高二数学选修2-2-1.1.1平均变化率省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

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1、苏教高中数学选修苏教高中数学选修2-22-21.1(1)导数概念导数概念 平均改变率平均改变率yyyyyyyy年年MM月月d d日星期日星期1/22世界充满着改变世界充满着改变,有些改变几乎不为人们觉察有些改变几乎不为人们觉察,而而有些改变却让人们发出感叹与惊呼！有些改变却让人们发出感叹与惊呼！2/22微积分主要与四类问题处理相关微积分主要与四类问题处理相关:v一、已知物体运动旅程作为时间函数一、已知物体运动旅程作为时间函数,求物求物 体在任意时刻速度与加速度等体在任意时刻速度与加速度等;v二、求曲线切线二、求曲线切线;v三、求已知函数最大值与最小值三、求已知函数最大值与最小值;v四、求长度、

2、面积、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分关键概念之一它是研究函数增减、改变导数是微积分关键概念之一它是研究函数增减、改变快慢、最大快慢、最大(小小)值等问题最普通、最有效工具。值等问题最普通、最有效工具。3/22问题情境问题情境1法国队报网站文章称刘翔以不可思议速度统治了赛场。这名法国队报网站文章称刘翔以不可思议速度统治了赛场。这名2121岁中国人跑几乎比炮弹还快岁中国人跑几乎比炮弹还快,赛道上显示赛道上显示12.9412.94秒成绩已经打破秒成绩已经打破了了12.9512.95奥运会统计奥运会统计,但经验证他是以但经验证他是以12.9112.91秒平了世界纪录，他平秒

3、平了世界纪录，他平均速度到达均速度到达8.52m/s8.52m/s。问：平均速度数学意义是什么问：平均速度数学意义是什么?4/22时时 间间3月月18日日4月月18日日4月月20日日日最高气温日最高气温3.518.633.4现有南京市某年现有南京市某年3月和月和4月某天日最高气温记载月某天日最高气温记载:问题情境问题情境2观察：观察：3月月18日到日到4月月18日与日与4月月18日到日到4月月20日温度日温度改变，用曲线图表示为：改变，用曲线图表示为：t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T()210（注（注:3月月18日为第一天）日为第一

4、天）5/22 t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T()210问题问题1 1：“气温陡增气温陡增”是一句生活用语，它数学意义是一句生活用语，它数学意义是什么？（形与数两方面）是什么？（形与数两方面）问题问题2 2：怎样量化（数学化）曲线上升陡峭程度？怎样量化（数学化）曲线上升陡峭程度？问题情境问题情境26/22问题情境问题情境3某人第某人第1 1秒到第秒到第3434秒位移时间图象如图所表示秒位移时间图象如图所表示:t(s)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)s(m)210问题问题1 1:AB

5、:AB段与段与BCBC段哪一段位移改变多段哪一段位移改变多?问题问题2 2:AB:AB段与段与BCBC段哪一段位移改变快段哪一段位移改变快?问题问题3 3:在图形上用什么方法可直接看出哪一段位移改变快在图形上用什么方法可直接看出哪一段位移改变快?7/22 t(s)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)s(m)210轻易看出轻易看出BCBC之间曲线比之间曲线比ABAB之间曲线愈加之间曲线愈加”陡峭陡峭”,”,陡峭程陡峭程度反应了位移改变快与慢度反应了位移改变快与慢.问题问题4 4:怎样量化曲线陡峭程度呢怎样量化曲线陡峭程度呢?问题情境问题情境38/2

6、2 t(s)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)s(m)2101.1.曲线上曲线上BCBC之间一段几乎成了直线之间一段几乎成了直线,由此联想到怎样量化直线倾斜程度由此联想到怎样量化直线倾斜程度.2.2.由由B B点上升到点上升到C C点，必须考查点，必须考查y yC Cy yB B大小，但仅仅注意到大小，但仅仅注意到y yC Cy yB B 大小能否量化大小能否量化BCBC段陡峭程度段陡峭程度?为何？为何？B在考查在考查y yC Cy yB B 同时必须考查同时必须考查x xC Cx xB B，函数本质在于一个量，函数本质在于一个量改变本身就隐含

7、着这种改变必定相对于另一个量改变而言。改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量改变而言。问题情境问题情境39/22 t(s)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)s(m)2103.我们用比值我们用比值 近似地近似地量化量化B、C这一段曲线陡峭程度，并称该比这一段曲线陡峭程度，并称该比值为位移在区间【值为位移在区间【32，34】上】上平均改变率平均改变率.4.分别计算位移在区间【分别计算位移在区间【1，32】【32，34】平均改变率】平均改变率.问题情境问题情境310/22 t(s)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C

8、(34,33.4)s(m)210问题问题5 5:位移平均改变率能否反应每一时刻位移改变率位移平均改变率能否反应每一时刻位移改变率?位移平均改变率只能表示这一段时间里位移大致改变情况位移平均改变率只能表示这一段时间里位移大致改变情况,但但不能准确表示每一时刻位移改变情况不能准确表示每一时刻位移改变情况.问题情境问题情境311/22问题情境问题情境32030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)v(m/s)t(s)210 t(s)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)s(m)210问题问题6 6:将位移曲线改成速度

