2022-2023学年高二年级上册学期南京市大厂高级中学期末试卷.pdf

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1、2022-2023学年高二上学期南京市大厂高级中学期末试卷一.选 择 题(共 8 小题)1.已知8(3,1),C(l,3),则A A B C 的边上的高所在的直线的方程为()A.x+y +2=0 B.x+y =0 C.x-y+2=0 D.x-y =02.当点尸在圆x?+y 2=l 上运动时，连接它与定点Q(3,0),线段P Q 的中点”的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=1 B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=l D.(2x+3)2+4y2=1v2 v233.设椭圆C：+方=l(o 6 0)的左、右焦点分别为耳，F2,P 为直线x=上一点，耳是底角为30。的等腰三角形，则

2、椭圆C的离心率为()A.B B.1 C.D.。32242 24.已知双曲线斗-=1 3 0/0)的一条渐近线过点(G，2),且双曲线的一个焦点在a b抛物线/=4近 y的准线上，则双曲线的方程为()5.在数列“中，4=20,an=an_x-3(n.2,n e T V*),则数列 4 的前项和取最大值时,的值是()A.7 B.8 C.9 D.106 .已知等比数列 “的前项和为S“，若 a 0,公比g l,%+。5=2 0，02a6=乱,则=()A.31 B.36 C.48 D.6 37 .若函数/(幻=依-/心在区间(l,+o o)单调递增，则2 的取值范围是()A.(o o 9 2 B.(c

3、 o ,-1 C.2,+o o)D.1 ,4-o o)8 .设等差数列伍“,6,的前项和分别是S.,T ,若 鼠=3-,则2 =()Tn 3M+7 by二.多 选 题(共 4 小题)2 29.已知双曲线(7:=一 斗=1(4 0/0)的左、右焦点分别为石，尸 2,右顶点为A,M 为b的中点，P 为双曲线C右支上一点且P g，耳E,且 ta nN P耳玛=；,则下列说法正确的是()A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为x 土b y =01 3C.P M 平分 NEF F?D.PA=-PF,+-PF,10.对于函数f(x)=妈，下列说法正确的有(X)A./(x)在 x=e 处取得极大值1eB./

4、(x)在 x=e 处取得最大值-eC.f(x)有两个不同零点D.f f W 0 时,3,x-当X R时,三.填 空 题(共 4 小题)13.观察数列 1,ln2,s in3,4,ln5,s in6 ,7,友 8,S in9,则该数列的第11项等于.14.若抛物线丁=4%上的点M 到焦点的距离为10,则 到 y 轴的距离是15.已知圆C过点(1,0),(0,G),(-3,0),则圆C的 方 程 为.16 .设函数/(x)是奇函数/(x)(xe R)的导函数/(一 1)=0,当 x 0 时，f(x)0,则使得f(x)g 24,求数列 ,的前”项和筹.19 .已知抛物线C：V=4 x 的焦点为F,点

5、尸(4,0).(1)设Q 是抛物线。上的动点，求|PQ|的最小值；(2)过点尸的直线/与抛物线C交于M、N两点，若A F MV的面积为6 E，求直线/的方程.2220.已知点A(2,l)在双曲线C:一 一 J =l(a l)上.a cr-1(1)求双曲线的方程；(2)是否存在过点尸(1,-；)的直线/与双曲线相交于A ,8两点，且满足P 是 线 段 的 中点？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.2 1 .设 S“为等差数列 a,的前”项和，已知q=9,$5=2 5.(1)求数列 a,的通项公式；(2)记=一,7；为数列 的前项和，求 7；的取值范围.2 2 .已知函数 f(x)=/

6、zr +；ax2-(+l)x(a e /?).(1)当a=2 时，求函数y =/(x)的极值；(2)求当a 0 时，函数y =/*)在区间 1,e 上的最小值。(a)；(3)若关于x的方程/(x)=g奴2 有两个不同实根与，多，求实数的取值范围并证明：玉马 /.2022-2023学年高二上学期南京市大厂高级中学期末试卷参考答案与试题解析一.选 择 题(共11小题)1 .已知A(-l,l),8(3,1),C(l,3),则A A B C 的边上的高所在的直线的方程为()A.y+2 =0 B.x+y=0 C.x-y +2=0 D.x-y =0【解答】解：边 B C所在直线的斜率原c=W =7，边上的

7、高线斜率A =L又8c 边上的高线经过点A(-1,1),，3。边上的高线方程为、-1 =+1,即x-y +2 =0.故选：C.2 .当点P 在圆V+y 2=l 上运动时，连接它与定点。(3,0),线 段 的 中 点 M的轨迹方程是()A.(x +3)2+y2=l B.(x-3 +y 2=lC.(2 x-3)2+4)，=1 D.(2 x +3)2+4 y2=1【解答】解：设中点M(x,y),则动点A(2 x 3,2 y),A在 圆/+丁=1 上，(2 x-3)2+(2 y)2=l,即(2 x-3)2+4 y2=1 .故选：C.r2 v233.设椭圆C：r+与=1 3 。0)的左、右焦点分别为冗，

