2(-4-7,-4“)，3 3 。=白7+7|,OV C (-3,4),:.O C=5,14：.PQ=O C=4,57 悖+7|=14,.=3 或 a=-9,：.P(3,一4)或P (-9,12).5、如图，在平面直角坐标系中，直线)=7+人与x、y轴分别相交于点A、B,与直线y=x+2交于点0(3,m),直线y=x+2交x轴于点C,交y轴于点.(1)若点尸是y轴上一动点，连接尸。、P D,求当IP C-P DI取最大值时，尸点的坐标.(2)在(1)间的条件

7、下，将COE沿 x 轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M,则当 PMA是等腰三角形时，求 8M 的长.解：(1)当工=3 时，6=3+2=5,：.D(3,5),把 O(3,5)代入 y=中,-3+b=5,b=8,y=-x+8,当 y=0 时，x+2=0,x=-2,：.C(-2,0),如 图 1,取。关于y 轴的对称点C(2,0),P i是 y 轴上一点，连接P C、P C、P Q,则 P C=P C,图1V IP f Z)-P C|=|P Q -PiQ C D,.当。与C、。共线时，|P C -P D|有最大值是C D,设宜线CD的解析式为：y=kx+b,把C (2,0)和。(3,

8、5)代入得:2k+b=03k+b=5解得:k=5b=-10二直线C。的解析式为：y=5 x-10,：.P(0,-10)；(2)分三种情况:当时，如图2,由(1)知：OP=lO,由勾股定理得：AP=q82+10 2=2.41,；A 8=8&,：.BM=AB+AM=8y2+2y/；同理得：B M(=2A/4 1-8圾；当4 P=P M时，如图3,过尸作P NJ_ 4 8于M.B NP是等腰直角三角形,：尸8=18,10,8 N=7 7=9 圾，,:A B=8 瓜：.AN=9y 2-8a=加，：A P=P M,PN L AM,.M=2 A N=2&,.创/=8 扬2我=1()我；当时，如图4,过 P

9、作 P N_ LA B 于 N,:A N=,P N=9 M，设 MN=x,则 PM=AN=x+y 2由勾股定理得：PN2+M I=Phf,（9V2）2+X2=（x+圾 产解得：x=4 0圾，8 M=A B+A N+M N=8 7 圾+4 0&=4 9 圾；综上，当 P MA是等腰三角形时，BM的长是8 a+2 J 元 或 2 4 五-8 圾 或 1 g 或 4 9圾.6、如图，已知一次函数y=3x+3与 轴交于A,与 x 轴交于点8,直线AC与正半轴交于点C,且 4 c=8 C.（1）求直线AC的解析式.（2）点。为线段AC上一点，点 E 为线段CQ的中点，过点E 作 x 轴的平行线交直线A8

10、于点F,连接。产并延长交x轴于点G,求证；AD=BG,(3)在(2)的条件下，若N A F D=2NB A。，求点。坐标.A A (0,3).令 y=0 得：3x+3=0,解得：x=-,：.B(-1,0).设 O C=x,则 A C=B C=x+L在R S A O C中，由勾股定理可知：O+OGMAC2,即3 2+d=(x+1)2,解得：x=4,：.C(4,0).设直线A C的解析式为y=H+儿 则(b=3,l4k+b=02解得：4,b=3二直线A C的解析式为y=-gx+3.4(2)如 图1所示：过点。作O”x轴，则/HZ)尸=/B GF.图1HD/EF/CG,E 为 C D 的中点,二手为

11、D G的中点.：.FG=DF.,在 B G尸和 HO尸中,2HDF=NB GF DF=FG，ZHFD=ZB FG:BG F乌AHDF(A S A).：.HD=BG.*：AC=BCf：.ZCAB=ZABC.:HDCG,：.ZAHD=ZABCt：.ZHAD=ZAHD.：.AD=DHf:.AD=BG.(3)如图2 所示：连接A G,过 点 C 作 CH，A从 垂足为从 过。作。A/J_x轴于M,图2在 R tzA 80中，依据勾股定理可知AB=y/2+3 2=必 5,*：CB=CA,CHLAB,ZBCA=2ZACH.2 2R S 3 C H 中，依据勾股定理可知CH=BC2-BH2 T 52 _（：

12、_）2-3 102 N BAO+/A B O=NABO+/BCH,：.ZBAO=NBCH=NACH,：.ZBCA=2ZBAO.又；ZAFD=2ZBAO,:./A F D=/B C A.又NE4 O=/8 A C,：./FADACAB,：.AF=DF.又.：G F=FD,1GA拉为直角三角形.：.OG OC=OA2f9：.OG=.4g、G (,0).45：.AD=BG=.4R S A O C 中，0A=3,O C=4,，A C=5,*：DM/OA,O M=1,当 x=l 时，y=-x+3=-+3=,4 4 49：.D(1,4).47、已知，如图，在第一象限中，点A的坐标是(3,6),射线0 M的