9、将位移曲线改成速度曲线曲线,你又能得到什么结论你又能得到什么结论?12/22普通地普通地,函数函数f(x)在区间在区间x1，x2上平均改变率为上平均改变率为(1)曲线陡峭程度是平均改变率曲线陡峭程度是平均改变率“视觉化视觉化”(2)平均改变率是曲线陡峭程度平均改变率是曲线陡峭程度“数量化数量化”无形不直观无形不直观无数不入微无数不入微(3)平均改变率量化一段曲线陡峭程度是平均改变率量化一段曲线陡峭程度是“粗糙不准确粗糙不准确”.数学建构数学建构注注(4)平均改变率公式记忆类似平均改变率公式记忆类似直线上两点间斜率公式直线上两点间斜率公式.13/22例例1:(1)某婴儿从出生到第某婴儿从出生到第

10、12个月体重改变如图所表示，试分个月体重改变如图所表示，试分别计算从出生到第别计算从出生到第3个月及第个月及第6个月到第个月到第12个月该婴儿体重个月该婴儿体重平均改变率。平均改变率。T(月月)W(kg)639123.56.58.611问题问题:这两个平均改变率实际意义是什么这两个平均改变率实际意义是什么?数学应用数学应用点拨点拨:求平均改变率关键有两点求平均改变率关键有两点 自变量改变量自变量改变量x x=x x2 2-x x1 1；函数值改变量函数值改变量y=f(xy=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1););14/22例例1:(2)水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，水经过虹吸管从容器

11、甲中流向容器乙，t s后容器甲中后容器甲中水体积水体积 （单位：（单位：），计算第一个），计算第一个10s内内V平均改变率。平均改变率。甲乙问题问题:(1)负号表示什么意思负号表示什么意思?(2)平均改变率可正可负平均改变率可正可负,那能否为那能否为0?请举例说明请举例说明.(3)0.25cm3/s能否表示能否表示10秒内每一时刻容器甲中水秒内每一时刻容器甲中水 体积体积V降低速度降低速度?0.25cm3/s数学应用数学应用15/22练习练习1:在经营某种商品中在经营某种商品中,甲乙两人投入相同资金甲乙两人投入相同资金,甲甲挣到挣到10万元万元,乙挣到乙挣到2万元万元,能否比较和评价甲能否比较

12、和评价甲,乙两乙两人经营结果人经营结果?(注注:甲用甲用5年时间挣到年时间挣到10万元万元,乙用乙用5个月挣到个月挣到2万元万元)解解:甲赢利平均改变率为甲赢利平均改变率为 (万元万元/月月)乙赢利平均改变率为乙赢利平均改变率为 (万元万元/月月)由由 ，所以乙经营结果好，所以乙经营结果好.数学应用数学应用16/22例例2:(1)已知函数已知函数f(x)=2x+1,g(x)=2x,分别计算在区间分别计算在区间 -3，-1，0，5上函数上函数f(x)及及g(x)平均改变率平均改变率.问题问题1 1:一次函数一次函数f(x)=kx+b在区间在区间m，n上平均改变率有上平均改变率有什么特点什么特点?

13、一次函数在任意区间上平均改变率都是斜率一次函数在任意区间上平均改变率都是斜率.问题问题2 2:其它函数在区间其它函数在区间m，n上平均改变率有什么几何意义上平均改变率有什么几何意义?数学应用数学应用17/2201mnPQ 平均改变率几何意义平均改变率几何意义:函数函数f(x)f(x)曲线上两点曲线上两点P,QP,Q连线连线 （割线）斜率即为函数（割线）斜率即为函数f(x)f(x)在区间在区间XXP P，X XQ Q 上平均改变率上平均改变率.函数函数f(x)在区间在区间m，n上平均改变率为上平均改变率为:xy数学理论数学理论18/22例例2:(2)已知函数已知函数f(x)=x2,分别计算分别计

14、算f(x)在以下区间上平均在以下区间上平均 改变率：改变率：1）1，3；2）1，2；3）1，1.1；4）1，1.001.432.12.001数学应用数学应用19/22xy13P2O平均改变率量化一段曲线陡峭程度是平均改变率量化一段曲线陡峭程度是“粗糙不准确粗糙不准确”，但当，但当x2x1很小时，这种量化便很小时，这种量化便由由“粗糙粗糙”迫近迫近“准确准确”.”.数学理论数学理论20/22练习练习2:已知函数已知函数f(x)=x2,分别计算分别计算f(x)在下在下 列区间上平均改变率：列区间上平均改变率：（1）0.9，1；（2）0.99，1；（3）0.999，1;（4）0.9999，1;1.91.991.999（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001.432.12.0011.9999数学应用数学应用21/22研究对象研究对象改变改变数学模型数学模型不足之处不足之处改变快慢改变快慢平均改变率平均改变率需要严格需要严格数学定义数学定义!对改变过对改变过程反应不程反应不够精细够精细!y y2 2y y1 1不能反应不能反应改变过程改变过程!问题情境问题情境数量化数量化视觉化视觉化有待于深有待于深入准确化，入准确化，随之而来随之而来便是新数便是新数学模型建学模型建立立.回顾反思回顾反思22/22