2021年陕西省高考数学三模试卷（理科）附答案解析.pdf

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1、2021年陕西省高考数学三模试卷（理科）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数2-1）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2.设 4=1,2,B=2,3,4,则A n B=()A.2B.1,2 C.(1,3,4)D.11,2,3,4)3.下列命题中为真命题的是（）A.只有末尾数字是5的整数能被5整除B.若向量五1 B，则五b=0C.若a,b e R,ab=0,则a=0D.四条边都相等的四边形是正方形4.下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的是（）A.y=x2 B.y=ln|x|C.y=2XD.y=xsinx5.在棱长为2的

2、正方体4BCD4B1GD1中，M是棱必当的中点，则4M与 所 成 的 角 的 余 弦 值 为()A.-叵 B.渔 C T D.包15 10 5 56.为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离.某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座.例如图中第一列所示情况不满足条件（其中 表 示 就 座 人 员）.根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（）A.9B.10C.11D.127.已知函数/（x）=/5sin 2x+2cos2%,卜列结论正确的是（）A.函数/（x）的最

3、小正周期为27rB.函数f（x）在 区 间 舄,令 上单调递增C.函数f （%）的图象关于直线尤=?对称D.函数/的图象关于点（一己 0）中心对称8.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为A NA.-1B.-C.-D,包4!鼻9.若 因 是 因的一个内角，且0 ,则0的值为（）A.回B.0C.D.01 0 .若函数,由城=蠢如勰疑篇:举噂的图像在勰窝旗上恰有一个极大值和一个极小值，则您的取值B,史21 2.函数/(无)=意，当0 x l时,A.f2(x)/(x2)f(x)C.f(x)f(x2)f2(x)范围是（）A B.a 1|C.碌,D-

4、4 414 4 咻 4 41 1 .已知椭圆 0）与轴负半轴交于点力，P 为椭圆第一象限上的点，直线O P 交椭圆于另一点Q，椭圆的左焦点为F,若直线P F 平分线段4Q,则椭圆的离心率等于（）1C.3 D.y下列式子大小关系正确的是（）B./（x2）/2（x）r（x）D./（X2）/（x）/2（x）二、单 空 题（本大题共4小题，共20.0分）1 3 .双曲线r：m-4=1（。0 方0）的左、右焦点分别为&，F2,过的直线与r 的左、右两支分别交于4，8 两点，点M在x 轴上，取=3砒,BF2平分乙R B M,则 的 离 心 率 为.14.己知五=（tanO-1）,b=（1,-2）.若+K）

5、1（a -b）则t a n。=.15 .在 A B C 中，若AB=巾，AC=1,zC =p 贝 i j B C =.16.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm）,则 此 几 何 体 的 体 积 是 .三、解答题(本大题共7 小题，共 82.0分)1 7.为了参加一项数学能力测试团体赛，某校对甲、乙两个实验班级进行了一段时间的“限时抢分”强化训练，现分别从强化训练期间两班的若干次平均成绩中随机抽取6次(满分100分)，记录如表：甲平均成绩839180799285乙平均成绩929380848279根据这6次的数据回答：(I)现要选派一个实验班参加测试团体赛，从统计学角度，你认为选派哪个

6、实验班合理？说明理由；(n)对选派的实验班在团体赛的三次比赛成绩进行预测，记这三次平均成绩中不低于85分的次数为X,求X 的分布列及数学期望EX.如图，在平行四边形4BCD中,48=1,BD=U B D =90。，将它们沿对角线BD折起，折后的C变为6,且A、Ci间的距离为2.(1)求证：平面A GD 1平面ZBD；(2)求二面角B-AQ-D的余弦值；(3)E为线段4 cl上的一个动点，当线段EC】的长为多少时？OE与平面B Q。所成的角为30。.19 .已知又为数列 斯 的前n项和，且为=1,5n+1=an+1(n 6/V,)(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 4 满足b n =高，

7、其前般项和为q,求证：Tn l 是 否 存 在 最 小 整 数 使 得 不 等 式、工+1、l,都有f (x)W/一 次，求实数c的取值范围.21.17.(本题15分)已知一直线交抛物线丈=2升于A,B两点，若点尸(2,1)是线段4B的中点，求L O A B的面积(。为坐标原点)。2 2 .在平面直角坐标系x O y中，曲线6：x2+y2=l(y 0),曲线C2：x2+=1.(/)以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的参数方程和的极坐标方程；()若直线/：；;：；震为参数)与6,相交于4 B两点，且|Z B|=V I1，求a的值.2 3 .已知函数/(%)=|2%+1|-|%

