2021年中考数学压轴题讲次02 图形的运动（教师版）.pdf

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1、专题0 2图形的运动模块一：图形的平移例 1.如图，RfAABC中直角边4?=6,6c=8,沿边4 7将向下平移至RrATBC.已知阴影部分两边长4 r =3,徵=4,则 阴 影 部 分 的 面 积 为.【难度】【答案】18.【解析】由题意可知：A8=6 3=3,BD=S-4 =4,AABC=5 x 6 x 8 =24,S&DBA=x 3 x 4 =6,阴影部分的面积为24-6=18.【总结】考察平移的性质的运用.例 2.如图，在平面直角坐标系中，点/的 坐 标 为（0,6）,将 A Q A 8 沿 x轴向左平移得到4 0 2，*,点/的对应点4 落在直线y =上,则点6 与其对应点9 间的距

2、离为【难度】【答案】8.【解析】由平移的规律可知A 的纵坐标为6,.点4 在 y 二-1彳上，A（-8,6）.A A =8,，由平移的规律可知B 8，=4 A=8.【总结】考察平移的性质及点的坐标的确定.例 3.（2 0 2 0 崇明二模）如图，将 A A 8C 沿 BC 边上的中线A O 平移到AA B C 的位置,己知MBC 的面积为1 6,阴影部分三角形的面积为9,如果A A =1,那么A O 的长为【答案】3分析】先证明a D A E A D A B,再利用相似三角形的性质求得A D 便可.【详解】如图,V SAAB C=1 6,SAA，EF=9,且 AD 为 BC 边的中线，S A，

3、DE=5 S A.EF=4.5,S A B D=S A B C=8,.将4A B C沿BC边上的中线AD平移得到A B C,：.A EAB,.DA EADAB,贝一回 A D V 4.5 I A f J S J1 4 0+J 83解得 A D=3 或 A?D-（舍），7故答案为3.【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点.例4.如图，AA8C和AO8C是两个具有公共边的全等的等腰三角形，AB=AC =3cm,BC =2cm.将S B C沿射线比平移一定的距离得到的 四 弓，连 接AC,、B Dt.如果四边形是矩形，那么平移

4、的距离为 cm.AA【难度】【答案】7.【解析】作 ，必于公ZAEB=ZAEC；=90,ZBAE+ZABC=90.48=AC,BC=2cm,J BE=CE=-B C=.2 四边形4 8 R G 是矩形，NBA 6 =90 ZABC+Z/iqB=90,/BAE=ZAC】B,RF A R：.AABESAG BA，：.=，则 8G=9,AB 8 clCG=BCBC=9-2 =L【总结】考察平移和矩形的性质的综合运用.例 5.己知A48C中，AC =5,比=6（如图所示），将&4BC沿射线比 方向平移卬个单位得到AD防，顶 点 4、B、。分 别 与 久E、尸对应，若以点4D、为顶点的三角形是等腰三角形

5、，且总为腰，则仍的值是.【难度】【答案】6 或纪.6【解析】当 O E=A E时，作垂足为也 作/1AJ_6C于 则四边形4恰V是平行四边形，；.A M=N E .A M=-A D=-m,C N =-B C=3.2 2 2：AC/D F,AD/C F,二四边形力江是平行四边形，.AD -CF,即4?+1，=6-（3-1 加,解得：z=6；2 2 2）当A=AE=机时，.将/6C沿射线8C方向平移了小个单位得到戚，.,四边形4喇是平行四边形，BE=A D =tn f：.N E=m -3 .,：A N2+N E2=A E2,42+(m-3)2=m2 解得：in=.综上所述，当雨=6 或纪 时，力加

6、是等腰三角形.6【总结】本题主要考察平移的性质、等腰三角形的性质的综合运用.模块二：图形的旋转例 1.在下列图形中，中心对称图形是()A.等腰梯形 B.平行四边形 C.正五边形 D.等腰三角形【难度】【答案】B【解析】某一图形绕着一点旋转1 8 0 后可以与本身重合，这该图形为中心对称图形.【总结】考察中心对称图形的定义.例 2.如图，A B C是等边三角形，若点4 绕点。顺时针旋转3 0 至点4,联结A B,则ZABA,度数是【难度】【答案】1 5 .【解析】由题意可得：AC=A C ,Z ACA=3 0 .4 式1 为等边三角形，N ACB =N AB C=6 0 ,A C =BC ,A

