2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）（学生版+解析版）.pdf

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1、2021年全国统一高考数学试卷（新高考H）一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（5分）复数2 L在复平面内对应点所在的象限为（）l-3iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.（5 分）若全集 U=1,2,3,4,5,6 ,集合 A=1,3,6 ,2=2,3,4 ,则 AAC u B=（）A.3 B.1,6 C.5,6 D.1,3 3.（5分）若抛物线V=2 p x （p 0）的焦点到直线y=x+l的距离为我，则p=（）A.1 B.2 C.2A/2 D.44.（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航

2、天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为3 6 000b”（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径r为6 4 00h w的球，其上点A的纬度是指O A与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,该卫星信号覆盖地球表面的表面积S=2 n/（1 -c o s a）（单位：km2）,则S占地球表面积的百分比约为（）A.2 6%B.3 4%C.4 2%D.5 0%5.（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）A.2 0+1 2A/3 B.2

3、8 M C.因 D.2 83 36.（5分）某物理量的测量结果服从正态分布N（1 0,。2）,则下列结论中不正确的是（）A.。越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,1 0.1）内的概率越大B.。越小，该物理量在一次测量中大于1 0的概率为0.5C.。越小，该物理量在一次测量中小于为9.9 9与大于1 0.01的概率相等D.。越小，该物理量在一次测量中结果落在（9.9,1 0.2）与 落 在（1 0,1 0.3）的概率相等7.（5分）己知a=l o g 5 2,Z?=l o g 8 3,0=看，则下列判断正确的是（）A.cba B.bac C.acb D.ab 0,b 0）的离心率e=2,则该

4、双曲线的渐近线2 /a b方程为.1 4.（5 分）写出一个同时具有下列性质的函数/（x）：.ay（X 1 X 2）=/（x i）/（X 2）;当 尤（0,+8）时，f（x）0；f（x）是奇函数.1 5.（5 分）已知向量 a+b+c=0，I a l =1，I bl =I cl =2,贝 iJb+b*c+c，a1 6.（5 分）已知函数 f （犬）=|/-1|,x i 0,函数/（x）的图象在点 4（x i,/（x i）和 点 8（X 2,/（X 2）的两条切线互相垂直，且分别交y轴 于 M,N 两点，则 捣+的 取值范围是.四、解 答 题（本题共6 小题，共 90分。解答应写出文字说明、证明

5、过程或演算步骤。把答案填在答题卡上）1 7.（1 0分）记 S 是公差不为。的等差数列 ”的前项和，若 3=S5,aia4=S4.（I ）求数列“的通项公式a”；（I I ）求使Sn an成立的n的最小值.1 8.（1 2 分）在 A B C 中，角 A,B,C 所对的边长为 a,h,c,b=a+,c=a+2.（I ）若 2 s i n C=3 s i n A,求 A B C 的面积；（I I）是否存在正整数a,使得 A 8 C 为钝角三角形？若存在，求出”的值；若不存在，说明理由.1 9.（1 2 分）在四棱锥。-A 8CQ中，底 面 A 8 C Z）是正方形，若 A =2,Q D=Q A=

6、y,Q C=3.（I ）求证：平面Q A OJ _平面A B C ；（I I）求二面角B-Q。-A的平面角的余弦值.2 0.(1 2分)已 知 椭 圆C的方程为3一+之一=1 (a b 0),右焦点为尸(J 5，0),且离心2 ,2 、-a b率 为 近3(I )求椭圆C的方程；(I I)设M,N是椭圆C上的两点，直 线 与 曲 线/+2=必(0)相切.证明：M,N,F三点共线的充要条件是|M N=.2 1.(1 2分)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X

7、表 示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=z)=pi(z=0,1,2,3).(I )已知 p o=O.4,p i =0.3,p 2=0.2,p 3=0.l,求 E (X)；(I I)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是 关 于x的方程：p o+p i x+p 2 x 2+p 3/=x 的一个最小正实根，求证：当 E (X)时，p=1,当 E (X)1时，V I;(I I I)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.22.(12 分)已知函数/(x)=(x -1)-cvP+b.(I )讨论/G)的单调性；(I I)从下面两个条件中选一个，证明：八x)有一个零点.1。,b 2a

