2021年陕西省西安中学高考数学八模（文科）试卷（解析版）.pdf

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1、2021年陕西省西安中学高考数学八模试卷（文科）一、选 择 题（共 12小题）.1.已知向量之=(2,3),芯=(3,2),则|工-3=()A.近 B.2 C.5M D.5 02.已知集合M=*-4 c x 2,N=x|Z W o,则 MUN=()x+2A.x-4 x 3 B.x-4 x -2 C.x-2 x2 D.x|2x 33.定义：若复数z与z 满足z z =1,则称复数z与一互为倒数.己知复数2=/二 与i,则复数Z的倒数Z，=（）A.1 1/B.上 也 i C,i D,也 i2 2 2 2 2 2 2 24 .魔方又叫鲁比克方块（RwbKsCube）,是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比

2、克艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得.现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）5 .将函数/（X）=c os （2x+p）（0 （p 0,b 0)的左、右焦点分别为尸i,尸2,过尸2作E的一条渐近线的垂线，垂足为T,交E的左支于点P.若7恰好为线段产巳的中点，则E的离心率为()A.V 2 B.5/3 C.2 D

3、.疾1 2 .已知函数/(x)=2 -3 x,若过点尸(1,f)存在3条直线与曲线y=/(x)相切，则f的取值范围为()A.(，-3)B.(-3,-1)C.(-1,+8)D.(0,1)二、单空题1 3 .函数 y=/(x)的反函数为 y=l o g z x,则/(-I)=.兀1 4 .已知 t a n (a+p)=3,t a n (a+)=2,那么 t a n=.41 5 .已知圆锥的表面积为3m且它的侧面展开图是一个半圆，则 它 的 母 线 长 为；该圆锥 的 体 积 为.1 6 .对于函数f(x)(e是自然对数的底数)，“，住R,有同学经过一些思考后提出如下命题：f(a)/(6)=f (a

4、+b)；/(a)+bf(b)af(b)+bf(a)；f (a)S a+l；f Tf (a)+f (b)则上述命题中，正确的有三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超 过 100元的人员中随机抽取了 100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.（1）求?，n 的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20 人，低于300元的男性有25人，根

5、据统计数据完成下列2 X 2 列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y 与年龄x 进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程_ c.已 知 100名使用者的平均年龄为3 8 岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）K 2=-二 北)-,其中“=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（心济）0.0500.0100.001ko3.8416.63510.828频率mn0.00150.0010_0 100 200 300 400 500 600元/周18.在aA B C 中，

6、a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边，2扶=（后 心-序）（1,ta n A）.（1）求角C；(2)若c=2 j而，。为8 C中点，在下列两个条件中任选一个，求A。的长度.条件：Z V IB C的面积5=4且B A；条件：c o sB=”5 .D2 2 rr1 9 .已知椭圆C：与三=1 (4 b 0)的离心率为出，点E,尸分别为其下顶点和右Ja Lb 2 QJ焦点，坐标原点为0,且 E O F的面积为加.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/与椭圆相交于A,8两点，若点尸恰为E 4 B的重心，求直线/的方程.2 0 .如图，边长为2的等边A B C所在平面与菱形AACG所在平面互相垂直，且

7、B C助G,BC=2 BC,A iC=J A G.(1)求证：45平面A B C；(2)求多面体A B C-A/C i的体积忆2 1 .己知函数f(x)=eX-x 2-(m+l)x-in l n x,(m R).g(x)是/(x)的导函数.(1)若g(X)在(0,+8)上单调递增，求机的取值范围；(2)设F (x)=g (x)-/(x),证明：当m=时，F(x)有且仅有两个零点.2 2 .如图是美丽的三叶草图案，在以。为极点，O x轴为极轴的极坐标系中，它由弧南，弧M N，弧 组 成.已知它们分另U是方程为P =4 sin(8 ),p =4 sin(6 ,p=-4 sin 0的圆上的一部分.(

8、1)分别写出点H,M,N 的极坐标;(2)设点P 是由点”，M,N 所确定的圆C 上的动点，直线L：8=N(P R)，求点P到的距离的最大值.2 3.已知函数f(x)=，X2+2X+1 T x-m|的最大值为4(其中?。).(1)求机的值；114(2)若+b2+/=，求一5 十 2+2 的最小值，a b c参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量之=(2,3),己=(3,2),bl=()A.yfo,B.2 C.解：之=(2,3),芯=(3,2),a-b=(2，3)-(3,2)=(-1,1),la-b l=V(-1)2+12=V2-故选：A.Y-O2.