7、BC=A C,NABC=NBAC=75,ZABA=750-60=15.【总结】考察旋转的性质及等腰三角形性质的综合运用.例 3.将矩形四徵（如图）绕点力旋转后，点。落在对角线”上的点。，点 C落到C；如果 4?=3,BC =4,那么CC的长为.【难度】【答案】V10.【解析】四边形/版为矩形，NB=NO=90。，A D=B C =4,则 AC=7 不=5.由旋转的性质可得：NAC=ND=90。，AC =AC =5,A D=A D=4.D C =D C =3 ,：.DC=5-4 =1 .A C C2=C D,2+D C2,即 CC=7L5.【总结】考察旋转的性质及勾股定理的综合运用.例 4.（2

8、020闵行二模）如图，已知在4B C中，AB=AC=4,ZBAC=3 0,将Z8C绕点Z顺时针旋转，使点8 落在点与处，点 C 落在点Ci处，且联结B C 和 C C,那么 BiC iC面积等于.B【答案】8-4 6【分析】先根据题意画出图形，然后根据等腰三角形三线合一得出口4 5 c 绕点“顺时针旋转的角度，然后证明ACC；是等边三角形，利用等边三角形的性质得出C G=A C 和AB,1 e q,再根据锐角三角函数求出用尸的长度，最后利用S 8,G c=g c C/4/求面积即可.【详解】如图,AB=AB,BBi A C,:.ZDABi=ZBAD=3Q,:.ZBAB=60,A B C绕 点/

9、顺 时 针 旋 转60。得到口B A C,.-.ZCAC,=60.AC=AC1,.ACC；是等边三角形，:.CC=AC=4,AB11.CC.AC=4,NC4F=30。,AF=AC-cos30=2 V 3，:.BF=A31-A F =42 6，:.S MGC=；CCi，4 F =；x4x（4 2岔）=8一4如,故答案为：8-4/3.【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，能够画出图形并求出旋转角是解题的关键.例 5.（2020 长宁、金山区一模）如图，在&DABC 中，NA8C=90,AB=2,8 c =4,点 尸 在 边 上，联结A P,将ABP

10、绕着点A旋转，使得点P与边A C的中点M重合，点8的对应点是点3,，则8B 的 长 等 于.【答案】|V io【分析】如图，延长AB，交BC于E,过点B，作BDJ_AB于点D,由勾股定理可求AC的长，由旋转的性质可求AP=AM=石，NPAB=NCAE,AB=AB，=2,通过证明ABPsCBA,可得NPAB=N C,可得C E=A E,由勾股定理可求CE,BE的长，由相似三角形的性质可求BD,BD的长，即可求解.【详解】如图，延长AB咬BC于E,过点B作BD_LAB于点D,VZABC=90,AB=2,BC=4,AC=J 742+BC?J16+4=275 .点M是AC中点,.,.AM=V5 .将4

11、ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合,AAP=AM=75-ZPAB=ZCAE,AB=AB=2,VAP2=AB2+PB2,；.PB=1,3又 亲2.BA BC且NABP=/ABC=90,.ABPACBA,.ZPAB=ZC,；.NC=/CAE,，CE=AE,VAE2=AB2+BE2,；.CE2=4+(4-CE)2,5.CE=AE=,23.BE=一,：BDBC,.,.A B D A A E B,_A_B_ _ _A_D_ _ _B_D_ AE AB BE2 AD BD2 28 6；.A D=，B D=-,5 58 2BD=AB-AD=2-=5 5：.BBBD2+BD2故答案为：-V i

12、o.【点睛】本题考查/旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出C E的长是本题的关键.例6.如图，底角为0的等腰A A B C绕着点6顺时针旋转，使 得 点/与 边8 c上的点，重合,3点。与点后重合，联结力、C E.已知t a n a=,AB=5,则 二 4c【难度】【答案】:厢.【解析】作AfL L BC 于 H,EFL BC 千 F,则BH=C H.AH a在直角力切中，t a n N A 3 H =t a n a =B H 4设 4 H =3，则 B H =4 z,/.A B =jAH2+B H2=5 t,A 5 r =5 ,即 1,.B C =2 B

13、 H=S.,等腰/1 比 绕着点8 顺时针旋转，使得点力与边比上的点重合，/.Z C B E =a,B E=BC =8 .FF q在直角应下中，t a n N E A F=t a n a =-=,B F 4设 E F =3 x,则 B F =4 x,/.B E=E F2+B F2=5 x ,；.5 x =8,即1=,5.E F =2 4 ,BF =32 ,1则nl CiFc=8-3-2 =8，5 5 5 5【总结】考察等腰三角形的性质和旋转的性质的综合运用.模块三：图形的翻折1、翻折与轴对称图形（1）把-一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫

14、做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点.（2）轴对称图形是一个图形关于某直线对称；轴对称是两个图形关于某条直线对称.2、轴对称（1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称.（2）轴对称的图形的性质：两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；在成轴对称的两个图形中，分别连接两对对应点，取中点，连接两个中点所得的直线就是对称轴.例1.窗花是我国的传统艺术，下列四个窗花图案中，不是轴对称图形的是（【难度】【答案】D【解析】某图形沿着一条直线翻折后

15、可以完全重合的图形成为轴对称图形.【总结】考察轴对称图形的定义.例2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【难度】【答案】A【解析】某图形沿着一条直线翻折后可以完全重合的图形成为轴对称图形；某一图形绕着一点旋转1 8 0 后可以与本身重合，这该图形为中心对称图形.【总结】考察轴对称图形和中心对称图形的定义.例 3.下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是（）A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.等腰梯形【难度】【答案】D【解析】某图形沿着一条直线翻折后可以完全重合的图形成为轴对称图形；某一图形绕着一点旋转1 8 0 后可以与本身重合，这该图形为中心对称图形.

16、【总结】考察轴对称图形和中心对称图形的定义.例 4.（2 0 2 0 松江二模）如图，四边形488是。的内接矩形，将矩形/1 8 CD 沿着直线B C翻折，点/、点。的对应点分别为A D ,如果直线A D 与OO相切，那么力；的值DC为.【分析】设直线H。与 相 切 于G,连接OC,OG交.B C于E,根据折叠的性质得到AD=BCA D,ABCDCD=H B,过。作 O_LC。，根据垂径定理得到。=工2C D,根据切线的性质得到OGLH D,设4B=CD=C6=A B=x,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：设直线H D 与。相切于G,连接OC,OG交BC于E,将矩形ABCD沿着直线BC翻折

17、，：.AD=BC=A D,AB=CD=CD=A B,过。作 OH LCD,：.CH=CD,2:直线H D 与O O相切，A OGA D,：BC/A D,OGLBC,则四边形OECH是矩形，C E=BE=LBC,2：.CH=OE,设/8=C Q=C =A B=x,：.OE=x,20C=0G=2x,2CE=VOC2-OE2=(-)2-(y x)2=上，：.BC=2CE=2yf2s，.AB_ X BC 2A/2X 4故答案为：返.例 5.（2020宝山二模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF,若 AB=4,B C=2,那么线段EF的长为.【答案】B【详解】如图所示，AC交

18、 EF于点O,由勾股定理知A C=2j,又；折叠矩形使C 与 A 重合时有EF J_AC,贝 lj RtAAOERtAABC,OE AO.,.0E=22故 E F=2O E=5故答案为6.考点：翻折变换、勾股定理及矩形的性质.例 6.（2020黄浦区一模）如图，在矩形ABCD中，点 E 是 CD 的中点，将ABCE沿 BE折叠后得到ABEF、且点F 在矩形ABCD的内部，将 BF延长交AD于点G.若 学=,则必GA 7 AB【答案】V2分析】连接GE 根据中点定义可得DE=CE,再根据翻折的性质可得DE=EF1/BFE=90。口DG 利用HL”证明R3EDGM2RtAEFG,根据全等三角形对应

19、边相等可得FG DG,根据=-GA 7设 DG=FG=a,则 AG=7a,故 AD=BC=8a,贝 I BG=BF+FG=9a,由勾股定理求得 AB=475a再求比值即可.【详解】连接GE,/点 E 是 CD的中点，EC=DE口.将BCE沿 BE折叠后得到ABEF、且点F 在矩形ABCD的内部,；.EF=DE ZBFE=90在 RtAEDG 和 RtAEFG 中=C=1 2 a,根据题意求出m根据勾股定理求出8 C,根 据“等分周长线”计算，得到答案.【解答解：作。“1/8于，设 BH=5 a,CH五:C H=T2a,:AB C D,：.ZD=ZA=90 ,又 C H L AB,四 边 形 力

