2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴解答题》培优提升突破训练(附答案).pdf

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1、2022-2023学年九年级数学中考复习 圆综合压轴解答题 培优提升专题突破训练(附答案)1 .如图，在R t Z4 8C中，N AC B=9 0 ,以8 c为直径的。交4 8于点。，E是4 C的中点,O E交C。于点尺(1)若/B C D=3 0 ,D C=1 够,求丽的长；(2)判断直线。E与。的位置关系，并说明理由;(3)求证：2C E2=AB*E F.2 .如图，在R t ZX/BC中，ZJ CB=9 0 ,AB=0,/C=6,点。为8 c边上的一个动点,以C D为直径的。交于点,过点C作Cr 4 8,交。于点尸，连接CE、尸.(1)当/。石=4 5 时，求C D的长；(2)求证：N

2、B A C=N C E F；(3)是否存在点。，使得口咕 是 以C F为底的等腰三角形，若存在，求出此时8的长；若不存在，试说明理由.3.如图，/8是。的直径，弦 是。延长线上的一点，连接D E交。于点尸,连接/尸，C F.(1)若丽的度数是4 0 ,求N/F C的度数；(2)求证：/尸平分/CF E；(3)若4 8=5,C =4,C/经过圆心，求C E的长.4.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点，点48、C、D、M均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段48、CD,相交于点夕并给出部分说理过程，请你补

3、充完整：解：在 网 格 中 取 格 点 构 建 两 个 直角三角形，分别是和在 RtZ/8C 中，tanZBJC=,2在 RtZCDE 中，,所以 ta nZ B A C ta nZD C E.所以/4 C=N D C E.因为N/CP+NDCE=N/C8=90,所以NNCP+NA4c=90,所以 NNPC=90,即 AB LC D.【拓展应用】(1)如图是以格点O为圆心，4 8为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在面上找出一点尸，使 血=羸，写出作法，并给出证明；(2)如图是以格点。为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦Z 8上找出一点P.使A M 2=A P-A B,写出作法，不用证明.图5

4、 .如图，已知力8是。的直径，点E是。上异于力，8的点，点尸是标的中点，连接AE,AF,B F,过点/作尸CJ _ N E交/E的延长线于点C,交力8的延长线于点O,N A D C的平分线。G交N F于点G,交F B于点H.(1)求证：8是。的切线；(2)求 s i n/F H G 的值；(3)若G =4/L HB=2,求OO的直径.6 .已知/BC是。的内接三角形，/A 4 c的平分线与。相交于点。，连接。8.(1)如图，设N/8 C的平分线与力。相交于点/,求证：B D=D I；(2)如图，过点。作直线Q E 8C,求证：D E是。的切线；(3)如图，设弦B D,4 C延长后交。外一点尸，

5、过尸作力。的平行线交8 c的延长线于点G,过G作。的切线G”(切点为)，求证：F G=H G.图 图 图7.如 图 1,在矩形/8C。中，N 8=4,A D=3,点。是边Z 8 上一个动点（不与点工重合），连接0 C,将0 4。沿 折 叠，得到 0 E D；再以。为圆心，（%的长为半径作半圆，交射线48 于 G,连接NE并延长交射线8 c 于尸，连接EG,设 O 4=x.（1）求证：OE是半圆。的切线：（2）当点落在8。上时，求 x的值；（3）当点E落在8。下方时，设 ZG E 与/尸8 面积的比值为y,确定y与x之间的函数关系式；（4）直接写出：当半圆。与 BCD的边有两个交点时，x的取值范

6、围.8.请阅读下面材料，并完成相应的任务;阿基米德折弦定理阿基米德（Arc h i me d e s,公元前2 8 7 -公元前2 1 2 年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.阿拉伯Al -B i rum（97 3 年-1 0 5 0 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1 96 4 年根据AI -田加川译本出版了俄文版 阿基米德全集，第一题就是阿基米德的折弦定理.阿基米德折弦定理：如 图 1,和 8c是。的两条弦（即折线/8 C 是圆的一条折弦），B C AB,M 是 嬴 的 中 点，则从点加 向8c所作垂线的垂足。是折弦N 8。的中点，即

7、C D=AB+B D.这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明C D=/8+8 Q 的部分证明过程.证明：如图2,过点M 作 MH J L射 线 垂 足 为 点，连接M4,M B,M C.是A B C的中点,：.MA=MC.任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分;（2）如 图3,已知等边三角形/8 C内接于。，。为标上一点，N A B D=1 5：C E L连接力,则 Q 4 8的周长是图2图39.如图，4 8为。的直径，弦 CD交 4 B于点、E,SL D E=OE.（1）求证：N 8/C=3/C D；（2）点F在弧8。上，且连接C F交力3于点G,求证：C F=C