9、已知集合 M=x|-4V xV 2,/7=升邑a 0 ,则 M U N=(x+2A.x|-4x 3 B.x|-4 x -2 C.x|-2x2Y-Q解：V M=x|-4 x 2,AT=x|-0=x|-2x3,x+2 M U N=3-4 V x V 3,故选：A.3.定义：若复数z 与/满 足 zz=1,则称复数z与 k 互为倒数.D.50)D.x|2x3已知复数Z=2则复数Z的倒数/=()A,1 1/2 2解：由题设可得：Zi故选：44.魔方又叫鲁比克方块(RubKsCube),是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智

10、力游戏界的三大不可思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得.现将三阶魔方中1 面有色的小正方体称为中心方块，2 面有色的小正方体称为边缘方块，3 面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为()解：沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，其中有3个面涂色的小正方体共有8个，只有2个面涂色的小正方体共有1 2个，只 有1个面涂色的小正方体共有6个，所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为其27 9故选：C.1T5.将函数/C O =c o s （2x+（p）（0 （p i r）的图象向右

11、平移下个单位长度后得到函数g4TT TT（x）=c o s（2x亡）的图象，则函数/（X）在（0,寸）的值域为（）A.（蒋，y）B,-1,-j-）c.-1,y）D,-1,1 JT解：将函数/（x）=c o s +（p）（0 （p 1 时，可得y=是递减函数，图象恒过（0,1）点，a函数y=log“（x+*），是递增函数，图象恒过（/，0）；当 1“0 时，可得y=4 是递增函数，图象恒过（0,1）点,a函数y=log“（x+*）,是递减函数，图象恒过（/,0）；.满足要求的图象为：D故选：D.8.图是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名.已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边

12、界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156,且 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 苧 则 最 外 层 六 边 形 的 周 长 为（）图图A.30 B.42 C.48 D.54解：设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为0,。2,。3,成等差数列,由题意得 6（。+。2+。3+。4）=1 5 6,即。|+。2+。3+。4=26,所以 2+3=13,因为阴影部分的面积S=6 X x （a22-ai2）=y-V 3-所以 2 a d+d 2=1 1，f 7联立得fai1=5 或4 ai=w（不合题意舍），S

13、 1吟故 4=4 1+3 4=8,所以最外层六边形的周长为4 8.故选：C.9.小 明处理一组数据，漏掉了一个数1 0,计算得平均数为1 0,方差为2.加上这个数后的这组数据（）A.平均数等于1 0,方差等于2B.平均数等于1 0,方差小于2C.平均数大于1 0,方差小于2D.平均数小于1 0,方差大于2解：设这组数据为X I,X 2,，X”,它的平均数为1 0,方差为2,所以X|+X 2+X”=1 0 ,(X-1 O)2+(x2-1 0)2+(xn-io)2=2 ，添上数据1 0 后，这组数据的平均数为3 X (制+及+X.+1 0)(lO n+1 0)=n+1 n+11 0,方差为&广1

14、0)2+(x?-1 0)2+-+(x-1 0)2+(1 0-1 0)2=2 -2.n+1 1 n n+1所以加上这个数后的这组数据平均数等于1 0,方差小于2.故选：B.1 0.设 x,y 满足 2 x-3 y 0,b 0)的左、右 焦 点 分 别 为 尸 2,过 局作 E的a%L一条渐近线的垂线，垂足为7,交 E的左支于点P.若 T恰好为线段 危 的中点，则 E的离心率为()A.V2 B.C.2 D.75解：设 B(c,0),E的一条渐近线的方程为y=2r,a过 F 2 与 E的一条渐近线垂直的直线P F 2 的 方 程 为 丫=-且(x-c),b联立可得垂足T(/,辿)，c C2由T恰好为