20、 为 矩 形，：AD=C H=12a,C D=AH,:D C=A D,：.AH=C D=l2a,由题意得，1 2 a+5 a=1 7,解得，=1,：A D=CD=A H=12,B H 5,在 Rt ZC 8 中，fiC=7 c H2+B H2=1 3,.四边形 X B C。的周长=1 2+1 2+1 7+1 3 =5 4,：CE是梯形A B C D的“等分周长线”，二点E在 上,17+13-27=3,:.EH=12-3=9,由勾股定理得，C=VCH2+E H2=15,.8CE 的周长=14+13+15=42,故答案为：42.7.（2020黄浦二模）已知等边aABC的重心为G,ADEF与aABC

21、关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S AABC的面积记作S2,那么廿的值是【分析】如图，根据点G是等边aABC的重心，得到AD垂直平分BC,AD是NBAC的角平分线，根据中心对称的性质得到DEFgZXABC,AG=DG,EFB C,推出AQH是等边三角形,得到AQ=HQ=AH,求得它们重叠部分为边长=Q H的正六边形，设A B=3 a,则Q H=a,根据等边三角形的面积健康得到结论.解：如图，,点G是等边ABC的重心，；.AD垂直平分BC,AD是NBAC的角平分线，；.AG=2GN,设 AB=3 a,则 A N=X 3 a=a,4 4VAD EF与AABC关于点G成中心对称，.,.D

22、EFAABC,AG=DG,EFBC,；./AQH=/A B C=/A H Q=/A C B=60,.A QH 是等边三角形，.,.A Q=H Q=A I l=-yA B=a,.A P=叵i,4它们重叠部分为边长=Q H 的正六边形,.S|=6 X 返a ，S?=叵 义(3 a)2,4 42.S-6X_2s2 7 3 2 3，2 号X 9 a 4故答案为：得.O8.(2 0 2 0 黄浦二模)已知00的直径A B=4,OD与半径为1 的。C外切，且(D C 与(D D 均与直径A B 相切、与。0内切，那么。D的半径是.【分析】分。D与。C在直径A B 的同侧、OD与。C在直径A B 的两侧两种

23、情况，根据圆心距与两圆半径的数量关系、勾股定理列方程计算，得到答案.解：当。D与。C在直径A B 的同侧时，作 D H J _ 0 C 于 H,D N _ L0 B 于 N,连接C D,连接()D并延长交。于G,设D的半径为r,则 0 D=2-r,C D=l+r,。0的直径A B=4,0C的半径为1,0C与。0内切,与。内切于点0,.C 0 1 A B,V C 0 1 A B,D 1 I O C,D N 1 0 B,四边形H 0 N D 为矩形，.0 H=D N=r,D H=O N=J)2 -2,/.C H=1 -r,在 Rt z C D H 中，C H2+D H2=C D2,即(1 -r)2

24、+(2 -r)2-r2=(1+r)解 得,rg,当OD与OC在直径A B 的两侧时，OC与。D的半径相等，都 是 1,故答案为：或L9.（2 0 2 0 虹口区一模）如图，在等腰梯形 A B C D 中，A D B C,si n C=A,A B=9,A D=6,点5E、F分别在边A B、B C ,联结EF,将a B E F 沿着EF 所在直线翻折，使 B F 的对应线段B F经过顶点A,B F交对角线B D 于点P,当 B F _ LA B 时，A P 的长为.【分析】解直角三角形求出BF,A F,再利用相似三角形的性质求解即可.【解答】解：如图，VFBZ 1AB,NBAF=90,四边形ABC

25、D是等腰梯形，A ZA BC=ZC,/.sin Z A B C=sin Z C=-=,BF 5设 AF=4k,B F=5 k,则 AB=9=3k,k=3,AAF=12,BF=15,VAD/7BF,AAAPDAFPB,.PA=AD=_6_=2P F 而 元 可；.P A=2P A=7 7故答案为丝.710.（2020松江区一模）如图，矩形中，AD=,4 8=左.将 矩 形 绕 着 点 8 顺时针旋转90。得到矩形A BC D.联结A D，分别交边C D,A B于瓜凡如果A E=D F ,那么k=.【答案】k=V2+1【分析】由矩形的性质和旋转的性质可求AD=AD=1,AB=AB=k,Z A=ZD