8、D；2（3）在（2）的条件下，若0 G=4,设O E=x,F G=y,求y关于x的函数关系式；求出使得y有意义的x的最小整数值，并求出此时。的半径.（1）【问题发现】如 图1,N 8 C内接于半径为4的。，若/C=6 0 ,则工8=；（2）【问题探究】如图2,四边形/B C D内接于半径为6的。0,若N B=120,求四边形/8 C Z）的面积最大值；（3）【解决问题】如 图3,一块空地由三条直路（线 段AD.A B、B C）和一条弧形道路C D围成，点M是A B道路上的一个地铁站口，己知A D=BM=1千米,4 M=8 C=2千米，Z J =Z 5=6 0 ,面 的 半 径 为1千米，市政府

9、准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、尸处，其中点P在E 上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线 段DM、MC、C P、P D,是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度(即四边形尸的周长)最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.1 1 .如图，在。中，直 径 与 弦 互 相 垂 直，垂足为，点E是弧8。上一点，连接A C,过点E作直线E例 交Z 8的 延 长 线 于 点 交C。的延长线于点G,连接4 E交C。于点尸，且 G=FG.(1)求证：E G是。的切线；(2)若 E M A C,求证：AF FG=E F C F；(3)在(2)的条件下，若Z=4

10、,t a n G=4，求典的值.1 2 .如图，/8 C中，4 c 8=9 0 ,D为4 5上的一点，以C C为直径的。交/C于E,连接5 E交C D于P,交。于尸，连接Q F,Z A B C Z E F D.(1)求证：与。相切；(2)若力。=2,BD=3,求O O的半径；(3)若PC=2PF,B F=a,求C P(用a的代数式表示).c(1)如 图1,/B为。的直径，点C为。O上一点，连接/C、B C,若48=6,则N B C面 积 的 最 大 值 为.问题探究(2)如图 2,在四边形/B C D 中.N B=N D=9 0 ,ZC=6 0 ,A B=4 D,点、E、F 分别在边8 C、8

11、 上.且N E/尸=6 0 ,若 B E=3,E F=10,求。尸的长；问题解决(3)为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校欲修建一块研学基地，为同学们开设实践探究课，如图3.正 方 形 是 规 划 中 的 基 地 示 意 图，点、尸分别在边8 C、C D ,将A/E厅区域修建为种植采摘区，基地内其余部分为研学探究区，根据 规 划 要 求 产的长为40米，N E/F=45，为了让更多的学生能够同时进行种植，要求种植采摘区(/)的面积尽可能大，间种植采摘区的面积是否存在最大值？若存在求出其最大值；若不存在，请说明理由.1 4.如图，以 Z8 C的边4 8为直径作。交5 c于点Q,

12、过点。作的切线交/C于点E,A B AC.(1)求证：D E L A C；(2)延长。1交。O于点尸，点G在加上，AD=DG.连接8 G,求证：4 F=B G；经过3G的中点M和点。的 直 线 交 于 点N,连接。F交4 8于点，若 4 H：B H=3：8,A N=1,试求出。E的长.(每用图)1 5 .如图，已知线段N 8=4,以N 8为直径作半圆，过圆心。作N 8的垂线O。交半圆于点E,尸是标上的点，连结/尸并延长交O Q于点C,连结尸8交0。于点尺(1)我们知道N/P8=9 0 ,证明方法如下：联结。尸，：0A=0P,：.Z P A O=Z A P O,：OB=OP,：.Z O P B=

13、Z O B P.在N PB 中，ZP4O+ZAPO+ZOPB+ZOB P=180 ,./ZPO+/OP8=9 0 ,即/N P8=9 0 请再用一种其他方法证明/P 8=9 0 .(2)如图2,以 PB,P C为邻边作团P 8 D C,当C Z?与 相 切 时，求P C的长：1 6 .ZS/B E内接于。，C在 劣 弧 上，连C。交于。，连8 0,N C O B=N E.(1)如图 1,求证：C O_L 48；(2)如图 2,B O 平分N 4 B E,求证：A B=B E；(3)如 图3,在(2)条件下，点 尸 在0c延长线上，连 PB,ETUB于 T,Z P=2 ZAE T,ET=1 8,

