中南大学微积分总复习课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

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1、 微积分微积分IAIA总复习总复习第1页函数与极限函数与极限一、主要内容一、主要内容第2页函函 数数定义定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数性质性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数第3页函数分类函数分类函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有没有穷多项等函有没有穷多项等函数数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分

2、函数有理分函数(分式函数分式函数)第4页左右极限左右极限两个主要两个主要极限极限求极限惯用方法求极限惯用方法无穷小无穷小性质性质极限存在极限存在充要条件充要条件判定极限判定极限存在准则存在准则无穷小比较无穷小比较极限性质极限性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小二者二者关系关系无穷大无穷大第5页1 1、极限定义、极限定义第6页第7页左极限左极限右极限右极限第8页无穷小无穷小:极限为零变量称为极限为零变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大变量称为绝对值无限增大变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大倒数为无

3、穷小无穷大倒数为无穷小;恒不为零恒不为零无穷小倒数为无穷大无穷小倒数为无穷大.无穷小与无穷大关系无穷小与无穷大关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大第9页定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小代数和仍有限个无穷小代数和仍是无穷小是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小乘积是无穷小有界函数与无穷小乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限变量与无穷小乘积有极限变量与无穷小乘积是无穷小是无穷小.推论推论2 常数与无穷小乘积是无穷小常数与无穷小乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小乘积也是无穷小有限个无穷小乘积也是无穷小.无穷小运算性质无穷小运算性质第10页定理定理推论

4、推论1 1推论推论2 23 3、极限性质、极限性质第11页4 4、求极限惯用方法、求极限惯用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.第12页5 5、判定极限存在准则、判定极限存在准则(夹逼准则夹逼准则)第13页(1)(2)6 6、两个主要极限、两个主要极限第14页定义定义:7 7、无穷小比较、无穷小比较第15页定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)8、等价无

5、穷小性质、等价无穷小性质9、极限唯一性、极限唯一性第16页左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数 性性 质质初等函数初等函数连续性连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续连续充要条件充要条件连续函数连续函数运算性质运算性质非初等函数非初等函数连续性连续性 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类第17页1 1、连续定义、连续定义第18页定理定理3 3、连续充要条件、连续充要条件2 2、单侧连续、单侧连续第19页4 4、间断点定义、间断点定义第20页(1)跳跃间断点跳跃间断点(2)可

6、去间断点可去间断点5 5、间断点分类、间断点分类第21页跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx0yx第22页0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点0yx第二类间断点第二类间断点第23页6 6、闭区间连续性、闭区间连续性7 7、连续性运算性质、连续性运算性质定理定理第24页定理定理1 1 严格单调连续函数必有严格单调连续反严格单调连续函数必有严格单调连续反函数函数.定理定理2 28 8、初等函数连续性、初等函数连续性定理定理3 3第25页定理定理4 4 基本初等函数在定义域

7、内是连续基本初等函数在定义域内是连续.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续内都是连续.定义区间是指包含在定义域内区间定义区间是指包含在定义域内区间.9 9、闭区间上连续函数性质、闭区间上连续函数性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续函数一定有最大值和最小值函数一定有最大值和最小值.第26页定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续函函数数一一定定在在该区间上有界该区间上有界.第27页推论推论 在闭区间上连续函数必取得介于最大值在闭区间上连续函数必取得介于最大值M与与最小值最小值m之间任

8、何值之间任何值.第28页导数与微分导数与微分第29页求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分第30页导数定义导数定义第31页求导法则求导法则(1)函数和、差、积、商求导法则函数和、差、积、商求导法则(2)反函数求导法则反函数求导法则第32页(3)复合函数求导法则复合函数求导法则(4)对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求然后利用隐函数求导方法求出导数出导数.适用范围适用范围:第33页(5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求

9、导.(6)(6)参变量函数求导法则参变量函数求导法则第34页高阶导数高阶导数记作记作二阶导数导数称为三阶导数二阶导数导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上导数统称为二阶和二阶以上导数统称为高阶导数高阶导数)第35页微分定义微分定义定义定义(微分实质微分实质)第36页导数与微分关系导数与微分关系定理定理 微分求法微分求法求法求法:计算函数导数计算函数导数,乘以自变量微分乘以自变量微分.第37页 函数和、差、积、商微分法则函数和、差、积、商微分法则微分基本法则微分基本法则 微分形式不变性微分形式不变性第38页中值定理与导数应用中值定理与导数应用第39页洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理Lagran

10、geLagrange中值中值定理定理惯用惯用泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形描绘图形描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数应用导数应用第40页罗尔中值定理罗尔中值定理第41页拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理有限增量公式有限增量公式.第42页柯西中值定理柯西中值定理推论推论第43页泰勒中值定理泰勒中值定理第44页洛必达法则洛必达法则定义定义 这种在一定条件下经过分子分母分别求导再这种在一定条件下经过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值方法称为洛必达法则求极限来

