微分方程解法专题省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

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1、第八章第八章 微分方程与差分方程介绍微分方程与差分方程介绍8.1 微分方程基本概念微分方程基本概念8.2 可分离变量一阶微分方程可分离变量一阶微分方程8.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程8.4 可降阶高阶微分方程可降阶高阶微分方程8.5 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程8.6 微分方程应用实例微分方程应用实例退退 出出第1页 第八章第八章 微分方程与差分方程介绍微分方程与差分方程介绍 我们知道，函数是研究客观事物运动规律主要工具，找出函数关系，在实践中含有主要意义。可在许多实际问题中，我们经常不能直接给出所需要函数关系，但我们能给出含有所求函数导数（或微分）或差分（即增量）方程

2、，这么方程称为微分方程或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要函数。本章主要介绍微分方程基本概念及求解微分方程中未知函数几个常见解析方法；并对差分方程相关内容做一简单介绍。第2页 8.1 8.1 微分方程基本概念微分方程基本概念 一.引例 例1 一曲线经过（1，2），且在改曲线上任一点M(x,y)处切线斜率为2x，求该曲线方程。解 设所求曲线方程为y=y(x)，依据导数几何意义，y(x)应满足：第3页 例2一汽车在公路上以10m/s速度行驶，司机突然发觉汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机马上刹车，已知汽车刹车后取得加速度为4,问汽车是否会撞到小孩？解 设汽车刹车后t秒内行驶了s米，依据题

3、意，反应刹车阶段汽车运动规律函数S=S(t),应满足方程：第4页在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要第5页时间t=2.5秒，所以刹车后汽车行使距离为：二二.微分方程基本概念微分方程基本概念 凡含有未知函数导数或微分方程，称为微分方程（differential equation）.未知函数为一元函数微分方程，叫常微分方程（ordinary differential equation）.未知函数为多元函数微分方程，叫做偏微分方程（partial differential equation）.这里我们只讨论常微分方程，简称为微分方程，比如第6页等都是常微分方程。微分方程中出现未知函数

4、导数或微分最高阶数，称为该微分方程阶（order），比如（1）和（12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程，而（13）是n阶微分方程。第7页假如将一个 函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程解（solution）.将（3）。（4）为微分方程（1）解，而（8）和（10）则是微分方程（5）解。假如微分方程解中含有任意常数，且相互独立任意常数个数与微分方程阶数相同，这么解叫做微分方程通解（general solution）.如（3）和（8）分别是微分方程（1）与（5）通解。因为通解中含有任一常数，所以它还不能确切反应某客观事物特定规律。为此，要依据问题实际情况，

5、提出确定这些常数条件，这种条件称为定解条件。确定了通解中任意常数后所得。第8页解，称为微分方程特解（particular solution）.如（10）是微分方程（5）满足条件（6）特解时刻状态得到定解条件，称为初值条件（initial value condition）.初值条件个数通常等于微分方程阶数，一阶微分方程初值条件普通为第9页 从几何上看，微分方程通解对应着平面上一族曲线，称其为微分方程积分曲线族，而特解则对应着积分曲线族中某一条曲线，称其为积分曲线(integral curve).如是方程（1）积分曲线族,而第10页 8.2 8.2 可分离变量一阶微分方程可分离变量一阶微分方程 一

6、阶微分方程（一阶微分方程（differential equation of first differential equation of first orderorder）(differential equation of separated variables).第11页例1 求微分方程解 首先分离变量，得第12页 以后为了方便起见，我们可把记住结果中常数C可正可负。显然y=0也是方程解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2 求微分方程通解即在条件解 分离变量，得第13页 例3 种群自然生长受到环境资源限制，若种群数 最大容量为b，则种群生长速度不但与t时刻种群数量N成正比，且与密度制约

7、因子成正比，试确定种群生长规律。第14页第15页 8.3 一阶线性微分方程 （linear differential equation of firstOrder),它特点为左端是关于未知函数y及一阶导数第16页第17页二.一阶线性非其次微分方程因为其次方程（2）是非其次方程（1）当它们解之间也必有某种关系。现在，我们把对应其齐次方程通解（3）中任意常数C换成X待定函数C（x）,即令情形，能够构想,第18页第19页 上述将对应齐次方程通解中任意常数C替换成x待定函数，并将其代入非齐次方程中以确定C(x)，从而求得非齐此方程通解方法叫做常数变易法（method of constant）.将（5）