15、线段尸后的中点，可得P(2J_-C,&k),C C9,2 2 4 a2将 P的坐标代入双曲线的方程可得，)2 一 号 =1,a c 1r2 4由 e=,可 得(三-e)2-y=i,a e e解得e=故选：O.1 2.已知函数f(x)-2 X3-3 x,若过点P (1,/)存在3条 直 线 与 曲 线(x)相切，则 f的取值范围为()A.(-8,-3)B.(-3,-1)C.(-1,+8)解：设过点尸(1,力的直线与曲线y=/a)相 切 于 点(-2X33则 2x-S x-t=6/-3,x-1化简得，4/-6/+3+，=0,令 g(x)=4/-6/+3+1,则令 g(x)=12x(x-1)=0,贝

16、 h=0,x=.D.(0,1)-3 x),g(0)=3+g=f+l,又 过点P(1,力 存 在 3 条 直 线 与 曲 线(x)相切,则(什3)(r+1)0,解得，-3 /,所以圆锥的体积为|TTX12XV 3=-故答案为：2,返 工.31 6.对于函数/(x)=e (e是自然对数的底数)，a,/?G R,有同学经过一些思考后提出如下命题：G Y (a)/=f Ca+b)；4(。)+)?可(b)+bf(a)；f(a)f(詈)f 产则上述命题中，正确 的 有 .解：对于，/(。)/(力)(。+8)，故正确；对于，cif(a)+bf(Z?)-af(b)-bf(a)=a9ea+b9el)-b9e0=

17、(a-b)(-於)2c/(b)+bf(a)；设 a?b,则(a-h)-於)2 0,故 af(a)+bf(b)af(b)+bf(a)成立，当 a)0.0 5 00.0 100.0 0 1ko3.8 4 16.6 3 510.8 28频率颠m0.00150.0010_ _ _ _ _0 100 200 300 400 500 600元/周解：(1)由频率分布直方图可知，m+=0.0 1-0.0 0 15 X 2-0.0 0 1=0.0 0 6,由中间三组的人数成等差数列可知机+0。0 15=2，可解得 m=0.0 0 3 5,=0.0 0 25.(2)周平均消费不低于3 0 0 元的频率为(0.0

18、 0 3 5+0.0 0 15+0.0 0 1)X 10 0=0.6,因 此 10 0 人中，周平均消费不低于3 0 0 元的人数为10 0 X 0.6=6 0 人.所以2义2 列联表为男性女性总计消费金额2 3 0 0204 06 0消费金额 6,6 3 545X 55X 60X 40所以有9 9%的把握认为消费金额与性别有关.调查对象的周平均消费为 0.15 X 15 0+0.25 X25 0+0.3 5 X3 5 0+0.15 X4 5 0+0.10 X5 5 0=3 3 0,由题意 3 3 0=-5 X 3 8+A .=5 20,-5 X 25+5 20=3 9 5.18.在 A B

19、C 中，a,b,c 分别为内角A,B,C的对边，2/=(+/-序)(1 _ t an A).(1)求角C；(2)若 c=2j 15,。为 8C中点，在下列两个条件中任选一个，求 的 长 度.条件：ZVIBC的面积S=4 且 8 A：条件：cosB=2y.5解:(1)2=(bc2-a2)(1-tanA).A2 b2=2 bccosA9(1 -tanA).b=c(cosA-sinA),由正弦定理可得：sinB=sinC(cosA-sinA),/.sin(A+C)=sinCcosA-sinCsinA,q jr.*.sinAcosC=-sinCsiMO,tanC=-1,解得 C=-.4(2)选择条件，

20、cosB=2i值，.,sinB=2ZE.5 5VsirL4=sin(B+C)=sinBcosC+cos8sinC=/委，由正弦定理可得：a=*逅旦=2近.10 sinC v在A8O 中，由余弦定理可得：A D2=A B-+Bb1-2 A BBDcosB,解得AO=，宠.1 9.已知椭圆C：(a ft 0)的离心率为返，点 E,尸分别为其下顶点和右a b 3焦点，坐标原点为。，且EOF的面积为我.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/与椭圆相交于A,B 两点，若点尸恰为E4B的重心，求直线/的方程.2,解得=近，b=2,。=圾,6 4(2)延长E F交直线/于点因为点F为EAB的重心，所以点。为线

