2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》训练(附答案).pdf

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1、2022-2023学年九年级数学中考复习 相似三角形综合压轴题专题训练(附答案)1 .如 图1,在四边形N88 中，/D 4 8被对角线/C平分，且 工。=/8/。，我们称该四边形为“黄金四边形，称 为“黄金角”.(1)如 图1,四边形A B C D为“黄金四边形，N D 4 B为“黄金角”，求证：)4 c s C AB.(2)如图2,四边形N 8 C。为“黄金四边形”，/D 4 8为“黄金角”，且/C=4,BC=2,Z D=9 0 ,求 的 长 度；(3)如图3,四边形为“黄金四边形，ND4B 为“黄金角”,若 N D C B=N O 4 B,求/。的度数.2 .如 图1,以 N 8 C的边

2、4 8,4 c为两边长作等边4 8。和等边/(?：,连接B E,C D相交于点O.(1)求证/(7丝/8 E；(2)若/B C 中，Z A C B=6 0Q,求证：XB OCs XBCE：(3)若4 8 C 中，N BAC=90 ,/8 C=3 0 ,且 8 C=4,如图 2 求 线 段 的 长 度.3.如图，Rt A4 8 C中，N 4 C 8=9 0 ,Z C=8 C,点。是直线8 c上一动点（点。不与点8,C重合），过点8作于点芯，连接C E.（1）如图，当点。在线段8 c上时，直 接 写 出 线 段C E的数量关系：；（2）如图，当点。在线段C 8的延长线上时，判断线段/E,BE,C

3、E的数量关系，并加以证明；（3）如图，当点。在线段8 c的延长线上时，并将已知条件中的，C=8 C”改成“N8 4 C=3 0 其它条件不变，若Z E=1,CE=M，请直接写出线段8 E的长.4.古希数学家欧多克索斯（E u d ox u s,约前4 0 0 前3 4 7）在两千多年前发现了一种最能引起美感的分割比例：线段上一点把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值.我们称这样的分割为黄金分割，这个点就是黄金分割点，这个比值就叫做黄金分割比.如图1,点P是 线 段 上 的 一 点（/P 8 P）,且 岖 型，AB AP则点P是线段4 8的黄金分割点，的值就是

4、黄金分割比.AB（1）黄金分割比是一个常数，请根据上面的描述，求出黄金分割比的值；（2）如图2,对于任意的一条线段我们可以通过下面方法找到它的一个黄金分割点：第一步：取线段4 8的中点C；第二步：过点8作 的 垂 线5 0,以8为圆心，8 c为半径作弧交8 0于点。，即在8 0上截取8。=工-/8；2第三步：连接Z D,并以。为圆心，8。为半径作弧交力。于点E；第四步：以/为 圆 心，Z E为半径作弧交4 8于点P,则点P就 是 线 段 的 一 个 黄 金 分割点.试证之；（3）拓展应用：如图3,在/8 C中，点。是线段N C的黄金分割点，且N 8=C D.求证：Z A B C=Z.AD B-

5、,若8C=4C M 求8。的长.5.如 图1和图2,在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0,4）,Z是x轴上的一个动点,用 是线段4 c的 中 点.把 线 段 以/为 旋 转 中 心、按顺时针方向旋转9 0 得到/艮 过8作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点。，直线。8交x轴于点 设/点的横坐标为机.（2）若机=3,则点8的坐标为；若机=-3,则点8的坐标为:（3）若加0,/XB C D的面积为S,则加为何值时，S=6?（4）是否存在加，使得以8、C、。为顶点的三角形与/O C相似？若存在，求此时加的值；若不存在，请说明理由.6 .爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现

6、了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中 垂 三 角 形 如 图（1）、图（2）、图（3）中，AM.B N是/8 C的中线，月 M L B N于点、P,像N 8 C这样的三角形均为“中垂三角形”.设8 c=防AC=b,AB=c.【特例探究】（1）如 图1,当/以8=4 5,。=奴 历 时，。=,b=:如图2,当N R 4 B=30 ,c=2 时，a2+b2=；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想小、R、,2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论.【拓展证明】(3)如图4,在 3 8 中，E、尸 分 别 是8 c的三等分点，S.AD=3AE,BC=3BF

