2021年新高考数学模拟试卷19.pdf

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1、2021年新高考数学模拟试卷（19）选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.（5 分）己知 A=xeN*|xW3,8=XR-4XW0,则 4 n 8=（）A.1,2,3 B.1,2 C.（0,3 D.（3,42.（5 分）若（4-加）（m+i）2 0,其中i 为虚数单位，则实数z的 值 为（）A.-2 B.-4 C.4 D.23.（5 分）已知a 为任意角，则“cos2a=*是 sina=停”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要4.（5 分）我国南宋数学家杨辉在所著的 详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所

2、有为1 的项，依次构成2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,6,则此数列的前50项 和 为（）11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1A.2025 B.3052 C.3053 D.3049y T T 27r T T5.（5 分）已知a,b均为单位向量，若a,b夹 角 为 则|a-b|二（）A.V7 B.V6 C.V5 D.V36.（5 分）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（）1 1 1 2019A.-B.-C.-D.-2019 2 2020 20207.（5 分）过点

3、P（5,-3）作圆 0：G -2）（y-1）2=25 的切线/,直线 m：3x-ay-2=0 与直线/平行，则直线/与加的距离为（）29A.1 B.2 C.5 D.58.（5 分）已知函数/（X）=1（1 一 3a）：+2a（%V）,在（-8,+8）上是减函数，则实l（a-3）x2+2（x 0）数。的取值范围为（)A.(2,3)B.1,3)C.(1,3)D.1,3二.多 选 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）9.（5 分）已知某校高三的甲、乙、丙三个班各有5 0 名学生，在一次数学模拟考试中，三个班的学生成绩的各分数段累计人数折线图如图所示根据图中的成绩信息，下列结论中B.三个班的平

4、均成绩，丙班最低C.三个班中成绩在60分以下的人数，丙班最多；80分以上的人数，乙班最多D.模拟考试的最高分出现在乙班10.（5 分）已知双曲线C 过点（3,或）且渐近线为），=x,则下列结论正确的是（）-3x2A.C 的方程为三一步=1B.C 的离心率为V5C.曲线丫=广2-1经 过 c 的一个焦点D.直线x-&y-l=0 与 C 有两个公共点II.（5 分）如图，在正方体ABC。-A B iC iO i中，点尸是对角线A G 上一动点，在点尸从顶点A 移动到顶点G 的过程中，下列结论中正确的有（）D7 1A.二面角P-A。-8 1 的取值范围是 0,-B.直线AG与平面A|O 尸所成的角逐

5、渐增大C.存在一个位置，使得平面AMPD.存在一个位置，使得平面A 1 O P 平面8 1 c 51 2.（5分）设点尸是曲线y=e gx+|上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为a,则角a的取值范围包含下列哪些（）27r7i 57rA.-，兀）B.,）n 7 1 5 7 rC.0,-）D.0,一）U ,n）2 2 6三.填 空 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）1 3.（5 分）已知c o s（x 亨）=/，则c o s（2 x +刍+s i M g x）的值为.1 4.（5 分）若，）=a o+a （x -1）+a2（x -1），+（?2 0 2 0 （x -1 ）2 0 2 0,

6、则 j+或+。2 0 2 0 _3 2 0 2 0 -1 5.（5分）已 知 三 棱 锥P-A B C的 所 有 顶 点 都 在 球O的球面上，ZBAC=90 ,AB=AC=2 V 2,%=2,Z P A C Z P A B,则当球。的表面积最小时，三棱锥尸-A B C的体积为.1 6.（5分）已知F 是抛物线C：/=4 x 的焦点，M是 C 上一点，FM的延长线交y轴于点N,若 M 为 F N的中点，则|FN|=.四.解 答 题（共 6 小题，满 分 70分）1 7.（1 0 分）在 A 8C中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知c=a （co s B -s inB）.（I）求 A