8、；2 2 0 a 0）的焦点到直线y=x+l的距离为、/，则p=（）A.1 B.2 C.2A/2 D.4【解答】解：抛物线/=2px （p 0）的 焦 点（20）到直线y=x+l的距离为我，故选：B.4.（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为3 6 000k”（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径r为6 4 00A”的球，其上点A的纬度是指O A与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,该卫星信号覆盖地球表面的表面积S=

9、2TT,2（1 -c os a）（单位：km1）,则S占地球表面积的百分比约为（）A.26%B.3 4%C.4 2%D.5 0%【解答】解：由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，卫星信号覆盖的地球表面面积S=2TTJ（1 -c os a）,2那么，S占 地 球 表 面 积 的 百 分 比 为 空 三 幺 竽 电 _=旦=4 2%.4 7 1 r2 106故选：C5.（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）A.20+127 3 B.28亚 C.因 D.啰 返3 3【解答】解：如图，A B C O-4 B C 1D 1为正四棱台，A B=2,4

10、8 1=4,A A=2.在等腰梯形A 18 18 A中，过A作A E _ L 4 B i,可得4=生2=1,2 E=JAA 2一人送2=唐连接 A C,A iCi,A C=V 4+4=2 V 2 AICI=116+16=4加,过 A作 AG_LAICI,A i G=-纹 遮=料,24 G=JAA 1 2 _ A G 2=V =&,正四棱台的体积为:S上+S y+q s上，S下y=-x ho_ 22+42-H722 X 42 乂 r-3-X 亚=2哂3.6.(5分)某物理量的测量结果服从正态分布N(1 0,。2),则下列结论中不正确的是()A.。越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,1 0.1

11、)内的概率越大B.。越小，该物理量在一次测量中大于1 0 的概率为0.5C.。越小，该物理量在一次测量中小于为9.9 9 与大于1 0.0 1 的概率相等D.。越小，该物理量在一次测量中结果落在(9.9,1 0.2)与 落 在(1 0,1 0.3)的概率相等【解答】解：因为某物理量的测量结果服从正态分布N (1 0,。2),所以测量的结果的概率分布关于1 0 对称，且方差。2 越小，则分布越集中，对于A,。越小，概率越集中在1 0 左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,1 0.1)内的概率越大，故选项A正确；对于8,不管。取何值，测量结果大于1 0 的概率均为0.5,故选项B正确；对于C,

12、由于概率分布关于1 0 对称，所以测量结果大于1 0.0 1 的概率等于小于9.9 9 的概率，故选项C正确；对于 ,由于概率分布是集中在1 0 附近的，(9.9,1 0.2)分布在1 0 附近的区域大于(1 0,1 0.3)分布在1 0 附近的区域，故测量结果落在(9.9,1 0.2)内的概率大于落在(1 0,1 0.3)内的概率，故选项。错误.故选：D.7.(5分)已 知”=l o g 52,人=l o g 8 3,c=l,则下列判断正确的是()A.c b a B.h a c C.a c h D.a h c【解答】*e lo g52Clog552 loggS logg82 9:ci,如图，

13、作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2,则 M (0,2,2),N(0,0,0),P(2,1,2),O(1,1,0),MN=(0,-2,-2),Q P=(1,0,2),，而 而=-4,.不满足故。错误.故选：BC.I I.(5 分)已知直线/：-J=0 与圆 C：7+丫2=，点 A(a,是()A.若点4在 圆C上，则直线/与圆C相切B.若点4在圆C内，则直线/与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切则下列说法正确的【解答】解：点A在圆C上,.圆心C(0,0)到直线/的距离为d X；+0 X b+r 2 1 1 r 2|二7 a2+b2 V a2+b

