2021年新高考地区数学名校押题25 空间向量与立体几何（解答题）解析版.pdf

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1、精选2 5空间向量与立体几何（解答题）若利用空间向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算.（1）求 两 异 面 直 线a、匕的 夹 角e,须 求 出 它 们 的 方 向 向 量 而、3的 夹 角，则c os e =g s 卜（2）求直线/与平面a所成的角6,可先求出平面a的法向量 与直线/的方向向量正的夹角，贝I sin 6=os 加,U III（3）求二面角。-/一月 的大小e,可先求出两个平面的法向量“、%所成的角，则|c os|=|c os ,并要根据图形确定所求二面角的平面角是锐角还是钝角.1.如图，在四棱锥PA B C。中，2 4,平面A BC D,底面A 8 Q D为矩形，A

2、4=l，直线P B、PO与平面A B C。所成角分别为30。、45 ,E为CZ）的中点.（1）已知点F为P B中点，求证：。尸平面Q 4 E；（2）求二面角PBD-A的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）叵.7（解析（1）取A B中点G,连结G F ,CG,因为在四棱锥P-A B C D中，P A _ L平面A B C D，底面A 8 C O为矩形，为8的中点，所以CG A E,FG/PA.因为CG(0,1,0),尸(0,0,1)，平面P3Z)中：丽=(6,0,-1),PD=(0,l,-l),设法向量元=(x,y,z),贝 卜PB n=0PDn=0yj3X-Z=0y-z=0H X z=x/

3、3 则 x=l,y=6，则万=(1,百，百)，又R4L平面ABCD,故平 面 说 的法向量为比=(0,0,1),设二面角P 如一A的平面角为。，所以COS9=1 U U =S=Y*.2.如图，四棱锥P-ABCD中，底面A8C。为菱形，Q4_L平面ABC。，E为PD的中点.B(1)证明：P8平面AC；（2）设P A =1,N A B C=6（T,三棱锥E A C 的体积为以，求二面角。A E C的余8弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）史.13【解析】（1）连接BD交AC于点。，连接0 E,则。为BD中点，E为PO的中点，所以PB/OE,Q E u平面平面A CE,所以P 3平面A E C；（

4、2）设菱形A 8 C O的边长为“，V f B o =2/Y8=4/r s=?，1I （y/3 V 3P-ABCD=2 A B CD=3 X 矿 x =，则二百./取3 c中 点 连 接AM.以点A为原点，以AM方向为元轴，以AO方向为y轴，以A尸方向为z轴，建 立 如 图 所 示 坐 标 系.D（0,V 3,0）,A（0,0,0）,E 0,芋3，匚：一、/一 二、c 1片,0,荏=0,当3，A C=1，毛,0,I2 2 J 1 2 2)_(2 2 J设平面AC E的法向量为勺=(x,y,z),由“AE9nt A C ,V 3 1y+z=0得 2:，令 x=l,则 y=Z =3,，=(1,一、

5、x+=012 2平面AD E的 个法向量为巧=(1,0,0),c os=反3),1 _ V 13J 1+3+9 13 即二面角OA E -C 的余弦值 为 恒.133.如图，四棱锥P-A3 C。中，底面A B C。是菱形，P B=P D.（1）证明：平面APC，平面5 F Z M 若 PB L PD，Z D A B =60,AP=AB=2，求二面角 APD C 的余弦值.【答案】（I）见 解 析（2）【解析】（I）证明：记 A C n B =O,连接P 0.因为底面ABC D 是菱形，所以E 5J.AC,。是 3。,4 c的中点.因为P B=PD，所以P0上B D.因为AC APO=。，所以平

6、面A P C.因为8 D u平面3 PD，所以平面APC,平 面 Z）.（2）因为底面A B C。是菱形，ZDAB =60，AP=A5=2，所以A B 4 是等边三角形，即8 =A 6 =2.因为所以PO=6 O=1.2又 AO=A B sin 60=Vi，AP=2,所以 P O?+A O?=A P?,即 P O _ L A O.如图，以。为坐标原点，OAOB,OP所在直线分别为X轴，y 轴，Z 轴，建立空间直角坐标系。一盯Z,则 4 百,0,0)，D(o,-1,0),P(0,0,l),C(一百,0,(),),所 以 方=(百,1,0),丽=(0,1,1),D C =(-7 3,1,0).设平

