2021年新高考数学考前冲刺模拟卷（新高考地区专用）（五）（解析版）.pdf

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1、2021年新高考数学考前冲刺模拟卷数 学（五）注意事项：1、本 试 卷 分 第I卷（选择题）和 第n卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回 答 第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第n卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、单项选择题：本 题 共8小题，每 小 题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A、集合B =2,3,a,。,且4口3 =3,4 ,则

2、下列结论正确的是（）A.有可能a +b =8 B.Q+C.Q+Z?8【答案】B【解析】8 =2,3,。回,A n B =3,4 ,若Q=4,由集合中元素互异性知：人工4,。+8；若b=4,同理可知：。w 4,.Q+人0 8 ,综上所述：。+人。8,故选B.2设三是复数z的共辆复数若J z +wi=5 z则丘=（）A.c2 B.3 I4.i5 5【答案】C【解析】设2 =。+，（。力c R）,4 3.C.2 或Ii5 5D.2或之+&5 5因为 z,z+1 0 i=5 z，所以（a+b i）（a-历）+1 0 i=5（。+历）,c、a2+b2=5a a=fa=4所以4 2+/+1 0 =5 4

3、+56，所以-,解得c 或q,c，1 0 =5 8 b=2 b=2I ll所以 z=l +2 i或 z=4+2 i，所以 z +2 i-(+2 i)(2 i)-4 +3 i z 一 4 +2 i 一 (4 +2 i)(2 i)一“2 +i -2 +i -(2 +i)(2 i)-5%+i -2 +i (2 +i)(2 i)一，故选c.3 .等差数列 4的前项和为5.，若V N*,S,S7,则数列%的通项公式可能是()A.an=1 6-3H B.an=5-2 n C.an=2 n-1 4 D.an=2 n-1 5【答案】B【解析】因为 4是等差数列，且V eN*,S.V S,，得/40，对于 A,

4、%=1 6 _ 3 x7 =_ 5 0,%=1 5 2 x8 =1 0,故错误；对于 D,%=2X7 1 5 =1 0,故错误，故选B.4 .设me R,贝 1机2”是“直线/：x+y 机=0和圆C:(x-iy+(y-2)2 =3 加有公共点 的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】圆C:(x iy+(y 2)2=3 m，圆心(1,2),半径7=石 二 荷，则加 3,若直线/与圆C有公共点，|3 加|_ _ _ _ _则圆心(1,2)到直线的距离d=y/3-m,解得1 K相v 3,巾 m 2 1 0 向 1 m 3 1,所以“1机

5、2”是“直线/：X +），一机=0和圆C:（x-iy+（y-2）2 =3-机 有 公共点”的充分不必要条件，故选A.5.已知抛物线:丁2=冰（4 7 0）的焦点为/7,准线为/,一圆以尸为圆心且与/相切，若该圆与抛物线E交于点（七,%）,则 比 的 值 为（）xoA.一2 a 或2 a B.2或 2 C.-2 D.la【答案】B【解析】因为抛物线E：2=G；的焦点为尸（乌,0）,准线/的方程为=-色,4 42所以圆尸：口一色产+产二幺.4 4*2【以 2联立方程得卜 aX,/,消元得无2一处+幺+=_,卜-+/=彳 2 1 6 4即 1 61 2+8以一3。2 =0，所以（4x-a）（4x+3

6、a）=0，所以X i=（,尤2=一 号（不合题意，舍去），2所以 y；-axy-,所以点M的坐标为（3 3或V）,所以 =-2或2,故选B.4 2 4 2 X。6.已知耳，口2分别为椭圆E：=+二=1（。）的两个焦点，P是椭圆E上的点,a bPFt 1 PF2,且s i n N P K=3s i n N P K鸟，则椭圆f的离心率为（）【答案】BRD.-V i o Cc.-非 dD.-近-424【解析】，入 分别为椭圆E:斗+今=1(。0)的两个焦点，P是椭圆E上的点，尸 _ L P 6，且sin?3sin?PFXF2,由正弦定理可得归 国=3|户用，令归 用=3|尸 用=3，则3+=2a,9

