河北省邯郸市2024届高三上学期第一次调研监测数学试题含解析.pdf

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1、邯郸市邯郸市 2024 届高三年级第一次调研监测届高三年级第一次调研监测数学数学本试卷共本试卷共 4 页，满分页，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名 班级班级 考场号考场号 座位号座位号 考生号填写在答题卡上考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，

2、写在本试卷回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式参考公式：锥体的体积公式锥体的体积公式13VSh（其中其中S为锥体的底面积为锥体的底面积，h为锥体的高为锥体的高）.棱台的体积公棱台的体积公式式13Vh SSSS（其中（其中S，S分别为棱台的上分别为棱台的上 下底面面积，下底面面积，h为棱台的高）为棱台的高）.一一 选择题（本题共选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

3、）符合题目要求的）1.设集合1Axx，220Bx xx，则AB（）A.1,2B.0C.2,1D.,12.已知命题p：0,x，e1x，则p为（）A.,0 x ，e1xB.0,x，e1xC.,0 x ，e1xD.0,x，e1x3.已知i是虚数单位，若复数z满足：31 i1 iz，则zz（）A.0B.2C.2iD.2i4.设函数 lnfxxa在1x 处的切线与直线12xy 平行，则a（）A.2B.2C.1D.15.设1F，2F是双曲线222104xybb的左右焦点，过1F的直线l交双曲线的左支于A，B两点，若直线32yx为双曲线的一条渐近线，22ABb，则22AFBF的值为（）A.11B.12C.1

4、4D.166.有一种钻头，由两段组成，前段是高为 3cm底面边长为 2cm 的正六棱锥，后段是高为 1cm 的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（）A.33 33cmB.36 33cmC.333cmD.336 3cm27.甲口袋中有 3 个红球，2 个白球，乙口袋中有 4 个红球，3 个白球，先从甲口袋中随机取出 1 球放入乙口袋，分别以1A，2A表示从甲口袋取出的球是红球白球的事件；再从乙口袋中随机取出 1 球，以B表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则2P A B（）A.823B.623C.1740D.588.设函数 f x的定义域为R，1fx为奇函数，1f x

5、为偶函数，当1,1x 时，exf x ，则（）A.31f B.21f C.6f x为奇函数D.228fxfx二二 选择题（本题共选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.设a，b是两个非零向量，且abab，则下列结论中正确的是（）A.ababB.ababC.a，b的夹角为钝角D.若实数使得ab成立，则为负数10.记nS为数列 na的前n项和，若数列nSn是首项为 1，

6、公差为 2 的等差数列，则（）A.数列 na为递减数列B.22nSnnC.43nanD.数列nnaS是等差数列11.已知函数 2sin0,2fxx的图象过点0,1，最小正周期为2，则（）A.f x在 5,66上单调递减B.f x的图象向右平移6个单位长度后得到的函数为偶函数C.函数 f x在0,上有且仅有 4 个零点D.函数 f x在区间 5,4 12上有最小值无最大值12.已知棱长为 2的正方体1111ABCDABC D，R，E，F分别是AB，11AD，1CC的中点，连接RE，EF，RF，记R，E，F所在的平面为，则（）A.a截正方体所得的截面为五边形B.1B DC.点D到平面的距离为3D.

7、截正方体所得的截面面积为3 3三三 填空题（本题共填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.841xx的展开式的常数项是_.14.写出函数 cos1 sinxf xx的一个对称中心：_.15.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线W：214yx.若等腰直角三角形ABC三个顶点均在W上且直角顶点B与抛物线顶点重合，则ABC的面积为_.16.过圆O：222xy上一点P作圆C：22442xy的两切线，切点分别为Q，R，设两切线的夹角为，当PQPR+取最小值时，sin_.四四 解答题（本题共解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明分，解

8、答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤）17.已知等比数列 na的前n项和为nS，0na，且满足126aa，430S.（1）求 na的通项公式；（2）设1nnbna，nb的前n项和为nT，求使196nT 成立的n的最大值.18.暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取 100 名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这 100 名居民的测评成绩全部在 40 至 100 之间，将数据按照40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计这 100 名居民成绩的中位

9、数（保留一位小数）；（2）在这 100 名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在40,50，50,60，60,70的三组中抽取 12 人，再从这 12 人中随机抽取 3 人，记为 3 人中成绩在50,60的人数，求的分布列和数学期望.19.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2 sin2 coscaCcA.（1）求sin2A；（2）若2a，求ABC面积的最大值.20.如图，几何体由四棱锥BAEFC和三棱台EFGACD组合而成，四边形ABCD为梯形，/ADBC且2ADBC，ADCD，2CDFG，DG 平面ABCD，2DADC，平面EBC与平面ABCD的夹角为 45.（1）求证：平

