2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》复习训练(附答案).pdf

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1、2022-2023学年九年级数学中考复习 相似三角形综合压轴题专题复习训练(附答案)1 .已 知 正 方 形 中，点E是 边 上 一 点(不 与C、。重合)，将绕点4顺时针旋转90 得到凡 如 图1,连接ER分别交Z C、4B 于点P、G.(1)求证：AAPFSAEPC；(2)求证：P A 2=P G，P F；(3)如图2,当点E是边CO的中点时,，P E=,求4G的长.2 .已知四边形Z 8 C。中.A D A B,A D/BC,/=90 ,A/为边4。的中点，F 为边BC上一点，连接板，过点M作M E,“凡 交边N 2于点E.(1)如图 1,当/4 DC=90 时，求证：4 4 E：+2

2、C F=C D；(2)如图2,当N/QC=1 35 时，线段/E、C F、C。的数量关系为(3)如图3.在(1)的条件下，连接E G EC,E C与尸M相交于点K,线段厂M关于F E对称的线段与N 8相交于点N.若 柩=也，F C=A E,求 处的长.33.如 图1,菱形Z 8 C Z)与菱形G E C尸的顶点C重合，点G在对角线力。上，且（2）探究与证明将菱形GECF绕 点 C 按顺时针方向旋转a 角（0。a 都是直角三角形，/A B C=N A D E=9 0：且 需=器=*连接 8。，CE.（1）求剪的值；CE（2）延长C E 1交3 0于点F,交力B于点G.求s i n/B F C的值

3、.为一边构造矩形/M G（/,E,F,G按逆时针方向排列），连接QG.（1）如 图1,唔=磐=1时，请直接写出线段8 E与线段。G的数量关系与位置关AB AE系；（2）如图2,当 黑=祟=2时，请猜想线段8 E与线段D G的数量关系与位置关系，AB AE并说明理由；（3）如图3,在（2）的条件下，连接8 G,E G,分别取线段8 G,E G的中点M,N,连接 仞V,M D,ND,若 8=,Z A EB=4 5 ,请直接写出/可）的面积.图I国2图37.如 图1,Z X/B C中，Z 5=30 ,点。在8/的延长线上，点E在8 c边上，连接。E,交Z C于点尸.若N EFC=6 Q ,D E=2

4、 A C,求些_ 的值.BE某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现/C与/。存在某种数量关系”；小强：“通过构造三角形，证明三角形相似，进而可以求得也的值.BE老师：如图2,将原题中“点。在8/的延长线上，点E在8 c边上”改 为“点。在边上，点E在B C的延长线上”，添加条件“B C=5愿，E C=4 回：其它条件不变，可求 出 的 面 积.请回答：(1)用等式表示/C、的数量关系并证明；(2)求鸟的值；BE(3)A B Q E的面积为(直接写出答案).8.阅读下面材料，完 成(1)-(3)题.数学课上，老师出示了这样一道题：如 图1,在/8 C中，BA=B

5、C,点尸在/C上，点E在8 F上，B E=2 E F.点。在8 c延长线上，连接力。、A E,A A C D+Z DA E=.探究线段/。与力E的数量关系并证明.同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：”通过观察和度量，发现与N E Z 8相等小亮：”通过观察和度量，发现N E 4 E与 也 相 等小伟：”通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理，可以得到线段40与N E的数量关系.”老师：“保留原题条件，延长图1中的Z E,与B C相交于点，（如图2）,若知道。，与NH的数量关系，可以求出拽的值（1）求证：N C A D=/E A B；（2）求 铛 的 值（用含人的式子表示）；A E（3）如

6、图2,若。，=3/4，则胆的值为（用含左的式子表示）.2 C H9.阅读下面材料，完 成（1）、（2）题.数学课上，老师出示了这样一道题：/8 C中，A B=A C,B C=kAB,J _ Z C交8 c于点。，点E在8 c的延长线上，且=Z BA D+Z E,AF 平分ND 4E交B E于点F,C G LAF垂足为G,探究线段C G与A D的数量关系，并证明.同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现/8 4 O与/。1 相等小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段C G与/。的数量关系老师：“此题还有其它