7、,连接 4尸、BE、C E,且 于 E,Z F 与 8 E 相交点 G,A D=3炳,/8=3,求 N F问题情境在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动.操作发现“杨辉”小组的同学用一张钝角三角形纸片N B C,NN为钝角，进行了如下操作：第一步：如 图1,折出/B C的角平分线Z。；第二步：如 图2,展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使 预 点/与 点。重合，折痕瓦，分别与4 8,4c交于点E,F；第三步：如图3,再次展平纸片，连接。E,DF,可得四边形(1)在图4的 N B C中利用尺规作出折痕4。，E F；(要求：保留作图痕迹，不写作法)实践探究(2)试判断图3中四边

8、形/瓦才的形状，并写出证明过程；深入探究(3)“陈景润”小组的同学突发奇想，在“杨辉”小组同学操作的基础上设计了这样一个问题：在图3中，连接E C,分别交NQ于点P,交FD于点Q,若P Q=1,P C=1,利用相似三角形的知识可以求出PE的长.请你写出求解过程.（图3）（图4）8 .如图M0 J _ P N于点。，点/在NM ON的角平分线上，作/8/C=4 5,/8 4 C的两边分别交O M,O N交于点C,B,交OP,。交于点E,D.（1）求证：O A 2=O D*O E；（2）若 4 c=OD,求 O C：0。的值；（3）若 O B=1,OE=4.求 ta n N C EO.9 .如图，

9、R t4/B C 中，ZAC B=90 ,AC=6 c m,B C=S c m.动点 M 从点 8 出发，在 8/边上以3c,/s的速度向定点/运动，同时动点N从点C出发，在C 8边上以2 c w/s的速度向点8运动，运动时间为z s（0 点8、C的对应点分别是。、E.在旋转过程中直线8。分别交直线Z C、EC于点、F、G,直线ZD与直线E C相交于点4.(1)当旋转至如图1位置时，求证：/EACS/DAB；(2)如图2,当a=90 时，求 四 边 形 尸 的 面 积；(3)当0 a1 80 ,且E H=2 C”时,求。尸与EG的数量关系.1 2 .如图，在R t Z /1 5C中，/Z C

10、8=90 ,/C=l,8c=7,点。是边。延长线上的一点,A E 1.BD,垂足为E,的延长线交C/的平行线8尸于点尸，联结C E交 于 点G.(1)当点K是8。中点时，求t an/4 E 8的值；(2)设C E=x,A F=y,求y关于x的函数关系式；(3)当 8G E与氏4尸相似时，求线段/斤的长.1 3 .已知：如图，在平行四边形A B CD中，AB=3c m,BC=5 c m,AC A.AB.&4CD沿4 C方向以速度为I cm/s匀 速 平 移 得 到 同 时，点。从点C出发，沿C B方向匀速运动，速 度 为 c m/s.当 PM N停止平移时，点。也停止运动，如图设运动时间为f(s

11、)(0?,点，为8 c的中点，点G在E尸上，且 巫，连结G H,FG 2当尸0与四边形Q E G 的一边平行时，求尸尸的长.15.己知正方形/8 C D,点 M 为 边 的 中 点.(1)如 图 1,点 G 为线段CM上的一点，且4 G 8=9 0 ,延长ZG、8G 分别与边8C、CD交于点E、F.求证：B E=C F；求证：B/=BC C E.(2)如 图 2,在 边 8 c 上取一点E,满足3中=8CC E,连接Z E 交 CM于 点 G,连接8G 并延长交8于点尸，求 的 值.图1图216.如图，在 8 c 中，AB=AC,Z B A C=2 0c,。为 8C边上的点，将。/绕。点逆时针

12、旋转120得到(1)如图 1,若/。NC=30.求证：A B=B E；直接写出BE 2+C D 2与心的数量关系为 求 匹 爵 噜(2)如图2,(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明图1图217.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.图1图2图3理解：(1)如 图 1,N 8C的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若 四 边 形 是 以 ZC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D(保留画图痕迹，找出 3 个即可)；(2)如图2,在四边形43C

13、D 中，ZABC=S O ,ZAD C=4 0 ,对角线8。平 分/A B C.请问8。是 四 边 形 的“相似对角线”吗？请说明理由；若B D=4,求 力 8 8 C 的值.运用：(3)如图3,已知尸，是四边形E F G 的 相似对角线”，Z E F H=ZH F G=30 .连接EG,若7 G 的面积为6 6，求 7:77 的长.18.已知四边形ABC。是菱形，Z A B C=6 0,NEZ尸的两边分别与射线CB、D C 相交于点、E、尸，且尸=60.(1)如 图 1,当点E 是线段CB的中点时，求证：AE=E F x(2)如图2,当点E 是线段CB上任意一点时(点E 不与8、C 重合)，