7、n2+n2=4 c2 可得，。、府,所以椭圆的离心率为e=1 2=,故选民a V 4 47.已知在锐角三角形ABC中，角A，8,。所对的边分别为。，b,c,若2=。(。+。),sin A则;：-的取值范围是()hcosA-acosB【答案】C【解析】由2 =a(a+c)及余弦定理，可得c-a =2acos3,由正弦定理边化角，得sin C sin A=2 sin A cos B,.A+B+C=TI，.sin(JB+A)-sin A=2sin ACOSJB,/.sin(B-A)=sin A,.43。是锐角三角形，.5 4=4，即B=2A，.-0 B-,-A+B n,2 2兀，兀那么一 A 一，6

8、 4asm A sin A.4 A V2-=7-r=sm A e(一,bcosA-acosB sin(B-A)2 2故选C.8.已知定义在R上的函数y=/(x),对任意X都满足了(x+2)=/(x),且当一1彳41时/(x)=2x2,则函数8(%)=/(%)-川方|的零点个数为()A.1 2B.1 4C.1 5D.1 6【答案】B【解析】/(x+2)=/(x),.函数y =/(x)是周期为2的周期函数.令 g(x)=/(x)-M|X=。,则 f(x)=l n|H，由题意得函数g(x)=/(x)-l n W 的零点个数即为函数y =f(x)的图象与函数y =l n N的图象交点的个数.当-i W

9、 x W l 时，/(x)=2 x2,在同一坐标系内画出函数y =/(x)和函数y =l n|x|的图象(如图所示)，结合图象可得两函数的图象有1 4个交点，二函数g(X)=X)一加 国 的零点个数为1 4,故选B.二、多项选择题：本 题 共 4 小题，每 小 题 5 分，共 2 0 分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5 分，部 分选对的得2分，有 选 错 的 得 0分.9.7(%)是定义在区间-G C 上的奇函数，其图象如图所示.令 g(x)=q f(x)+则下列关于函数g(x)的叙述正确的是()A.若。0,则函数g(x)

10、的图象关于原点对称B.若a=l,-2 b 0,则方程g(x)=O有大于2的实根C.若awO,b=2,则方程g(x)=O有两个实根D.若aN l,-2 b 2,则方程g(x)=O有三个实根【答案】BD【解析】当a 0时，/(x)关于原点对称，根据图象平移知g(x)=af(x)+b关于(0,b点对称，A错误；。=一1 时，方程g(x)=()o/(x)=b,-2。0，由/(x)的图象知，/(x)=b在x e(2,c)上有一个交点，故B正确；2。工()/=2时，g(x)=O o f(x)=-一，若使方程g(x)=0由两个根，a2由图知，必有一一=2=a=l,其他的非零a值均不满足，故C错误；abaN

11、l,-2A 2时，g(x)=O。f(x)=-e(-2,2),由图知有三个交点，故D正确，a故选BD.10.对于给定的异面直线优、，以下判断正确的是()A.存在平面a,使得n aB.存在直线/,使得/同时与阳、垂直且相交C.存在平面a、0,使得m u a ,u ,且a 力D.对于任意点A，总存在过A且与俄、都相交的直线【答案】BC【解析】对于A选项，若存在平面a,使得加_La，_ L a,则加/“，与题设条件矛盾,假设不成立，A选项错误；对于B选项，作直线。，使得a 且a n =A,则直线。、加确定平面a,如下图所示:过点A作直线，使得a.若分与“相交，则直线力即为所求作的直线/,依 恒成立D.