7、解法，同学们课后可以继续探究，互相交流(1)求证：N B A D=N E A C；（2）探究线段C G与“。的数量关系（用含左的代数式表示），并证明.GD1 0 .如图，矩形/8 C。中，A B=4,4。=8,点E是 边 上 的 一 点，点F是边8 c延长线上的一点，且N E=2 C凡 连接4 C,交 E F 于点O,过E作E P L/C,垂足为P.(1)求证：Z M E s O C R(2)求证：O P长为定值；(3)记/C与。E的交点为Q,当P Q-O P时，直接写出此时/P的长.1 1 .(1)如 图1.A D B C,垂足为。，B E L A C,垂足为E,力。与B E相交于点尸，连接

8、E D.你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？(2)如图 2,在Z 8 C 中，A B=A C,乙4=4 5 ,B E L A C,垂足为 E,P 为 Z 8 上一点，P D L B C 于 D,交 BE 于 F.求证：P F=2 B D；(3)如图 3,在Z 8 C 中，Z C=9 0 ,M 为/C 上一点,连接 B M,Z M B C=Z A,t a nZ A B M=,AM=2,请直接写出8 c的长.(1)如图 1,证明：L A B E s A B C F.(2)如图2,作M、N分别为C F、上一动点，若存在C M，CF=BN BE,试用含k的代数式表示t a n Z P W

9、.(3)在(2)的基础上，连接C N交 MP于 H,型=超连接求8河、MN、8 c的数N H量关系.1 3.“如 图1,在Rt Z /B C中，4cB=9 0 ,于点D”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：型=9.在 图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2,BD BC点E是直线AC上一动点，连接DE,过点D作FD ED,交直线B C于点F,设空二包.”BC m(1)探究发现：如图，若机=，点E在线段Z C上，则 理=；DF-(2)数学思考：如图3,若点E在线段4 C上，则 黑=(用含机，的代数式表示)；当点E在直线Z C上运动时,中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；(3

10、)拓展应用：若N C=立，B C=2l5,=4 历，请直接写出C E的长.1 4 .已知：如图，正方形/8 C D,对角线/C、8。相交于O,。为线 段。8上的一点，ZM Q N=90 ,点、M、N 分别在直线 8 C、D C .,(1)如 图1,当。为线段。的中点时，求证：D N-B M=B C;(2)如图2,当0为线段。8的中点，点N在C Z)的延长线上时，则线段 W、B M、BC的数量关系为;(3)在(2)的条件下，连接M N,交 4 D、B D 于点、E、F,若 MB：/C=3：1,NQ=/日，求 的 长.1 5 .己知四边形/8 C D中，E,尸分 别 是 边 上 的 点，D E 与

11、 C F 交于点G.(1)如 图1,若四边形488是矩形，SLD ELCF.求证：理；C F C D(2)如图2,若四边形N 8 C D是平行四边形.试探究：当N8与/E G C满足什么关系时，使 得 里M成立？并证明你的结论；C F C D(3)如图 3,若 B A=BC=6,D A=D C=S,/比10=90 ,OE J_C R 请直接写出黑的C r值.图16 .如 图1,在四边形/8C。中，点E、尸分别是为8、C Z)的中点，过点E作 的 垂 线,过点尸作CD的垂线，两垂线交于点G,连接Z G、B G、C G、D G,且/Z GO=N BGC.(1)求证：A D=B C；(2)求证：AG

12、DSEGF；(3)如图2,若 力。、5 C所在直线互相垂直，求 整 的值.17 .如图，平行四边形/8 C Q中，为对角线，D F 平分NAD B,交 AB 于点、E,交 C B 延长线于点F.(1)如 图1,求证：期.；E B BD(2)如图2,点G为E F上一点，连接G 8并延长交Q C延长线于点“，若 BG=BE,ZB C D=2 Z A B D,求证：B C=H C；(3)在(2)的条件下，若C F=10,A E=2,求线段G E的长.18.已知四边形4 8 C D的一组对边8 c的延长线交于点E.(1)如图 1,若/N 8C=N Z Z)C=90 ,求证：ED EA=EC,EB；Q(

13、2)如图 2,若N Z 8C=12 0 ,c o sZA D C=,CD=5,A B=2,C QE 的面积为 6,5求四边形/B C D的面积；(3)如图3,另一组对边/8、。的延长线相交于点F.若c o s/BC=c o s N 4)C=亘,58=5,C F=E D=n,直 接 写 出 的 长(用含的式子表示)19.【基础巩固】(1)如图 1,在N 8C 中，D 为 A B 上 一 点,ZAC D=ZB.求证：A C2=A D-A B.【尝试应用】(2)如图2,在 平 行 四 边 形 中，E 为 B C 上一点、,尸为 8延长线上一点，Z B F EZA.若5尸=4,B E=3,求工)的长.