11、确定未定式值方法称为洛必达法则.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可处理将其它类型未定式化为洛必达法则可处理类型类型 .注意：注意：洛必达法则使用条件洛必达法则使用条件.第45页导数应用导数应用定理定理(1)函数单调性判定法函数单调性判定法第46页定义定义(2)函数极值及其求法函数极值及其求法第47页定理定理(必要条件必要条件)定义定义函数极大值与极小值统称为函数极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极使函数取得极值点称为值点称为极值点极值点.极值是函数局部性概念极值是函数局部性概念:极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称

12、为驻点和不可导点统称为临界点临界点.第48页定理定理(第一充分条件第一充分条件)定理定理(第二充分条件第二充分条件)第49页求极值步骤求极值步骤:第50页步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点函数值求区间端点及驻点和不可导点函数值,比较比较大小大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意:假如区间内只有一个极值假如区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题最大值、最小值问题第51页实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:1)建立

13、目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;(4)曲线凹凸与拐点曲线凹凸与拐点定义定义第52页第53页定理定理1 1第54页方法方法1:1:方法方法2:2:第55页利用函数特征描绘函数图形利用函数特征描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步(5)函数图形描绘函数图形描绘第56页第三步第三步第四步第四步 确定函数图形水平、铅直渐近线以及其它确定函数图形水平、铅直渐近线以及其它改变趋势改变趋势;第五步第五步第57页(6)弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率计算公式曲率计算公式第58页定义定义第59页不定积分不定积分第60页积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表

14、表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几个特殊类型几个特殊类型函数积分函数积分第61页原函数原函数定义定义原函数存在定理原函数存在定理即：即：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数第62页不定积分不定积分(1)定定义义第63页(2)微分运算与求不定积分运算是微分运算与求不定积分运算是互逆互逆互逆互逆.(3)不定积分性质不定积分性质第64页第一类换元法第一类换元法直接积分法直接积分法第一类换元公式（第一类换元公式（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分性质求不定

15、由定义直接利用基本积分表与积分性质求不定积分方法积分方法.第65页常见类型常见类型:第66页第二类换元法第二类换元法第二类换元公式第二类换元公式第67页惯用代换惯用代换:第68页分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式选择选择u u有效方法有效方法:LIATELIATE选择法选择法L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数；A-代数函数；代数函数；T-三角函数；三角函数；E-指数函数；指数函数；哪个在前哪个选作哪个在前哪个选作u.第69页几个特殊类型函数积分几个特殊类型函数积分（1）有理函数积分）有理函数积分定义定义两个多项式商表示函数称之两个多项式商表示函数称之.真分式化为部分分

16、式之和真分式化为部分分式之和待定系数法待定系数法第70页四种类型分式不定积分四种类型分式不定积分此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式第71页令令（2）三角函数有理式积分三角函数有理式积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算组成函数称之普通记为组成函数称之普通记为第72页（3）简单无理函数积分简单无理函数积分讨论类型：讨论类型：处理方法：处理方法：作代换去掉根号作代换去掉根号第73页定积分与广义积分定积分与广义积分第74页问题问题1:1:曲边梯形面积曲边梯形面积问题问题2:2:变速直线运动旅程变速直线运动旅程存在定理存在定理广义积分

17、广义积分定积分定积分定定积积分分性性质质定定积积分分计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式第75页1 1、问题提出、问题提出实例实例1 （求曲边梯形面积（求曲边梯形面积A）第76页实例实例2 （求变速直线运动旅程）（求变速直线运动旅程）方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.第77页2 2、定积分定义、定积分定义定义定义第78页记为记为第79页可积两个可积两个充分充分条件：条件：定理定理1定理定理23 3、存在定理、存在定理第80页4 4、定积分性质、定积分性质性质性质1性质性质2性质性质3第81页性质性质5推论：推论：（1）（2）性质性质4第82页性质性质7(定积分中值定理定

18、积分中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式第83页5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理）第84页定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式第85页6 6、定积分计算法、定积分计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式第86页定积分应用定积分应用第87页微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名名称称释释译译所所求求量量特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中惯用公式定积分应用中惯用公式第88页所求量特点所求量特点微元素法微元

19、素法第89页解题步骤解题步骤第90页定积分应用惯用公式定积分应用惯用公式(1)平面图形面积平面图形面积直角坐标情形直角坐标情形第91页假如曲边梯形曲边为参数方程假如曲边梯形曲边为参数方程曲边梯形面积曲边梯形面积参数方程所表示函数参数方程所表示函数第92页极坐标情形极坐标情形第93页(2)体积体积xyo第94页平行截面面积为已知立体体积平行截面面积为已知立体体积第95页(3)平面曲线弧长平面曲线弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为第96页C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4)旋转体侧面积旋转体侧面积xyo第97页无穷级数无穷级数第98页常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般