14、O P=2 5,求。半径的长.最值问题十分感兴趣，为此他做了一个简单的探究.如图，在直角坐标系中，圆 心 在x轴正半轴上，点 P 为。M 第一象限内的一个动点，据此：【前提条件】假若sin4 8O=,尸=5；【探究规律】如 图 1,连 接。尸并延长交y轴于点E,那么在P点移动过程中，是否有为 定 值?若为定值，求出来定值；若不是，求出其最小值.【归纳总结】如图2,小明发现做题越来越有意思，于是作B H 1.D H,交 x轴于点尸，连接尸 尸，O P.点 G 为线段0P的三等分点(O G V O P).以点。为圆心，以线段O G为半径作。，设。O 半径为r,在点P移动过程中，是否有/-2 (1

15、7-1 5 c osZ F P O)为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请求出其最小值.【拓展提升】如图3,若圆心和半径大小均不固定，那么点P,A,B,C,D,M 均为动点，作轴，交动圆加于点T.Q,R两点为直线尸T右侧的两个动点，并且尸7=Q R.那么在点P运动过程中，是否有坐为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定1 8.在半径为1 0 的 扇 形 中，/0 8=9 0 ,延 长 08到点C.使 5 c=0 8=1 0.点。为 上 的 动 点，点 E是扇形所在平面内的点，连接O。，D E,E C,当。E=E C=1 0 时,解答下列问题：论证：如 图 1,连接。,DC,当 OEC 时、

16、求证：O E=D C；发现：当乙D O C=60时，NODE的度数可能是多少？尝试：如图2,当点。，E,C 三点共线时，求点。到。力所在直线的距离；拓展：当点E 在 O C的下方，且 Q E 与菽相切时，直接写出NOOC的余弦值.1 9.已知Z 8C 内接于(1)若/比 IC=45,B C=2V 2,求 的 半 径；(2)若 B D、CE 分别是Z8C 的高，Z B A C=60 ,BC=8V3.求证：B、C、D、E 四点在同一个圆上；求。E 的长.当 点A 仄乙4B C=9 0开始运动到使N/C B=9 0 为止，在这个运动过程中线段D E所经过的区域面积.(直接写出答案)2 0.定义：四边

17、形/8CQ 中，AB=AC,Z B D C 1 Z B A C,则称四边形/B C D 为半角四边形，边 8 c 称为半对边.(1)如图，若四边形48。为半角四边形，且 8 c 为半对边，设/。8 C=a,用含有a的代数式表示N/CD;(2)如图，等腰NB C,/8=4 C,点。为其内部一点，NABD=NACD,连结作NC Z)的外接圆。O,8。的延长线交。于点E,连结瓦4,E C,求证：四边形N8 C E为半角四边形；(3)如图，在(2)的条件下，延长8/交。于点尸，连结E R EF/BC.求证：BC=CE；若4。=3,8 c=6 血，求四边形Z Z)E 尸的面积.参考答案1.(1)解：连接

18、O D是直径，A ZB DC=90,：CD=IOJ3,NBCD=30,；.OB=OD=10,:NDOB=2NBCD=60,.液 的 长=6。兀义1 0 =也 工1 8 0 3(2)解：结论：。后与。相切.理由：.：AE=EC,OB=OC,：.OE/AB99：CD LAB,：OELCD,：OD=OC,：.ZDOE=/COE,在和EOC 中，OD=OC，ND0E=NC0E,OE=OE：./EOD/EOC(SAS),：.ZEDO=ZECO=90,：.ODLDE,是半径，是。的切线.(3)证明：OELCD,：.DF=CF,；AE=EC,：.AD=2EF,:NCAD=NCAB,/N O C=4C 8=9

19、0,，ACDSAABC,.AD AC ,AC AB:.AC2=ADAB,:AC=2CE,：.4CE2=2EF-AB,：.2CE1=EFAB.2.(1)解：；NCDE=NCFE=45,V ZACB=90,/.ZDAC=ZCDA=45,：.CD=AC6；(2)证明：:CF/AB,:/B=/F C B,/FCB=NDEF,：./B=/D E F,又乙%C+NB=90,c。是圆。的直径，A ZCED=90,A ZDEF+ZCEF=90,NBAC=NCEF；(3)解：存在点。，使得是C/为底的等腰三角形，则E/=CE.如图，连接五Q,并延长和4 5 相交于G,则 NEbC=NCR 四边形CEO尸为圆内接