14、【拓展提高】(3)如图3,在菱形A B C D中，E是/8上一点，F是内一点，EF/A C,A C=2 EF,Z E D F=Z BA D,A E=2,D F=5,则菱形/8C O 的边长为.2-图1图2图32 0.【模型呈现：材料阅读】如图，点 2,C,E 在同一直线上，点/,。在直线CE的同侧，Z5C和0)均为等边三角形，A E,8。交于点尸.对于上述问题，存在结论(不用证明)：(1)BCD四4CE；(2)/(?1可以看作是由BCD绕点C 旋转而成.【模型改编：问题解决】点、4,。在直线 CE 的同侧，A B=A C,ED=EC,N B A C=N D E C=5 0 ,直线/E,BD交于

15、F.如 图 1：点 8 在直线CE上.求证：BCDs/A CE；求N 4 F B的度数.如图2：将/B C 绕点C 顺时针旋转一定角度.补全图形，则/力尸8 的度数为；若 将“NBNCu/OECnSO。”改 为“N B A C=/D E C=m ”，则4 4 五 8 的度数为.(直接写结论)【模型拓广：问题延伸】如图3：在矩形/BC。和矩形OEFG中，45=1,。=。=旧，Z)G=3,连接NG,8尸，求盟的值.AGBCE2 1.已知 4 8C 和/(中，NAB C=NE F C=n,点 在力8c 内，且N C/E+N C 8 E=90 .(1)如图，当 Z 8C 和 都 是 等 腰 三 角 形

16、，且 a=90 时，连接B E求证：X A C E s/X B C F.若8E=1,A E=2,求 E/的长.(2)如图，当/C8=/CE 且 a=90 时，若=4，BE=1,A E=2,CE=3,则k的值为(3)如图，当 A BC 和 E F C 都是等腰三角形，且 a=12 0 时，设 8 E=机，A E=n,C E=p,直接写出加，p三者之间满足的等量关系.参考答案1.(1)证明：.四边形 B C D是正方形，/.ZACB=45,由旋转的性质可知，AF=AE,ZE4E=90,：.ZAFP=ZECP=45,NAPF=ZEPC,：.AAPFSAEPC.(2)证明：四边形N 8C Z)是正方形

17、，：.ZCAB=45,：ZAFE=45,NR4G=N4FP,：/APG=NFPA,二 /XAPG/XFPA,.PA _PG市 一 前.R42=PG*PF.(3)解：如图2中，设正方形的边长为2”.图2AAD E绕点A 顺时针旋转90 得至兄：./4 B F=/D=9 0 ,DE=BF,：ZABC=90Q,；.NFBC=180,：.F,B,C 共线，,:DE=EC=BF=a,BC=2a,:CF=3 a，=V CF2+E C2(3 a)2+a2 a:BGEC,：.BG：EC=FB：CF=FG：FE=l：3,D 1 5 厂 口 2 V10 BCJ-a 9 A G ci,GE-a,3 3 3：/G/P

18、=N/EG=45,NAGP=NEGA,：.AAGPsAEGA,.A G _GP,而一而：.AG2=GPGE,.,(5a)、22一=/(-2-V-w-_-a -1,),.-2-/-T-O-a,3 3 3._ 2 Vw a-,5.0 _ 5 _ 2 V w3 5 32.(1)证明：过点尸作尸N_L4。，垂足为M :ADBC,4=9 0 ,A ZB=ZA=90,V Z ADC=90,AD=AB,四边形CD48是正方形，：.NF=CD=AD.,M为边力。的中点，：.AD=2AM=2MD,：.NF=CD=2AM.在/1与MRV 中，V ZJ=90=/M NF=/EM F,:/AME+/NMF=900=N

19、NMF+/MFN,：.NAME=NMFN,：.AAMEs4NFM,.A M =A E=1*NF MN 2,:MN=2AE,MD=AD=CD=MN+DN=2AE+FC,2 2：.2MD=4AE+2CF,：.4AE+2FC=CD,(2)解：如图2,过点C作。于。，过点尸作户于M则四边形/8 F N与四边形尸MT C都是矩形，：.D C=NF=AB=AD,ND=FC.V ZADC=35Q,：.ZD DC=45,V ZCZ/0=90,.C O。是等腰直角三角形，：.CD=DD=-C D,2：.AB=-CD.在 A4ME 与中,:NA=NMNF=90,NAME=/MFN=90-ZNMF,：.4AM Es