14、求证：B E=C F；(3)如图3,当点E 在线段C 8 的延长线上时，设 4尸交8 c 于 点 G,求证：A G-C F=AF-C G.1 9.如图 1,N 8C 中，/B=4,AC=3,N/=90 ,P,Q,R 分别是 A 4 B C 三边 4 B,BC,C4上的动点，理 段 屈 _=左(0 */55(3)解：如图,.FC 平分 NQ/8,，N1 =N2,;AC2=AB,AD,.AD AC.-Z?一 一,AC ABADCS/ACB,：.Z D=Z 4,*：/DCB=/DAB,NOC 5=N3+N4,/DAB=2八AZ 3+Z 4=2 Z 1,N1+ND+N3=N1+N4+N3=N1+2N1

15、=3N1,A3Z1=18O,A Z 1=60,：.ZDAB=20.2.(1)证明：48。和ZCE都是等边三角形，:,AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZEAC=60,ZDAB+ZBAC=NEAC+NBAC,：.ZDAC=/BAE,在/ZX?与4BE 中，AD =AB/D AC=NBAS，kAC=AE：./A D C/A B E (SAS)；(2)证明：VZACB=60,：.ZBCCM-ZACD=60,4C E 是等边三角形，:/BEC+/AEB=60,由(1)得，/D C 四4BE,NACD=NAEB,：./B C O=/B E C,:/CBO=NEBO,：.B O C sB C E：(3)解

16、：在/8 C 中，N B 4c=90,ZABC=30,且 8 c=4,：.AC=2f由勾股定理得，AB=yj4 2 _ 2 2 =2 e=BD,ZDBA=60,A ZDBC=90,，-DC=VBC2+BD2=2五，由(1)得4DC丝N3E,：.BE=CD=27,由(2)得BOCS/BCE,.BC OB,BE BC即一半2V7 4.C R-即73.解：(1)结论：AE-BE=T2CE.理由：如 图1中，过点C作CFLCE交/于F.A.图,：BE VAE,：.ZBEA=ZACD=90Q,ZEDBZADC,：.NEBD=NCAD,:NECF=NACB=90,:.NECB=NACF,：BC=AC,：.

17、/ECB/FCA(ASA),：.BE=AF,CE=CF,ACE/是等腰直角三角形，：.EF=jCE,：.AE-AF=AE-BE=EF=a CE,:.AE-BE=aC E.(2)A E+B E nCE,证明：过 点C作CF，CE交D 4的延长线于点尸,图A ZCF=90 ,V ZACB=90,/BCE=N ACF,*：BE LAD,:/AEC+NBEC=9Q0,V ZAEC+ZAFC=90,ZBEC=/AFC,又：BC=AC,：./XBCE/XACF(AAS)t:,CE=CF,BE=AF,ACEF是等腰直角三角形,:,E F=C E,BC v.CE ACC F BC:NACB=NECF=90,/

18、ACE=/BCF,：./ACEs/BCF,:里 维 用,BF BC v：.BF=,3V CE=V3，A CF=1,.EF川 C 2RF2=2,8=M+8/=2+等.4.解：（1）设 Z 8=l,A P=x,则 P 8=l-x.AP PB,AB A P:.AP2=AB-PB,x=1 -X,._-l+V5 X2Vx0,.r_V5-1 X,.AP _ V 5-1.，AB 2即黄金分割比的值为吗；2(2)证明：设4 5=2 阳，则8 0=加，:DE=BD=m,*：BDLAB,：.ZABD=90,=VAB2+BD2 7(2 m)2+m2 =岛：.AE=AD-DE=f5m-m=(A/5-1)加，:AP=A

19、E=(V 5 -1)加，,.AP (芯 T)m f-1,AB 2 m 2 点P 是线段AB的一个黄金分割点；(3)证明：丁点。是线段4 C的黄金分割点，且力。V C O,：.AD：CD=CD：AC,:AB=CD,：.AD：AB=AB：AC,而 NDAB=NBAC,：.ZABC=ZADB；解：V /ABDACBf BD AB =,BC AC而/8=C ),.BD 二 C D,BC AC;点。是线段N C 的黄金分割点，且/o v c。，在二。c,2.BD V 5-14 2：.BD=(2A/5-2)cm.5.(1)证明：ZCAB=90,/.ZCAO+ZBAE=90,ZAOC=ZAEB,：.ZCAO