7、；（I I ）已知c=U,BC 边上的高A =1,求 6的值.1 8.（1 2 分）设等比数列 斯 的首项为a,公比q 0 且前项和为S”.(I )当 a=l时，S i+1,S 2+2,S 3+I三数成等差数列，求数列 斯 的通项公式；(H)对任意正整数，命题甲：S,(&+1+I),%+2 三数构成等差数列.命题乙：*+1，(S.+2+1),5+3三数构成等差数列.求证：对于同一个正整数n,命题甲与命题乙不能同时为真命题.1 9.(1 2 分)已知三棱柱A B C-A|2 C i，点。为棱AB的中点.(I )求证：B Q 平面AC O；(I I )若 A B C 是等边三角形，S.AB=AAi

8、，N 44B=6 0 ,平面 AAH，平面 A B C,求二面角A-A C-B的余弦值.2 0.(1 2 分)为了了解某班学生喜好喝奶茶是否与性别有关，得 到 2X2列联表，其中数据不完整.喜好喝奶茶 不喜好喝奶茶合计男生1 0 2 0女生5合计5 0(1)请将列联表补充完整；(2)能否有99.5%的把握认为该班学生喜好喝奶茶与性别有关？说明你的理由.2 1.(1 2 分)函 数/(x)=+(a -/)x-xlnx,(1)若/(x)在定义域内为单调递增函数，求 a的取值范围；(2)当 a=3 时，关于x 的方程/(x)+b=0 在 区 间(1,e 上有且只有一实数根，求 b的取值范围.2 2.

9、(1 2 分)已知椭圆广；9 +y 2 =i,其左右顶点分别为A,B,上下顶点分别为C,D.圆。是以线段A8 为直径的圆.(1)求圆0的方程；(2)若点E,F 是椭圆上关于)，轴对称的两个不同的点，直线CE,O F分别交x 轴于点M、N,求证：向 加 为 定值;(3)若点P 是椭圆上不同于点A 的点，直线AP与圆。的另一个交点为Q.是否存在点尸，使得4TP =1 PTQ?若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.2021年新高考数学模拟试卷（19）参考答案与试题解析一.选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.（5 分）已知 A=xeN*|xW 3,B=xx-4 x0 ,则

10、4 n B=（）A.1,2,3 B.1,2 C.（0,3 D.（3,4J【解答】解：由题意得：A =xN*|xW 3 =l,2,3,B=x|/-4xW 0 =x|0 W xW 4,所以 A C8=1,2,3,故选：A.2.（5分）若（4-加）（加+i）20,其中i为虚数单位，则实数机的值为（）A.-2 B.-4 C.4 D,2【解答】解:V （4-mi）（m+i）=5 m+（4-m2）i2 0,.Jm 0,即，=2.u-m2=0故选：D.3.（5分）己知a为任意角，则“co s 2 a=g 是 s i na=学 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要【解

11、答】解:若 c os 2 a=寺,贝 ij c os 2 a=1 -2 s i n2a,s i na=土苧,贝!I c os 2 a=/是s i na=苧 的不充分条件；若 s i na=冬 则 c os 2 a=1 -2 s i n2a,c os 2 a=/，则 c os 2 a=/是 s i na=坐”的必要条件；综上所述：“c os 2 a=?是 s i na=争 的必要不充分条件.故选：B.4.（5 分）我国南宋数学家杨辉在所著的 详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1 的项，依次构成2,3,3,4,6,4,5,1 0,1 0,5,6,则此数列的前5

12、0 项 和 为（）11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1A.2025 B.3052 C.3053 D.3049【解答】解:2+(3+3)+(4+6+4)+(11+Ch+Cfi)=22-2+23-2+21 0-2+1(21 1-2)=4(29-1)_1 8+2IO_ 1 =3049z-i，数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,6,则此数列的前50项和为3049.故选：D.5.(5 分)已知a,b均为单位向量，若a,b夹角为可，则|a-b|=()A.V7 B.V6 C.V5 D.V3【解答】解：=|b|=1,=等，T