13、 解 析 式 为 作 线 段A C L x轴O于点C,点B在 射 线 上，且。8的长度为3/元.(1)求 A O 8的面积；(2)试判断 A 0 8的形状，并说明理由；(3)直线A B交坐标轴于E、尸两点，若点P在线段E F上，点。在线段O F上，且A F P。与A A O C全等，求点。的坐标.图1:点8在射线0 M上，可设 8 (x,x),：.O B=3y/，由勾股定理得：(3 7 1 3)&2+名)2,解得：x=9,：.B(9,3),V A (3,6),5A AOB=S/AOC-S 梯形 ACG8-SA BOG，-yX3 X 6-(9-3)(6+3)-y X 3X 9,=22.5；(2)

14、O AB为直角三角形,理由如下：V A (3,6),B (9,3),。(0,0),.,.O A2=32+62=4 5,AB2=(9-3)2+(3-6)2=4 5,O B2=92+32=90,：.O A2+AB2=O B2,.04 8为直角三角形；(3)设直线A 8解析式为y=k x+8,V A (3,6),B(9,3),.(3k+b=6,解得:l 9k+b=3直线A B解析式为y-2X+,令y=0可求得x=15,：.F(15,0),由(2)可知NO A B=90。,Z O AC+Z C AF=ZC AF+Z A F C=90，：.Z O AC=Z PF Q,当N P Q尸=90。时，如图2,贝

15、I 有 P Q尸丝O C A,.P Q=O C=3,即P点纵坐标为3,1 15在 尸-/+号 中，令y=3可求得x=9,.尸（9,3）,Q（9,0）,此时 P 与 8 重合；当/Q P F=90。时，如图3,贝IJ有 P。尸丝C 0 4,图3F Q=O A=Y 3 2 +6 2=3，A O Q=15-3加，2（1 5-3加，0）；综上可知。点坐标为（9,0）或（1 5-3旄，0）.8、如 图1,直线y=-x+匕分别与x轴，y轴交于A(6,0),B两 点,过点8的另一直线交x轴的负半轴于点 C 且 0 3：OC=3：1(1)求直线3 c的解析式；(2)直 线 尸 存-(存0)交A 6于点E,交

16、于 点F,交x轴于点。，是否存在这样的直线；使SM D E=SBDF?若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由；(3)如图2,点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，B尸为腰在第一象限内作等腰直角三角形 BPQ,连接。A并延长交 轴于点K.当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；如果会发生变化，请说明理由.，b=6,.直线4 8的解析式是：y=-x+6,：.B(0,6),：.OB=6f：OB：OC=3：1,：.OC=2,A C (-2,0)设BC的解析式是y=kx+b,.(b=61 -2 k+b=0解 得 卜=3,I b=6直线8 c的解析式是：y=3 x+6；(2)存

17、在.理由如下：如 图1中,SA BDF=SA BDE，只需D F=D E,即。为 尸中点,点 E 为直线A B与EF的交点,y=a x-ay=-x+6上口/6+a 5 a、点 E(-)a+1 1+a点 F 为直线8C 与 E/的交点,y=a x-ay=3 x+6M 匚 z 6+a 9 a、点 F(-)a-3 a-3D为EF中点梁+粤=0，1+a a-3=O舍去，=卒(3)K 点的位置不发生变化.理由如下：如图2 中，过点。作 CQJ_x轴，设尸4=办 ZPOB=ZPCQ=ZBPQ=9Of：.Z OPB+Z QPC=90,Z QPC+Z PQC=90,：.ZOPB=ZPQCf:PB=PQ,：.4

18、BOPQ4PCQ CAAS),:.BO=PC=6,OP=CQ=6+m,.AC=QC=6+/,：.ZQAC=ZOAK=45,：OA=OK=6,：.K(0,-6).9、如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+8与 x 轴交于点A,与 y 轴交于点8,过点B 的直线交x 轴于点 C,且 AB=BC.(1)求直线8 c 的解析式；(2)点 P 为线段A 8上一点，点。为线段BC延长线上一点，且 AP=CQ,PQ 交 x 轴于M设点。横坐标为相，的面积为S,求 S 与 m 的函数关系式(不要求写出自变量小的取值范围)；(3)在(2)的条件下，点 M 在)，轴负半轴上，且 M P=M Q,若/B Q M=