20、四边形,J ZADG=/ECF,又:/CDE=NCFE,：./ADG=/CDE,CD为O。的直径，:,NDFC=90,9：FC/AB,：.ZFGA=90Q,J NFGA=NACD,9：AD=ADf：.AAGDAACD(AAS)f：.DG=CDf AC=AG=6fV ZACB=90,48=10,/C=6,A5C=VAB2-A C2=8，在 中，设 C=x,贝|J8Z)=8C-CZ)=8-x,BG=AB-AG=0-6=4,DG=CD=x,:BG2+DG2=BD2,.42+N=(8-x)2,*x=3，即 CD=3.3.(1)解：如 图1中，连接OD,A D,设4B交CD于H.丽的度数是40,A ZB

21、OD=40,A ZDAB=ZDOB=20,2：ABLCD,：.ZAHD=9Q,二 ZADH=90-ZDAB=70,/.ZAFC=ZADH=10.(2)证明：是直径，ABCD,.*.AC=AD二 NACD=N4DC,V ZACD+ZAFDISO,ZAFD+ZAFE=1SO,，NAFE=ZACD,:ZAFC=ZADC=ZACD,：./AFC=ZAFE,即4F平分/CFE.(3)解：如图2中，设4B交CD于H.4 8 是直径，ABVCD,:CH=DH=2,5VO C=-,NOHC=9G,2:AH=OH+OA=4,=也!2曲2;正行=2盗，C F是直径，:NCDF=NAHC=90,:AHDE,:CH=

22、HD,:AC=AE,：.C E=2AC 4l5.图2图14.解：【操作探究】在网格中取格点E,构建两个直角三角形，分别是Z 8C 和在 RtA48。中，tanN历1。=工,2在 R tZ C D E 中，ta n/OC E，2所以 ta nZB AC=ta nZD C E.所以/8 Z C=N D C E.因为N 4 C P+N D C E=N 4C B=9 0 ,所以/Z C P+/A 4c=9 0 ,所以N/P C=9 0 ,即 AB LC D.故答案为：t a n/D C E=5；2【拓展应用】（1）如图中，点尸即为所求.作法：取格点7,连 接 交。于点尸，点。即为所求;证明：由作图可知

23、，O M L A P,0M 是半径，.函=“；图作法：取格点J,K,连接J K 交 于 点 P,点 P 即为所求.5.(1)证明：连接。咒：OA=OF,；.N 0 A F=N 0 E 4,EF=FB,A ZCAF=/FAB,：.ZCAF=ZAFO,：.OF/AC,*：AC1.CD,：OFLCD,TO9是半径，c。是O o的切线.(2)解：,Z 8是直径，工 4FB=90,：OF 工 CD,：.ZOFD=ZAFB=90Q,J /AFO=NDFB,：/OAF=NOE4,:/DFB=/OAF,6。平分乙4。门，ZADG=ZFDG,*/NFGH=N04F+N4DG,ZFHG=/DFB+NFDG,：.Z

24、FGH=ZFHG=45,V2 sin N 7 G=U；2(3)解：过点作_L。尸于点M,HNtAD于点、N.:HD平分乙ADF,:HM=HN,c-l-DF-HMVSADHF _FH=2_=吗SADHB 郎 yDB-HN DB.尸G”是等腰直角三角形，GH=4瓜：.FH=FG=4,设。8=匕 DF=2k,:NFDB=/AD F,ZDFB=ZDAF,/.DFBsADAF,：.DF=DB-DA,：.AD=4k,平分/4 D 尸，4FDH=NADG,：.N D H sA A D G,.FH=DP_=1而 一 而 下，*AG=8f:NAFB=90,AF=12,FB=6,5=VAP+BP V 1 22+6

25、2=6V 5,二。的直径为6强.图平分 NA4 c BJ 平分 N4BC,；.N B A D=N CAD,/A B I=Z CBI,:NCAD=NCBD,:/C B D=/B A D,*/ZBID=ZBAD+ZABI,ZDBI=ZCBD+ZCBI,：./B ID=/D B I,：.BD=Dh(2)如图，连接。，图:/C A D=/B A D,ABD=CD,：OD1BC,FDE/BC,：.OD1.DE,。是O O 的切线；(3)如图，作直径交。于连接CM,BH,CH,：NMCH=90,：.ZM+ZCHM=90,：NB+/CHM=90,TG”是。的切线，/.ZOHG=ZCHG+ZCHM=90,：.