13、T r T T 1*(Q-b)=Q-2a,b+b=1-2 x 1 x 1 x(+1=3,：.a-b=V3.故选：D.6.(5 分)掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是()1 1 1 2019A.-B.C.-D.-2019 2 2020 2020【解答】解：掷一枚均匀的硬币，每次正面向上的概率都是右1 连 续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是3故选：B.7.(5 分)过点 P(5,-3)作 圆。：(x-2)2+(y-1)2=25 的切线/,直线 m：3x-ay-2=0 与直线/平行，则直线/与2的距 离 为()29A.1 B

14、.2 C.5 D,5【解答】解：点P（5,-3）在 圆 O：（X-2）（y-I）2=25上,过点 P(5,-3)圆 O：(X-2)2+(厂 1)2=25 切线/方程为：(5-2)(X-2)+(-3-1)(y-1)=2 5,即 3x-4y-27=0,.直线加：3x-缈-2=0 与直线/平行，.=4,直线加方程为：3x-4y-2=0,，直线I与m的距离为：-7=5,V32+（-4）2故选：C.8.（5 分）己知函数/（x）=（1-3。）：+2以 0）数”的取值范围为（）A.(2,3)B.1,3)C.(1,3)D.1,3【解答】解：；/1(X)在(-8,+8)上是减函数，l-3 a 0(a 3 0，

15、解得 1.3,、2 =/一2-1 经 过 c的一个焦点D.直线x-V y-l=0 与 C有两个公共点【解答】解：设双曲线C的方程为=X2-7V72=1,根据条件可知一b 二 yj/3 所以方程可化a2 b2 a 3x2 y2为-3-匕-2匕 2=1，x2将 点（3,V 2）代入得”=1,所 以 J=3,所以双曲线C的方程为一 一丁=1,故A3对；离心率e=：=后1 =孚，故 B错；双曲线C的焦点为（2,0）,（-2,0）,将 x=2 代入得y=e-1=0,所以C对；t _ 2 _ 1联立至一、，整 理 得 -2 夜 y+2=0,贝 2=8-8=0,故只有一个公共点，.x-V 2 y -1 =0

16、故。错，故选：AC.I I.（5分）如图，在正方体A8 C D-A|3 i C i i 中，点 P 是对角线AC i 上一动点，在点P 从顶点4移动到顶点G 的过程中，下列结论中正确的有（）71A.二面角P-Ai。-8 1的取值范围是0,-B.直线A G与平面A|O尸所成的角逐渐增大C.存在一个位置，使得A。，平面A M PD.存在一个位置，使得平面4 O P平面与8 1【解答】解：对于4，当P与A重合时，二面角A-Ai D-B i为90 ,点P由A点移动到A Ci中点的过程中，二面角P-A D-B 逐渐减小至0,由对称性可知，当P由A Q中点移动到点。的过程中，二面角尸-办 由0逐渐增大至9

17、0 ,即A正确；对于5,当点P与A重合时，N G 4 D 1即为所求，此时有冬，当P与C 1重合时，连接ADi，A i D相交于点M,则 即 为 所 求,此 时 有tanZ A CM=A M 73 72CJW=T T 所以NAC|M|,即直线AC i与平面AZ)P所成的角并不是逐渐增大，所以8错误；D41B对 于C,当点P为平面AiBO与直线A C j的交点时，连接AD i，则A iC A G，又因为 CiJ_平面 AODMi，A|Ou平面 AOiA”所以 A O J_G 5，又 CiDiCADi=O|,所以 AiD_L 平面 A G Q,所以 ACj_LAi。.同理可得，A C J A B.