20、 丛NFM,.A M _AE_1而一而一 Q：.MN=2AE,J.MD+DD-ND=2AE,(3)解：如图 3,AE=FC=a,贝I CQ=4NE+2尸C=6,.AM=DM=3a AD=CD=6a,在 中，EMPMAW+AE2,:.EM=xI5a,由（1）得 FM=2EM=2y/ia.在 Rt/XMEF 中，tan ZMFE=tan ZEFN.FM 2过 N 作 NPLEF 于 P,汲 N P=x,则 PF=2x,:BE=AB-AE=BC-FC=BF,ZS=90,.BEF是等腰直角三角形，:.NBEF=45,在/ENP 中,NE=,3N P=-X 亚=2=x=EP,3 2 3EF=EP+PF

21、3x=5A/2=B E=X 5 a,*.a=L9：EM1+FM1=EF1,：.FM=2lrW，延长CE、D A相交于点R,在 RtZ/EA 中，JAR/BC,:.NR=NECB,：NAER=NBEC,：.AAE RsABEC,.A R 一杷 a 一 A RBC BE 5a 6 a：.AR=a,521*：RM=AR+AM=a.5YRM/FC,：./R=N K C F,:/R K M=/C K F,:丛RM Ks/CFK,21*FK-CF-MK+FKFM=2W：.MK=F M=TiG.26 133.解：（1）如图1中，作E_LCG于，.图1.,四边形ECFG是菱形，NECF=60,:NECH=L

22、NECF=30。,EC=EG,2:EH ICG,.2GH=CG,电 3。=运,CE2噌=2 泮“：EG/CD,AB/CD,GE/AB,故答案为e.(2)结论：A G=6BE.理由：如图2中，连接CG.四边形4 8 8,四边形ECFG都是菱形，NECF=NDCB=60,ZECG=ZEGC=ZBCA=ZBAC=30,.丛 ECGs 4 BCA,.EC=C G-BC-CA*.EC _BCCG Ch：NECB=NGCA，,.ECBsAGCA,AG=6BE.D(3)如图3中,图3；N4GH=NCGF=30.ZAGH ZGAC+ZGCA,又,./ZM C=/9G+/G ZC=30,:.NHAG=NACH,

23、：NAHG=NAHC,:.HAGSHCA,：.HA：HC=GH：HA,：.AFfi=HG-HC,：.FC=2,CG=MCF,：.G C=2,：HG=3,:.Am=HG*HC=M=9,：AH0,：.AH=3.故答案为3.4.解：（1）./Z08=NCOO=36,N4 0B+ZDOA=Z COCH-ADO A,：.ZCOA=ZDOB,又：OA=OB,OC=OD,:丛CO A 出丛DOB(S力 S),:AC=BD,.A C 1BD故答案为：1;设4 0与BD交于点E,由知，COAQXDOB,:/CAO=/DBO,.*N40B+/DB0=/DEO,ZAMB+ZCAO=/DEO,：.ZAOB=ZAMB=

24、36,故答案为：36；图1(2)在CM8 和OCO 中,V ZAOB=ZCOD=90,ZOAB=ZOCD=30,/.tan30_OD _OB _V3OC OA 34 OB+ZDOA=Z COD+ZDOA,即 NZ)O5=NCO4二DOBsM OA,.丝=改=6,BD ODNDBO=NCAO,V ZDBO+ZOEB=90Q,NOEB=/MEA,：.ZCAO+ZMEA=90,A ZAMB=90,.空 =，NAMB=90；BD图2(3)如图3-1,当点M在直线。8 左侧时,在 R t z OC D 中，NOCD=30,00=1,：.CD=2,在 R t Z O/8 中，N C M B=3 0 ,O

25、B=J 1 5，/.B=2 V13，由(2)知，ZAMB=90a,且 需=愿，.设 8 O=x,则/C=/A/=x,在 Rt/AMB 中，AAP+MB2=4B2,A(V3 x)2+(x+2)2=(2A/13)2,解得，町=3,x2=4(舍去)，.X C-3 6；oM(C)如图3-2,当点”在直线0 8 右侧时,在 R t Z 4 W 5 中，AM+MB2=4B2,：.(V 3 x)2+(x-2)2=(2 后)2,解得，町=4,x2=-3 (舍去)，.AC=AM=43，综上所述，/C 的长为3 7 他或4 6.5.【问题呈现】证明：/B C 和 都 是 等 边 三 角 形,：.AD=AE,AB=