10、面BCE 平面CDGF；（2）求三棱台EFGACD的体积.21.已知函数 2ln2xf xax.（1）讨论 f x的单调性；（2）当0a 时，证明：不等式 12lnf xaa有实数解.22.已知椭圆E：222210 xyabab的焦点分别为11,0F 和21,0F，离心率为12.不过2F且与x轴垂直的直线交椭圆于A，M两个不同的点，直线2AF与椭圆的另一交点为点B.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线MB交x轴于点N，求以ON为直径的圆的方程；若过2F与AB垂直的直线交椭圆E于D，G两个不同的点，当22ABDG取最小值时，求直线AB的方程.邯郸市邯郸市 2024 届高三年级第一次调研监测届高三年

11、级第一次调研监测数学数学本试卷共本试卷共 4 页，满分页，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名 班级班级 考场号考场号 座位号座位号 考生号填写在答题卡上考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷

12、上无效上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式参考公式：锥体的体积公式锥体的体积公式13VSh（其中其中S为锥体的底面积为锥体的底面积，h为锥体的高为锥体的高）.棱台的体积公棱台的体积公式式13Vh SSSS（其中（其中S，S分别为棱台的上分别为棱台的上 下底面面积，下底面面积，h为棱台的高）为棱台的高）.一一 选择题（本题共选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）符合题目要求的）1.设集合1Axx，220Bx xx，

13、则AB（）A.1,2B.0C.2,1D.,1【答案】C【解析】【分析】先求一元二次不等式得20Bxx，再根据集合运算法则求解AB即可.【详解】21 01,2020AxxxxBx xxxx，则21ABxx.故选：C.2.已知命题p：0,x，e1x，则p为（）A.,0 x ，e1xB.0,x，e1xC.,0 x ，e1xD.0,x，e1x【答案】B【解析】【分析】利用含有全称量词的命题的否定判断.【详解】因为命题:0,),e1xpx，所以:0,),e1xpx.故选：B.3.已知i是虚数单位，若复数z满足：31 i1 iz，则zz（）A.0B.2C.2iD.2i【答案】A【解析】【分析】根据复数的运

14、算法则，求得iz ，得到iz，即可求解.【详解】由复数31 i1 iz，可得231 i1 i1 ii1 i1 i1 i1 iz，则iz，所以ii0zz .故选：A.4.设函数 lnfxxa在1x 处的切线与直线12xy 平行，则a（）A.2B.2C.1D.1【答案】D【解析】【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求a.【详解】函数 lnfxxa的定义域为,a，由已知1a，故1a ，函数 lnfxxa的导函数 1fxxa，所以 111fa，因为函数 lnfxxa在1x 处的切线与直线12xy 平行，所以1112a，所以1a，经验证，此时满足题意.故选：D.5.设1F，2F

15、是双曲线222104xybb的左右焦点，过1F的直线l交双曲线的左支于A，B两点，若直线32yx为双曲线的一条渐近线，22ABb，则22AFBF的值为（）A.11B.12C.14D.16【答案】C【解析】【分 析】根 据 双 曲 线 的 标 准 方 程 可 得2a,再 由 双 曲 线 的 定 义 可 得212124,24AFAFaBFBFa，得到22118AFBFAFBF,再根据|6AB 得到答案.【详解】根据双曲线的标准方程2221(0)4xybb，得2a,由直线32yx为双曲线的一条渐近线，得32ba,解得3b,得2|26ABb.由双曲线的定义可得2124AFAFa，2124BFBFa，可

16、得22118AFBFAFBF,因为过双曲线的左焦点1F的直线l交双曲线的左支于A,B两点,所以11|6AFBFAB,得22|86814AFBFAB.故选：C.6.有一种钻头，由两段组成，前段是高为 3cm底面边长为 2cm 的正六棱锥，后段是高为 1cm 的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（）A.33 33cmB.36 33cmC.333cmD.336 3cm2【答案】B【解析】【分析】根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.【详解】由题意，钻头的前段正六棱锥的体积3111332 266 3 cm322V ，因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，作出以下图

17、形，所以圆柱的底面圆的半径2sin603(cm)r，所以圆柱的体积2321 33 cmV ，所以此钻头的体积为3126 33 cmVV.故选：B.7.甲口袋中有 3 个红球，2 个白球，乙口袋中有 4 个红球，3 个白球，先从甲口袋中随机取出 1 球放入乙口袋，分别以1A，2A表示从甲口袋取出的球是红球白球的事件；再从乙口袋中随机取出 1 球，以B表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则2P A B（）A.823B.623C.1740D.58【答案】A【解析】【分析】分别求出2P A，2P B A，再根据全概率公式求出 P B，再根据条件概率公式即可得解.【详解】1122352423585840P