26、ZC H G=ZB,如图，连接B”，CH,图是。的切线，二/C H G=NHBG,：4CGH=ZBGH,:.H C G sg H G,.GH=CG而一而：.GH2=BGCG,AD/GF,：.NAFG=NCAD,:/CAD=NFBG,：.NFBG=NAFG,：4CGF=ZBGF,:A C G FSXFGB,.FG _CGBG FG：.FG2=BGCG,：.FG=HG.7.(1)证明：I四边形/BCD是矩形，A ZDAO=90,将O/。沿 OD折叠，得到OEZ),：./O E D=/DAO=90,：.OELDE,YOE是半径，.DE是。的切线；（2）解：如图2中，当点E落在8。下方时,图2在 中，

27、NDAB=9G,AD=3,AB=4,*S&ADB=SyD d1rs9 0,AX3X4=-=-X3Xx+X5Xx,2 2 2.rx-_-3-.O。垂直平分线段NE,：ADAO=*DO-AJ,2 23-X2+94 J=r ,VX2+99 A G 是直径，A ZAEG=ZABF=90,：/EAG=N BAF,：.AAE G sLABF,._ SAAEG _,AE、2 y-k-)&A A B F 知6x)242g J(o x )；4X2+36(4)当OO与C D相切时，x=3,当。经过点 C 时，x 2=(4-x)2+3 2,观察图象可知，当|v x 3或 学 x 0 时，x2+x-4 0,4解得 x

28、2盗-2 或 xV-2A/5-2,x 的最小整数值为3,E CG=7,FG=,4:AG*GB=CGXFG,RJ (R+4)(R-4)=7X ,4(负根已经舍去)，2.此时。o 的 半 径 为 呼 L.1 0.解：(1)如 图 1,连接。/、O B,过点。作于点，,V Z C=60 ,.4 0 8=1 2 0 ,：OA=OB,.0/8 为等腰三角形,9：OH LAB,：.ZAOH=ZBOH=60Q,.4，=0 4 s i n/Z O =4 X 喙=2 愿，则/8=2 4 =4 6；故答案为：4近；（2）如图2,连接/C,过点D作D EL4c于点E,过点8作B尸，/C于点尸,：四边形488 的面积

29、 S ACXD EACXBFACX（DE+BF）,2 2 2当D、E、F、8四点共线且为直径时，四边形/8 C D的面积S最大；V ZABC=120,A Z ADC=60,，/0 C=1 2 0 ,在/O C 中，由（1）知，AC=2XOAsin6Q=2*6乂 返=64，2二四边形力8 8的面积S的最大值为：XACXBD=X63xn=36y/3,2 2故四边形”8 8的面积的最大值为3 6 7 3:则 KM=AM-AK=2-,则 tan/6 WA：=返2 2 K M 2.N Z）M K=3 0 ,故 为 直 角 三 角 形，同 理 四 为 直 角 三 角 形,在 Rt A4OW 中，)=32_

30、必2=14-1，,ZDMC=180-ZDMA-ZCMB=60Q：AD=BM,AM=BC,4=N8=60,/.(SAS),：.DM=CM,.CDM为等边三角形；设面所在的圆的圆心为R,连接QR、CR、MR,:DM=CM,RM=RM,DR=CR,:.DRMq ACRM CSSS),：.ZDMR=ZCMR=ZDMC=3OQ,2在 /?中，DR=1,NDMR=3Q,DM=yj3=CM,过点R作RHLDM于点H,则 RM=罩=TT=1 =RD,cos/DMR V3_2故。、P、C、M四点共圆，/.ZDPC=20,如图4,连接M P,在PA/上取PP=PC,图4:CDW为等边三角形，A ZCDM=60Q=

31、ZCPM,:PC 为等边三角形,p li PP=P C=PC,V ZPMC ZPDC,ZCP1 Af=180-ZPP C=120=NDPC,CD=CM,:ZDg MC(AAS),：.PD=P M,：.PD+PC=PP+PD=PP+P M=PM,故当P M是直径时，PD+PC 最大值为2；:四边形 DMCP 的周长=M/+C A f+PC+PO=2 j+PD+PC,而PD+PC最大值为2；故四边形Q M C P 的周长的最大值为：2+2 6，即四条慢跑道总长度(即四边形。M C P 的周长)最大为2+2 6.1 1.(1)证明：连接0 E,如图，：EG=FG,:.NGFE=NGEF,而 NGFE