8、式改写成两项之和形式第20页上式右端第一项是方程（1）对应齐次方程（2）通解，令C=0，则得到第二项，它是非齐次方程（1）一个特解。由此可知，一阶线性非齐次微分方程通解等于它对应齐次方程通解与非齐次方程一个特解之和。对于高阶线性微分方程，其通解结构也有类似结论。第21页第22页 方法二 直接利用非齐次方程通解公式（5），得第23页第24页第25页第26页第27页第28页(Bernoulli differential equation).第29页第30页第31页第32页第33页 8.4 可降阶高阶微分方程 二阶及二阶以上微分方程统称为高阶微分方程（differential equation of

9、 higher order）.对于有些高阶微分方程。可经过适当变量代换将它转化为较低阶方程来求解。下面介绍三种常见可降阶微分方程求解方法。第34页第35页 例2 一物体由静止状态开始做直线运动，其加速度 试求其位移s与时间t关系式。解 由题意知则需要n个初值条件。第36页第37页第38页第39页第40页第41页第42页第43页第44页 8.5 二阶常系数线性微分方程微分方程称为二阶常系数线性微分方程（linear second order differential equation with constant coefficients），其中f(x)叫做自由项，当 时，方程（1）叫做二阶线性齐

10、次微分方程，当时，方程（1）叫做二阶线性非齐次微分 方程。第45页下面先来讨论这类方程性质及通解结构。一.通解结构 定理1 假如 是二阶线性齐次方程第46页第47页 第48页总而言之，有以下关于二阶线性齐次微分方程通解结构定理。第49页知道，一结线性非齐次方程通解等于它所对应齐次方程通解和它一个特解之和。实际上，二阶及更高阶线性非齐次方程通解结构也由类似结论。第50页第51页二.二阶常系数线性齐次微分方程 由定理2 可知，求二阶线性齐次微分方程通解，可归结为求方程两个线性无关特解。二阶线性齐次方程特点是各乘以常数因子后相加等于零，假如能找到一个函数y，使它和它导数间只差一个常数因第52页 我们

11、把代数方程（5）叫做微分方程（2）特征方程，特征方程根叫做特征根。求方程（2）通解就归结为求特征方程根：第53页第54页第55页第56页第57页第58页特征方程 根齐次方程 通解两个相异实根两个相等实根一对共扼复根第59页第60页第61页 三.二阶常系数线性非齐次微分方程 由定理3可知，求二阶常系数线性非齐次微分方程通解，可归结为求它对应齐次方程通解和它本身一个特解。在处理了齐次方程通解问题之后，这里只需讨论求非齐次方程（3）一个特解 方法 我们只介绍当方程（3）中 取两种常见形式时求 方法，这种方法特点是不用积分就可 求出来，把它叫做待定系数法。第62页第63页第64页第65页第66页第67

12、页第68页第69页第70页第71页第72页第73页第74页第75页 8.6 微分方程应用实例微分方程应用实例 许多实际问题处理归结为寻找变量间函数关系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只能间接得到这些量及其导数之间关系，从而使得微分方程在众多领域都有非常主要应用。本节只举几个实例来说明微分方程应用。深入介绍见第十章。一。嫌疑犯问题 受害者尸体于晚上7：30被发觉。法医于晚上8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为 ，一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为第76页室温在几小时内一直保持 ，此案最大嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了

13、一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在问题：是张某不在凶案现场证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？第77页 人体体温受大脑神经中枢调整，人死后体温调整功效消失，尸体温度受外界温度影响。假定尸体温度改变率服从牛顿冷却定律，即尸体温度改变率正比于尸体温度与室温差，即第78页第79页第80页第81页 三.悬链线方程问题 将一均匀柔软绳索两端固定，使之仅受重力作用而下垂，求该绳索在平衡状态下曲线方程（铁塔之间悬挂高压电缆形状就是这么曲线）。解 以绳索所在平面为 平面，设绳索最低点为y轴上P点，如图81所表示。考查绳索上从点p到另一点Q(x,y)一段弧 ，该段弧长为 ，绳索线密度为 ,则这段绳索所受重力为 。因为绳索是软，第82页第83页第84页第85页