8、|-2.(1)解不等式f。)0；(2)若土 e R,使得f(x)x+a,求实数a的取值范围.参考答案及解析1.答案：c解析：解：i(i-1)=-1 -i,复 数-1)对应的点的坐标为(一 1,一1),位于第三象限.故选：C.利用复数代数形式的乘法运算求出复数也-1)对应的点的坐标得答案.本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.2.答案：A解析：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.由4与B,求出两集合的交集即可.解：4=1,2,B=2,3,4,二4 n B=2,故选A.3.答案：B解析：解：4末位是。和5的整数都能被5整除，故A错误，氏若

9、向量百J.G，两个向量夹角为90。，则则弓 片=0成立，故8正确，C.若a,b G R,ab=0,则a=0或b=0,故 C错误，。.四条边都相等的四边形有可能是菱形，故。错误，故选：B根据命题成立的条件分别进行判断即可.本题主要考查命题的真假判断，比较基础.4.答案：B解析：解：对于4函数是偶函数，在(0,+8)递减，不合题意；故A错误，对于氏函数是偶函数，在(0,+8)递增，合题意；故B正确，对于C,函数不是偶函数，不符合题意：故C错误，对于D,函数在(0,+8)上不是单调递增，不符合题意；故。错误.故 选:B.根据函数的奇偶性以及函数的单调性的定义判断即可.本题考查了函数的单调性以及奇偶性

10、，是一道基础题.5.答案：C解析：解：以。为原点，Z M 为%轴，D C 为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系,则(2,0,0),M(2,l,2),8(2 2 0),。式0,0,2),宿=(0,1,2)，西=(-2,-2,2),设AM 与BO 1 所成的角为仇则c o s。=|祠,西|_ 6而I I西|Vs-x/3sin2x+2cos2x=y/3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+-)+1,6故该函数的周期为=兀，故排除4在区间右,$上,2 x +襄争，故函数尤)在区间借,3上不单调，故排除B./)=3,为最大值，故函数f(x)的图象关于直线x =*对称，故C正确.由于当x =一毯时

11、，/(x)=1,故排除D,故选：C.8.答案：C解析：试题分析：考点：本试题考查了几何概型概率的知识。点评：解决该试题的关键是利用圆的半径以及弦长和圆心到弦中点的距离的勾股定理来得到圆内接等边三角形的边长，那么可知圆内接正三角形的边长为公潞理腰，R为圆的半径，那么当弦长等于该圆的内接等边三角形的边长，则可知点在直径上的距离圆心为三座的位置移动，那么可知符合题售意的概率值为N，故选C.%9答 案:D解析：试题分析：依 题 意 可 知 国，故 叵，而 区，所 以 冈，从 而 回，而 囚，所 以 区，故选D考点：同角三角函数的基本关系式.1 0.答案：D解析：试题分析：函数2躅礴=蠹酮线;：的图像在

12、上恰有一个极大值和一个极小值,考点：1.三角函数图像；2.函数的极值.1 1.答案：A解析：考查的是解三角形知识，利用相似可得比例关系，代入长度即有结果.解：如图所示,连接。肠,”,因为P N平分40，即M为 的 中 点,所以。财 为LAP Q.的中位线，所以 0 MF 4 PQ,所 以 竺 二%AF P A 2c 1即-=a=3c fa n 2所 以=-,a 3故选A.1 2.答案：C解析：考查学生利用导数研究函数的单调性，以及会利用函数的单调性判断函数值的大小，在做选择题时，可采用排除法得到正确答案.由O X 1 得到好，要 比 较 与/(小)的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出

13、/(X)利用导函数的正负决定函数的增减性.即可比较出f(X)与/(7)大小.解：根据0 x l 得到/0,所以根据对数函数的单调性得到在0 x 1时，mx-1 0,所以尸。)/(x),根据排除法4、B、D错，C 正确.故选C13.答案：V7解析：解：根据题意，作出如下所示的图形，由题可知，FF2=2C,；F2A=MB,R A F 2s F B M,二 F2M=4 c,设4 尸 2=m,则BM 3m,由角分线定理可知，BF2平分”1BM,.翳=器=%.&二芋，AFI/BFT，AB=2BFr=m,由双曲线的定义知，AF2-A F1=2a,-m-=2 a,即m=4a，BFr-BF2=2a,BF2=-

14、2 a =m,BF2=AB=AF2=m,即 力 是等边三角形，:/.F2B M =乙A BF2=60,在 F2BM中，由余弦定理知，COSZF2BM=即三=m 2+9 m 2-1 6 c 化简得，7m2=16c2,2BF2BM 2 2m-3m由可得，捺=7,离心率e=y/7.故答案为：V7.因 为 而=：而，所以Fi/F2 A F iB M,所以F2M=4C,设AF?=6，则BM=3 m,由角分线定理可知，S =1 5 =P所 以 叫=等，叫=，AB=m,由双曲线的定义知，AF2-AF,=2a,所以小一 =2 a,即m=4a；BF1-B F2=2 a,所以BF?=m,所以 ABF?是等边三角形

