2021年中考数学综合题冲刺23 因动点产生的平行四边形问题（拔高）（含答案及解析）.pdf

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1、专题2 3 因动点产生的平行四边形问题(提优)31.已知抛物线丫=0?+版-2经过点A (2 2,0)、C 0),与y轴交于点8,动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接B P,过点A作直线B P的垂线交于y轴于点Q,设点P的运动时间为f秒.(1)求抛物线的解析式；，(2)当BQ=%P时，求r的值；(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M,使B M P。为平行四边形？若存在，请直接写出f的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(用待定系数.直接求出抛物线解析式；.、(2)方法一、/求 出 点B坐标，再利用 B E Qs/o p s A E P得出的比例式，求出

2、B E,A E,从而建务方程求解即向广 .*：，方法二、先判断出4。出 8 0 P,削可得出O =O Q,再 用 蛇=9建立方程即可；(3)先设由点？的坐标，从而表示出鲁线8 P,再判断出O A 0且 0 8 P,求 出。，进而装示出。，M的坐标，再表示出B Q和P A L 最后用平行四边形的判定得出B Q=P M,建立方程求解即可.3【解答】解：，那点A (-2,0)、C(-,.0)代 入 产 苏+云-2中，得；.抛 物 线 的 解 析 式 为 产2.,(2)如图2,当点在线段8 P 上时，如 图 1所 示(当 点 E 在 线 段 的 延 长 线 上 时，如图2 所示).二 .*99AEBP

3、f BOLAC,：.BEQ BOP AP,，一 .J BQ _ BE _ 1.-99 AP A E 2令 尸 l +3 -2 中 x=0，则 y=-2,*，点 8(0,-2),A-f，一.8=2 夜 _,.Ae2=AE2+B2,/，/j-,(ijr，.2/10,_41/10 /?-P，A-F.5 5：AP=f+2,BP=&2+*APBO=BPAE,2%+2)=V +4,.:二 ，解得：r=算 或 f=6；方法二；A 0k8H：.-ZOBP-ZBQE=90；,.二 /BQE=NAQO,NO8P+NAQO=9(T,-*4 :.J .*/7/W l/OAQ+NAQO=9(),-.；.NOAQ=NQB

4、P-,、.,4(-2,0),B(0,-2),.：.OA=OB=2,(/OAQ=ZOBP在A。和AS。尸中，04=OB.，工.AOQ=乙 BOP.A A O Q/B O P,：.OQ=OP：设 E(3 0),-：.Q(0,7),JV4(-2,0)B(0,-2),：.AP=t-(-2)=忖2,2=|-/-(-2)|=|/-2|,BQ=产 2|=1.(r+2),解得：f=余 或t：6；(3)抛物线上是存在一点M,使8MPQ为平行四边形,设点 P G,0),VB(0,-2),.直线PB解 析 或 为 产T 2,.,:过 点A(-2,0)作直线8P的垂线交于y轴于点Q,-NANB=90=ZAOQ,.Q.

5、*.ftpV ZBQN=ZAQO,：.ZO AQ=ZO BPf TA(-2,0),B(0,-2),：OA=OB,：./O A Q/O B P (ASA)*：.OQ=OP=t：)、：/Q(0,),y t J “/3Q=|L 2|,四边形BMPQ为平行四边形，.点M 只能在y 轴右侧，U.PM/BQ,PM=B?：.M(r,丁2 9+学1-2),：.P M=2-r9-i t-2.,，!/-21=|2-?7 1+Ar-21.D 。.向图3,.,_ A *4 J 当点P 在线段0 c 上，|?+1/-2 0,，、丁-f+2=可 尸+$一 2.工 /=二 1-V7(舍)或，=-1 +V7,AM(-14-V

6、7,*3-V7)-即：当，=1 时，M(-1,-I)；当 f=-l+V 7 时*M-1+V7,3-6.-【点评】此题是三次函数综合题，主要考查待兔系数法，相似二角形的性质和判定，平行四边咚的判定，解方程，用待定系数法求出点。的坐标是解本题的关键.2.已知，抛物线y=-x2+&x+c,当 l x 3 时，y 值为正；当x 3 时，y 值为负.(1)求抛物线的解析式.1(2)若直线(AW 0)与抛物线交于点A(-,/n)和 8(4,/?),求直线的解析式.(3)设平行于);轴的直线x=f和 x=r+2分别交线段AB于 E、F,交二次函数于”、G.求 f 的取值范围；是否存在适当的f 值，使得EF