20、+ZACO=90,=ZBAE=ZACO,：./AOCsABEA,(2)解:由(1)知，A0CS/BE4,oc=P4=AC=9*,A E BE A B，o：.AE=2,BE=-,2Q 当阳=3时，B(5,),2当，=-3 时，5(-1,2故答案是(5,W),(-1,-I)；22(3)由上知，O C P A A CA E-BE-A B-=2,A E BE AE=1 BErr 2当工1r 4时，即加V8,2点8在点。的下方，当0加 加4=8-4A/（舍去）,当-2加0时，如 图(3),图(3)当 N O C s a S B 时，.A O =C O ,C D BD-m 4氤二1 加5=4而+8 （舍去

21、）或加6=8-4巧,当 A A OCs B DC 时，-m 4A1 m+24?方程无解，当机-2时,，如 图(4),图（4）当 N O CS/CO8 时,.A O C O ，C D BD._ 4、m-2 7，方程无解，当 z o cs/Yeo c 时,m 4.m7=-2（舍去）或 m8=-2j+2（舍去）;综上所述：m=2V5 -2或 m=4 而+&或m=-44 +8.6.解：（1）在 Rt Z N P2 中，/为8=45 ,0=施，J?贝！J P A=P B=c=4,2、N分别为C B、。的中点,:.MN=，MN/AB,二 AAPBsAMPN,PN-PM_MN_1PB PA AB _2：.P

22、M=PN=2,8M=JPB2+PM=2A/5,：.a=2BM=4后,同理：b2AN45,如图2,连接M N,在 Rt Z/尸8 中，NPAB=30,c=2,：.PB=c=,2#-PA=7C2-PB2=，：.PN=,2 2BM=PB2+PM2=除,=VPA2+PN2.a2+62=20,故答案为：47 5;47 5;20；(2)a2+b2=5c2,理由如下：如图3,连接MM设 PN=x,PM=y,则 PB=2PN=2x,PA=2PM=2y,A5 VPB2+PM2=74x2+y2,=VPA2+-PN2=Vx2+4y2,*Q 2V i x2-t-y2,b=2V x2+4y2/.a2+62=2 0 (x

23、2+2)：C2=PA2+PB=4 6 2到2),，a2+62=5 c2；(3)取 的 中 点“，连接在 并延长交 的延长线于点P,四边形Z 8 C D为平行四边形，：.AD/BC,AD=BC,：.AAHPs 丛BHF,.AP _AH_,1,BF BH：.AP=BF,*：AD=3AE,BC=3BF,AD=3炳,:AE=BF=,:PE=FC,四边形PFCE为平行四边形，；BE1CE,:BG工FH,:AEBF,AE=BF,:AG=GF,：4 B F为“中垂三角形”，LAB2+A成=5 B ,即 32+力尸=5 X （遥）2,解得：AF-4.(2)四边形力瓦中为菱形，证明：由折叠可知，力。是NA4 C

24、的角平分线，E尸是力。的垂直平分线,:/EAD=NFAD,AE=DE,AF=DF,：.ZEAD=ZEDAf/E4D=NFDA,；/EAD=NFDA,NEDA=NE4D,:AEDF,DE/AF,四边形AEDF是平行四边形，；AE=DE,平行四边形力皮不是菱形；(3)连接PF,.四边形力红甲为菱形，二 力。垂直平分ER AF/DE,，点P在E/的垂直平分线力。上，NFED=NEFD,：.PE=PF,：.ZFEP=ZEFP,：.NFED-NFEP=NEFD-ZEFP,：.NDEP=NDFP,：AF/DE,：.ZDEP=ZFCP,：.ZDFP=ZFCP,又;.NFPQ=/CPF,：.XFPQs M P

25、 F,解得，PF=H,：.PE=PF=H-8.(1)如图 1,A ZPOC=ZDOB=ZMON=90,*：0A 平分NMON,/LAOC 1AOB/MAW45,A ZAOE=ZAOD=135,A ZAEO+ZEAO=45,：ZEAD=45,/.ZDAO+ZEAO=45a,，ZAEO=ZDAO,二 /AOE/DOE,.OA ODOA：.OA2=OD,OE；(2)如图2,由（1）知，ZCAO=ZBOD,作OE/C交“。于E,:.NAOC=NDEO=NCAD=45,/DOE/DCA,.OE=OD,而 CD：AC=OD,:.AO 8/D E O (AAS),：.OE=OC,.PC _ OP*O D O