7、面APD的法向量为I=（x,y,z）,D A-n.=0由1一2DP%=0令）=,得 勺=（1,百,百）.同理，可求平面PD C 的法向垃n,=（1,、石,一百）.所以 c os,1,4)I I I 2 I1x1+(/3)x 3+3 x(V 3)+(-6)2 +62 yl i2+百2+(-6)257所以，二面角APD C 的余弦值为-：.4.如图一所示，四边形ABCO是边长为血的正方形，沿 3。将。点翻折到G 点位置（如图二所示），使得平面G O B 和垂直.E,尸分别为8 G，A G 的中点.(1)求证：BD AC,.（2）求 平 面 与 平 面 43。所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证

8、明见解析；（2）迎【解析】(1)取 B O 中点。，连结A。，G。，.AB=AD=ClB=ClD,：.B D A O BD 上 C Q ,/AO ,。匚平面4 6 0,.8。1.平面4(70,Q A C|U 平面A G O,.,.B。J.A G.(2).二面角力8。一 是直二面角，；.NC0A=90。，.C Q L A O,.以，O B,0C两两垂直，以。为原点，。4、O B、0 G 分别为X,y，Z轴，建立空间直角坐标系，则 0(0,0,0),4 1,0,0),8(0,1,0),D(0,-1，0),c,(o,0,1),;E，产分别为 B G，AG 的中点.E(O,g,；),F(1,0,1),

9、_ 1 1 _ 3 1DF=DE=(0,-,-),设法=(x,z)是平面 )户 的 一个法向量，2 2 2 2_ _ 1 1DF n=x+y+z=0 二 ；、,令 y=L 得为=(1,i,-3),.3 1DE-/?=y+z=02 2 O G L平面A B D，平面A B D的一个法向量明 =(0,0,1),设平面D E尸与平面A B D所成的锐二面角为。，则c osd =n-OC,nOC.3V H11平面D E正 与 平 面 丽 所成的锐二面角的余弦值 为 皿 .115.如 图，四 棱 锥S-AB8 的 侧 面S W是 正 三 角 形，A B/C D ,且 他_ L A D,A3=2CD=4,

10、E是SB中点.(1)求证：CE/平面SA D；(2)若平面SA O _ L平面A8 C D,且5 8=4狡，求平面E 4C与平面A C B夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)在4【解析】(1)取SA的中点F，连接E F，因为E是S 3中点，所以所/MB,且A B =2EF，因为 AB/CD,AB=2CD，所以 EF/DC，EF=DC,即四边形EEDC是平行四边形，所以E C/F D,因为平面SW，E D u平面斜。，所以C E/平面SW；(2)取A。中点。，连接SO，B 0.因 为 是 正 三 角 形，所以SO_LAT,因为平面S4DJ.平面ABCQ，A B L A D,所以SO J

11、_平面ABC。，A6J_平面SAD,所以 A BLS 4，故S A 7 s B 2-A B，=4,以0为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z,则 0(0,0,0),A(0,-2,0),5(4,-2,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,26)，E(2,-l,石),所 以 至=(0,-3,G),CA=(-2,-4,0),设平面 ACE的法向量为比=(x,y,z),则3y+J5z=O，-2x-4 y=0,令 丁 =1得 沅=卜2,1,6),易知平面ACS的法向量为“=(0,0,1)，则cos(m,n=平J =二 与=,所以平面E A C与平面A C B夹角的余弦值为四.mn

12、2/2 4 46.直三棱柱ABC-A内G被平面A4C截去一部分后得到如图所示几何体，ZABC=90,B C =BB=2,是8。中点.(1)求证：平面ABEJ平面A 8C；(2)若三棱锥E ABC体 积 为 注，求二面角A-A E -C的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）国3【解析】（1）因为8 c =EC,所以B ELB C，在直三棱柱中，由_L平面A B C可得BB AB,又 B C C B B =B,所以 A 6 J _ 平面 8 3(，所以 4 B _ L B C，因为A B n B E =8,所以4c，平面池 ,由qCu平面AB C可得平面A 4 C _ L平面小：(2)由题意，

13、V.AH(.=-S.AH(.-B B.=-X2ABX ,解得4 6 =正，3 2 6 3以B为原点，区4,8。,84分别为羽、2轴建立直角坐标系，如图,则 A(V 2,0,0),C(0,2,0),A (0,0,2),(0,0,2),(0,1,1),设面A A iE的一个法向量为正=（x,y,z）,丽 =（0,0,2）,庭=（一正,1,一1）,则m-A A)=2 z=0 _ _ ，取 x=V 5，m=(/2 -V 6 3所以二面角A-4E-C的正弦值s i n a =J l-1曰=乎.7.如 图（1）所示，AO是口3 8中B C边上的高线，且A B =2 A D =2 A C,将口8。）沿AO翻