7、G”是平行四边形？若存在，求出 值；若不存在，请说明理由.【分析】(1)由题意知，抛物线与x 轴的两交点坐标为(1,0)：(3,0),用交点式求解析我即可；(2 先求出A、8 两点坐标，衣后用待定系数法求直线浦析式；，.(3)根据题重列不等式组，求解集即可。、,.,、首先表示出E,F,G,，各点的坐标，进而根据平行严边形的性质求出f 的值即.可.【解答】解：(I):血 物 线)，=-/+fo r+c,当 1名 3 时，y 值为负.抛物线与x 轴的两交点坐标为C,0)二.(3,0),-(x-1)(x-3).P+4x-3；(2),直线y=+b (kW O)与抛物线交于点A(-,m)和 8(4,nX

8、.工、.、2,.：、.、1、5 1 5 n.m=-(一)-+4x 亍 -3=彳，=-4+4X4-3=-3”2 2,4S K.r*1 5.A(-,一)B(4,-3),2 4-把 小 5 两点坐标代入直线尸a+方(kW o)得：伊+b尸一4,-14k+b=-3.v,.i解得：k=一亍 b=-1,.,.1 i 尸 2-X 1 ；(3)平行于y 轴的直线x=f和无=什2 分别交线段A 3于 E、F,交抛物线于出、G,卜 另 一It+2 2AP 2；又：P 2D 2y 扁，：.P2D2A.A O,:.P2、D2关于X轴对称；设直线A C的函数关系式为ya+匕（AW O）.将A I（-3,0）,C S,3

9、）代入上式得：，（-3k+b =0 ;U=3解得:=:，.13 =3，y=x+3；设 6 2（x,x+3）,尸2（X,/+4x+3）,则有：（x+3）+（*4x+3）=0,即 X2+5X+6=0；*解得 X l=-2,X 2=-3 （舍去）：4 一/.当 x=2 0 ,0/,4.X+3=22-4X 2+3 w 1 ：；.P 2的坐标为放（-2,1）（即为抛物线顶点）.综上讲述，P点电标为P i （-1,0）,P2（-2,-1）,；r.-1 r J,（3）如图2,由（2），知，当小 点的坐标为p ”1,0）时，不能构成平行四边形;当点P的坐标为P2.(-2,-1*)(即顶点Q)时,平移直线A P

10、交%轴于点E,交抛物线于尸；V P (-2,-1),可设尸(4,1)；./+4x+3三 1,.f*j 1 .解 得 加=企-2,X 2=-y 2 2；囹合条件的尸点有两个，.（1）求该抛物线的解析式；（2）设 P 点的横坐标为t,P D的长度为I,求/与，之间的函数关系式，并 求/取最大值时，点P的坐标.（3）在 问 题（2）的结论下，若点E 在 x 轴上，点尸在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点尸的坐标；若不存在，请说明理由.仪2,T）【办析】（利用顶点式将Q 点代入用而得出抛物线解拓式；（2）首先求出A 8所在直线解析式，进而表示出P,。的坐标，即可得出P

11、C长度的关系式；求出P 点坐标即可；（3）分别根据若I P 是*行四边形的一条边礼平拓直线”（如图）咬 瑜 于:点E,交抛物线于点F,当 AP是平行四边形的二，条对角线时，要使以A、P、E、F为顶点的书行四边彩求出尸点坐标即江【解答】解：（1）抛物线的顶点为Q（2,-V，,，设），=（X-2）2-1,将 C（0,3）代入，得：3=。(0-2)2-1，/C i 厂 一,解得：4=1.，y=(x-2)2-1,即 y=/-4x+3；(2).直线 过(3,Q),(0,3),则：(3k +b =0匕=3、*.k解得：f =;l,lb=3.43的解析式为：y=-x+3.由题意有 P(f,-4r+3),D

12、(/,-z+3),-：.PD=I=-/+3)；(r-4 r+3)=,*.1*3 3 3此时P点的坐标为5，,(3)2,4 X(3)+3 ,即 P(-,2 4.(3)若A P是平行四边形的一条边时，手 藁 线AP(如 图)交x辅于点E,交抛物线于点F.曲时当A P=F E时:四边形PA FE是平行血边形.P3-2X1Z3-43-434-V7 5-2=产3-23-4或=+42但当X 1=|时，F点写P点重合，不能构成平行血边形.4-x/7 3 4+/7 3 5 2满足条件的F点有三个，即 Q(，一)、尸2(-)、尸3 一梳)；2 4 2 4 2 4 当A尸是平行四边形的一条对角线时，要使以A、P、