26、 C O D.OO+OAOC-OD2=。,._-0D VOD2+4OD2 2.O C =行-1 或QC -l-V52 O D 2.O C _V5 -1-;O D 2（舍去）,作 BHAE 于 H,由(1)知，N4OB=N4EB,：NABO=NABE,.AAOBsAEAB,.AB OB BE AB.AB 15 AB.AB=j5,在 RtAABH 中，8”=/8 sin45=V5 X 咨_V10-,2./7=BE2_B H2十 一 粤-s VT o-,2/.tanZC,O=.EH 39.解：(1)V ZACB=90,AC=6cm,BC=8cm,.*.J5=7AC2+BC2=V&2+82=1 Cem

27、),由题意知，BM=3tcm,CN=2tcm,:.BN=(8-2/)cm,当/M N 5=90 时，/BM N s/BA C,.BM BN i i -,BA BC即 羽=110 8解得?-TT：当NNMB=90 时，ABM NsABCA,.BM _一BN BC BAgi|3-t _ 8-2t解得小综上,当 f时，8MN与48 C 相似;(2)过 加 作 M_LCB于点：.NBDM=NACB=90,：4B=NB,.D M BD B M 而 育 京，AC=6cm,BC Scm,AB Ocm,BM3tcm,DMtcni BD t cm5 519:.CD=(8-/)cm,5：ANLCM,N/C8=90

28、,：.ZCAN+ZACM=90,ZMCD+ZACM=90Q,:.NCAN=NMCD,:MDLCB,:./MDC=NACB=90,.二/XCANSDCM,.AC=CN*CD-CM 解 得片 学；(3)若BMN是等腰三角形，可分以下三种情况:当8A/=8N时，由(I)知，BM=3tcm,BN=(8-2z)cm,即 3z=8-2t,解得，=鼻5当BN=MN时，作NPLBA于P,1 22 2./n_ BP _ BC _ 8 cos B 1,BN A B 10g 4：.BP=BN=-X(8-2t)10 5=a 一 当)(c w),5 5即 丝-585解 得,嗤当8M=M N时，作M _L5C于0,(4-

29、t)(cm).c o s/8=W=BM A B 1012XBM=t(c/w),5即4”斗，5解得=个苧；综上，当/为 卷 或 或 瑞 时，的3是等腰三角形.10.(1)证明：。是O。的直径,：.ZCED=90.V ZA=90，:NCED=NA.*/ZAFD与NECD都是血所对的圆周角,NAFD=NECD,：.ADFs/EDC.(2)解：过点。作于点，如图.4B=4,BC=3,:.DH=A,CH=3-1=2,CD=/22+42=2/5-:NDE4+NBEC=90,NBCE+NBEC=90,二 ZDEA=ZBCE.V ZA=ZB=9O0,：.A A E D sB C E,.AD AEBE BC：A

30、D=,BC=3,：.AE BE=3.,：AE+BE=AB=4,点“在点尸上方,1=1,BE=3,DE=V12+12=V2-由（1）知，AADFSAEDC,.AD DE ，DF DC.,.DF=V10.连接C凡 如图.V DF=V10.4D=1,/=9 0 ,：.AF=3f BF=1.:AD=AE=BF=,EF=2,BE=BC=3,.DE=V2,CF=V10.；NDEC=NDFC=90,ZDGE=ZCGF,:.缸 DEGsXCFG,.EG DG DE _V2 _V5,FGC GCF WVZFEC=ZGDC,ZEGF=ZDGC,:.EGFsXDGC,_EG G F _EF _ 2 _V5*DG C

31、 GDC 27 F，.EG DG V5 vV5DG C G 5 5：.EG：CG=1：5.11.(1)证明：:ADE是由4 8 C 旋转所得，:.NADE=N4BC=90,NDAE=NBAC,AE=AC,AD=AB,二 ZDAE+ZDAF=ZDAF+ZBAC,：.NEAC=NDAB,.A E=A C A D-A B，二 A E 4 c s M A B；(2)解：过，点作于，V a=90,A ZDAB=90=NABC,：AE=AC,ZCAB=900-30=60,/.ZACE=45a,/C/H=3 0 ,在C H/中，设 C A/=s,则 加，AM=3m,：.AM+MC=yJ?m+m=AC=2,：