8、K，尸为直线了 =二。上一点，a b 2名尸耳是底角为3 0。的等腰三角形，则椭圆C的离心率为()A 6 R 1&D 33 2 2 4【解答】解：设直线x =与X 轴交于点。，2由已知得N Pf；玲=3 0。，N P Q =60。，尸 Q _ L x 轴，:.PF2=FtF2=2c,P 为直线犬=方上一点，.|。8|=十 c,:PF2=2QF2=2(-C)=2C,3 a=4 c.椭圆C的离心率为e =3故选：D.2 24 .已知双曲线4-1=1（4 0/0）的一条渐近线过点（6，2）,且双曲线的一个焦点在ar b抛物线 2=4 夕），的准线上，则双曲线的方程为（）2 2【解答】解：双 曲 线

9、与-0=1（。0,6 0）的一条渐近线过点（6，2）,1用 牛 百/用牛：八 乂 四 钱 一7 7=HCa b可得渐近线的斜率为J l=-=,双曲线的一个焦点在抛物线f=4 y的 准 线 尸-上,可得c=近，即片+从=7,解得。=百，b=2,则双曲线的方程为：=1.故选：C.5 .在数列 中，4=2 0,an=an_x-3（n.29n e N*）,则数列“的前项和取最大值时,的值是（）D.1 0【解答】解:数 列 满足q =2 0,an+l=an-3,数列 氏 为首项为2 0,公差为-3 的等差数列，.数列 ”的通项公式为%=2 0-3(-1)=2 3-3 ,令 2 3-3%,0 可得 上，3

10、等差数列伍“的前7项为正数，第 8 项开始为负数，当数列 4 的前n项和S,取得最大值时，n的值为7.故选：A.6.已知等比数列”“的前”项和为5,，若%0,公比4 1,“3+4 5=2 0，9 a6=.，则$6=（）A.3 1 B.3 6 C.4 8 D.63【解答】解：设等比数列 4 的公比为q,为 为等比数列,/.a2a6=03a5=，a3+a5=20 f.3=4或卜3=1 6,a5=1 6 a5=4当卜3 =4/时，q =2 或 q =-2 （舍去），“5=1 6当 广 时，q =+L（舍去），1%=4 2故q =冬=1,q.6=必 匕 2 =6 3.i-q故选：7 .若函数/（外=依

11、-/心在区间（l,+o o）单调递增，则Z 的取值范围是（）A.（o o ,2 B.（c o ,1 C.2 ,+o o）D.1 ,+o o）【解答】解：f（x）=k-,X-函数/。）=-而 在 区 间（1,-KO）单调递增，r c o.o 在区间（1,+8）上恒成立.k.-fx而 y=,在区间(l,y)上单调递减，Xk.A.的取值范围是：1,+00).故选：8.设等差数列”“,的前项和分别是S.，T ,若名=3_,则 旦=()Tn 3 +7 b33 5 22A.-B.C.1 D.8 11 17【解答】解：等差数列 4 ,的前项和分别是S“，T,4+%5(%+%),4 3=2=2=S$=2x5=

12、5又一 I+一 5(1+一)一 丁 3x5+7-17 2-T故选：B.二.多 选 题(共 4 小题)9.已知双曲线C:-ry2-2v2=im 0力 0)的左、右焦点分别为匕，居，右顶点为A,M 为。4a ba的中点，P 为双曲线C 右支上一点且P E，e E ,且 tanNP耳g=7,则下列说法正确的是()A.C 的离心率为2 B.C 的渐近线方程为x 土 G y =01 3C.PM 平分 N 与P g D.PA=-PF,+-PF2【解答】解:由 题 设 4(-c,0),鸟(c,0)且 c 0,2又 P制，居，所以|P 工|二幺，a而 tan/P 耳=故 工=3,1 2 FF2 4 2ac 4

13、由/=/2 _ 2,则(2。+a)(c-2a)=0,a,c 0,故 c=24，所以。的离心率为2,A 正确；由上 可 得=3/,故 C 的渐近线方程为y=-x =土百工B 错误;a由|P g|=d=3 a,贝力尸耳|=2+|尸8|=5“，故 如=*,a|P入|3而 例 为0 4的中点，则|Mf；|=c +5 =B，|ME I=c-=T，故 必0=,由角平分线性质易知|：P M 平分NF F,C正确；MF21 33 3 1 3PA=PF y+FtA=PF x+-F,F2=PFI+-(F,P+PF2)=-PFt+P尸 2，。正确故选：AC D.1 0.对于函数x)=吧，下列说法正确的有()XA./