26、AC,NDAE=NBAC=6Q,NDAE-NBAE=ABAC-NBAE,：.ZBAD=ZCAE,:.BADgACAE(SAS),:.BD=CE；【类比探究】解：:/B e 和/O E都是等腰直角三角形,.A D _AB_ 1京一而一7 TZDAE=ZBAC=45,J ZDAE-/BAE=NB4c-NBAE,:.ZBAD=ZCAEf：.ABAD sM AE,B D A B _ 1 _ V 2*C E=A C 77 T【拓展提升】解：(1)等=需=多 N 4B C=/ADE=90：，/A B C s&D E,：.NBAC=NDAE,A B _ A _ _ 3而 而 可；.NCAE=NBAD,:.A

27、CAESABAD,.B D=A D=1C E A E 寸(2)由(1)得：AC AEsABAD,：.ZACE=ZABD,；NAGC=NBGF,：./B F C=ABAC,：.sinZBFC=AC 56.解：（1）由题意得：四边形4 8 8 和四边形ZEFG是正方形,：.AB=AD,AE=AG,NBAD=NEAG=90,ZBAD-ZDAE=NE4G-/D AE,ZBAE=ZDAGf：./B A E/D A G(S),:BE=DG,ZABE=ZADG,：.NADGNADB=ZABE+ZADB=90,:/BDG=90,：.BE.LDG；(2)8 E=DG，B E tD G,理由如下：由(1)得：/B

28、 A E=/D A G,.A D _ A G _oA B A E:.BAESADAG,.或 誓 _=2，ZABE=ZADG,B E A B:.NADG+NADB=NABE+NADB=90,:.NBDG=90，：.BELDG；(3)如图,当8在线段8。上时,作 AHA.BD 于 H,：tan ZABD=2,BH AB.设/=2r,BH=x,在 中，N+)2=(遥)2,:.BH=,4/7=2,在 Rt/AEH 中,V tan ZAEB=,EH,瞿二 tan45=1，EH:,EH=AH=2,:,BE=BH+EH=3,BD=A/AB2+AD2=V(V5)2+(2V5)2=5：.DE=BD-BE=5-3

29、=2,由(2)得：=9.DGLBE,BE：.DG=2BE=6,S =/D G =yX 3X 6=9，在RtaBOG和RtADEG中，点M是8G的中点，点N是CE的中点,DM-GA/=-BG,DNuGNEG，2 2,:NM=NM,/XDM N GMN CSSS),：M N是丛BEG的中位线，:.M N BE,:./BEGS/MNG,.SAMNG ,GM、2一 1ABEG GB 4同上可得：BE=EH-BH=2-1 =1,DG=2BE=2,，S&EG 总BE，DG=L c 工-1 MDI T O-JABEG一了综上所述：DV/N 的面积是2或二.4 47.解：(1)结论：Z C+Z Z)=9 0

30、.图 1：ZBAC=ISO-Z C-ZB=15O-Z C,NBAC=NAFD+/D=60+NQ,.*.1 5 0 -Z C=6 0 +Z Z),NC+NQ=900.(2)过点力作4G_L8C垂足为G,交DE点、Q,过点E作EHLBD垂足为H,则/OHE图 1V Z JG C=90 ,工 NDHE=/AGC./D=/C A G,：.ADEHSAACG.,DH DE 2 A C cA G A C A C：.DH=2AG.V ZB=30,NAGB=90,:AB=2AG.：.AB=DH.：.AB-AH=DH-AH.即 AB=DH.在 RtABHE 中,=cos30=返.B E 2.A D _BH _

31、V 3，-B E B E 2 (3)如图2 中，在 8/上取一点G,使 得 G 8=G C,作 G A L8c于 J,4HLCG于H,EKI.BA交BA的延长线于K.V ZBAC=ISO0-ZB -Z JC 5=180-NADE-NAFD,A 150-ZACB=12O-/AD F,：.ZA C B-300=/A D E,*：GB=GC,GJ工BC,：.Z GCB=NB=30,2二 NACH=ZACB-300=NEDK,BG=CG=-o=5,c o s 3 0V ZACH=ZEDK,NAHC=NK=90,，丛 DEKs/CAH,EK=DK=PE=9A H C H A C 在 RtZk8KE 中，