18、因为 A iC C A|B=A i，A|Qu平面 A 0P,A B u平面 A 0 P,所以 AQ_L平面 AiP,即 C正确；对于 ,当点P为平面A B O与直线A C|的交点时，因为BOC平面81c|,81。1”即 正确.故选：ACD.12.（5分）设点P是曲线y=f-V 5 x+|上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为a,则角a的取值范围包含下列哪些（）271 7 1 571A.-，7T）B.一,-）3 2 6n n 5nC.0,一）D.0,一）U,IT）2 2 6【解答】解：y=e X-x+|的导数为y =/-V 3,由/0,可得切线的斜率左 一百，_ _ 叮 2 7 T由 tana V

19、 3,可得 OWa V5或 一 a/Sb,二代入 a=V 5 b,可得 4b2 -2次b-1 0=0,解得 6=信,或 匕=李(舍去)，:.b=V 5.1 8.(1 2 分)设等比数列 斯 的首项为m 公比4 0 且“W 1,前”项和为S”.(I)当。=1 时，S|+l,S 2+2,S 3+I三数成等差数列，求数列 斯 的通项公式；(H)对任意正整数，命题甲：Sn,(&+1+1)，S.+2 三数构成等差数列.命题乙：*+i，(8+2+1),5“+3三数构成等差数列.求证：对于同一个正整数,命题甲与命题乙不能同时为真命题.【解答】解：(I )：数列 为 是首项为。=1,公比q 0 且 gW l的

20、等比数列，.an=qnr,，S|+1 =1 +1 =2,S z+2=l+q+2=q+3,S 3+I=1+勺+#+1 =2+g+J,又,.,S i+1,S2+2,S 3+I 三数成等差数列,A 2 (52+2)=(S i+1)+(S 3+I),：.2(q+3)=2+2+0,:.q=2,：.an=2 .所以数列 斯 的通项公式为即=2“T.(II)对任意正整数，命题甲：5,(5+i+l),+2 三数构成等差数列，0 2 (9+1 +1)=S+S，i+2=4+2 =斯+1+2 ；对任意正整数”，命题乙：S+|,(S+2+l),S+3三数构成等差数列，0 2 (S+2+1)S+1+S”+3=a”+3=

21、即+2+2若对于同一个正整数，命题甲与命题乙同时为真命题，则斯+3-斯+2 =斯+2-“+1.a1qn+2 2 a1qn+1+arqn=0,又。通71 H 0,.,.g 2-2 q+l=0,.,.q=l 与已知 qWl 相矛盾.所以对于同一个正整数小命题甲与命题乙不能同时为真命题.1 9.(1 2 分)已知三棱柱A B C-4 B C 1，点。为棱AB的中点.(I)求证：BCj 平面ACO；(II)若ABC是等边三角形，且 AB=AAi，NAiA8=60,平面原也壮上平面ABC,求二面角A-A iC-B 的余弦值.【解答】解：(1 )连接A G 交 4 C 于 M,连结OM,棱柱A B C-A

22、/iG 知，四边形A C C/i为平行四边形，M 为 AC的中点，又：0 为 AB的中点，：.BC/OM,OMu平面A|C。，8 c le 平面A C。，8cl 平面 A|CO,(II)ABC 是等边三角形，且 A B=A 4，ZA,AB=60,：.AO rAB,CO1,AB,又.平面 A4|BiB_L平面 A B C,，AO_L平面 ABC,：.AOVCO,以 O 为坐标原点，直线O C,。4,0 4 所在方向建立如图所示的空间直角坐标系:AC=AB=BC=AAI=2,则 C(V3,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),Ai(0,0,V3),设平面A A C 的法向量为汨=(xi，

23、yi，zi),则无，石，丽，*AC=（-V 3,-1,0）,A A =（0,-1,V 3）,;J V 3%i-y i =0 ,l-y i +V 3z x =0，令 川=b，得 x=l,Z1 =1,即瓦=（1,V 3,1）,设平面ABC的法向量为诟=（%2 丁 2，Z2）,则花J _ 西，n l F C,Pn9BA1=0,n*BC=0,V B C =（V 3,1,0）,西=（0,1,V 3）,.（3X2+%=01 丫 2 +V3Z2=0=（1,-73,1）所以C O S 枳，五=叫 2 T，同 Ml 5由题意可知，二面角A-4|C-8为锐角，其余弦值为号2 0.（1 2 分）为了了解某班学生喜好