32、.m=3-1,即 HM=AM=Xp3-LSAHC=-A C X HM=3-1,.N D 48+/8C=180,：.DA/BC,:.D A F sA B C F,且相似比为 1：.D 4F的高=V3+1-AB=1V3+1SADF=-A D X1 娟-1V3+1 4,S 双边的 CHDF=SyHC-S D F=M -1 6-1 _3件34 4(3)当 60 a 1 8 0 时，即点，在线段EC 上时，如图3 所示，连结NG.:/E A C s/D A B,：.ZACE=ZABD,：NAFB=/CFG,：./AFBSG FC,GF CFZfGC=ZFAB=60,AF BF.GF _AF诺一丽./AF

33、GSABFC,:./A G F=NACB=30,：.AGLEC,：AE=AC,：.EG=GC,令 D F=x,则由ZM Fs力c，可得 CH=2x,:.EH=2CH=4x,EC=6x,:EG=GC=3x 9：.EG=3DF；当 0 a 6 0 时，即点，在射线EC 上时，如图4 所示，令D F=x,则同理可知：CH=2x,:.EH=2CH=4x,EC=2jCt*EG=x,:EG=DF,综上所述：当 60 a180 时，EG=3DF；当 0 a解得x=5*T(舍去负值)，275五+12,:BFCD,；NBC4=NBE4=90,：.OC=OA=OB=OE,点4、C、B、E 四点共圆，NBCA=NB

34、AF,；NCBE+NC4E=180,:BFHCD,：.ZBFA+ZCAE=O,:NCBE=NE4B,：.BCES/FAB,.BC C E ,F A A B:.CEE4=BUAB,ZBCA=90,8 c=7,4 C=l,；A B=5 M，:CEAF=7X 5A/2=35A/2,由 C=x,AF=yf xy=35p2.,35V2y=-；x(3)过点、E作EH1.CD于H,作 EM_L8C于，如图:NEMC=NMCH=NCHE=90,四边形EMC为矩形，由（2）知ABCEs/FAB,ZkBGE 与E4B 相似,ZibCE与BGE相似，ZECG=ZEBG,点4、C、B、E四点共圆，NECA=NEBG,

35、:/ECB=/ECA,:EM=EH,四边形EMC”为正方形，:.CM=CH,V ZECB=A EC A=ZBCA=45 ,2A ZEBA=ZEAB=45,：.EB=EA,：.Rt/BMERt/AHE（HL）,:BM=AH,设 4=。，则8=a,CM=1-a,CH=+a,：.7-a=1+a,a=3,:,CH=4,在 中,cos ZECH=-CE CE 2，CE=如历,由（2）得 CE4=35近,心 35圾354V2 413.解:：ACAB,4c=90,AB=3cmf BC=5cm,C=MBC 2-A B 2=蜴 2 _ 3 2=4 (cm),:.AB：AC-BC=3：4：5.(1)当 PQJ _

36、8 c 时，如图 1,则/8/C=N P=90 ,：ZBCA=ZPCQ,：.ABCs/XQPC,:CQ=AP=t,：.PC=4-/,由 与=4 =卷=(：0$/工。8得，CQ=PC,PC BC 5 54：.t=(4-力,解得，尸 孕当 PQ_L ZC 时，如图 2,则N8/C=NQ 尸 C=90,：.AB/PQ,：.ABCS/P Q C,解得，/=尊,9综上所述，当 尸 学 或 尸 整 时，ZVIBC 与 P0C 相似.9 9(2)如图 3,作 QE_L PC 于点 ZCEQ=ZPEQ=90,VZ0PC=45 ,：NEPQ=NEQP=45,:PE=EQ,由 黑 黑=s i n/C 8,得 P

37、E=E Q=*C Q=t,BC 55 5由=c os/Z C8,得 C E=&C Q=,C Q BC 5 5 5.哈 唔=4,解得，f=与,3.,.当 f=$时 N 0PC=45 .(3)如图4,作尸尸_L 8 C于点凡 则/P尸C=90,嚅嘿=已必以得，吁凯=!(;由平移得，P M BC,：SM C=S PC=C Q X P F,&Q MC：S|W，B0P=1：3 5,：SAQPC:S 四 边 彩0P=1：3 5,：.S npc S 4or=X （工义3义4）由P C 3 6 a A B C 3 6 2.L x 3 （4-D =工，2 5 6=6,整理得，9 f 2-3 6什5=0,解得一宁

38、或 千图414.(1)证明：；四边形8cM是矩形,A ZAFE=ZADC=90,EC/AB,：.ZDEC=ZA,：.AFESAEDC：(2)解：S=-3 x2+12 x.当x=4 时，S=0,此时，点P 到达终点4,：.PF=2x=S,即：A F=8,当x=2 时，点0 恰好运动至E点，此时,PF=4,AP=4,：.S=AP*EF=2EF=-3 X 2 2+12 X 2=12,2：.EF=6,综上所述：AF=S,EF=6；(3)：AF=S,EF=6,：.AE=IO,PF=2x,当x=2时，点。恰好运动至E 点,.PF _ 4 _ 2而下方：.AQ=PF=5x,当PQEG 时,AQ _ APA