12、对任意两个正实数须，%，且2 X|，若/(玉)=/(毛)，则斗+%2 4【答案】B D2 1 x 2【解析】A：函数/(X)的定义域为(0,+8),/(%)=-+-=5-，X X X当x e(O,2)时，f x)0,/(x)单调递增，所以 =2是/(力 的极小值点，故A错误；_ r(2 ,2 1 x?x+2,_B：y =/-x =+ln x-x,y=-+1 =-0,/(2)-2 =l+ln 2-2 =ln 2-l 0,所以函数y =/(x)-x有且只有1个零点，故B正确；O 1C：若即一+ln x，则左 (),单调递增；当x e(l,+。)时，(x)(),/z(x)单调递减，所以(x)W=一3

13、0,所以g (x)丘恒成立，故C错；D：因为/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,中)上单调递增，尤=2是/(力 的极小值点，,对任意两个正实数占，且%玉，若/(玉)=/(%)，则0 玉 2 1),则=优1，由/（玉）=/（%2）,得一+ln X=一 +也式2，/.-=ln x2-In x,X1%2 l X?即竺曰1=如 上,即2（1）、型,解得寸止11,=辿 二 上%2 尤 1 x，t x r ln f tint所以 +9=lt2-ltnt故要证玉+4,需证玉+-4 0,-p、丁 2厂一2 ,.2厂一2 4-t In t需证-4 0,需证-0.t In/tnt=则f ln f 0，.,.证

14、2 f 2-2-4f ln f 0.令H(f)=2产2 4f ln f(f 1),H,(r)=4r-41n r-4(?1),“S=4-；=4(：T)0”),所以“(r)在(1,”)上是增函数.因为时，H。)-0,则”0,所以(f)在(1,Q)上是增函数.因为ff 1时，则”(。0,所以“二2二4n /0,Hn/，玉+工2 4,故D正确，故选BD.三、填空题：本 大 题 共4小题，每 小 题5分.13.圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵佶建中靖国元年(公元101年)始铸，是仁宗“皇宋通宝 之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有小平和折二两种.小 明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随

15、机抽取2枚赠好友，则赠送的两枚为不同种类的概率为3【答案】|【解析】小平钱2枚编号为。力，折二钱3枚编号为1,2,3,则任取2枚的所有基本事件为ab,a l,2,3,bl,b2,)3,12,13,2 3共10种,其中两枚不同类的有。1,。2,。3,4,62 13共6种,所求概率为p=?=9,故答案为三.10 5 51 4.定义:在卜2 _ x _ 1)”=pOx2 n+g/T+p2x2 n-2 +国”丁(N)中，把小,E,P；，P；叫做三项式(V%1)”的n次系数列(例如三项式的1次系数列是I,一1，-1).按照上面的定义，三项式的5 次 系 数 列 各 项 之 和 为,P：=.【答案】一 1

16、，4【解析】令x =l,可得(x I p 的 5 次系数数列的各项之和为一1，又由(f X 1)4 的通项公式为 TM=(一 1)1 C：(%2-x)k,且卜2 x?的 通 项 公 式 为 加=0(-幻=(一1)9，*1令 2 攵一厂=1,可得=1,r=1,所以匕=(一 1)4T.(_)C C=4.故答案为1，4.15.最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米 勒 问 题 如 图，树顶A离地面a米，树上另一点8离地面b米，在离地面c(c )米的 C处看此树，离此树的水平距离为 米时看A,8的视角最大.【答案J(a-c)(。-c)【解析】过 C作 CD

17、 _ L A3,交 AB于。，如图所示:则 AB=a-b、AD=a-c,设 Z.BCD=a,ZABC=ft,CD=x,.八 BD b-c在BCD 中，tan a=-,CD x在 八4。中，tan(a+)=4 2 =,CD xa-c bc所以 tan/?=tan(a+6)-a)i a-c b-c(a-c)(b-c)1 +-x+-x x x/a-b a-b0）的左、右焦点，点B关于直线y=x对称的点Q在椭圆上，则 椭 圆 的 离 心 率 为；若过月且斜率为 左/0）的直线与椭圆相交于AB两点，且 丽=3即，则左=.【答案】立，12【解析】由于点B关于直线y=x对称的点Q在椭圆上，由于y=x的倾斜角