32、,:NK=90,Z5=30,8 =9 6，4R.2 72 2.,_蓊 A n-,4Jg gZ.G H=-A H=,3 4：.CH=CG-GH=,4：.DK=2CH=,297 11，BD=BK-D K=-=8,2 2SABDE=*BDEK=-X 8 X =18 /3.故答案为isVs.8.(1)证明：如 图 1 中，DB图1；BA=BC,：.NBAC=/BCA,V ZJCZXZDJE=180,ZJCZHZCB=180,ZDAE=ZACB,：./DAE=NBAC,：.NDAC=NB4E.(2)解：如图2中，过点C作交ZQ于点M.:NDAC=/BAE,：./AEBs/AMC,.A C _A M _C

33、 M 互而专，：AB=kAC,州 得 的0 1 3眇:BE=2EF,2 01下 密k ZAEF=/EAB+NABE,ZDMC=ZMAC+ZACM,：.ZDMC=NAEF,NACB=ND+NDAC,ZDAE=NDAC+/E4E,NDAE=N4CB,：./D=/FAE,:,/DCMs/AFE,.1 DM CM二，AE EF2D】TAE，k2J AD=AM+DM=AE，k AD 3 二一.AE k(3)解：如图3中，过点8作8 N/C交N E延长线于点MND=NCAH,NAHC=NDH4,：.AHCsADHA,DH AD 32AD-|AC，；AB=kAC,2，AD 嗑 AB，.AD=3，AE k设

34、ZH=2a,AB=BC=h,:DH=3a,AE卷b,：NE=2AE,:NE=b,/EH=AH-AE=EN-NH,2 NH-|廿2 a，：Am=HCDH,由(2)知,BN=yak，；AAD H sANBli,.A D PH*NB NHAb.2 k =3 a,y a k fb&，：.9b2-Uab-20a2权=0,(2-2 +5 k 2)a ,八,(2+2 x/n-5 k2)a,b广-j-(舍)b2=-3-.A B _1+山+5k2C H 2故答案为：J+V那 仁9.(1)证明：t：AB=AC,:./B=NACB,?N4C8是/0),OC=n(n 0),则 P E=2加，PG=4m,:EOGSFO

35、C,EG O G-CF OCJ O G=4 O C=4，/.AC=ZAP+PG+OG+OC=加+4加+4 +=4 f 5，.一 4旄 2+-,5OP=PG+OG=4m+4n5所以O P是一个定值;图2由(2)知：AP=m(m0),AE=l5m,JAE/CD,：.XAEQsXCDQ,.A E A QCD CQ卜4泥.Y|2=-*,解得：机=鲸1 2,4 “/7 W5 54V 5 -mV 0 V 5 m4,y 4 V 5 0 tn-,5-2.51 1.解：(1)共有八对，BDFSBEC,/XAEFADC,BDFS E F,X B E C sxADC,ACDEsACAB,/DEF/BAF,/AEF/

36、BEC,/XBDFAADC；理由：9：ADBCf：.BEX.AC,：.ZBDF=ZAEC=90,：/D B F=4E B C,BD Fs/BEC;同理：XAEFsXAD C，、:NBDF=NAEF,/B F D=/A F E,：.BDFS/4EF；:/C B E=/C A D,VZC=ZC,:A B E C sA A D C;C E B C =,C D A C.C E C D-=-，B C A CVZC=ZC,.C DES&B；：/B D F s2A E F,DF B F,EF A F/A F B=/E F D,:/D E F sA B A F;利用相似三角形的传递性得，A A E F s4B

37、 E C,ABDFSAADC(2)如图2,过产作PG/C,分别交BE、BC于点、H、G,：.ZBP G=ZA=45,/C=N P G B,9：BE LAC,:.PH IBE,:/BHP=90,:/PBH=900-NBPG=45=/B P G,:HP=HB,/XPBH是等腰直角三角形，9：AB=ACf:NC=NB,：.NPGB=NB,:PB=PG,:PD IBC,:BG=2BD,V ZPFH+ZFPH=90,ZPFH=ZBFD,：NBFD+NFPH=90,:NBFD+NFBD=90,J /F P H=/FBD,在/PHF 和 ABHG 中，/FP H 二 N FB D0),则5尸=3 x,根据勾