21、段A 8 的中点,由点 E(0,-2),尸(血，0),得。1),设 A (%1,y),B(X 2,”)，X1则1 +X2=3V2，丫1+丫2=2得 G 1+X 2).5)+七2 2 -)=0,6 4所以加62)+2 卬%)=0,6 4所以 kAB=-y-t-y-2=-广xrx2所以直线/的方程为y-1=-、历(X-岁)，即如田+-4=0.20.如图，边长为2 的等边aABC所在平面与菱形4A C G 所在平面互相垂直，且BC BC,BC=2BiCi,A iC=A G.(1)求证：A山 平面ABC；(2)求多面体A B C-A S G 的体积V.【解答】(1)证明：；四边形AiACG是菱形，.A

22、CAiG.又：ACu平面 ABC,A C S 平面 ABC,.4G 平面 ABC.同理得，BICI平面ABC.V A i C i,B i G u平面A le”且Ai C i n SG =G,平面 AB C平面 ABC.又.,Ai B i U 平面 AiBiCi,二4山|平面ABC.（2）解：V A C#Ai C i,BC BC,/.ZAICIBI=ZACB=60.V Ai C i=AC=2,2BiCi=BC=2,SB G 得 X 1 X 2 X 争率在菱形 A M C G 中，.,.Z AC G=6 0,SA,A：C.=2 X2 X=2 V3-.平面AB C J _平面A C G,取A C的中

23、点为M,连接8 M,CM,平面 AC G,平面 AB C.由（1）知，平面AB C平面AB i C i,二点B到平面4S G的距离为“M=又：点 B到平面4A CG的距离为阴=正，连接BCi,则%A】B：c J VB-A.（X（冬 2 ）X 号21.已知函数f (x)=e 4 x 2-(m+l)x-m l n x,(m R)g(x)是f (x)的导函数.(1)若g (x)在(0,+8)上单调递增，求机的取值范围；(2)设 尸(x)=g (x)-f(x),证明：当m=4时，F(X)有且仅有两个零点.【解答】解：S f (x)=ex-x2-(m+l)x-m l n x x。，所以 g (x)=f(

24、x)=ex-x-(z n+1)-,x因为g (x)在(0,+8)上单调递增,所以 g (x)=ex-1+-=-也20 在(0,+8)上恒成立，x x21 11 1 R 1 1 R当工=时，F()=(Z/12-)0,当 x=2 时，F(x)-ln2=(-/?2)2 2 3 8 6 3 3 2 0,所以由零点存在性定理可得尸(X)在区间(微，1)和(1，2)上各有一个零点，结合尸(x)的单调性可知，F(%)有且仅有两个零点.22.如图是美丽的三叶草图案，在以。为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，它由弧南，弧MN，弧NE组 成.已知它们分别是方程为p =4 s i n(8 P=4 s i n(0 P=

25、-4 s i n 0的圆上的一部分.(1)分别写出点H,M,N的极坐标;(2)设点尸是由点H,M,N所确定的圆C上的动点，直线L：8=_“(p ER),求点P到乙的距离的最大值.即 mx2-x2e-v,令 h(x)=如-x2，则 h(x)=2 x-2 xex-x1ex=2 x(1 -夕)-x2e*,因为 x 0,所 以 1,所以 1-b V O,所以 2x(1-)-f d V O,即 勿(x)0,所以(x)在(0,+8)上单调递减，说 h(x)0),3 3 2 3x 3所以F一卜卷*=包*殳,令 F (x)0,解得 0 x 0,解得 x l,所以下(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以尸(x)在x=l处取得极小值，也是最小值，最小值为尸(1)=-0).求 心 的 值;1 1 4(2)若。2+2+2=，求一 2+的最小值.a b c解:f (x)=V(x+1)2-I x-m|=|x+l|-|x-m K|(x+1)-(x-m)|=|l+m|=所以机=3.(2)由(1 )知 序+按+”=3,由柯西不等式有：(4+3)(a2+b2+c2)2=16a 2 b 2 c 2 a b c所 以(吃+3+：)*316,云冷 A，所以最小值为学.a b c a b c 0 3