19、45。，求直线P。的解析式.备用图解：(1),直线y=2x+8与 x 轴交于点A,与 y 轴交于点8,.点 2(0,8),点 A(-4,0).0=4,8。=8,：AB=BC,BO1AC,：.AO=CO=4,.点 C(4,0),设直线BC解析式为：ykx+h,由题意可得:fb=8l0=4k+b解得:fk=-2I b=8 直线8 c解析式为：y=-2x+8；(2)如 图1,过点P作PGLAC,PEBC交AC于E,过点。作Q,4 c：AB=CB,:/BAC=NBCA,点。横坐标为?，点 0(m,-2/?7+8)；.HQ=2m-8,CH=m-4,:AP=CQ,NBAC=NBCA=NQCH,ZAGP=Z

20、QHC=90ot：.AGP/CHQ(A AS),.AG=HC=m-4,PG=HQ=2m-8,:PEBC,：.ZPEA=ZACB,ZEPF=ZCQFt：.ZPEA=ZPAEf:.AP=PE,且 AP=CQ,:,PE=CQ,旦NEPF=/CQF,/PFE=/CFQ,：./PEF/QCF(AAS)SA PEF=SA Q C F，:Z B Q的面积=四边形BCFP的面积+CFQ的面积=四边形BCFP的面积+PEF的面积=四边形PECB的面积，-SSABC-x8x8-x(2m-8)x(2m-8)=16/n-2w2；2 2(3)如图2,连接AM,C M,过点P作PELAC,.80是4C的垂直平分线，：.A

21、M=CM,且 AP=C。，PM=MQ,：./WPMIXCQM(SSS)A ZPAM=ZMCQ,ZBQM=ZAPM=45,：AM=CM,AB=BC,BM=BM,:.ABMQACBM(SSS):.NBAM=NBCM,：.NBCM=NM CQ,且 NBCM+/MCQ=180,NBCM=NMCQ=ZPAM=90,且NAPM=45,NAPM=ZAMP=45,.AP=AM,：ZPAO+ZMAO=9Q,NMAO+NAMO=90,：.ZPAO=ZAM O,且NPEA=N4OM=90,AM=AP,.APE丝MAO(AAS)：.AE=OM,PE=A0=4,2m-8=4,A m=6,：.Q(6,-4),尸(-2,4

22、)设直线尸Q的解析式为：y=o r+c,.J_4=6 a+c1 4=_2 a+c解得：卜=-lI c=2；直线P Q的解析式为：y=-x+2.A1 0 已知：在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,点。是X轴正半轴上一点，A B=A C,连接 8 c.(1)如 图1,求直线B C解析式；(2)如图2,点P、。分别是线段A8、B C上的点，且A P=B Q,连接P Q.若点Q的横坐标为f,BPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式，并写出自变量取值范围；(3)如图3,在(2)的条件下，点E是线段0 A上一点，连接B E,将A ABE沿B E翻折，使翻折后的点A落在y轴上

23、的点，处,点尸在y轴上点H上方E H=F H,连接E F并延长交B C于点G,若B G=3A P,连接P E,连接P G交B E于点T,求8 T长.解：(1)由已知可得A(-3,0),B(0,4),/.OA=3f 0 8=4,，*=7OA2+O B2=V 9+1 6=5,V A B=A Cf：.AC=5,：.C(2,0),设BC的宜线解析式为y=+6,将点B与点C代入，得f 0=2 k+bI 4=b.f k=-2I b=4；.8C的直线解析式为y=-2A-+4；（2）过点。作轴，与），轴交于点M,过点。作QE上A 3,过点C作CFVAB,点横坐标是6.MQt,JMQ/OC,.M Q Q CBQ

24、 BC._ t _2 _，BQ-2 V 5,：.BQ=A，：AP=BQ,：.AP=y/st,A3=5,:.PB=5-炳,在等腰三角形ABC中，AC=48=5,8c=2&,ABxCF=ACxOB,2 2：.CF=0B=4,.EQ/CF.EQ V5t,FF.,.EQ=2t,2 tx（5-yl）=V5t2+5t（02）；（3）如图3,图3将 ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在），轴上的点，处,：.AH=AB=5,AE=EH,：.OH=BH-OB=1,JEH-=EO+OH1,.*.A2=（4-AE）2+1,5：.AE=EHf3.4：O E=j34.点、E（-亭0）o5:EH=FH=2,32.0F=3