13、E、F为顶点的平行四边形,则有PF/A E,碑Fi的纵坐标与P点的纵袖标相同，即x2-4x+3=此种情况在中已求得尸3的坐标.，,综上所述，满足条件的产点的坐标有三个，【点评】此题主要考查了:次函数的综合应用以及平行四初形的性质以及顶点式求；次函数解析式等知识，利用数形结 合 必 分支讨论的思想得出是孱题关次.5.已知，抛物线y=-/+/x+c,当l x 5时，y值为正；当x 5时、y值为负.(1)求抛物线的解析式.3(2)若直线(&W0)与抛物线交于点A (-.m)和8 (4,/?),求直线的解析式.(3)设平行于y轴的直线x=f和x=f+2分别交线段A B于E、F,交二次函数于、G.求t的

14、取值范围是否存在适当的/值，使得EFG H是平行四边形？若存在，求出f值：若不存在，请说明理由.【务析】(1)将(1，0)和,5,0)代入函数关喙式，隶出b,c的值即可3(2)图象过A (-，加)和B(4,)两点代入(1)中所求求出A,B的坐标即可，进而求出直线的解-2 *.析式；/r .(3)根 据。|,J+2 V 4进而求出t的取隼第围即可：首先表示出E,F,G,H各点的坐标，进而根据平行.四边形的性质求出r的值即.可.【解答】解：(1)根输题意，抛 物 线 产-7+晨晨与x轴交点为,(1,0)京(5,0),.(1 4-h +c =0-2 5 +5 b +c =0 解得.J./.1 .一

15、/.抛物线的解析聂为y=-+&-5；3(2)-+6戈-5 的图象过 4(-,(4,)两点,27 3 7.i n=7=3,(一,一).和 5(4,3),4-2 4、3 7;直线)，=辰+a w o)过 4(一，-)和 8(4,3)两点.2 4二 符+。=，,.一14k+b=3 解得=2.、直线的解析人为归分+1；._(3)根 据 题 意 2 ,匕斗2V 4-.3，、*,*.解得一72,r.工21 1根据题意石(力-A+1),F(任2,-/+2)H(1,-尸+6，-,5),G(Z+2,-产+2f+3),一.*E!H=户+1-6,F G=-?+多+1,若 EF G”是平行吧边形，则 即=FG,即=尸

16、+学 广 6 k-尸+jr+l,.、解得：t=l，f f,7 _ 3V t-z满足；t 2.4 2.，荐在适当的“直，具 仁彳吏痔EF GH是平行四边形：,【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及奉行四边报的性质，根据点的坐标性质得出E,凡G,H 点的坐标进而利用平行四边形对.边相等得出是解题关键,6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+Zzx+c的图象经过A(3,0)、B(1,0)、C(0.3)三点，设该二次函数的顶点为G.(1)求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G 的坐标；,*J*JI(2)求 tan/ACG 的值；(3)如该二次函数的图

17、象上有一点尸，x 轴上有一点E,问是否存在以4、G、E、。为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.0)、C(0.3)三点在二次函数y=*2+辰+C的图象上，直接用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，然后化为质点式就可以求出图点坐标.(2)过 点。作轴于点“，手由于点F,由勾股定理求出AC、GC、AG从而求得4G C 是直角三角形，从阿求得tan/A C G 的值.当 AG为边时作 GH，x 轴于H,于,2 N,由平行四边形血 质 可 以得出PE=AG,W证明PN=G,可仗求出户的坐标，当 A C为前角线时，不存在.【解答】解：(1)VA(3,0)、8(1,0)、C(

18、0.3)在三次函数=/+/+的图象上,9Q+3b+c=0a+b+c=0c=3(a=1.解得：b=4,r =3 .%二次函数的解析式为：y=，-4x+3,.y=(x-2)2-1,顶点G(2,*1).(2)G 作 G&L%轴于点轴于点 AVG(2,-1)、4 (3,0)、B(1,0)、C(0.3),.*.”：.CF=4,G尸=2,GH=,HA=,在 RtAGFC、RtAAOC RtGHA 中由勾股定理，得AC2=18,GC2=20,AG2=2.ACG是直角三角形，且 Nt71G=90,./.tanZACG=4=，.,(3)当A G为边时，作G 4_ L x轴 于 从P N L r轴于点N:.N P

19、 N E=N G H A=S。；四边形 氏也再平行四边形，：.PE=AG,Z P E A=Z G A E,.:.丛PNE与丛G H A；b f%b工 尸N=G H=1；设 P(?，i)/.m2-4/+3 =1,m=2 土企，：.P (2 V 2,1),WAG为对角线时，不可篦.综上所述，点p的坐标为(2 V L i),X*【点评】本题是一道l次函数的综合试题，考夸口待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理及勾股定肆的逆定理的运用，全等三角形的判定后性质，锐角三角函数的定义7.如图，已 知 抛 物 线+f e r+c (a 0)过点A (3,0),B(1,0),且与y轴交于点C(0,-3),点P是抛