39、E -A F嚼整，解得 哆：.PF=2x=-；3当P 0。，时,延长。，交N 8的延长线于点”,过点D 作 D N LAB于点N,图2：EF=2CD,：.CD=3,：XAFEXEDC,.AF FE EA pn 8 6 10E D DC CE E D 3 CE解得：ED=4,CE=5,.4)=10+4=14,：DNLAB,NAFE=90,：.EF/DN,.AE _E_AF R 而 词：.D N=-,AN=%,5 556 g BN=AF+BF-AN=8+5-=,5 5 ,点”为8。的中点，:.BH=3,B H BHD.胆 即：殳 红 血，解得:A M AD 14 14x=S7：.P F=2x=1当

40、P0G时,延长G a交 于 点K,并反向延长交C E的 延 长 线 于 点 交/。于点O,图3.E G 1二 ，F G 2:.F G=4,.BK z B H 即H l,BK =3,F K F G 5+BK 4：.BK=5,：BH=C H,N C H L=N BH K,N H C L=N H BK=90：./C H L/BH K C AS A),:.C L=BK=15,，EZ,=15-5=10,.E L 二 O E*A K =10-O E10 二 0E8+5+15=10-O E解得:1914019：P Q/G H,.A Q .A P*A O A K5x _ 8-2 x _ 8即 140 8+5+

41、15 解 得:、一五19 PQ不可能平行于A D；综上所述，尸 尸=，*或或工3 7 2 115.(1)证明：.四边形N8CZ)是正方形,:AB=BC,ZABC=ZBCF=90,A ZABG+ZCBF=90Q,V AGB=90,A ZABG+ZBAG=90,:NBAG=NCBF,:AB=BC,ZABE=ZBCF=90,A/ABE/BCF CASA),：.BE=CF；/4G6=90,点M为4 8 的中点，:MG=MA=MB,：.ZGAM=ZAGMf又：NCGE=/AGM,ZGAM=ZCBGf:/CGE=NCBG,又/ECG=/GCB,/.CGAC5G,A即 CG2=8CCE,CG CB由 ZCF

42、G=NGBM=ZBGM=ZCGF 得 CF=CG,由知BE=CF,：.BE=CG,：.BE2=BC*CE；(2)解：延长4E、DC交于点、N,图2 四边形ZBCZ）是正方形,：.AB/CD,：.NN=NEAB,又,：/CEN=NBEA,:.丛 CENSXBEA,BE BA:AB=BC,BU=BCCE,：.CN=BE,:ABDN,.CN _CG _CF*A M=G M BN：AM=MB,:.FC=CN=BE,设 正 方 形 的 边 长 为1,BE=x,由 可得 x 2=i(i-x),Js-1X1j 解得:-yfs-1x2=2(舍).BE 无 T*BC=2贝脸嗡与16.(1)证 明：如 图1中,图

43、1,：AB=AC,ZBAC=120,：.ZABC=ZACB30,；ZDAC=30：.ZDAC=ZACB=30,ZADB=ZCAD+ZACB=60,：.ZBAD=90Q,由旋转得：DE=DA=CD,/BDE=/ADB=60,:./BDE经 2BDA(S/S),：.AB=BE.解：:/BDE义ABDA,；.NBED=NBAD=90,BE=AB,即+=届2+)2=BD2,=c o s Z J Df i=CO S 6 0 0 =,BD 2：.BD=2AD,；.BE2+CQ2=4心.故答案为：BE2+CD=4AD2.,.N D4C=N/8 C=3 0 ,NACD=NACB,：./D C A A C B,

44、.DA CAAB CB:ABDE m ABDA,.DE=DA,BE=AB,.-D-E-=-C-A;BE CB(2)能 满 足(1)中的结论.理由：将 4CO 绕点/顺时针旋转12 0得到，使 XC 与 重 合，连接E。，DD,A E,设交。于点/图?V ZDBJ=ZADJ=30,ZB JD=Z D,JA,:丛BJDS/D JA,._ W 01J A j.0 4DJ AJ：NBJD=NDJA,：.4B JD s 8 DJA,：.AJBD=ZJD A=30a,同法可证，ZEBD=ZEAD=30,ZED D=N4D=30,*；/A B C=N D BJ=/EBD=3Q,A ZD BE=90,V ZA