15、，因此4F2BM=乙48尸 2=60。.在中，由余弦定理知，COSNFZBM=喀除手，代入结论可得2 B r 2 BM7m2=i6c2，由得，冬=7,而离心率e=,故而得解.本题考查双曲线的定义与性质，还涉及三角形相似、角分线定理和余弦定理，对学生的数学素养积累有一定要求，考查学生的数形结合能力和运算能力，属于中档题.14.答案：2解析：解：由a =(ta n B-l),b=(1,-2).二 a+b=(tan。,1)+(1,-2)=(tan。+1,-3)a-b (tan。,-1)(1,-2)=tccnd-1,1)由伍+E)_ L (方 一 3)，则(tanJ+l)(tan0-1)-3=0解得

16、tern。=2.故答案为2.由向量的坐标的加减法运算求出五+石与五-石的坐标，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式计算.本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量加法和减法的坐标运算，是基础题.15.答案：3解析：解：设BC=x(x 0),由余弦定理得，A B2=A C2+BC2-2AC-B Ceos AC,因为AB=V7，AC=1,zc-1，所以7=1+M-2 x 1 x x x c o s g,化简得好一无-6=0,解得x 3或x 2(舍去)，即BC 3,故答案为:3.先设BC=x,根据余弦定理列出方程，再把数据代入化简后求出BC的值.本题考查正弦、余弦定理的应用，此题若用正弦定理计

17、算麻烦，选择余弦定理是解题的关键.16.答案:等解析：解：由三视图可知几何体为正四棱锥与正方体的组合体，正方体棱长为4,棱锥的底面边长为4,高为2.所以几何体的体积厂=43+；x 42 x 2=等.故答案为胃.几何体为正四棱锥与正方体的组合体.本题考查了空间几何体的三视图，结构特征和体积计算，属于基础题.17.答 案:解：(/)漏=83+91+80+79+92+8592+93+80+84+82+79=8 5,所以工尹=乙，6=85,x=6又s =i(83-85)2+(91-85)2+(80-85)2+(79-85)2+(92-85)2+(85-85)2 25,S：30.67,相对来讲甲的成绩更

18、加稳定，所以选派甲合适；(H)依题意得甲不低于8的频率为右 f 的可能取值为0,1,2,3,则X 8(3,.所以P(X=k)=C 与 g)3 i(l|=C 会 0 3,k=0,1,2,3.所以X的分布列为e0123P18383818所以 E(X)=0 x|+l x|+2 x 1 +3 x i =|.o o o o Z解析：(I)分别比较甲乙两人的平均数和方差，利用平均数和方差进行判断；(u)分别求出随机变量的概率，然后求概率的分布列及数学期望EX.本题主要考查概率和统计的综合应用，利用概率公式分别计算出随机变量的分布列，考查学生的运算能力.18.答案：解：(1)；48CD是平行四边形，乙BDG

19、=4ABD=90,AB 1 BD,1 BD,AD=BC=V3，由GD =1，4G =2,=CrD2+AD2,CrD 1 AD,：.CXD _L平面ABO,CrD u 平面ACiD,平面力CiD _L平面ABD.(2)v AB 1.BD,AB 1 C】D,A B，平面B C D 以 B为原点，以平行于。Ci的直线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系,则4(0,0,1),D(0(V2,0).Ci(l,V2,0)，.函=(0,0,1)，BC=(l,V2,0).AD=(0,V 2,-l),际=(1,0,0),设平面ABC1的法向量为汨=(%i，yi，Zi).则在 丽=0 济 园 =0

20、，Z/i+=何0L。,解 啊=(一直，1，01设平面40C1的法向量荻=(%2，%，22)，则 孤 西=0，底 而=0,位;,=0,解得石=(。,1,传，设二面角8-ACX-。的平面角为。，则cos。=|cos|=设 鼐=/冰则 症=DC+CE=。1 +a crA=(1,0,0)+A(-1,-V 2,1)=(1-A,-V 2A,A)-平面4 B C _ L 平面B C D,BA=(0,0,1)是平面B C D 的一个法向量，若D E 与平面B C i D 所成的角为30。，则=60，c o s =I，v c o s =；丝,丝;=/z 一 一；|D E|B/1|V(l-a)2+2A2+A2_