24、喝奶茶是否与性别有关，得 到 2X2列联表，其中数据不完整.喜好喝奶茶 不喜好喝奶茶 合计男生 1 0 2 0女生5合计50（1）请将列联表补充完整；（2）能否有9 9.5%的把握认为该班学生喜好喝奶茶与性别有关？说明你的理由.【解答】解：（1）列联表补充如下:喜好喝奶茶不喜好喝奶茶合计男生1 02 030女生1 552 0合计2 52 55050(50 30 0)2 _ 2 59 A-2 5x 2 5x 30 x 2 0 -T 8.333 7.8 79,.有9 9.5%的把握认为该班学生喜好喝奶茶与性别有关.2 1.(1 2 分)函 数/(x)=x2+(a-I)x-xlnx,(1)若/(X)

25、在定义域内为单调递增函数，求的取值范围；(2)当。=3 时，关于x 的方程/(x)+8=0 在 区 间(1,e 上有且只有一实数根，求人的取值范围.【解答】解：(1)定 义 域(0,+8),由题意可得，f(x)=x+a-2-/nr 2 0 在(0,+)上恒成立，故在(0,+8)上恒成立，令 g(x)2+lnx-x,x0,则 g(X)=F，易得0 x 0,g(x)单调递增，当(1,+8)时，函数单调递减,故 g(x)rnax=g(1)=1，所以(2)。=3 时，f(x)=%2+2 x-xbvCff(x)=x+l -bix,令 h(x)=x+l-Inx,则 (x)=1 一 =?,易得，xG (1,

26、e 时，h(x)0,函数/z (x)单调递增，故/z (x)/z (1)=2,即/(x)0 恒成立，故/(x)在(1,e 上单调递增，5 1 所以一可(1)f(x)W/(e)=+2 e 1,5 ,1 o故5 V 运 2 /+2 e 1,所以 1 -2ee2 b.2 2.(1 2 分)已知椭圆r：+y 2 =i,其左右顶点分别为A,B,上下顶点分别为C,D.圆。是以线段A 8为直径的圆.(1)求圆O 的方程；(2)若点E,尸是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线C E,。尸分别交x 轴于点M、N,求证：。力 加为定值；(3)若点P 是椭圆上不同于点A 的点，直线A P 与圆。的另一个交点为Q.

27、是否存在T 1 T点 P,使得力P=PQ?若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.【解答】解：(1)由题意得：A(-2,0),B(2,0),圆。的圆心为原点，半径为2,.圆。的方程是:+,=4；(2)由题意可知：C(0,1),D(0,-1),设 E(xo,加)，贝加)，(x()r i),，直线C E的方程是:y-i xy o-i -.点 M（二o）,y o-1同理点N(二2o),y0+iX2 9又.点E (如 初 在 椭 圆 z +y 21 上,x02 2+yo =1T T y 2：.O M-O N=y o2-1xn2X n2-T=-4,(3)显然直线A P 的斜率存在，设其方程为：y=k(x+2),y=k(x+2)联立方程尤2 ,化简得：(1+4 铲)，+6 底什1 6$-4=0,匕+y 2 =i设 P（xi，y i）,则 xi+（-2）=-1+4/所以|AP|=Vl +k2xi-（-2）|=+4 2 .l+4/c因为圆心O 到直线A P的距离（1=兽=,所以|AQ|=2 V4-d 2 =4 Nl+fc假设存在点P，使得G =贝蛔。|=4|”|,所以4 三=4 V T T 形 一!，化简得：4+4 产=1+4 日 此方程在实数范围内无解,Al l+fc2 1+4 F故原假设错误，即不存在点P,使得4 P=右 PQ.