32、=N4FC,；.NGEF=NAFC,：O4=OE,；.NOE4=NOAE,CAB LCD,二 ZAFC+ZE4H=90:.NGEF+/OEA=90,即/G O=9 0 ,：.OELGE,；.E G 是OO的切线；(2)证明：:ACM EG,：.NACF=NG,：ZAFC=NEFG,：./CFA/GFE,.C F _AF 而 一 丽 :AFFG=EFCF；(3)解：连接。C,设。的半径为r,:GE/AC,：.ZG=ZACH,NCAF=NGEF,:GE=GF,ZGEF=ZGFE=NAFH,：NCAF=NCFA,：.CA=CF,AH 1在 RtZ4C 中，tanN4C”=上，CH 3：.CH=3AH

33、=3X4=2f-CA=CF=AH2RH2=V42+122=4/1，：.FH=CF-AH=4W-12,在 RtZOC 中，0-4)2+1 2 2=2,解得厂=20,GE/AC,：.ZM=ZCAH,：.RtAOA/RtAC/J,.E M 0 E n nE M 2 0A H C H 4 1 2.g,2 03.FH_ 4V1O-12=3VT0-9“EM 型 5312.(1)证明：VZJCB=90,:,NCEB+/CBE=90,ZABC=/EFD,ZEFD=/FDB+/FBD,/EBC=/FDB,：NCEB=/CDF,:/CDF+/FDB=90,即 N C D 3=9 0 ,：.CDVAB,OD 是半径

34、，.4 8 与。相切；(2)解：VZ/lC +Z J=9 0o,ZA+ZABC=90,，NACD=NABC,V ZADC=ZBDC=90,：.丛ACDsCBD,.C D _B D 一 而:.C D 2=Q BD=2X3=6,：.CD=I,Q O 的直径为；(3)解：为。的直径，A Z C F D=9 0 ,:.NDCF+/CDF=90,又,：NCDB=90,；.NFDB+NCDF=90,ZFDB=ZDCF,：NEBC=NFDB,：./EBC=/DCF,.PCFsXPBC,.PC _PF*PB -PC，：PC=2PF,.PC _PF _ 1*PB-PC-T.PB=2PC=4PF,又 PB=PF+

35、BF,：.4PF=PF+BF,：.PF=BF=a,3 3PC=2PF.2：.PC=a.31 3.解：(1)如 图1中，连接O C,过点C作C/L48于点儿 18=6,：.OA=OB=OC=3,*：OC2CH,:CHW3,C的最大值为3,/A B C 的面积的最大值为工 6X3=9.2故答案为：9；(2)将/尸绕点N 顺时针旋转120得至C囱2;ND=N4BC=NABT=90,：.ZCBT=80,：.C,B,T 共线,：ZC+ZBAD=S0,ZC=60,：.ZBAD=20,V ZEAF=60,；/B4E+/DAF=60,/ZDAF=ZBAT,：.ZEAT=ZBAE+ZBAT=60,:.ZEAT=

36、ZEAF99：AE=AE,AT=AF,：./EAT/AEF(S4S),:TE=EF=13:BE=3,:,BT=ET-BE=7,：.DF=BT=7；(3)结论：的面积是定值，不存在最大值.理由：如图3中，将4。/绕 点Z顺时针旋转90得至UZSZBP.四边形48CO是正方形，：.AB=AD,ZBAD=ZD=ZABC=90,V ZABP=ZD=90Q,NC8P=180,:.P,B,E共线，VZEF=45,：.ZBAE+ZDAF=45,ZDAF=ZBAP,：NR4E=NBAP+NBAE=45,；/EAP=/EAF=45,*：AP=AF,AE=AE,：./EAP/EAF(S4S),：.EP=EF,；E

37、P=PB+BE=DF+BE=4G,SAAEF=SyPE=卷 义 PEXAB=20AB,.正方形的边长是定值，尸的面积是定值，不存在最大值.14.(1)证明：如图1,连接。图1 为O O 的切线，：.ZODE=90,*：AB=AC,：./B=/C,又.：OB=OD,：./B=/O D B,：C=4O D B,：.OD/AC,：.ZDEC=ZODE=90,：.DEAC；图2 4 8为O O的直径，A ZAFB=ZBG A=90Q,VAD=DG./A B D=/D B G,/4B C=N C,：,/C=/D B G,:CFBG,A ZFNG+ZBFA=ISO,:NFBG=90,：/F B G=/A