20、物线A C间上一.动点，从 点C沿抛物线向点4运 动(点P与4、C不重合)，过点P作PDy轴，交A C于点D.一(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当 A OP是直角三角形时，直接写出点P的坐标；(3)求线段PQ,的最大值，并求最大值时P 点的坐标；(4)在 问 题(3)的结论下，若点E 在 x 轴上，点厂在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在,求点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法直接求出函数的解析式:，(2)AOP莫直角三角形时”点 P 的坐标有2 个.J/(3)要求出PC的最值，首先要求出4 c 的解析式，最后把长度表示出来，根据二次函

21、数的顶点坐标求出来(4;因为题目在Q)的条件?确 定 了P 点坐标，利用N 行四边形对角线加分得的士角形全等而求出，尸目纵坐标来求出下的坐标：；*.【解答】解：(1)由题意得：.0=9a+3b+c0=a+b+c ,3=c-.(a=.-l解 得;b=4.*c =-3，L .1 该抛物线的函数关系式为：y=-?+4x-3；(2)设过A J C 两点的直线解析式为：y=kx+b,：A.(3,0),C(0,-3),.P 点的坐标为：Px h,0),P2(2,1)；(3)设直线AC的解析式为y=h+6,由题意得0=3/c+ht 3=b ,.、.，;、,解得：长=;.4-r /3 =-3，宜线AC的解析式

22、为y=x-3.设 尸（x,-f+4 x-3）则。（x,x-3）,.,4/%.PD=,-r+4x-3.-Gx-3），3、2 J（“二 2）+R .、.9 3 3，尸 的最大值为一，尸（一，-）；c *4 2 4（4）当APXF 是平行四边形时，则：AAPAXF,这两个三角形 的 爵 目等，3 3、卜VP（一，-）,.2 4 -3 的纵坐标为一本:.F呼,_”（竽，-J）.当尸点与2 点关年疵物线的对称轴对称时，乂、“尸、E、尸为顶点的四边形是平行四边形.F L,一），2 4.点厂的坐标为：（号 z,一3 或（生产,一3 或（|.；）.【点评】本题是一道三次亩数的综合运用的试嬴，考看了运用待定系数

23、法条函驳的解析式.直角三笛眩的性质入函数的最戊，二次函数项点式的运用：平行四边形的性质.工*8.如图，在ABC中，ZBAC=90,NB=4 5,8 c=1 0,过点A 作 AO5 C,且点Q在点A 的右根4,点 P 从点A 出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点。从点C 出发沿射线C B方向以每秒2个单位的速度运动，在线段Q C上取点E,使得Q E=2,连结P E,设点P的运动时间为，秒.（1）请问是否存在f的值，使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出r的值：若不存在，请说明理由：【分析】（1）分两种情况，先 由 平 行 四 边 形 的 判 定 得 出 得 出

24、方 程，再解方程即可;；（2 1过4作A M L B C于M,先j正A B=A C,得B M=C M,再由直角三角形斜边上的中线性质得=5,然后证A PNJD/X C E N 是等腰直角三貂疹，得 P N=4 P=f,C E=NE 5-t,由。=（7。-。：二2 1-2得出方程，解济程即可：【解答】解：（1）存在，f=4秒 或1 2秒；理由如下：,*f *.9.=32-2+、经过4()：-3)、B(3,0).两1 点,.优 二；+c=o,、解得1 二3，.二抛物线的解析式为歹=/-%-3；，(2).直线.y=kx+匕经过A(0,-3)、.8(3,0)两点，.：k+q=O,解 在 代=13 =-

25、3 3 =-3:.直线AB的牖楠4 为 y=x-3；(3).)，=/-2 r-3=(x-I)2-4,.辨(物线的顶点C 的坐标 为(-4),；CE)，轴，：.E(1,-2”；.C=2,如 图 1，连 接 CM 若点M 在x 轴 下%,四 边 形 CEMN为平行血边形，则 CE=MM图1设 M 投，a-3),则R(A,a2-2a-3t),.,.M N=a-3 -(a2-2a -3)=-a2+3a,*a+3a 2,解得：a 2,a=(舍去),：.M(2,-1)：4 设 府（。，a-3）,则 N（a，J-2 a-3）,x轴上方，四边形C M W为平行四边形；则:.M N=c?-2a -3-(a-3)