25、2.点 F（0,告）1 o.直线EF解析式为产 点 十 宗4 o直线BE的解析式为：y=3x+4,1 9-2x+4=AH,2 3.x=一4，8 G=4 2 +(_ 1 _ _ 4)2=|娓,:BG=&AP,3：.A P=,A设点P(,孕+4)1 =(a+3)2+(-|-a+4-0)2._ 1 2 C l-,5.占1 2 4、5 5直线PG的解析式为:尸鼠 吟,1 O/.3x+4=x+,7 7Ax=-1,点7(-1,1)B,=V(-l-O)2+(1-4)2=V 1 0A11、如图，已知一次函数y=-x+7与 正 比 例 函 数 的 图 象 交 于 点A,且与x轴交于点8.O(1)求AAOB的面积

26、:(2)在y轴上找一点C,使4 C+8 C最小，求最小值及C点坐标.(3)点P从。出发向B点 以1个单位每秒的速度运动，点。从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当A B P Q为等腰三角形时，求Q点坐标.解：(1)一次函数y=-x+7与正比例函数y=x的图象交于点A,且与x轴交于点B.04.点 8 (7,0),-x+l=xO.点 4 (3,4)5A AOB=X7X4=1 4；(2)如 图1,作点B关于)，轴的对称点H (-7,0),连接4 H,交y轴于点C,.点 4 (3,4),点“(-7,0),A H=yj(3+7)2+(4-0)2=2 1 7 ，.M C+BC最小值为2技,设

27、直线A 4解析式为：y kx+b,且过点A(3,4),点H (-7,0),.(4=3 k+b*l 0=-7 k+b，解得：，k上k 5,14七直线A H解析式为：尸 全+警5 5(3)如图2,过点。作QE L O B,:,BQ=OP,一次函数y=-x+7与y轴交于点D,点。（0,7）,0 0=0 8=7,且N O O 8=90。，.N D B 0=45。,E QE10B,:/Q BE=NEQ B=45。,：.QE=BE,:.Q B=Q E=&E B,若 PB=QB,K 0P=BQ,7：.O P=PB=L=BQ,：.B E=E Q=,：.OE=1-4_点。（7马3.）,4 4若 QP=QB,fi

28、 QELOB,：.PE=BE,：OB=1=OP+PE+BE,：.1=BE+2BE,:现=14-7如=QE,2：.0 E=-2二点。（耳 ，I4一 产）,如图3,若BP=PQ,过点P作PFLBQ,：.BF=FQ=BQ9V ZABO=450,；NFPB=NABO=45,:PF=BF,.PB=yf2BFf：.l-8Q=923：.B E=Q E=,.点。坐标为（7-上 叵，宣 ）.3 31 2、一边长为4正方形O AC B放在平面直角坐标系中，其中。为原点，点A、B分别在x 轴、y 轴上，D为射线。8上任意一点.(1)如图1,若点。坐标为(0,2),连接AO交O C 于点E,则A A O E 的面积为

29、A(2)如图2,将AOO沿 AQ翻折得AE。，若点E 在 直 线 图 象 上，求出E 点坐标；o(3)如图3,将 AOQ沿 AQ翻折得 AEO,QE和射线8 c 交于点F,连接A F,若/D 4O=75。，平面内是否存在点Q，使得AAF。是以A尸为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点。坐标；若不存在，请说明理由.解：(1):边 长 为 4 支方形OACB放在平面直角坐标系中，二点 A 坐 标(4,0),点 C(4,4),二直线OC解析式为：y=x,点D 坐 标 为(0,2),点 A 坐 标(4,0),直线A D解析式为：y=-*x+2,y=xy=x+2点 E 坐 标 母争1 4 R：.

30、A A O E的面积=争 4 年=学故答案为：得；o(2)如图2,过点E 作 EHJ_OA,:将 A OD沿A D翻折得 AE D,；.4。=4=4,设点E（，全），4/.O H=a,E H=afAH=4-a,：AE2=EH2+AH2f16=-a2+(4-q)2,979*n=0(舍 去)，a=,25:.点、E(,)25 25(3):将4 0 0沿AO翻折得AEO,：.ZD A O=ZD A E=75,OA=AE,ZDOA=ZD EA=90,.NOAE=150,A E A C,N A CF=NAO=90,：.ZC AE=60,：AE=AC,AF=AF,.RtA AE 丝RtA ACf(HL)./C A F=N E 4 F=3 0,且 AC=4,3,/4 F Q是以A F为直角边的等腰直角三角形，.若NA尸Q=90。，A F=F Q,如图 3,过点。作 QMLBF,/.ZN Q F+ZQ F N=90,且N Q FN+/A FC=90,：.4 N Q F=N A F C,且/4。尸=/。杵=90,Q FAF,.QV/丝FC4(A4S);.QN=CF=,AC=NF=4,点 Q4+0o o同理可求：Q(8+2返，4-生 叵)，3 3若NE4Q=90,AF=AQ 时，同样方法可求，。(0,Q(8,-1.)3 3