18、 BP A P B AP AP B A，225P A，24182P B A，222221852232340P AP B AP A BP A BP BP B.故选：A.8.设函数 f x的定义域为R，1fx为奇函数，1f x为偶函数，当1,1x 时，exf x ，则（）A.31f B.21f C.6f x为奇函数D.228fxfx【答案】D【解析】【分析】由题意可得11fxf x ，11fxf x，结合1,1x 时，exf x ，可判断 AB；求出函数的周期，进而可判断 CD.【详解】因为1fx为奇函数，所以11fxf x ，即 2f xfx ，则11ff，所以10f，因为1f x为偶函数，所以

19、11fxf x，即 2f xfx，则 310ff，故 A 错误；由当1,1x 时，exf x ，得 01f，则 201ff，故 B 错误；22fxfx ，则 4f xf x，所以 84f xf xf x，所以228fxfx，故 D 正确；对于 C，由 8fxfx，得62fxfx，若6f x为奇函数，则2f x也为奇函数，令 2g xf x，则 g x为奇函数，则 00g，又 0210gf，矛盾，所以 2g xf x不是奇函数，即6f x不是奇函数，故 C 错误.故选：D.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数 f x的图象关于直线xa和xb对称，则函数 f x的周期为2T

20、ab；（2）若函数 f x的图象关于点,0a和点,0b对称，则函数 f x的周期为2Tab；（3）若函数 f x的图象关于直线xa和点,0b对称，则函数 f x的周期为4Tab.二二 选择题（本题共选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.设a，b是两个非零向量，且abab，则下列结论中正确的是（）A.ababB.ababC.a，b的夹角为钝角D.若实数使得ab成立，

21、则为负数【答案】AD【解析】【分析】根据平面向量的模、线性运算的概念即可判断.【详解】对 A，当,a b 不共线时，根据向量减法的三角形法则知|abab，当,a b 反向共线时，|abab-=+rrrr，故abab，A 正确；对 B，若ab，则以,a b 为邻边的平行四边形为矩形，且ab和ab是这个矩形的两条对角线长，则abab，故 B 错误；对 C，若,a b 的夹角范围为0,2，根据向量加法的平行四边形法则知：|ababrrrr，故 C 错误；对 D，若存在实数，使得ab成立，则,a b 共线，由于|ababrrrr，则,a b 反向共线，所以为负数，故 D 正确.故选：AD.10.记nS

22、为数列 na的前n项和，若数列nSn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则（）A.数列 na为递减数列B.22nSnnC.43nanD.数列nnaS是等差数列【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的通项即可判断 B；根据11,1,2nnnS naSSn求出数列 na的通项，即可判断 C；由1nnaa的符号即可判断 A；根据等差数列的定义即可判断 D.【详解】由题意21nSnn，所以22nSnn，故 B 正确；当1n 时，111aS，当2n时，221221143nnnaSSnnnnn，当1n 时，上式也成立，所以43nan，故 C 正确；因为140nnaa，所以数列 na为递增数列，故 A

23、错误；2233nnnaSn，因为22119aSaS，332213aSaS，所以数列nnaS不是等差数列，故 D 错误.故选：BC.11.已知函数 2sin0,2fxx的图象过点0,1，最小正周期为2，则（）A.f x在 5,66上单调递减B.f x的图象向右平移6个单位长度后得到的函数为偶函数C.函数 f x在0,上有且仅有 4 个零点D.函数 f x在区间 5,4 12上有最小值无最大值【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，求出与，再逐项分析求解，判断作答.【详解】依题意，(0)2sin1f，即1sin2，而2，则,2sin66fxx.由最小正周期为2，得22T，得4=，则 2sin

24、46f xx，对于 A，由 5,66x，得5 74,662x，则()f x在 5,66上不单调，A 不正确；对于 B，()f x的图象向右平移6个单位长度后得函数 2sin 42sin 42cos4662f xxxx，是偶函数，B 正确；对于 C，当0 x时，44666x，则4,2,3,46x，则5 11 17 23,24242424x，可得()f x在0,上有且仅有 4 个零点，C 正确；对于 D，当5412x时，7114666x，当3462x，解得3x 时，()f x取得最小值2，无最大值，D 正确.故选：BCD.12.已知棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D，R，E，F分别是A