26、.=a2-3 a 1 .e r-3=2,解得：，延 尹（舍生负值）,3+/17-3+V17：.M（-,-）,22 综上，”加点的坐标4（2 J-1）峨（过 了.力1）.，【点评】本题是下次函数综合题，.主要考查?二次函数的性质、平行四道形的性质等，其 中（3）,：要注意分类求解，避免遗漏.1 0.如图，在四边形 A B C Z)中，A B/C D,Z C=9 0 ,A B=9,A D=5,C D=2C E=12.P 为 A B 边上一动点，点户从点8出发，以每秒2个单位的速度沿着边5 4向终点A运动，连接P E.设点P运动的时间为f秒.（1）当 为何值时，四边形A O E P是平行四边形？（2

27、）当f为何值时，以E为等腰三角形？（3）是否存在这样的/,使E A恰好平分N PE Z）,若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.【分析】（1）四边形AQ E P是平行四边形，则即9-2/三6,即可求解：.（2）分P E=A E、PE=PA,利用等腰三角形的性质和解直角三角形的方法，分别求解即可;（35 E A恰好平分QED,则2。幺=/4，P =或，属于 ,即 9 -2/=6,解得 1=1.5；“在 RtZ SAN D 中，AlT=5,N D=4,则 A N=4=4 C,则 N E=D E -N D=6 -X=3 =5,cosZANE=当P E=A E时，”过点E作E G L A B于点G

28、,则四边形G A N E为矩形，则A G=E N=3=%P,则 AP=6=9,-2 f,解得 r=1.5；当P E P A时广1过点尸作尸例_ LAE,则AA/=a 4 E=2.5,在 RtZ X PMA 中：A B/C D,则/以c os PA E工=9-2，解得仁君当 PA A E i,则 PA=A E=5=9 2 f,解得 Z=2；.-一29综上，r=1.5 或r 或 2;,J t ,I，人;1 2(3)存在，理由：E A恰好平分2PE D,*/.Z O E A=Z PE A,一 ”：A B/C D,2/PE=Z A E D=Z PEA,.即.PE=外,属于(2)中的情况，.：.；故 r

29、=2.5.【点评】本题是四边形综合题，主要考查的是平行四边形和矩形的性质、梯形和等腰二角形的性质、解.直向三角形等，有三定的综合在，难 度 适 中.,1 1.如图，四边形0 AB e中，点。为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为(1 6,0)、(1 6,6)、(8,6).点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点尸沿0 A以每秒1个单位向终点A运动，点。沿O C、CB以每秒2个单位向终点B运动.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.设运动时间为/秒.(1)请用r 05)表示点。的坐标为(2 r-2,6):(2)是否存在某个时间3使 得P、Q点两和四边形0 A3 C中的任意两个

30、顶点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出r的值；若不存在，请说明理由.【分析】(1)过C作C J _ O A于。，由勾股定理得0 c于1 0,去总时间r=9 (s)当J 5时，2 f 1 0,此时点。在 C B 上，C Q 2t-1 0,则(2 f-2,6)；（2）分析知P、,Q分别可与。C、A B.OB、,C A构成平行四边形 P Q与。、C则。P=C Q,由题意Ablfe 程，解方程即可；P,。与4、B,则以=。8,由题程得出方程I解方/即可；尸、。与0、B,贝U 0 P=Q 8,由题意得出方程，解方程即可；。与C、A,则 办=CQ,由题意得出方程，解方程可.【解答】解：（I）过*C

31、作C D _ L0 A于。，如图所示：B、C 的坐标分别为,（1 6,0）、（1 6；6）/（8,6）,/.=6,B C=A D=O A -OD=8,0A/B C,OC=V 8Z+62=1 0,O C+8C=1 8,由题意得：总时间f=1 8+2=9 （s）,当r 5时，2/1 0,此时点Q在C 8上，；?、则.C Q j 2-1 0；,*f 9：.Q（2 f-2,6）,故答案为:（2 2,6）；,-（2）分三种情况：w P、。与。、G内顶点的四边形为平行四边不时，则O P=C Q,*1 t&-V OP=t,C Q=2t-1 0,f=2 f-1 0,解得/=H）,gjW 9矛 盾（舍去），P、