38、F B=/B G A =9Q,四边形4M G为矩形，：.AF=BG；图3为O O的直径，:NBDA=90。,AB=ACf:,BD=DC,*：CFBG,：.ZNCD=ZMBD,在8DA/和CQN 中，/MBD 二 NNCD，BD=DC,、NBDM 二 NNBC:BDM XCDN(ASA)f:,BM=CN,过点C 作 CP/DH交 B A 的延长线于点P,.BH BDHP DC:AH：BH=3：8,：.AH：AP=3：5,：FH/CP,眼=组=旦*A C AP 丁AB=AC,.FA=3*AB g设 48=5%则 ZC=5%,FA=BG=3k,连接尸8,:NBE4=90,A 5F=VAB2-AF2=

39、4k，,:M为B G 中点，i Q：.BM=BG=kf2 2Q:CN=-k,2Q 7：.AN=AC-CN=5k-k=k=l,2 2贝|J%=2,V ZDEC=ZB FC=90,:DEBF,FE _BD*EC DC:EF=EC,：.DE=-BF=2k,2：.D E 4.15.(1)证明：；靠所对的圆心角是N/O P,圆周角是N/8P,二 Z A B P Z A O P,2同理/知2A ZABP+ZR4B=ZAO P+ZPOB=X 180=90,2 2 2A ZAPB=S00-(ZABP+ZPAB)=90；(2)解：设 CD与。O 相切于7,连接0 7 交 8 P 于 K,如图:V Z APB=9

40、0=Z C P B,四边形PBDC是平行四边形,.四边形尸2O C是矩形，：.NCPB=NPCD=90,.CD与。相切于T,：.ZO TC=90Q,二四边形PKTC是矩形，KT/PC,:.KT=CP=x,：.O K=2-x,：KT/CP,OA=OB,.OK是 的 中 位 线，：.AP=2OK=4-2x,：.ACAP+CP=4-x,V Z AOC=900=N4PB,NPAB=NOAC,：.AOCSAPB,A C _ _ 0A 即 4_x _ 2*AB-AP J 4 4-2 x*解得上=3+近 或 x=3-屈,当 x=3+J 时，AC=4-x=l-A/50,.x=3+遍不符合题意，舍去,.*.x=

41、3-a,即 CP=3-A/5；(3)解：如图3-1 中，当APMFSAPB4时,图3-1:M F sA P B A,：./PMF=NB,B F 二 AF一,D F B F/.BE1=AFDF=AF*（AF+AD）=AF1+QAF,在 RtZXBOF 中，BP-。尸=0*=42=16,由得，“3,3：.OF=AF+OA,BF,3 3设0。=。，0P=3r,二 QJV=3/COS。，PN=3rsin。，FN=-+3r*cosQ,3：.PM2=PN2+MN=(3rsin。)2+(3z-cos6-3)2=52,“c s e=1 8 F P=7FN2+PN29+9 r +-3 2rpco s+3 r*c

42、o s 8 )2+(3r s in 9 )2作“+3 2 X年 泮=5r,在 RtAOPN 中，0N=3r,stnNFP0,PN=3i-cosZFPO,：.FN=PF-PN=5r-3r*cosZ FPO,在RtZFCW中，由勾股定理得，FN2+ON2=OF2,：.(5 r-3/-cosZFPO)2+(3厂sin/F尸0)2=(也)2,3化简得，(17-5-cosZFPO)=J ；9(3)F Q不是定值.有最小值.P R理由：如图3中，设尸T与/。交于点S,则尸T=2PS,PTLAD,没SQ=bPS.图3,.P 0 2=p 5 2+S 0 2=（1+依）pS 2,PR =PS2+S R =PS1

43、+（S Q+QR）2=PS2+（k PS+2PS）2=（R+4什5”P S 2,o?.,PQ-k+1 A k+1、八.（）2=-=m,令一-=m m0,PR k2+4k+5 k2+4k+5：.m（今+4%+5）=权+1,整 理 得（加-1）k2+4mk+5m-1=0,20,/.（4 m）2-4 （m-1）（5Z M-1）20,整理得m2-6加+1 WO,：.3 -2 gW m W（V2+1）2,（里）2的最小值为（J 2 -1）2,图21 8.论 证：证明：如图 1 中，OD=OB=0,C=1 0,：.OD=E C,9：OD/EC,四边形ODCE是平行四边形，：.OE=CD；发现：解：如图3