14、折，使得平面4 c L平面A BZ）,如 图（2）.（1）求证：A B C D；（2）图（2）中，E 是 B D 上一点,连接4E、CE,当A E与底面A B C所成角的正切值为4时，求直线A E与平面B C E所成角的正弦值.2【答案】（1）证明见解析；（2）述.1 5【解析】（1）由 图（1）知，在 图（2）中，A C L A D,A B Y A D,因为平面A C D J 平面平面A C Z）n平面A B O =A ），A B 平面 A B D,，A 3 _L 平面 A C。，又 CDu 平面 A C。，所以 AB LC。；（2）以A为原点，AC，A B，AO所在的直线分别为x,y,z轴

15、建立如图所示的空间坐标系,设 A C =1,则 4（0,0,0）,5（0,2,0）,C（l,0,0）,（0,0,1）.设 （%丫*）,由 诙=4丽（0 /1 1）,得（%2-1）=（0,2人一；1）,得七（0,2；1/一/1）,二 通=（0,2之,1 2）,.平面A B C的 个法向量 为 而=（0,0,1）,1_ _ _ _由AE与底面A B C所成角的正切值为5，可得t a n=2,.I A 1 于是3而，荏=百即河诉百解得则 0,1,；),荏=),配=(1,-2,0),诙设平面8CE的法向量G =(x,y,z),则n-B_C =Q，即无 BE=0 x-2 y=01 八，-y+z=02令y

16、=l,得x=2,z=2,则7=(2,1,2)是平面BCE的一个法向量,设直线AE与平面BCE所成的角是6,则5m0=卜8(0,-1,1),C(0,l,l),(63 1所 以 诙=人、/x DE -p =0设平面0C E的一个法向量为万=（$,%,z）,由 一:C E-p=0即273方3八Xo+5%_ Z o=O1-yno-zo=0得4=白/，=，取%=2,得z 0=5所以7=（2,0,J5）.又平面AB的一个法向量为互=（0,0,1）,所以 cos=pqV21平面。CE与平面AB所成的锐二面角的余弦 值 亘.711.四棱锥P ABCO中，Q4_L平面A3CD，底面A8CO是平行四边形，ZZMB

17、=60,Q4=AB=A=2，点 E 是棱 PC 上一点.(1)求证：平面24C_L平面BDE；当E为PC中点时，求二面角ABE。的余弦值;(3)若直线BE与平面PAC所成的角为45时，求CE.【答案】（1）证明见解析；（2）也；（3）1或2.7【解析】（1）因为平行四边形ABC。中，AB=AD.所以四边形A B C O是菱形，所以A C _ L 80.因为B 4 _ L平面A8QD,所以AALQ.因为/%n A C =A,所以3。，平面PAC.所以平面Q 4 C _ L平面3 D E.(2)在平面45 c o内，过点A作A Q B。，则AQLAC,因 为 抬_ L平面A B C。，AQu平面A

18、 B C。，所以PALAQ.如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(l,6,0),C(0,2 7 3,0),0(-1,6,0),尸(0,0,2).当E为尸C中点时，E(0,百,1).所 以 荏=(0,6,1),而=(1,G,O),=(-2,0,0),=(-1,0,1).设 平 面 的 方 向 量 为=(芭,y,z j,则+4 =0,国=0.i+令玉=百，得 弘=-1,Z =7 3 ,所以 =(6,-1,百卜LU设平面DB E 的方向量为n2(x2,y2,z2),则+z0=0.-1 _ V 7 乃=一7,则=Z 2=0,令%=1，则 后=(0,1,0).所以，c o s(m)=.2因为二

19、面角A-BE-O为锐二面角，得二面角4一3后一。的余弦值为北7(3)设 在=4所(0 4 2 4 1),则B E =B C +A C P=(1,G,0)+2(0,2 6,2)=(-1,6-2 7 3 2,2 2).由(1)得，8 D J平面PAC.所以，平面P A C的一个方向量为 丽=(2,0,0)，由题意：卜懿(丽，丽)卜 等 故|箭篇日即22-小1 +(6一 2百 百+3)2,所以1 +(后 一2 6 4)2+(2 4)2 =2,即 16义2 一 12/1+2=0.解得 4=,Z,=-.所以 CE=，C1尸=1 或 CE=，CP=2.4 2 4 212.如图，在三棱锥P ABC中，侧面P