32、。与A、8为顶点的四边形为平行四边形时，则科三Q 3,V M=1 6-r,0 B=1 8-2 r,1 6 7=1 8-2广，解福r=2,此 时。在，O C上矛隔P、。与。、B为顶点的四边形为平行四边形时，则0 P=Q 8,：OP=t,Q 8=1 8-2 f,；，=1 8-2 f,解得r=6,符合题意；P、。与C、A为期点的四边形为平行四边形肮，则 用=C Q,VM =1 6 -r,C Q=2t-1 0,：.i 6-t=2t-1 0,解得t=詈，符合题意；，.二2 6 .综匕所述，的值为6或可.【点评】本题若查了平行四边形的判定：巫标与图形性质、勾股定理以及分类讨论等知识；熟臻掌握平 行四边形的

33、判定是解题的关键，注 意 分 类 讨 论-,-12.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C (1,0),直线y=x+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为(3,4),B点在y轴上.(1)求股的值及这个二次函数的解析式；(2)若 P是线段A 8 F 方抛物线上一动点，当 A B P 面积最大时，求 P点坐标以及A A B P 面积最大值；(3$若。为宜线A8 与这个二*次函数图象对称釉的交点，Q为线段A8 之圆的一个动点，过。作 x轴的垂线，与这个二次函数图象交于点E,问是否存在这样的点Q,使得四边形。C E Q 为平行四边形，若存在，请求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.【分

34、析】用待定系数茯即可求解；,(2)由 48P 面祺三S/SPE4+S”E 6,即可求解；(8)要使四边形。邛。是平行四边形，必需有？E=D C,即可求解.【解答】解：(1)点A (3,4)在直线y=x+？匕.*.4=3+777.加=1 .设所求二次函数的关系式为y=a (x -1).2,.、:点 A (3,4)在二次函数.纥=。(x -1)2的图象上，.,；.4=a (3-1)2,，所求二次函数的关系式为y=(x-1)2,即 y=/-2x+l；(2)过点尸作y 轴的平行线交A 3于点匕则ABP 面积=SAPA+SA/,E8=尸 石 乂 工 人-XB)=x(x+l)-(x2-2x+)X3=|x2

35、+x,QQ 27V-C.:点。在直线)x；l 上,.点。的坐标为41,2),.,-/+3x=2.即 x2-3x+2=0.解之，得 X1=2,.X2=1(不合题意，舍去.:当2 点的坐 标 为(2,3)时，四边形DC如是平行血边形.【看评】本题为二次函数综A 题，考查/用待定系数法条函数解析式以及函数图象工点的坐标特征，结色图形有利于黑答，其 中 是一道存在性问题，有二定的开放性，?要先假设百P 存在，然后进行验证计算._ .1 3.如图，平面直角坐标系中，CB/OA,N 0C 8=90,CB=2,O C=4,直线y=-g x +2过 A 点，且与 y 轴交于。点.(1)求点A、点 B 的坐标；

36、(2)试说明：AD BO；(3)若点M 是直线A。上的=个动点，在 x 轴上是否存在另一个点N,使 以。、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 而坐标；若不存在，请说明通由.【分析】(1)根据真线解析式，令 y=0 求出K .的值，即可得到点A 的空桶，过 点 8 作 BF LA。于中,，可得到边形BC。尸是矩形，根型矩形的对边相等得到O F=B C=2,从而求出A F 的长度，再根据勾股定理求出B F的长度，点B的坐标即可得到,；(2)根据看线的解析式求出点。的坐 标;.得到CD的值，根据矩形的对边相等，。=4,然后,利用边角边证明AOZ)与OCB金等，*根据全等三

37、角形对应角相等可得N O 4)=/C O B,根据N C 06+/A0B=90 可得N O U*/A O B=90,从而得到AEO=90,得证；.if*1.a，.、.1 b.c.根据平行血物形的对宓平行且相等而得 似AN fl 8M=A N,令 圣 2 求出4 M 的坐标，人就得到8仞的长度，再分点N 在点。的左边与右边、点 N 关于7 的对称点三种情况讨论求出点N 的 坐 标.【解答】解：(1)当y=0 时，与H2=0,.解得x=4,点 A 的坐标是44,0),*，c ,.-过点8 作 B凡LAO于 凡 则 四 边 形 8co尸是矩形，F i而 0C=4,.点8 的坐标为（2,4）.1（2）

38、当 x=0 时，y=-4XO+2=2,1 ，点。的坐标为.（0/2）,*-*：.OD=BC=2,根 据（1）的结馅，四边形BCOF 是矩形，J t f .-7OC=B产=4,4O=OC=4J，在40Q 与OC3 中，*.（OD=BC,z-AOD=乙 OCB=90,VAO=CO：.AOD/XOCB（SAS）,：.ZOAD=ZCOB,/CO5+NAO5=90*：.ZOAD+ZAOB90,A ZA6=90.,.AD1.BO；（3）存在.:点 N 在 x 轴上，O,B、M、N 为顶点的四边森是平行四边形,且 BA）=O N,根 据（1）,点 8 的坐标为（2；4）,解/导 x=-4,f-人 f点M的坐