26、AB=90=ZAQ D E AEDCB=ZABC,通过证明A D E sFA T T,可得F=B=可求 DE,AF 的长，A F A D D F通过证明A D T s C E F,由相似三角形的性质可求解.【详解】解：将矩形ABCD绕着点B 顺时针旋转90。得到矩形A B C D,AD=AD=1,AB=A，B=k,Z A*=Z DAB=90=Z DCB=Z ABC,ADBACDJ ZADT=ZFEC=ZDEA,且ND=NA=90。,AAADEAFAV,A D D E A E 1l-=-=-,且 A E=ODF,A F A。D F 7D E =A D =/2,4 尸=讨 当,V Z A,=ZDC

27、F=90,ZATDZEFC,.A F A C E F,.E C FCk Q22k f2+1故答案为：垃+1【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求DE,A T 的长是本题的关键.11.如图，钝角A48C中，tanNE4C=二，BC =4,将三角形绕着点力旋转，点 C落在直线4股上的点C 处，点吕落在点夕处，若 C、B、5,恰好在一直线上，则四的长为_ _ _ _ _ _.【难度】【答案】|V T o.【解析】作 5 肛 4 C 于点M,作 CNLAC与点N,则/；：监 则 5x+y=4y,B|J%=-y3 3 5BN2+CN2=BC2,即:/+（

28、3y）2=1 6,解得：y =1 7 n j.贝 ijx而，AB=5x=-V1026 5【总结】考察旋转的性质和锐角三角比的综合应用.12.如图，RtAABC中，NBAC=90。，将 AABC绕 点 C逆时针旋转，旋转后的图形是AAC,点力的对应点A 落在中线4上，且点A 是AABC的重心，A g 与 回 相 交 于 点“那么B E:C E=.【难度】【答案】4:3.【解析】；NA4C=90。，点A 是AABC的重心，:.BD=AD=CD,D A=-A A=-A D =-B C2 3 6由旋转的性质可得：CA,=CA,BC=CB,ZACB=ZACB=ZDAC,ZCAB=90/.ZD AB=ZB

29、 .Z.DA,/CB.nA,np i=-,设。E=/,则 EC=6k,A BE=DC=lk,BE=8k.CB,EC 6BE:CE=8k:6k=4:3.【总结】考察三角形的重心和旋转的性质的综合运用.13.如图，在 AA8C 中，NCA8=90。，4 6=6,AC=4,切 是&4BC 的中线，将 A4BC 沿直线 缪 翻 折，点 3 是点8 的对应点，点 是线段切上的点，如果NCAE=N B A ,那么位的长是.【难度】【答案】.5【解析】由题意可得：ZBCD=ZDCB/CBD=/C B D ,AD=D B=D B,：.ZDBB=ZDBB：2ZDCB+2ZCBD+2ADBB=18(P,/.ZDC

30、B+/CBD+90。.ZCDA=ZDCB+ZCBD,ZACD+ZCDA=90,/D B B =/ACE.AD=DB=DB=3,NABB=90.NACE=A ABB,ZCAE=ZBAB,AACEAABB：.ZAEC=/A B，B=90.,/CD=A/AC2+AD2=5,.,.由 A C A D 。-A E，可得：AE=,2 2 5/.CE=A C1-A E1=.【总结】考察翻折的性质及勾股定理的综合运用.14.如图，扇形以B的圆心角为2 a,点尸为AB上一点，将此扇形翻折，当点。和点尸重合时折痕恰巧过点6,且 丝=9,则a 正切值为.PB 5【难度】【答案】4【解析】跖为折痕，作a ZL居 于C

31、,交弧四于因 为 篙4，则可设=6.,PB=5t.:点。和点P重合时折痕恰巧过点B,：.BP=BO=5t.,JOCLAB,：.AC=BC=-A B =3t,AD=BD,：.ZBOD=-ZAOB=-2a=a.2 2 2V 0C=-yl0B2-BC2=4t,：.tanZBOC=-,B|J tana=-.OC 4r 4 4【总结】本题主要考察翻折的性质及圆心角定理的综合运用.15.在矩形ABCD中,AD=1 5,点6在边DC上,联结AE,AADE沿直线芯翻折后点落到点尸，过点尸作FGLA。，垂足为点C,如图，如果4?=3 ,那 么 =.【难度】【答案】3石.【解析】作 敬 于 从 设。E=x,由题意可得：AF=AD=5,FE=DE=x.V AD=3GD,：.DG=5,：.AG=10,GF=ylAF2-AG2=5亚.;四边形史部为矩形，:.HF=FG-HG=5亚-x.：HE2+HF1=EF2,：.52+45-xf=x2.则x=3石，:.DE=3.【总结】考察翻折的性质及勾股定理的综合运用.