20、3C是边长为2的等边三角形，M，N分别为A3,AP的中点，过MN的平面与侧面P8C交于EF.(1)求证：MN/EF；(2)若平面。3。，平面43。，AB=AC=3，求直线尸8与平面PAC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)2叵35【解析】(1)因为M，N分别为AB，AP的中点，所以MN/PB,又MN/2 1 7设:面 角5历 一。的平面角为6,1 4.如图，在四棱锥PA 5 C D中，平面底面A 3 C。，其中底面A B C。为等腰梯形，AD/BC,P A =A B =B C =C D,P A P D Z P A D =6O,Q 为 P D 的中点.B(1)证明：C。/平面R 4

21、8；（2）求二面角P-AQ-C的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）-主 巨37【解析】（1）取 出 中点N,连结QN,BN.因为。，N是PD，的中点，所以Q N/A O,且QN=gA.因为丛,即，NQ4D=6 0 ,所以PA=，A D,所以8C=，A。，2 2所以QN=B C,又ADUBC,所以Q N/BC*所以8CQV为平行四边形，所以B N/B C.又B N u平面PAB，且CQZ平面2 4 8,所以CQ/平面R W；（2）取4）中点M，连接8M，取AM的中点0,连接8 0，P O.设94=2，由（1）得Q4=A=BW=2，所以A4/W为等边三角形，所以P0J_AM，同理所以B0_LA

22、M,因为平面R4DL平面ABC。，平面PAOp）平面ABCD=AD，P O u平面 P A D,所以 PO_L平面 A3CO._ UUU1 _以。为坐标原点，分别以0 8，0D 0 P所在直线为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系O-xyz,WJA（O,-I,o）,c（73,2,o）,尸（0,0,Q 0,|,y-,AC=（V3,3,0）,_ m-A C =O 6x+3 y=0设平面ACQ的法向量加=（x,y,z）,则,所以 5 J3，m-A Q O-y+z=01 2 2取y=_JL得而=（3,一6,5）,又平面P A Q的法向量;7 =（1,0,0）,一一 7 7?n 3,3 7所以c o s

23、=扁 面 二 与 一，由图得二面角P -A Q C的平面角为钝角,所以，二面角P A Q C的余弦值为一生史.3 71 5.如图所示，在四棱锥 PA B C D 中，PA=AD C D=2 A B=2,A BY A D,C D L A D,24,底面A B C。，A f为PC的中点.（1）求证：8 M平面PAD；（2）在侧面PAD内找一点N,使MN，平面P BD：（3）求直线PC与平面P/步所成角的正弦.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）也3【解析】（1）取P。的中点E，连接AE、E M、.M为PC的中点，E为PD的中点，则 。且 四=,。，2在平面AB C D中，A BA.A

24、 D，CD A D,:.A B/CD,由已知条件可得A 6 =！C ,2E M I I A B RE M =AB-所以，四边形ABME为平行四边形，.8 W A E，.B M u平面P A Z）,以（=平 面?4），；.8 0平面尸4）；（2）.J _底面 A B C。，A BA D,以4为原点，以A 3、AD-AP所在宜线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则 3(1,0,0)、C(2,2,0)、0(0,2,0)、P(0,0,2)、M(1,1,1),在平面 P A D 内设 N(0,y,z),W =(-l,y-l,z-l),而=(1,0,-2),丽=(1,-2,0),由 丽_L而，可 得

25、丽 两=l-2z+2=0，Z =11由 丽_ L 丽,可 得 丽 丽=一1-2/+2=0,A y=-,所以，2 2 I 2 2所以，当N是AE的中点，此时平面尸8D；(3).定=(2,2,2),由(2)可知，平 面 的 一 个 法 向 量 为 丽=cos PC,M NP C M N一网两-2 _ x/2故直线P C与平面P B D所成角的正弦值为也316.已知在四棱锥P A3C。中，A。/3cA 8=8C=CO,NA3C=120,G是 总 的 中点，”为AC的中点，凶4。是等边三角形，平面P4Z)_L平面A5CZZp.八、BD(1)求证：G /平面P 4 0；（2）求二面角。一 AGC的余弦值