21、_ _ _ _ _ A_ _ _ _ _ _ _ _ 1V(1-A)2+2A2+A2-2整理，得1-22=0,解得;I =：.故当E 为A B 的中点，即|GE|=1时，0 E 与平面B e 。所成的角为30。.解析：(1)由4 B C 0 是平行四边形，SZ-BDCi=Z.ABD=90,故 AB _ L 8D,CrD 1 B D,由此能够证明平面4 CiD-L 平面AB D.(2)由AB 1 BD,AB 1 D,知48，平面8 G。，以B 为原点，以平行于。G 的直线为轴，以B D 为y 轴，以B 4 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角B-A G-D的余弦值.(3)设 怖

22、=2 不，则 屁=西 +布=西+2 存=(1,0,0)+A(-1,-V 2,l)=(1-A,-V 2A,A)利用向量法能够推导出当E 为A B 的中点时，D E 与平面BG D所成的角为30。.19.答案：(1)解：当n =l 时，a2=S i +1=%+1=2,当nN 2时，Sn+1=an+1,5n_!+1=an,两式相减得期+i =2an,乂 a?=2 a1，即 是首项为1，公比为2的等比数列，an=2nt.(2)证明：由(1)得 即=2 T,.入 _ n _ n _ nn=寂=4-2n-i =2+i,m 1,2 3 7 1F=/+/+*+环，加=卷+录+盘+玲,一 ，得/=蠢+专+募 一

23、 鼎击(1-击)n1 1 2n+21-21 n+22 2n+2=1-品 1，又 是增数列，；(T n)m E =A =1-要=；解：设 以 二 总 公？_:+2贝 4以1Sf c(Tk+k+l)k+2(2k-l)(l-p -+/c+l)_ _ _ _ _ _ _ 1(2)(向:由，-)一(2k-l)(2t+1-l)n Ak=l/c +2Sk-(Tk+k+1)=2 2 1-2 1-2f c+1-1)k=ln11=2(1-衣=),L 7 X3k(/n t对任意正整数n恒成立，：.m 2.k十 长 十D解析：(1)在数列递推式中取7 i =n-l得另一递推式，作差后即可证得数列为等比数列，代入等比数

24、列的通项公式能求出数列 2 3的通项公式.(2)把数列 an的通项代入=太,利用错位相减法求数列也 的前几 项和，由此能证明;Tn1.把品，7k代入，i+仆整理后利用裂项相消法化简，放缩后可证得数列不等式2X 1k十R十L)k+2S/c(T k+l)2 Q-f 1,都有/(%)x2 e x,即3久m工 +2%2 ex,可得C =%_ 3 ln x _ a,X X设九(x)=x-3lnx-I，则九(%)=l-+4 =一*一2),X X2 X2当*0,1 c x 2时，h(x)2时，h(x)0,即九(x)的增区间为(一8,1)和(2,+8),减区间为(1,2),所以当%1时，函数h(x)有最小值九

25、(2)=1-3)2,c 似为恒成立,即c 1 32n2.解析：(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程；(2)由题意可得3x/nx+2 W/一 ex,nJ0),曲线C l 的参数方程为；:（a 为参数，a G 0,7 1 ）,.（2 分）.曲线。2：x2+y=1.由 =p c o s 8,y=psind,得曲线C 2 的 极 坐 标 方 程 为=痂%而=获 而(。6 。.(5 分)()在(1)中建立的极坐标系中,直线 的极坐标方程为。=a(p 6 R).(6 分)由：；，得以=1.(7 分)-a由:；5得PB=J 嫣5.伊分)又|4 8|=或 一 1

26、,即 J z c o s L+l T =企-L c o s a =2.。分)而ae 0,7 r ,。=或0 1=.(1 0 分)解析：(/)由曲线G：x2+y2=l(y 0),能求出曲线Q的参数方程；由 =。：0 5 0,y=psinO,能求出曲线。2 的极坐标方程.()直线1 的极坐标方程为。=a(p G R),由仁二二,得以=1,由 仔:2 c s；e+i,得西=反猛，由此利用|4 8|=企 一 1,能求出a 的值.本题考查曲线参数方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.2 3.答案:解

27、：(1)不等式f(X)。0,即|2 x+l|-因 2 2,故有卜 _ ).I 2 x 1 (x)2 1 2 x+1 (x)2 +1-x 2解求得x S 3,解求得x 0,解求得x 2 1,综上可得，不等式的解集为 x|x三一3 或x N 1 .(2)若m x e R,使得/(X)W|x|+a,即|2 x+1|-2|x|W a +2 有解.再根据|2 x+1 1 2|x|(|2 x+1 (2 x)|1,a +2 -1,a -3.解析：(1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.(2)由题意可得|2 x+1|-2|x|a +2 有解，再利用绝对值三角不等式求得|2 x+1|-2|x|的最小值,可得z n 的范围.本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题.