14、2.直线与圆C 相切，故 A 选项正确，.点A 在圆C 内，,圆心C(0,0)到直线/的距离为2-2a+b|0X a+0X b+12,直线与圆C 相离，故 8 选项正确,点A 在圆。外,.*.a2+b2t2,.圆心C(0,0)到直线/的距离为d X 喧 X b+2 I =%2|.直线与圆C 相交，故 C 选项错误，点A 在直线/上,/+庐=/,.圆心C(0,0)到直线I 的距离为d 0X：+0X b+r2|=|/|二7 a2+b2 V a2+b2.直线与圆C 相切，故。选项正确.故选：ABD.1 2.(5 分)设正整数=ao2+ai2+以 一 12“一 1+以2&,其 中 的 60,1 ,记

15、3 ()=Q O+I+以，则()A.3(2)=0)(/?)B.a)(2/t+3)=0)()+1C.3 (8/1+5)=3 (4+3)D.3(2n-1)=n【解答】解：V2n=ao*2i+a*21-+ak-*2k+ak*2k+,.*.u)(2)=u)()=ao+m+kf A 对；当九=2 时,2n+3=7=l*2+P2I+P22,Ao)(7)=3.V 2=0-2+P21,(2)=0+1=1,3 (7)#u)(2)+1,8 错;:8n+5=ooe23+6zie 24+ak 2W+5=1*2+1 22+tzoe23+aie 24+以 2k+3,3 (8+5)=40+m+Q什2.：4+3=ao 22+

16、6ne23+*+e2H 2+3=1 2+1 21+o 22+a23+az2H2,/.a）（4+3）=ao+m+4k+2=u）（8+5）.对；：2 -1 =1 2+卜21+1 21,，3（2 -1）=，；.）对.故选：ACO.三、填 空 题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。把答案填在答题卡上）13.（5 分）已知双曲线/-2匕=1 （0,b 0）的离心率e=2,则该双曲线的渐近线2,2a b方程为 y=x.2 2【解答】解：.双 曲 线 的 方 程 是-勺 1心 0,b 0），.双曲线渐近线为y=土电xa又 离心率为e=2,可得c=2aa:.c2=4/,即 c+b2=4 a2,可得=由

17、此可得双曲线渐近线为y=土 遍 x故答案为：y=i Vs x14.（5 分）写出一个同时具有下列性质的函数/G）：f（X）=/.f（X1X2）=f（XI）f（X2）；当 xW （0,+）时，/（x）0；f（x）是奇函数.【解答 解：f（x）=/时，（乂 1乂 2）二（乂1乂 2）2=乂 1%22二（乂1）（乂 2）；当 在（0,+8）时，f G）=2x0；f（x）=2%是奇函数.故答案为：/（x）=/.1 5.（5 分）已知向量之+4+3=1，盲=1,IEI=I3=2,则-9 .2【角 窜 答】解：由 a+b+c=0得 a+b=c或 a+c=-b或 b+c=-a，（a+b）2=（-c）2或（a

18、+c）2=（-b）?或（b+c）2=（-a）2又lal=l，lbl=lcl=2,A5+2a*b=4,5+22 =4,8+2b c=b 7 Q.a b ，c _ _,b c ，.a b+a*c b*c 2 2 2 2故答案为：.216.（5 分）已知函数/（九）=ex-1|,Xi 0,函数/（x）的图象在点 A（xi,f（x i）和 点 B(X 2,/(X 2)的两条切线互相垂直，且分别交y轴 于 M,N两点，则的取i B N l值范围是(0,1).【解答】解：当x 0 时，f(x)=-l,导数为f(x)=,可得在点8(A 2,-1 )处的斜率为2 2 =/2,令 1=0,可得 y=/2 -1

19、-切/2,即 N (0,d 2-1-X 2，)，由/(x)的图象在A,B处的切线相互垂直，可 得 力 七=-2=-L即为 X l+X 2 =0,X l 0,故答案为：(0,1).四、解 答 题(本题 共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上)1 7.(1 0分)记 S”是公差不为0 的等差数列 的前项和，若 3=S 5,a2a4=S4.(I )求数列疑 的通项公式而；(I I)求 使 成 立 的n的最小值.【解答】解：(I)数列S”是公差d不为0 的等差数列 板 的前项和，若 3 =S 5,42 4=54.根据等差数列的性质，43 =55=543,故 43