26、.【答案】（1）证明见解析；（2）叵.5【解析】（1）取 的 中 点 为。，连结OP,OB,OC,因为 AD/BC,AB=BC=CD,ZABC=120,AB=BC=CD=-A D ,2四边形ABCO与四边形OBCQ均为菱形，为OB中点，G H/OP,6”0平面口4。,0。=平面2 4 0，二6 /平面尸4）（2）取 的 中 点 为E，以。为空间坐标原点，分别以的方向为x轴、）轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。一取z.设 AD=4,则尸（0,0,2 6）,A（0,-2,0）,C（3,1,0）,。（0,2,0）,G惇-犷AD=（O,4,O）,AG=y-,|,V 3 ,IU =（63,

27、0）设平面的。AG-法向量 =（x,y,z）.（一 4y=0由n-一AD 0=百 3 厂，则-=（z 2,0,-1x）.fi-AG=Q 组+士 丁 +也 z=0 ）-2 2m A C =Q由一m-AG-0设平面的C4G 一 法 向量蔡=（x,y,z），氐+3y=0走%+3 任=0、2 2二C内丫面角的余弦仃为 史517.如图，在四棱锥 P-ABC。中，平面平面 ABCD,P A A B，FA=AD=4,BC/AD,ABYAD,AB=BC=2,PE=2PC（0 2=AB,R 4A B.PAcz平 面Q 46，平 面ABC。，-A B A D，以 点A为坐标原点，A B、A。、A P所在直线分别为

28、X、y、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则 A（0,0,0）、3（2,0,0）、C（2,2,0）,尸（0,0,4）、0（0,4,0）,当 行;时，（1,1,2）,则 庞=（1,3,2）,设 平 面 的 法 向 量 为 企=（x,y,z）,AB=（2,0,0）,通=（1,1,2）,由，m-AB=0，可 得=用=一 心DEU V14XV5 35 因此，直线DE与平面ABE所成角的正弦值为 生 包35(2)设平面A E C的一个法向量为3=(x，y,zJ,Q =(O,O,4),A C =(2,2,0),a-A P Oa-A C -04 z,=0,可得 2玉+2%=0 Iy =fA=得令 X =1

29、 ,则 y =-1,Z =0,所以，平面A E C的一个法向量为2=(1,1,0),设平面小的一个法向量为石=(X 2，%，Z 2)，而=2定=丸(2,2,-4)=(2 4 2 4 T/L),荏=丽+西=(0,0,4)+(24 24,-4 4)=(24,24 4 4/1),旗=(2,0,0)，由b*-A荏B=Q0 得|22x衩,=+02诙+(4-43=0令 泗=2 4,则。，Z 2=/所以，平面4 3E的 个 法 向 量 为5 =(0,24-2,2),由于码瑞飞晨二噜,整理得3万+2/1-1 =0，解得力 =.1 8.如图，在四棱锥S-中，侧面S C O为钝角三角形且垂直于底面ABCO,底面为

30、直角梯形且N A B C =9 0 ,A B=A D =-B C ,C D =SD,点M是S A的中点.2(1)求证：8。_ L平面S C O；(2)若直线S O与底面A 8 C D所成的角为6 0,求S O与平面儿归。所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)叵.1 4【解析】(1)取8c的中点E，连接OE，设A B =A =a，B C =2 a,依题意，四边形A B E。为正方形，F L 有 BE=D E =C E =a，B D =C D=V 2 ，所以 B2+cr2=8。2,则 3OJ_CO.又平面SCO，底面ABC。，平面SCOCI底面43cE=C D.所以BOL平面SCO(2)

31、过点5作 8的垂线，交 8延长线于点H，连接AH，因为平面SQDL底面A 8C D,平面SCO。底面ABCD=CD，S H L C D,S”u平面S C D，S H,底面 ABCD，故D H为斜线S D在底面A B C D内的射影，/S D H为斜线S D与底面ABCD所成的角，即 NSD=60.由(1)得，5。=亿，所以在 Rt口 SH 中，S D =a，S H =a，在 口4)中，ZAT)H=4 5，A D a ,D H a，由 余 弦 定 理 得212 rv2 Y H V 2 I 2 J 2 2所 以472+。”2=2，从而NAHD=9()。，过 点。作 7/S ，所 以。尸，底面A B