38、股定理得，A f=p)n2+.glp2=A/16X,过点A 作 AQ VBM 交 BM 的延长线于Q,：.ZQ=90,：.ZMAQ+ZAMQ=90,/AM Q=NBM C,：.ZMAQ+ZBMC=90,V Z C=9 0 ,:/CBM+/BMC=90,A ZCBM=NMAQ,.*ZMBC=Z J,：.ZMAP=ZMAQ,9：MQAQ,MPLAB,.MQ=MP=x,：.BQ=BM+MQ=Wx+x=(VlO+1)x,在 RtA4。加r中，ta n N/8/=5，.A Q _ 1,(V T 6 +1)x 3._(V 1 O+1)XQ 3 ；/0=/C=9 O ,NAMQ=NBMC,二M Q s/B

39、M C,.M Q =AM=AQ丽 BM -C B G H 5+1)X.x _ 2 _ 3C M V T o x C B.C/皿,5 c四 了,2 6在RtZXBCW中，根据勾股定理得，BO+CW=Bm,图3中一1 0+V 1 0.?z,_ V 1 0 (A/W+1)6一半 落)2=(V l O x)2,V QI 5+i)x 1 8 _6 ，i(W15:D G图212.(I)证明：,矩形/8 C。中，BELCF,，N/=NF8C=90,NABE+/BFC=9Q：./B F C=ZAEB,.A A B E sB C F；(2)解：连接NP,CF与BD交于点、O,NAEB+NABE=9Q,，：CM、

40、CF=BN-BE,.O F=B NB E C M 又：LAB EsABC F,.C F=B C*B E A B，.绰=无，四边形4 8 8 为矩形,A D.C F _ B N _ B C _ 1而一而 融 7:CPLBD,:.NCPB=NBCD=90,又,：NC BP=/D BC,:.丛 BPCs 丛 BCD,B P _ B C _ B C _ 1节 一 而 一 葩 工 B N _ B P丽 评 又，：BELCF,CPLBD,NBOF=NCOP,：.ZNBP=ZPCM,：.P C M sg P B,：.NMPC=ZNPB,：CPLBD,；/MPC+/BPM=90,A ZNPB+ZBPM=90,

41、A ZNPM=9Q,P N：.tanZPMN=P MB N 1C M k(3)解：结论：BO=lfiM m (P+1)Bm.理由：如图，过点。作CG_LPM,交尸M的延长线于点G,*：PN工PM,CGLPM,:CGPN,c 土叩H C G-=依,SA P M N y-P M P N.SAPMC _ SANPB.SAPMN=SAPBN,:PNBM,：.BMLPM.:NBMP=90,:B0+Pm=BP2,里=里=左，P B P NI k:BP=i BC,PM=-j=一MN,V k2+1 V k2H:.BO=mMN+(依+1)BAfi.1 3.解：（1）当加=时，即：BC=AC,V ZACB=9Q,

42、A ZA+ZABC=90Q,CD LAB,：.ZDCB+ZABC=90,J NA=NDCB,V ZFDE=ZADC=90,ZFDE-ZCDE=ZADC-/CDE,即 NADE=NCZ)产，J /ADEs/CDF,.DE _ A D0，DF DC V ZA=ZDCB9 NADC=NBDC=90,AADCSACDB,A D _ A C 一 1 ,DC B C.DE_.一 1 ,DF故答案为1.(2):/C加。，4+N/8C=90,JCDLAB,：.ZDCB+ZABC=90Q,:./A =NDCB,:NFDE=N4DC=90,：.ZFDE-ZCDE=ZADC-NCDE,即/=/C(F,二 AADEs

43、ACDF,DE _ A D而一而,:/A =NDCB,/ADC=NBDC=90,，AADCS CDB,A C nDC B C m.DE=n*，DF-m，故答案为卫.i nE,ZACB=90,A ZA+ZABC=9Q,5L,：CDAB,：.ZDCB+ZABC=90,/.NA=NDCB,：ZFDE=ZADC=90a,，NFDE+NCDE=ZADC+ZCDE,即 ZADE=ZCDF,：./ADEs fCDF,.D E _ A D D F-D C,:/A =NDCB,NADC=NBDC=90,，AADCsCDB,.A D _ A C nD C B C m.D E _ n*D F-m(3)由(2)有，I

44、XADEsACDF,.D E _ A C _ 1 D F B C-7).A D _ A E _ D E _.1*C D-C F-D F-2，：.CF=2AE,在 RtZXQE尸中，D E=22,。尸=4询，,F=VDE2+DF2=V(2V2)2+(4/2 )2=2同，当 在线段 NC 上时，在 RtZCE/中，CF=2AE=2(AC-CE)=2(V5-C),EF=2标，根据勾股定理得，C球+CF=E拜,.-.C2+2（V5-CE）2=40：.C E=2 j5,或 C E=-g p （舍5而 4C=,或 C E=-2 E.(舍)5即：CE=2日 或 =祖 立.51 4.解：(1)如图1,过。点作