44、中，NDOB=60,是等边三角形，:DB=OD=lO,ZOBD=ZODB=60,图3当点E 在 O C的上方时，四边形O8CE是菱形，：.DE/OC,：.ZEDB=ZOBD=60,ZODE=ZODB+ZBDE=120.当点 与 8 重合时，满足条件，此时/O。夕=600.综上所述，满足条件的N O O E=60或 120；尝试：过点C 作于点“，DT上O C于点、T,O0J_CU于点。.：CD=CE+DE=20,OC=OB+BC=20f:CD=CO,CHLOD,：OH=DH=5,C/=VOC2-O H2=A/202-52=5勺 15，/S/C D O=OCD T=f/O DCH,._1QX5V

45、15 _5Vl5 LJ i-,20 2 _二T=、OI)2-DT2 =102-2=!,9：DQ.LOA,：.ZDQO=ZQOT=ZDTO=90,四边形0 0 0 7 是矩形，E：.DQ=OT=,.点D 到0A 所在直线的距离疟.2拓展：解：如图4 中，连接O E,设DE交OC于点3 过点e 作LT_LOE于点T,EKLOC于点K.图4设 C K=x,贝!|OK=2-x,是切线，：.ODLED,：OD=DE,：.OE=102,：EK1=EC1-C依=。0 -OK1,.,.102-x2=(l(h/2)2-(20-x)2,2 2,-/:=VEC2-CK2=I 02 _=,：ZTEL=45,NLKT=

46、90,：.LT=TE,设 ET=LT=m,：ALOT=AEOK,NLTO=NEKO=90,:.OTLSMOKE,.LT _0TEK OK_ _ OT一5曲一/2 2：.O T=-m,1Z M=1 OA/2.25V14-35V2 m=-二-，9 EL=H.T=5Ch/7-70,9：NODL=NEKL=90。,ZOLD=ZELKf：./DOC=4KEL,5-.cosZ DOC=cosZEKL=”=5隋.EL 5W 7-70 8V ZBAC=45,：.ZBOC=90,VBC=2V2,：OB=OC=2,二。的半径为2；(2)证明：.B。、CE 分别是 4 8 C 的高,：.N B E C=N B D

47、C=9 0 ,；B a D、E 四点在同一个圆上；解：.8、C、D、E 四点在同一个圆上，.8 C 的中点是圆心，设圆心为F,：.B F=F C=B C=4 l 3,如图，连接。尸，E F,；/8/C=6 0 ,ZB D C=9 0 ,；.N AB D=3 0 ,:.N E FD=6Q,:B F=D F,.D EF是等边三角形，:.D E=D F=B F=4 7 3;解：当点4 从乙1B C=9 O开始运动到使/Z C 8=9 0 为止，在这个运动过程中线段DE所经过的区域面积是S,当尸G_ L 8。时，:N B FE=3 0,BF=N,.G 上 *X 4 =6,2所以线段。E 所经过的区域面

48、积是以4 7 3 为半径的半圆面积减去一个以4 /3 为边的等边三角形的面积，再减去一个以6为半径圆心角为1 20 度的扇形面积，2 s=/x (4A/3)2K-1X4V3X6-120 6=127T-12V3-20.(1)解：四边形4 5 c o是半角四边形，为半对边，：.AB=AC,ZBDC=ZBAC,2V ZBAC+ZABC+ZACB=SOQ,NDBC+NBCD+/BDC=180,*：AB=ACf：./ABC=NACB,：.ZACB=(180-N84C)=90 Z/1C=9O0-NBDC,2 2A ZACB+ZBDC=90,ZBCD=ZACB+ZACD,：.ZACD=ZBCD-ZACB=(

49、180-ZDBC-ZBDC)-NZCB=1800-a-(ZBDC+ZACB)=180-a-90=90-a；(2)证明：9：AB=AC,：.ZABC=ZACB,NABD=/ACD,/DBC=/DCB,:.DB=DC,：./ADB/ADC(SSS),：.ZBAD=ZCAD,_ =8,3:.GH=IC=8,:.AG=GH-AH=8-2=2,由4 H sA/G,可 2.=旭，BH AH.G=B端=3近 X-V 2,:4BDH=NEDG,NBHD=NG=90,:.BDHSEDG,.D G=EGDH BH；.EG=BH=B HDKG=3&xJi=5&,DH DH 3，四边形/。户 的 面 积 的 面 积-/G尸的面积=ZDGEG-AGFG=UD+AGEG-AGFG2 2 2 2=X(3+2)X5-72-X2XV2=23A .222