32、 C D,所以)8、D C、OF两两垂直，如图，以点。为坐标原点，丽 为 轴正方向，反 为y轴正方向，前 为z轴正方向建立空间宜角坐标系,则 B（V2a,0,0）,7M呼a,一 与（4 2 a,44 J,设平面”8。的法向量 二 (x,y,z),由，n D B =y/2ax=0ft-DM=-a x-La y -a z=02 2 2,取得斗斗1,2又 而=。亭若,所以 sin 6=|cos|=7叵I T，所以SD与平面 6 D 所成角的正弦值 为 叵141 9.如图，四棱锥RABCQ中，底面ABCQ为菱形，出，平面ABC,E 为 PQ中点.(1)PB 平面 AEC；（2）设B4=l,Z A B

33、C=60，三棱锥E-ACD的 体 积 为 立，求二面角D-AE-C的余弦值.6【答案】（1）证明见解析；（2）4【解析】（1）连接5。交 A C 于点。，连接O E,则。为 8。中点,E 为 PO 的中点，所以 收/OE,OE u 平面ACE,仁平面A C E，所以PB平面AEC.（2）设菱形 A B C D的边长为。，VP_A BC D=?VP_A C D%”=竽Vp ARrn=-S ARrr,PA=-x x a x/3a xl=,则a=2,r /DV.-LJ 3/loC Z z 3 2 3取 8 c 中点M，连接4 0.以点A 为原点，以4 0 方向为x 轴，以A。方向为y 轴，以A P

34、方向为z 轴，建立如图所示坐标系.（0,2,0）,A（0,0,0）,C（V3,l,0）,通=卜,1,；）,AC=（V3,l,0）,设平面A C E的法向量为I=(x,y,z),由I _ L荏 万_ L/.得I八y+z=023x+y=0令 y =,则工=1,z=2 3，.二 勺=(1,6,一2 ),1 _ 171+3+12-4即二面角。一 A E C的余弦值为420.如图所示，四棱锥 S ABCO 中，AB/CD,A D V D C,CO=2AD=2AB=4 ,SA=SB=S D =.(1)求证：BC,平面S B。；(2)若点M是线段S C上的动点，平面M A B与平面S 3。所 成 锐 二 面

35、 角 的 余 弦 值 为*,29求M【答案】(I)证明见解析；(2)Y匝.3【解析】(I)因为AB C，A D L D C，AB=AD=2,所以 8。=2血，6 C =2也，因为 8 =4，所以 C D?=3。2+8。2,故取 的 中 点。，连接。4，O S ,因为S A =S B=S D =，所以SOLBD,ZiSOB四S Q 4,所以S O LQ 4，因为。4门。8=0,所以SO_L平面ABC。，所以3C_LSO，因为SOc B D=O,所以3C_L平面S3O.（2）如图，以A为原点，分别以AO，A 3和垂直平面ABCO的方向为X，丁，z轴正方向，建立空间直角坐标系A-xyz,则 A(0，

36、0,0),B(0,2,0),C(2,4,0),。(2,0,0),S(l,1,2),设 两=4底（0W4W1）,则（2 4 4 3/1,2/1），由（1）得平面S8D的一个法向量为5C=（2,2,0）,设=（x,y,z）为平面A3M的一个法向量,通=(0,2,0),痂=(22,4-3 4 2/1),由 n-A B =Q,n-AM=0,得|(22y-=小 0,+(4-3川+2 =。,不妨取-”=(2 4 3 2)-设平面S8D与 平 面 所 成 的 二 面 角 为。,所以cos6=B CRR_ 4A2A/2X422+(A-2)2&_ 叵V522-4 2+4 29整体得6万+几 1=0,解得4=：或

37、4=一!（舍去）,3 2所 以 疵=磁=椁+9+=.21.如图，三棱台A B C-为与 中，A B 1 B C,Z A C B =3Q,侧面ACC同 为等腰梯形,A C =2 A A,=2 A C=2 C,C=4,A,B=3.C j4/（1）求证：AC1（2）求直线8 c与平面ACG4所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）之 叵.68【解析】（1）如图，过点5作AC的垂线，垂足为0,因为 AB BC,NACB=30，AC=2AAi=2C,C=4所以 A3=ACsin30=2,AO=ABsin30=l,如图在平面四边形A C G 4中，过A作4M L A C,G作C|N，A C,则MN