14、(x)在x =e处取得极大值1 B./(x)在x =e处取得最大值1eeC./(x)有两个不同零点 D.f(2)/()0),厂令/，(x)=0得x =e,则当O v x v e时，/f(x)0,函数为增函数，当尢6时，fx)e时，函数f(x)为减函数，知 f (3)f()f(4),4 4 2故/(2)/()/52 2 2 2【解答】解：公比q不 为1,，删去的不是q与4,当删去的是见时:ax,%,a4成等差数列，.二2 a =%+2，即 2a4=q+“4,解得q =或（舍）；当删去的是时：q ,a2,4成等差数列，,？4 =4+4，即 2 4g =4+/,解得g=*1.或,=_*+1（舍），综

15、上，q 二号或q=粤,故选：AB.1 2.下列不等式正确的是（）A.当xwA时，ex.x+B.当x 0时，3,次 一1C.当 X GR时，ex.ex D.当 xwR时，x.s i n x【解答】解：对于A：设/。）=x 1,则:（幻=产 1,令r（x）=O,解得x =0,当X（YO,0）时函数单调递减，当X（O,M）时，函数单调递增，所以函数在1 =0时，函数取得最小值/（x）而=/（0）=0 ,故当xeR时，ex.x+,故A正确；对于 3：设/（x）=/n r -x +1,所 以/（外=,_ =_1 _1 2 ,x x令/（力=0,解得X =l,当X（o,l）时，函数单调递增，当X（l,y）

16、时，函数单调递减，所以在x =l时，/（x）w x r=f（1）=0,故当x 0时，/吗,人一1恒成立，故4正确；对于。：设/（x）=/-ex,所以r（x）=e -e,令（外=0,解得工=1,当xw（-o o,l）时，函数单调递减，当xe（l,T8）时，函数单调递增，所以当x =l时，f Mmin=f（1）=0,所以当xcR时，e.ex,故。正确；对于Q：设函数/（x）=x-s i n x ,则/，（x）=l-c o s x.O ,所以/（x）是定义在R上单调递增的奇函数，所以x 0时，x s i n x成立，xvO时，f（x）0 时，xfx)-fx)0 ,则使得/(x)0),X因为 x 0

17、时，xfr(x)-f(x)0 ,所以 g，(x)=r*)x:/(x)0,X故 g(x)在(0,+oo)上单调递减，因为/(X)为奇函数，所以g(x)为偶函数，根据偶函数对称性可知，g(x)在(YO,0)上单调递减，由 g(T)=-l)=0,g C D =f(1)=-/(-1)=0,因为/(x)0,所以 xg(x)0g(x)0 x 0解得 x l 或故答案为：(-1,O)U(1,+oo)四.解 答 题(共 6 小题)17.已知函数f(x)=sinx-ox+6(a,6 e R)的图象在点(0,.f(0)处的切线方程为y=1 .(1)实数a 的值；(2)求函数f(x)在区间 0,1 上的最大值和最小

18、值.【解答】解：(1)函数/(x)=sin x-ar+b(a,6 e R)的图象在点(0,7(O)处的切线方程为y=i nJW fx)-cosx-a,则/(0)=1-a =0,解得 a=l.(2)函数/(x)=sin x-ar+Z(a,6 e R)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为y=1 .所以/(0)=1,可得O_O+A=1,解得6=,/(x)=sinx-x+1,可得/(x)=cosx-l,且x e 0,1,由7(0)=0,解得了 =0,所以/(0)=1,f (1)=cosl,函数/(x)在区间 0,1 上的最大值和最小值分别为1；cosl.18.已知 ,是各项均为正数的等比数列，q=2

19、,4=2 胆+16.(1)求 ,的通项公式；(2)设=l o g?/,求数列 么 的前项和善.【解答】解：(1)设等比数列的公比为(7,由 4=2,%=2a2+1 6,得 2g=4g+16,即/-2q-8=0,解得 q=-2(舍)或 q=4.an=aiq=2x4=22,|,(2)以=log,an=log222n-1=2 n-l,4=1,bn+bn=2(4-1)1 2/2+1 =2,，数列 2 是 以 1 为首项，以2为公差的等差数列，则数列 2 的前N 项和Tn=x l +“(二)x2=2.1 9.已知抛物线C:/=4 x 的焦点为F，点 P(4,0).(1)设。是抛物线C 上的动点，求|P