45、QPLBD交DC于P,：.ZPQB=900.V ZMQN=90,/N Q P=ZMQB,四边形4 8 8 是正方形,：.CD=CB,NBDC=NDBC=45.DO=BO：.ZDPQ=45,DQ=PQ.：.ZDPQ=ZDBC,.NP PQMB OBT 0 是。的中点，且 P0J_8),：.DO=2DQ,D P=D C：.BQ=3DQ.DN+NP=BC,：.BQ=3PQ,.NP 1.-,M B 3：.NP=BM.3：.D N B M=BC.3 2(2)如图2,过。点作交BC于”，：.ZBQ H=ZDQH=90,A ZBHQ=45Q.VZCC?S=90,C.QH/OC.0是 OB的中点，：.BH=C

46、H=BC.2 :NNQM=90,/N Q D=/M Q H,u：ZQND+ZNQD=45,NMQH+/QMH=45:NQND=NQMH,A Q H M s 丛 QDN,.H M _ Q H _ Q M _ 1 N D -D Q -N Q 7，：.HM=ND,3:BM-HM=HB,0 L 故答案为：悬B C(3)VMB：MC=3：1,设 CM=x,:,MB=3x,:CB=CD=Ax,:HB=2x,：.HM=x.9：HM=NDf3:.ND=3x,：.CN=lx 四边形48。是正方形，：.ED/BC,:.X N D ESX N C M,ADEFs/XEMF,.ND DE J F 而京丽B M=FM，

47、.3x DE NE.3 Tx 而333 x FM 7,:NQ=,.,.QM=35,在中，由勾股定理得:)2+(3 7 5 )2=15版.NE 3.际777设后尸二，则尸W=7a,15.(1)证明：.四边形/8。是矩形,A ZA=ZFDC=90Q，：CFDE,：.ZDGF=90Q,；.N4DE+NCFD=90,NADE+NAED=90,:.NCFD=NAED,：NA=/C D F,：./XAED/XDFC,.D E =A D.CF CD(2)当N 8+/E G C=180时，理=世 成 立.CF CD证明：.四 边 形 是 平 行 四 边 形，:.NB=NAD C,AD/BC,：.ZB+ZA=S

48、O,VZ 5+Z G C=180,:.N4-ZEGC=NFGD,；ZFDG=ZEDA,.DFGS DEA,.D E =D F A D D G ZS+ZG C=180,Z,GC+ZLGC=180,ZCGD=A CDF,：ZGCD=NDCF,.CG D sC D F,.D F _ C FD G C D .D E _ C F*A D田.DE=A D C F C D 即当/8+/E G C=180时，理=世 成 立.C F C D解:崔磴理由是：过 C 作 CN_LHD于 N,CM_L48交 延 长 线 于 M,连接8。，设CN=x,：ZBAD=90a,g|l AB LAD,A=Z A/=Z CNA-

49、90 ,.四边形Z/C N 是矩形,:AM=CN,AN=CM,在8 4 0 和3C Q 中瓦 二 CDAB=BCkBD=BD:A B A D冬/BCD(SSS),：.ZBC D=ZA=90,N/4C+N4DC=180,NA8C+NC8M=180,J /M B C=ZADC,:/C N D=/M=9 0。,：4B C M s 丛 DCN,.C M _BC C N C D.C M _6x 8CM x，4在 RtZCM8 中，C M -x,BM=AM-A B x-6,由勾股定理得：BMi1+CMP-=BC1,4(X-6)2+(X)2=62,4x=0(舍去)，x=,92,2 5V ZA=ZFGD=90

50、,A ZAED+ZAFG=O,./4FG+NNFC=180,，NAED=ZCFN,:/A =NCNF=9Q,，丛 AED s 丛 NFC,理 _ 延 _ 8 空 布C N 型 2 416.(1)证明：:G E 是 4 8 的垂直平分线,：.GA=GB,同理：GD=GC,在/G Q 和8G C 中，GM GB ZAGD=ZBGC,G D=G C:./AG D迫/BGC(SAS),：.AD=BC-,(2)证明：V ZAGD=ZBGC,：.NAGB=NDGC,在Z G B 和D G C 中，=-,G D G C，AAG BsAD G C,.E G =G A ,FG G DX V NAGE=NDGF,