39、标为(-4,4),；.BM=2-(-4)=2+4=6,.点N在点O的左边时，O N工BM=6,.点N的巫标为.(-6,0),*z v 点N在点O的右边时，O N=B M=6,.点N的坐标为(6/0).作N (-6,0)关于A对 称 的 点/，则N也符合，点N的坐标是(1 4,0),综上所述，点N酌 麻;为(-6,0)或(6,0或(1 4,0).【点评】本题是对上次函数的综合考查，主要着坐标与图形的性质，全喈三角形的判定与性质：勾应定 理的应用，平行四边形的性质，综合性较强，但滩度不大，只有仔细分析题目，理清数量关系便不难解决.1 4.如图，抛物线)，=o?+灰+6经过A (-2,0)、B(4,

40、0)两点，与y轴交于点C,点。是抛物线上一动*点，设点。的横坐标为M(1 V?、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由.1 a*3 Q 1 n(2)S/,BDC=HDX.OB=2-6)=2(-7 m2+3 n i O j|-S A 4 C 0=7 X 4 x 6 X 2=1,即,可求解：，.：，.,，.，,(3)分B D是边、B D是对角线两种情况，利用图象平移的性质疝中点公式即可求解.A【解答】解：(1)由抛物线交点式表达式得：y=a(x+2)(%-4)-2x-8)a x2-2a x-Sa,即-8 a=6,解得：a=故抛物线的表达式为：y=-#

41、+|x+6 ；(2)由抛物线的表达式知；点C(0,6),1一由点8、C的坐底，得直线/C的表达式为：g -抵+6,如图所示，过点。作炉轴的平行线交直线8 c于点，设点。(/X,不 2+亍7?+6 ),则 5ADC=HDX()B=2(-Q则点”(加，-2 什6),3 o 3 3 3 1彳 7-+苧+6+寸 1-6)=2(-rnr+Sm),4 z z 49-26S x =6故点M的坐标为(I 0)；综上，点 M 的坐标为(1+7 1 7,0)或(1-V 1 7.0),或(2,0)或*(6；6).；，【点评】本题是二.次函数综合题，主要考查了丁 欠函数的性质、平行四边形的性质；图形的平移、面积的计算

42、等，其 中(3),要注意分类求解，避免遗漏.1 5.综合与探究.如图，抛物线)=怔+公+。与x轴交于A、B两点，与)，轴交于C点，0 4=2,O C=6,连接A C和B C.(I)求抛物线的解析式；.(2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连 接CE和B E.若 设E点的横坐标为t,则请你求出B C E，/.面积S与f之间存在怎样的函数关系；(3)若 点 例 是x轴上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边(2)由 S=SAHEB+S3EC=3XE H X O B,即 可 疑；.(3)分4。是边、A C是对角线利用图形的平移的性质和中点公式即可求解.【解答】解：(

43、1)V0/1=2,0 C=6,则 点A、C的坐标分别为4-2,0)、(0,.-6 5,.*产点A、C的坐标传入抛物等表达式得:二2+。=,解得，：工，故抛物线的表达式为)，=/-6；令 尸 -6=0,解得x=-2和3,故点3 (3,0),则函数的对称轴为x=J,由卢3、。的坐标得，直线8 C的表达式为y=2 x-6,过点E作y轴的平行线交B C于点H,一 则 S=SAHEB+S EC三 1 x EW X OB=x 3 X (2/-6-?+r+6)=一 手?+与；-.I.V-(3)存 在，理由：.-*.：*1设点 M(x,.0),点 N m),2 当A C是边招.点A向右平移2个单位向下平移6个

44、单位得到点C同样点M(N)向右平移2个单位向下平移6任单位得到点N(M),.即丁2=去 解得户 一 1.5或2.5：,当A C是对角线时，由中点公式得：-(-2+0)=1 (x+聂，解得x=-2.5,故点 E 的坐标为,(-1.5,0)或(2.5,0)或(-2.5,0).【点评】本题兔立函数或合题，主要考着号-次函薪的性质、平 面K形的性加、图形的平花、端 积的力-算等，其 中(3)；要注强分类求解，避免遗漏.,1 6.如图，已知抛物线y=a，+x+c (“W0)的顶点坐标为。(2,-1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点、(点A在点8的右侧)，点P是抛物线上的一动点，从点C沿