20、 =0,根据 2 4=S 4 可 得(3-d)(3+d)=(4 3 -2 d)+(43-d)+43+(。3+)，整理 得-d2=-2 d,可得d=2(d=0 不合题意)，故 an=a3+(-3)d=2n-6.(II)afJ=2n-6,ai=-4,Sn=-4+R(nR).x 2=层-5,2Snan9 即 n2-5n2n-6,整理可得/-7+60,当 6 或时，%如 成 立，故的最小正值为7.18.(12分)在A8C中，角 4,B,C 所对的边长为小 b,c,b=a+l,c=a+2.(I)若 2sinC=3sinA,求ABC 的面积；(I D 是否存在正整数m使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a

21、 的值；若不存在,说明理由.【解答】解:(/)V2sinC=3sinA,根据正弦定理可得2c=3a,c=a+2,，Q=4,b=5,c=6,2 2 2 2 2 2在 A B C中，运用余弦定理可得c0s C=a+b-c =4+52 a b 2 x 4 x 5V sin2C+cos2C=1,*-si nC=V l-co S2C=1-(-j-)2=Y，SA A B C V a b s i n C u X 4 X 5 X=,(/)：cba,.ABC为钝角三角形时，必角C 为钝角,a2+b2-c osC=-2c2 =a 2+(a+l)2-(a+2)2*cr-2。-3 V 0,0V q c,即 +1。+2

22、,即1,1 VQV3,为正整数，=2.19.(1 2 分)在 四 棱 锥。-A8C。中，底 面 ABCO是正方形，若 A=2,QD=QA=娓,gC=3.(I)求证：平面QAOJ_平面A8CD；（II）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.【解答】（I）证明：中，8=4 0=2,QD=Q C=3,所以（7。2+。2=。2,所 以C DL QD；又 COJ_AO,A D Q Q D=D,ADu平面 QA。，QOu平面 QA。，所以 CDJ_平面 QA。；又 CDu平面A B C D,所以平面0AO_L平面A BCD.（II）解：取 AQ的中点O,在平面ABC。内作。r_LA。,以 0 0 为 y

23、轴，OQ为 z 轴，建立空间直角坐标系。-孙z,如图所示:1,0),Q(0,0,2),因为。x l.平面A D Q,所以平面ADQ的一个法向量为C L =（1,0.0）,设平面8。的一个法向量为8=(x,y,z),由血=(-2,2,0),福=(0,-1,2),得巧,%=0,即2 x+2 y=0,T *DQ=O l-y+2 z=0令 z=l,得 y=2,x=2,所以 6=(2,2,1)；所以 cos五，X=-J，!！=2+*=2,I a 6 I ix-4+4+1 3所以二面角B-QD-A的平面角的余弦值为2.32 220.（12分）己知椭圆C 的方程为2+2一=1 人 0）,右焦点为尸（血，0）

24、,且离心2,2 1a b率 为 返3（I）求椭圆C 的方程；（H）设例，N 是椭圆C 上的两点，直 线 与 曲 线 x2+y2=2（0）相切.证明：N,F 三点共线的充要条件是|M N=.【解答】（I）解：由题意可得，椭 圆 的 离 心 率 =返，又 c f 历，a 3所以。=W，则廿=/-02=1,2 八故椭圆的标准方程为三-+y 2=1；3 了（i i）证明：先证明充分性，若 M,N,P 三点共线时，设直线M N的方程为x=my+亚，则圆心O（0,0）到 直 线 的距离为=1，解得，2=1,x=iny+亚联乂方程组x2 2 1 可 得（m2+3）y2+26m y-l=O 即 4y?+2后