18、为工，画出4图象如下图所示，由于。是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知。耳入为等腰直角三角形，同。为短轴的端点，故离心率 =COSN=Y 2.a 4 2不妨谈a=&，h=c=。，则椭圆方程化为丁+2/-2产=0,设直线AB的方程为 =m)一(?=:0)，代入椭圆方程并化简得(m2+2)y2-2 mty-*=。.Q MI/.2设A Q,y J,3(,必)，则 乂+必=-，.m+2 m+2由 于 丽=3月 瓦 故=-3%.解由组成的方程组得加=1,即，=1,%=1.k故答案 为 也，1.2四、解答题：本 大 题 共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)己知

19、数列 4 的前项和为A“，数 列 也 的前项和为8“，且A,-纥=2 7-2.（1）求 为，的通项公式；（2）若%+2=册，求数列 4 的前项和【答案】（D。“一 切=2；（2）Tn=H（H+1）_ s l.8 3【解析】（1）记数列 4一2 的前项和为S“，所以S=2“-2,所以当 2时，S,i=2-2,两式作差，得当“2 2时，a,-b=2,因为当=1时，R=q-自=2,也符合上式，所以%2 的通项公式为。”一a=2.（2）由（1）知 2=2.因 为%+/=册，所以%也=；1（4 +勿）2 _（4 _勿）=；（一 4）,4L.今所以数列%也 的前项和7；=；（1 +2+）一；（41+42+

20、.+4）=小 三 附 一；4（1 -4）4-11-4-8所以数列 为。的前项和z,=（,）-廿.18.（12分）实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局从6名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从6人中随机抽选.（1）求6名优秀教师中的“甲”在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率：（2）某接受支教学校需要3名教师完成一项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位

21、教师在一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师，且无论第三位教师能否完成任务，均不再指派教师.现只有本校教师A与支教教师B,C三人可派，他们各自完成任务的概率分别为“2,P3，假设P3V p2 P l 1，且三人能否完成任务相互独立.若教师A因个人原因要求第一个被派出，之后按某种指定顺序派人，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.4【答案】（1）-；（2）按照先A后B再。的顺序派出所需人数学期望最小.9C|【解析】（I）依题意，6名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中被抽取到概率 为 泡=可,1 （1 V 4则三次抽取中“甲 恰有一次被抽取到的概率为尸=C；！

22、1-=-33。，故按照先A后8再。的顺序派出所需人数学期望最小.1 9.（1 2 分）在Z X A B C 1中，角 4,B,C 的对边分别为a,4 c,ZJCOSC=+cs i n B.3点。在边A C上，且4 9 =2。，8 0 =2.（1）求角B的大小；（2）求/X A B C面积的最大值.【答案】（1）B =；（2）晅.3 2【解析】(1)由bcosC=a+csin3及正弦定理，得3sin B cos C=sin A+sin Csin B,3又 A=兀一(3+(7),所以sin BcosC=sin(B+C)+y-sin 5 sin C 即cos5sinC+sinCsinB=O，3因为0

23、vCv7i,sinCw O,所以 tan 8=百，又0 B 7 t,得 B =.3(2)方 法1：因为点。在边AC上，且A)=2OC,所以 3)=朋 +4。=丽 +前=丽+(比 一 丽)=3&4+3。，7 1 2 4 4 a 1)4 2兀 4)B D2=-B A +BA B C +B C ，即4=c 2+-s +/,9 9 9 9 9 3 9即 4/+。2-2 4=3 6，由公、/。，可得4tzc-2ac=2f,Z A D B 3在ABD中，由 余 弦 定 理 得=4+4/-2x2x2fcos8，即c?=4+4/8，cos8：同理，在BCD中，由余弦定理得。2=4+/+4/cos。，由消掉co