38、=2,AM=CN=I,所以M与。重合:所以 Z40A=9O,即 4O_LAC,则 5OJ_AC,A0_L AC,BO 仆4 0 =O,BO,A0 u平面A O B,故AC_L平面A 0 B.又4 B u平面A 0 8,故AC_LAB.（2）以OB、。所在直线为x轴和y轴建立空间直角坐标系.由（1）可得N4OB为二面角a-A C-3的平面角,由于百,3 0 =百,4 3 =3，则c o s Z O B ，2 A o 302.0 N A 0 3 1 8 0 ,故 N A O 5 =1 2 0 .A.O2+B O2-A.B2 1则 A(0,-1,0),B(7 3,0,0),C(0,3,0),A,6

39、c 3、4 r o m_.L U M 1 L U I C J 3 1 1考虑到 A 8 =(g,l,0),则 4线=A 8=-y,-,0 /从 而 卜+等,*|忤g,o),故点4(0,;,1 设平面ACA的法向量为E =(x,y,z),由 于 西=(，0,g),反=(0,3,0),且-0 可 得 3”+丁-。，令*=百，则 y =0,z =l，./=(6 0,1),n-O C=0 c 八 )i 3 y =0.5 3又=(0,-3).设 直 线gC与平面A C G A所成角为历则 s i n 0=|c o s|V 4因此，直线瓦。与平面ACGA所成角的正弦值为 之 叵.6 82 2.斜三棱柱A

40、B C-H D E中，平面A B C 1平面B C D，A5c是边长为1的等边三角形,.西 5 3 3南n-CB,2x 便 一2 后 一 6 8D C J.B C,且。长为G，设。C中点为M，且 尸，G分别为C ,AD的中点.(1)证明：尸G平面4BC；(2)求二面角B ACE的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)好.5【解析】(1)取BO中点N,连接G N,N F ,易知N,M，/三 点 共线,由 GN/AB、且G N E 平面 A B C,A B I 平面 ABC,故G N平面 A 8 C,同理可得N/平面A8C，因为GNnM=N,故平面G N/平面A B C,由F Gu 平面FGN,

41、故F G H平面A BC.(2)以SC中点0为坐标原点，以OC,ON,Q4分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系6-型，由己知得A 0,0,乎，呜,0，。)，噌,后0),故 巫=(1,6,0),，设沅=(%y,z)为平面ACE的法向量，则=90，即 即因为。是DE的中点，所以。4=,。=1，2因为NCDE=NA8C=60，所以ACDE为等边三角形，所以O C，E,且OC=G，所以 4 c 2 =。4：+。2,所以/4。=90。，即。A_L O C.因为OC_LE,且OAcE=O,所以。C_L平面AQE,因为OC u平面B C D,所以平面 DE J.平面BCD.(2)以 灰1的方向为x轴的正方

42、向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,(1 则(0,1,0),E(0,-l,0),C(G,0,0),5(73,-2,0),4 0,-,I设平面A B E的法向量为质二(x,y,z),m B E =-yf3x+y=0则 v _ _ _ G ,令 z=l，可得相=(1,J 5,l),设平面AC D的法向量为n=(%,y,z),n-C D =-y/3xf+y=03 y/3，令 x=l,得 =（1,百,3）.n-D A j=_ j y +-z，=0因为cos42,n）I m|n|75 x/13 65所以平面 B E与平面 C D所成锐二面角的余弦值为晅65尹丁 平-三卢2 4.如图，四边形 ABC

43、O与 5OEF1均为菱形，ZDAB =ZDB F=60 1且E4=EC.A（1）求证：平面Ab_L平面ABC；（2）求证：FC平面E4。；（3）求二面角A EC 8的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）叵.5【解析】（1）连接AC、B D交于点0,连接尸0、D F，.四边形ABC。为菱形，且ACnB =。，为AC的中点，也是BD的中点,因为E4=RC,.,.FOLAC，因为四边形A B C D与B D E F均为菱形，Z D A B =Z D B F=60-B D=B F，则口瓦卯为等边三角形，为BD的中点，.FO_L3O.ACnBO=O,，尸。，平面 ABC。，.FO

44、u平面Ab,所以，平面A C F,平面ABC。：（2）因为四边形43C。与3。厂 均为菱形，所以AO 3C,.3。0平面后4。，AD u平面AD，.1BC平面E4Z）,同理可证3尸平面E4。，.3。（13尸=3,所以，平面3。尸平面胡。，（。尸匚平面0尸一二尸仁“平 面 及 ；（3）由（1）可知尸0,平面A8C。，乂瓦），以点O为坐标原点，O A，O B、OF所在直线分别为、z建立空间直角坐标系O-兀yz，设AB=2，因为四边形ABC。为菱形，Z D A B =60 -则BD=2，所 以03=1,04 =0尸=6 所以。（0,0，）、A（百,0,0）、3（0,1,0）、Q 6,0,0）、*0,