20、般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数满足狄满足狄 氏条件氏条件在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 第99页常数项级数常数项级数级数部分和级数部分和定义定义级数收敛与发散级数收敛与发散第100页性质性质1 1:级数每一项同乘一个不为零常数级数每一项同乘一个不为零常数,敛散敛散性不变性不变.性质性质2 2:收敛级数能够逐项相加与逐项相减收敛级数能够逐项相加与逐项相减.性质性质3 3:在级数前面加上有限项不影响

21、级数敛散在级数前面加上有限项不影响级数敛散性性.性质性质4 4:收敛级数加括弧后所成级数依然收敛于收敛级数加括弧后所成级数依然收敛于原来和原来和.级数收敛必要条件级数收敛必要条件:收敛级数基本性质收敛级数基本性质第101页常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交织级数交织级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;普通项级数普通项级数4.绝对收敛绝对收敛第102页定义定义正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1)(1)比较审敛法比较审

22、敛法第103页(2)(2)比较审敛法极限形式比较审敛法极限形式第104页第105页第106页定义定义 正正 、负项相间级数称为交织级数、负项相间级数称为交织级数.交织级数及其审敛法交织级数及其审敛法第107页定义定义 正项和负项任意出现级数称为任意项级数正项和负项任意出现级数称为任意项级数.任意项级数及其审敛法任意项级数及其审敛法第108页函数项级数函数项级数(1)(1)定义定义(2)(2)收敛点与收敛域收敛点与收敛域第109页(3)(3)和函数和函数第110页(1)(1)定义定义幂级数幂级数第111页(2)(2)收敛性收敛性第112页推论推论第113页定义定义:正数正数R称为幂级数称为幂级数

23、收敛半径收敛半径.幂级数收敛域称为幂级数幂级数收敛域称为幂级数收敛区间收敛区间.第114页a.a.代数运算性质代数运算性质:加减法加减法(其中其中(3)(3)幂级数运算幂级数运算第115页乘法乘法(其中其中除法除法第116页b.b.和函数分析运算性质和函数分析运算性质:第117页幂级数展开式幂级数展开式(1)定义定义第118页(2)充要条件充要条件(3)唯一性唯一性第119页(3)展开方法展开方法a.a.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:b.b.间接法间接法 依据唯一性依据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,经过经过变量代换变量代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐

24、项求导,逐项逐项积分积分等方法等方法,求展开式求展开式.第120页(4)常见函数展开式常见函数展开式第121页第122页(1)(1)三角函数系三角函数系三角函数系三角函数系傅里叶级数傅里叶级数第123页(2)(2)傅里叶级数傅里叶级数定义定义三角级数三角级数第124页其中其中称为傅里叶级数称为傅里叶级数.第125页(3)(3)狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件(收敛定理收敛定理)第126页(4)(4)正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数第127页第128页奇延拓奇延拓:(5)(5)周期延拓周期延拓第129页偶延拓偶延拓:第130页第131页二、经典例题

25、第132页例例1 1解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x),则则第133页例例2 2解解第134页例例3 3解解第135页第136页例例4 4证实证实讨论讨论:第137页由零点定理知由零点定理知,综上综上,第138页例例5 5解解第139页例例6 6解解分析分析:不能用公式求导不能用公式求导.第140页例例7 7解解两边取对数两边取对数第141页例例8 8解解先去掉绝对值先去掉绝对值第142页第143页例例9 9解解第144页例例1010解解第145页例例1111解解第146页例例1212证证由介值定理由介值定理,第147页注意到注意到由由,有有+,得得第148页例例131

26、3证证第149页例例1414证证第150页 ,则有则有第151页例例1515解解第152页若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处含有相同一阶导数必在该点处含有相同一阶导数和二阶导数和二阶导数,于是有于是有第153页解此方程组得解此方程组得故所求作抛物线方程为故所求作抛物线方程为曲率圆方程为曲率圆方程为两曲线在点处曲率圆圆心为两曲线在点处曲率圆圆心为第154页例例1616解解(倒代换倒代换)第155页例例1717解解第156页解得解得第157页例例1818解解第158页例例1919解解第159页例例2020解解第160页第161页第162页例例2121解解第163页例例2222解解

27、第164页例例2323解解第165页例例2424解解是偶函数是偶函数,第166页例例2525解解第167页例例2626证证第168页第169页例例2727证证作辅助函数作辅助函数第170页第171页例例2828解解第172页依据级数收敛必要条件，依据级数收敛必要条件，原级数收敛原级数收敛第173页解解依据比较判别法，依据比较判别法，原级数收敛原级数收敛第174页解解从而有从而有第175页原级数收敛；原级数收敛；原级数发散；原级数发散；原级数也发散原级数也发散第176页例例2929解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛第177页由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：第178页所以此交织级数收敛，所以此交织级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛第179页例例3030解解两边逐项积分两边逐项积分第180页第181页例例3131解解第182页第183页例例3232解解第184页第185页例例3333解解第186页第187页第188页和函数图形为和函数图形为第189页例例3535解解第190页第191页由上式得由上式得第192页例例3636解解第193页第194页