25、my-1=0，+y =1所以 I MN|=V 1+m2 :+1 6=&x p-=V 3;所以充分性成立;下面证明必要性,当 眼 可=时，设直线MN的方程为x=ty+m,此时圆心O（0,0）到 直 线 的 距 离二 1，则 n?-e=1,x=ty+m联立方程组 2,可 得(P+3)y+ltmy+m2-3=0,+y =1贝!J=4An2-4(P+3)(加2-3)=12(r2-m2+3)=24,因为 I M N|=71+t2224-V3)所以=1,m2=2,因为直线MN 与曲线/+),2=后(x0)相切，所以?0,则m i R,则直线MN的方程为乂=1 了+亚恒过焦点F(V2-0)，故 M,N,F三

26、点共线，所以必要性得证.综上所述，M,N,尸三点共线的充要条件是|M N=遍.2 1.(1 2 分)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 X 表 示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=/)=pi(i=O,1,2,3).(I )已知 po=O.4,pi=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求 E (X)；(H)设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是 关 于 x的方程：po+pix+p2%2+p3/=x 的一个最小正实根，求证：当 E

27、 (X)W 1时，p=1,当 七(X)1时，P 1;(I I I)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.【解答】(I )解:由 题 意,尸 0=0 4 P i=0.3,尸 2=0.2,-3=0.1,故 E (X)=0X 0.4+1 X 0.3+2 X 0.2+3 X 0.1 =1 ；(I I )证明：由题意可知，po+pi+2+p3=l,则 E (X)=pi+2 2+3 p3,所以 po+p=X,变形为 po-(1 -P l )X+p2 X2+/2 3 X3=0,所 以 pO+pT+pVp-(p()+p2+3)冗=0，即 0(1 -X)+p2X(X-1 )+pyx(X-1 )(X+1 )=0

28、,即(X-1 )3/+(P 2+P 3)X-po=O,令f (%)=j 7 3 X2+(2+p 3)X-pO,则/(x)的对称轴为X=_PP1 0，2P3注意到/(O)=-p o 1时，/(I)0,f(x)的正实根x o l,原方程的最小正实根p=x o 2a；0 a 0 时，f(x)0,当 x 0 时，f(x)0时、令/(x)=0,可得x=0或x=/2 m(i)当oa 0 或 时，/(x)0,当/2 a x V 0 时，f(x)1时，当 x0 或 2 a 时，f(x)0.当 2 a 时，f(x)0,f(x)在(-8,o),Un2a,+8)上单调递增，在(0,In2a)上单调递减.综上所述：当

29、时，/（x）在（-,0）上单调递减；在（0,+）上 单调递增;当0 a 时，f（x）在（-8,0）和（山2 m+8）上单调递增；在（0,出2a）上2单调递减.（II）证明：若选，由（I ）知，/（X）在（-8,0）上单调递增，（0,ln2a）单f (ln2a)=(ln2a-1)-la-a-ln22a+b2aln2a-2a-aln22a+2a=aln2a(2-Inla),12由得 0V/2a42,：.aln2a(2-ln2a)0,2 2:.f(Mia 0,当 A0 时，f (x)/(/n2a)0,此时 f (x)无零点.综上：/(x)在R上仅有一个零点.若选，则 由(I)知：/(x)在(-8,i

30、n2 a)上单调递增，在 Un2a,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.f (ln2a)=(hila-1)2a-aln22a+b,2aln2a-2a-alir2a+2aaln2a(2-Irila,0 a -:加2a0,：.aln2a(2-/n2a)0,：.f Cln2a)0,2,当 x0 时，f (x)(ln2a)0时，f (x)单调递增，注意到/(0)=b-2a-l0,取c=V 2(l-b)+2,Vb2a V 2 1)又易证 dc+l,f (c)=(c-l)ec-a c2+b(c-l)(c+l)-ac2+b=(1-a)c2+b-l yc2+b-l=l-b+l+b-l=l0,：.f（x）在（0,c）上有唯一零点，即/（x）在（0,+8）上有唯一零点.综上：/（%）在R上有唯一零点.