24、s。，得+2=12+6/.2 2在AABC中，由余弦定理，得9*=/+0 2+4,即户=巴士幺土竺，9把代入，得4 2+c1-2 ac=3 6，S 4 a2+c2 4 a c u j 得 4 c 2 a c 2=1，可得=3,2 2=1,所以麓2 =(3,1,1),所以cos（卜箭=磊=_*，因为二面角A 8为钝角，所以二面角A-P O.-B的余弦值为 一 庠.2 1.（1 2 分）已知圆C:（x+0 +y 2 =2 ,动圆M 过点。（0,0）且与圆C相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E的方程；（2）假设直线/与轨迹E相交于A,B两 点,且在轨迹E上存在一点P,使四边形O4P2为平行四边形，试问

25、平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.r23【答案】（1）+y2=l；（2）是定值，定值为不.3-2【解析】（1）因为|CD|=2 0 CD,即点M的轨迹是以C,。为焦点的椭圆，则2 a=2括，即a=6.又因为 2=2,所 以 为=1，2故动圆圆心M的轨迹E的方程 为 上+J?=.3 -(2)当直线A 8的斜率不存在时，可得直线4 8的方程为x=士*，此时=当3所以四边形OAPB的面积S=2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m,由，y=kx+mx2 2 ，整理得（3 2 2+l）f+6/j n x+3（加2 -）=。丁y =i因为直线/与轨

26、迹E相 交 了 人8两点,所以4=3 6/加2 _ 2（3/+1）（*-1）=1 2（3公一加2 +）06km3（m2-1）3k2+1 玉/3 P+12 7 7 2所以X +%=k（玉 +%2）+2m=-2-3K 十1设A 8的中点为Q,则Q的坐标为一3km m3k2+l，3k2+lJ，因为四边形。4PB为平行四边形，所 以 存=2而=一6km 2m）3k2+l3k2+l）所以点P的坐标为一6km 2m3 2+r 3 2+i J又因为点尸在椭圆匕 所以6km Y3二+J3+2m 2=1 ,整理得4/=3&2+i.又因为|阴曰|=717正 哥=717淳.2誓:+i原点O到直线A B的距离为d所以

27、平行四边形O A P B的面积s=2 s*AB-d=2石帆-m2+13 +1323综上可知，平行四边形。4 P 8的面积为定值一.22 2.(1 2分)设函数/(x)=gx3-x2+0-a2)x+a3(aeR)的极大值点为西，极小值点为(1)若玉6(0,1),求“的取值范围；(2)若m ae(0/,/(x,)+/(x2)2m,求实数初的取值范围.【答案】(-l,0)U(0,l)；/，+8).【解析】(1)/(X)=/-2 x+1-/=x(1+。),当1 +。=1一。，即a=0时，1(x)N O,/(x)单调递增，与题设矛盾，则。0；当 l+a l a,即 a 0 时，在(-0,/(x)在(-8

28、,1 +。)，(1 一+8)上单调递增；在(1 +。,1一。)上，/(x)0,/(x)单调递减，所以玉=1 +。，山0 1+。1,解得一l a 1一。，即 a 0 时，在(-8,1-。)，(1 +”,+8)上，fx)0 ,f(x)单调递增;在(1 一上，/(x)0,/(x)单调递减，所以玉=1 一。，由0 l a l,解得0 Z l,综上所述，a的取值范围是(T O)U是().(2)因为/(x)=-1)3 _q(x _ 1)+/_ q-+Q,所以f(x)图象关于(1,/一 /+g)对称，而=1,所以/(*)+/(&)=川),22又因为 3 a e(0,1 使/(xj+/(%)W 2加，即 3 a e(0,1 使机 2 /(I)=/一 /+；,令g(x)=尤3-尤？+g,x e(0,1 ,所以8 )=3/-2%=(3%-2),可得g(x)在。，|上单调递减，(g，l单调递增，所以g*)min=g(|)=捺 则加?捺,综上，”的取值范围为|.