20、Q|的最小值；(2)过点尸的直线/与抛物线C 交于M、N 两点，若A/旃的面积为6 石，求直线/的方程.【解答】解：(/)设 Qx,y),则 P Q|=J(x _4 +y 2 =J(x-4 1+4 x =7(x-2)2+1 2 ,当x=2 时，|P Q|“而=2 技()设直线/：x =n?y +4 ,M(x,y j,N(x2,y2),焦点 F(1,O).联立消去x 得 2 7殁-6 =o,y=4 x.-.y,+y2=4 m ,yty2=-l6.SMN=自 叩 M M-%1=J x 3x yt+y2)2-4 yty2=|x J(4、6 4 =6lm2+4 =6#,/.7?Z =1 ,直线/的方程

21、为：x y-4 =0.2 22 0.已知点 A(2,l)在双曲线 C:=-=l(al).cr ar-(1)求双曲线的方程；(2)是否存在过点尸(1,-5的直线/与双曲线相交于A,3 两点，且满足P是 线 段 的 中点？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.2 2【解答】解：(1)点 4(2,1)在双曲线C：A-j=l(al)上.a a-13=1，解得/=2 ,a2/-12 2故双曲线的方程：工-X=1：2 1(2)设存在过点尸(1,-3的直线/与双曲线C 交于A、B 两点且点尸平分线段AB,2并设 A(%，y),B(X2,y2),得，(%+x2)(%)2(必 +%)(乂 一%)=。，

22、又A S的中点尸(1,-！)，:.k=y y2=-2.2 演一 为故直线/:y +J=-2(x-l),即 4 x +2 y-3=0.直线的斜率为-2,双曲线的渐近线的斜率为：士立.2.满足条件的直线存在.2 1.设S“为等差数列 q的前”项和，已知氏=9，$5=2 5.(1)求数列 q的通项公式；(2)记=一，7；为数列 的前项和，求7；的取值范围.【解答】解：(1)等差数列”“中，=9，$5=25，4 +4 J=9J u 5x 4 ,45 1 H d=25解得 4=1,d=2,an=2n ,(2)=，t1 1,1 1 、bt l=-=(-),(2H-1)(2H+1)2 2n-l 2n +l.

23、7为 +-L)“2 3 3 5 2n-l 2n+_ ln_ _ 1、一 2 2九 +1)2H+1 *由于 一=下为递增数列，2 +l 2+ln =1时，取得最小值!，且 一 0 时，函数y=/(x)在区间 1,e 上的最小值Q(a)；(3)若关于1 的方程劝=3 以2有两个不同实根达，%,求实数的取值范围并证明:Xjx2 e2.【解答】解：(1)当。=2 时，函数/(尤)=/心+工2 一 3x(x0)./(x)=+2x-3=-，XX令八幻=(),得 x=i或 x=；当 xe(0,g)时，/(x)0,/(x)在(0,；)上单调递增，当 x e(g,l)时，/(x)0,/(x)在(J i)上单调递

24、减，当 xe(I,+0 ,/(x)在(1,+8)上单调递增，则/(X)在x=；处取得极大值，在 x=l 处取得极小值.极大值为/(3)=-防2-；，极小值为/(1)=一2.(2)函数/(X)的定义域是口,e.a(x-)(%-1)fx)=+办 一(a+1)=-(a 0).XX当a 0 时，令/(x)=0 有两个解，x=l 或 x=.1。当0q,L 即 L.e 时，r(x),0,.J(x)在 1,e 上单调递减，e a.,./(%)在 1,e 上的最小值是/(e)=1+耳密2 -(a+I)e,2 当!a 0,/./(幻在 d,e 上单调递增a a./(X)在U，e 上的最小值是 f(-)=-lna

25、-i,a 2a3。当 a.l,即 0 L,1 时，xel,e,r(x).Oa./(犬)在 口，e上的最小值是/(1)=-a-/(%)在口,e上单调递增,综上，Q(a)=,1 9 1l+ae2-(a+l)e,O。,，一2 e,1 1 -Ina-1,a 0),g(x)=,x x x令 g(x)=0 f 得 x=e,当 x(0,e)时，g，(x)0,.g a)在(0,e)上单调递增，当 不(e,+oo)时，0,g(x)在(e,+oo)上单调递减，二.x=e 时，g(x)取得最大值!，且 g(1)=0,得图象如下：eC l+G(0,-)e即当-时，/二!办?有两个不同实根X,x2.e 2两根满足=(a+1)%,lnx2=(7 4-l)x2,两式相加得：/心底)=(4+1)(玉+x2),两式相减地勿上=(+1)(占一X)，上 述 两 式 相 除 得 皿 至=土 也.1 殳 f不妨设内 e2.只需证：历(工也)=1+/1 连 2.x2-x 西_ 2卢-1)即证/X 2.土=一.X 马+大 空+王设1=至 1,令 F=Int-2 一 0=/而 +/-2,X,/+1/4-1则 F t)=1 4 _ (r-1)2t(，+l)2,0+1)20,函数产在(I,+00)上单调递增，且 歹(1)=0.F(t)0,B P Int :.x,.x2 e2.t+