45、抛物线向点A运 动(点P与A不重合)，过点A作 尸。y轴，交A C于 点O.(I)求该抛物线的函数关系式及A、B两点的坐标；(2)求点尸在运动的过程中，线段P D的最大值；(3)若点P与点。重合，点E在x轴匕 点F在抛物线上，问是否存在以A,P,E,F为顶点的平行出抛物线的函数关系式，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A,8的坐标；.(2)由点4,C的约标，利用内定系数法可求职:线A C的函数关系式，迭点P的坐标为(x,，-4*号)(0 W x 为边及A/为对角线两种情况考虑：以”为边构造平行四边灰，平移直线A P交x轴于区E,交 抛 物 级 于 由 点A的坐标可 设点F的坐标为(x,1

46、),喇用三次函数图象上点的巫标特征可求出k 的值，进而可得出点式 的坐标；以”为对丝线进行构造平行四边形，内点A,E的纵坐标为0,可得出点尸的纵理焉为-1，此时点尸，尸率合，进而可得出不存在这种赢，舍去.综上，此照得嬴【解答】解：8户：抛物线 的顶点为Q(2,0 1),.麻物线的函数关系式为y=(x-2)2-1,，iI1将 C(0,3)代入 y=a(X-2)2-I,得：(0-2)2-I,解得：a=i,.抛物线的函数关系武为；=(x-2)2-1,即弓=/-4X+3.当 y=0 时，有4 x+3=0,即(x -1)(x -3)=0,解得：x i =l,4 2=3,又：抛物线与x轴交于A,B两 点(

47、点A在点8的右侧)，.点4的坐标为(3,0),点8的坐标为(1,0).(2)设直线A C的函数关系式为y=a+(加*0),，二 ，将 A(3,0),C (0,3)代入 y=,n x+”，故:T f =，直线A C.的函数关系式为y=-x+3.:设点P的坐标为名，f-4.V+3）（0 3 户 则 点D而坐标为（x,-x+3）,P D=-x+3-（7-4 x+3）=-X2+3X=-（x 5）2+T,V -l 当x=0 时，S团ABCD取得最大值16,；.当点8 在 x 轴下方时，二4WyiV0,.*-，S=-4.VI,它是关于.yi的正比例函数且.S 随平的增大而减小，.当 户-4 符，S 有最大

48、值.1 6,但它没有最小值，：.；此时8(0,1 4)在)，轴匕它的对称:点。也在y 轴匕，：.AC1BD,.二城勺四边形A8CD.菱 形._-.【点评】本题是次函数综合题型，主要利用了关于x 轴对称的点的坐标，待定系数法求二次函数解析式：二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质和菱形的判定，利用次函数的增减性求最值问题.18.如图，RtaABC中，N A=9 0，/C=60,AC在 x 轴上，点 C 坐标为(-2,0)抛物线y=o?+,国经.过点B,其中EQQ是由ABC沿 x 轴向右平移得到，且 点。在该抛物线上.已知点G 为抛物线的顶卓、.(1)求此抛物线的函数关系式.(2)分别连接8

49、 0 和 C。，它们的交点为凡问点F 是否在抛物线上？请说明理由(3)点尸在抛物线上，点。在直线8。上，那么是否存在Q、P、D、G 为顶点的平行四边形？若存在，求点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）如 图 T,8与 y 轴交于点K,由板意四边形O E D K是矩形I 加边形O A B K也是矩形，TCOE=T）K,OA =B K,AQ=O E,根据对称性可知8K=DK,推出4c=0A =0 ,求出点8 坐标，利用待定系数法即可解决问题.（2）求出直线03、CD的解析式，解方程组求出点F的坐标，即可判定.,（3）存在.如图2 沅,由赋意2、P、C、G 为顶置的平行四边形时，点 P 的

50、纵坐标处;当氏3。4厂行 2 .-V 3 =+-解 得 x=土打，由此即可解决问题.3.3，【解答】解；-（1）如 囱 1中，8。与 y 轴交于点片,】由题意四边形0EQK是矩形，四边形0 A B K也是矩形,：.0E=DK,0A=B K.A C=0E,*.,r .1根据对称性可知B K=DK,：.A C=OA =OE,VC(-2,0),.：.A t：=AO O E=fVZBCA=60,，,，：.B A=V3,.：.B (-,V3),把点B坐标代入),一+竽 得 到 旧=”+竽，=丁/.抛物线的解析式为=等，+|V 3.(2)V B (-1,卮),0(0,0),直线O B的解析式为y=-y 3