45、DE=20,A ADD=3 0,：.ZD 1=9 0 ,：NED，0=3 0,：.D E=2DE=2AD,在 R t Z V)BE 中，D 2=。B2+BE2,：CD=BD,：.CD2+BE2=4AD.17.解：(1)如图 1 所示.AB=,BC=2瓜 N 48 C=9 0.四边形 88是以ZC为“相似对角线”的四边形，,AC=5,当N/C0=9 O 时，C D sA A B C 或A4C D SM B A,.AC CD AC CD*AB BC BAB,.5 CD-n 5 CD,赤F巴后不二8=2.5 或 C =10,同理：当N C4D=9 O 时，/。=2.5或力。=10,如图中，0,D2,

46、Dy A即为所求；(2)如图2,8。是四边形/8 C。的“相似对角线”，理由如下：V Z/4S C=8 0 ,BD 平分 N4BC,:.NABD=NDBC=40,A ZA+ZADB=40,V Z/4)C=140 ,：.ZBDC+ZADB=40Q：.4=NBDC,.AABD sAD BC,.8Z)是 四 边 形 的“相似对角线”;:/XABDsADBC,.,A B BD,BD BC:.BD2=AB,BC,又,：BD=4,：.A B B C 16；(3)如图3,.尸，是四边形E尸 G”的“相似对角线”,/XEFH 与 AHFG 相似.又/EFH=4H FG,.E F F H ，F H F G：.F

47、Hft-=FEFG,过点E 作 EQ LFG 垂足为Q,可得 EQ=FEXsin60=：-X F G X E Q=e3,:.工义 F G X$ZXEF=6T,2 2:.FGFE=24,：.FH2=FGFE=24,：.F H=2 .18.(1)证明：如 图 1,连接Z C,四边形45 8是菱形，:.AB=BC,/BCD=120,V Z ABC=60,/ABC是等边三角形，:AB=AC,ZBAC=ZACB=60,A ZACD=60=/ABC,V ZEAF=60=/BAC,：.NBAE+NCAE=NCAF+/CAE,：./BAE=/CAF,:.AABE父 AACF(4S4).：.AE=AF,V ZE

48、AF=60Q,为等边三角形，：.AE=EF；(2)如图2,连接4G ,四边形4 5 8是菱形，:,AB=BC,ZBCD=120,V ZABC=60,是等边三角形，：.AB=AC,ZBAC=ZACB=60,，N4CD=600=NABC,VZFJF=60=/BAC,：.NBAE+NCAE=/CAF+NCAE,：.NBAE=NCAF,：./ABE/ACF(ASA).:.BE=CF；(3)由(1)知，ZFCG=60=/EAF,/ZAGE=ZFGC,：.A E G sfF G,.A E CF-=-，AG CG同(1)知，4E尸为等边三角形,：.AE=AF,.A F CF*A G=C Gg p A G-C

49、F=A F-CG.图119.解：,:BP=1,：.AP=AB-BP4-1=3,.A P CR ,A B CA.3 CR4 3g 2：.AR=AC-CR=3-4 4(2)、尸是8 c和A C的中点,欧 为/8C的中位线，J.EF/AB,2EF=AB,9：BA VAC,：.EF.LAC,过。作QTLFE的延长线于T,A*：QTAC,：.石0T s ECE=k,-T-FQ-cQcB-BQ EC E-AB-：.BQ=5kf CR=3k,：.FR=FC-3匕 OE=W-5k,2 2.W 二立，2 22。丁 二 卷-3公2：.QT=FR=-3k,*：QT/FR,:./T=/R F G,在 0T G与 R

50、E G中，rZ T=Z R F G/T Q G=N F R G,Q T 二 R F:丛QTG9XRFG(4/S),：.QG=RG；当GP，48时，如图3,过点G 作 G 4 L 5 C 于H,过点H作心aB C 于N,.AP BQAB BC=-=Jc,24c=3,AR=4t BC=5,CAAP=4k,BQ=5k,CR=3k,尸为ZC的中点,1GPL4B,NBPG=90,.*ZA=90，PG/AF,JGF/AP,四边形4尸GF是平行四边形,.*ZA=90,平行四边形4PG厂是矩形，GF=AP=4k,Q 0 10：.NC=-X3k=kf RN=k,5 5 5：.QN=5-5左-卷 左=5-等 QR