45、0,所 以#=(G,0,6)，C B =(V 3,l,0).设平面8/(的 法 向量为l=(x,y,z)，n-C F =V 3 x+x/3 z=0则 f-，取 X =1 ,可得 Z =1n-CB=+y=0y=A/3,则 =（1,-6,T ）,易知，平面AFC的一个法向量为2=()/,0).cos=m-n _ 5/31 m|-|n|V 5叵5由图形可知，二面角AF C B是锐角，所以二面角A尸。一3的余弦值 为 姮52 5.如图，三棱柱ABC-44G内 接 于 圆 柱，已知圆柱。的轴截面为正方形,A B=A C =-O Of(点尸在轴。上运动.6B1(1)证明：不论尸在何处，总有BCLPA；(2

46、)当点P为。a的中点时，求平面4尸8与平面8 C G片所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)返.1 1【解析】(1)连接A0并延长，交5 C于M,交圆柱侧面于N,连接08,0 C,.A B =AC，O B =OC,AO1B C又圆柱。中，A A _ L平面ABC，因为BCu平面ABC,所以A A B C,又 A O n A 4,=A,AOu 平面 AOQA，明 u 平面 A O Q A，；.8 C _ L 平面 AOQ4,不论P在何处，总有P 4,u平面AOQ4,所以B C _ L P A；(2)如图，建立空间直角坐标系日 一肛z,由(1)知3 C r轴,设 0 0 1 =A

47、 At A N a，则 A B -A C =a6A Q 5 I在 D A S C 1中，AM -A C x cos Z C A M -A C x =a=OM =aA N 6 3则有，设平面A/B的一个法向量为u=(x,y,z)1 1 cay+az=()2 2石 ax+5 ay+az=n()6 6 取y=2,得=,2,-2 ,而平面BCGg的一个法向量为工=(0,1,0),于是得|cos|=7 55TT,故所求锐二面角的余弦值 为 空1 11T2 6.如图所示，n A6C中，Z B =-,四棱锥A-B C D E是由I D A 5 c沿其中位线DE翻2折而成，其中N A E B为锐角，P C =

48、2 2 4 .(1)证明：平面PQ；(2)若AB=BC=4,二面角CAOE的 大 小 为 手，求四棱锥4 一 8 C 0 E的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）量5.7【解析】（1）连接C E交60与点/，连接P E.因为翻折前，。石为DA5 c的中位线，所以。石 BC，且E =LB。，翻折后，平行关2系不变，因此 N F D E =N F BC,N F E D =N F CB,Z D F E =N BF C,所以 A B C F D EF，所 以 竺=史=2,二4七 P b.EF D E又 P F u 平面 P B D，4 1二平面3）.；.4 1平面尸3）.jr（2）因为DABC中，N

49、 B =一,沿中位线DE翻折，垂直关系不变，即 反_ L B C，2因此，以B为原点，丽 为8轴的正方向，及 为y轴的正方向，竖直方向为z轴建立空间直角坐标系.记A 在底面的投影为A ，且设A E =x.则 A 卜-2,0,-3）C（0,4,0）,0（2,2,0）,（-2,0,0）,所以 4 =卜,0,4 x 卜 ED =（0,2,0）,AC=（2-x,4,-,D C=（2,2,0）.设平面&）的 个法向量为m二 （,瓦C）,4)-m=0 xa+oj4-x2=0 丁八人/-r,八则 _ _ _ ,即 ，不妨令c=-x,则 =,4 _工2 ,=(),E Dm =0 2 b=0 v所以而=f,0,

50、-x)；设平面AC D的一个法向量 为 =(,4,q),则L,=0 即!(2F)4+4仿一 他4 =0D C n=0 2 a+2 4=0不妨令bx=A/4-X2，则4 =-7 4-x2，q=x+2 ,即 3 =卜/4-x2,小4一炉,x+2)5万_ G 6，化简得，7炉+4%2 0=0，则（+2乂7%1 0）=0,则 =亍，或x=-2 （舍）,即 A E=y,则 A A =yl A E2-A E2=4瓜又四边形 B C D E 的面积为 S =；(O E +5 C 8 E =gx(2 +4)x2 =6,1。1 4 4娓 8 7 6故=L A_6X =2 7.在直四棱柱A3CD-A与GQ中，底面