25、B，11AD，1CC的中点，连接RE，EF，RF，记R，E，F所在的平面为，则（）A.a截正方体所得的截面为五边形B.1B DC.点D到平面的距离为3D.截正方体所得的截面面积为3 3【答案】BCD【解析】【分析】根据平面的性质先做出截面可判定 A、D，再利用线线垂直可判定线面垂直得 B 项正误，由正六棱锥的体积判定 C.【详解】如上左图所示取111AABCC D、中点分别为HGJ、，连接EHHRRGGFFJJE、，易知HRFJRGEJGFHE，HRFJRGEJGFHE，即六边形HRGFJE为正六边形，平面HRGFJE即过R，E，F三点的平面，故 A 错误；由正方体的棱长为 2，可得截面HRG

26、FJE的面积为23623 34S，故 D 正确；如上右图所示，连接11ACBDBCBC、，由正方体的性质可得1,ACBD BB面ABCD，AC面ABCD，所以1,BBAC又11,BDBBB BDBB、面1BDB，所以AC 面1BDB，1DB 面1BDB，所以1ACDB，而ACRG，所以1RGDB，同理可得1FGDB，,FGRGG FGRG、，故1DB，即 B 正确；分别连接1DB，与截面HRGFJE的六个顶点可得两个正六棱锥，设点D到平面的距离为h，易知2111288621623323D HRGFJEA HRDHRGFJEVVVhSh 正方体六边形，故 C 正确.故选：BCD.三三 填空题（本

27、题共填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.841xx的展开式的常数项是_.【答案】70【解析】【分析】利用通项公式求解，84(1)xx的展开式中常数项由8(1)x的展开式的 4 次方项确定，求解即可.【详解】8(1)x的展开式的通项公式为818C(1)rrrrTx，当84r时，44584,CrTx，所以84(1)xx的展开式的常数项为48C70.故答案：70.14.写出函数 cos1 sinxf xx的一个对称中心：_.【答案】,02【解析】【分析】首先化简函数得 tan24xf x,再根据正切函数的对称中心公式求解.【详解】222cossinco

28、ssincos2222()1 sincossinsincos2222xxxxxf xxxxxx1tantantan224tan241tan1tantan224xxxxx，令124xk或212,242xkk kZ，则12 2xk 或2122,2xkk kZ，令20k，则2x，所以函数()f x的一个对称中心是,02.故答案：,02(答案不唯一，横坐标符合2 2xk(k Z)即可)15.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线W：214yx.若等腰直角三角形ABC三个顶点均在W上且直角顶点B与抛物线顶点重合，则ABC的面积为_.【答案】1【解析】【分析】根据等腰直角三角形与二次函数的性质，建立不等式，

29、可得答案.【详解】由题意可作图如下：设11221,0,4A x yBC xy，其中120 xx，则直线AB与直线BC的斜率分别为1114yx，2214yx，由ABBC，则121211441yyxx，由ABBC，则222211221144xyxy，将21114yx，22214yx代入121211441yyxx，可得121xx，将21114yx，22214yx代入222211221144xyxy，可得24241122xxxx，将121xx 代入24241122xxxx，可得6222110 xx，解得21x，则5151,0,1,444ABC，2ABBC，112ABCSABBCV.故答案为：1.16.

30、过圆O：222xy上一点P作圆C：22442xy的两切线，切点分别为Q，R，设两切线的夹角为，当PQPR+取最小值时，sin_.【答案】4 29#429【解析】【分析】易得,2PQPRCPQCPRCQPQ CRPR，从而可得2222PPQPCCPQQR+，求出PC取得最小值时，sin的值即可.【详解】由题意可得,2PQPRCPQCPRCQPQ CRPR，圆O的圆心0,0O，半径12r，圆C的圆心4,4C，半径22r，则2222222PQPCCQPQRCPP+，当PQPR+取最小值时，则PC取得最小值，1min16 1623 2PCOCr，此时21sinsin233 2CPQ，又2为锐角，所以2

31、 2cos23，所以12 24 2sin2339，即当PQPR+取最小值时，4 2sin9.故答案为：4 29.【点睛】关键点点睛：由圆的切线的性质将所求转化为求PC的最小值是解决本题的关键.四四 解答题（本题共解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤）17.已知等比数列 na的前n项和为nS，0na，且满足126aa，430S.（1）求 na的通项公式；（2）设1nnbna，nb的前n项和为nT，求使196nT 成立的n的最大值.【答案】（1）2nna（2）5【解析】【分析】（1）求首项、公比，从而求得n

32、a；（2）利用错位相减求和法求得nT，解不等式196nT.【小问 1 详解】设等比数列 na的公比为q，依题意，0na，则0q.1246,30aaS，则12346,24aaaa，得234122446aaqaa，所以2q=，所以116aaq，所以12a，所以2nna.【小问 2 详解】由（1）得(1)(1)2nnnbnan，得231 22 2(1)2nnTn ，得34121 22 2(1)2nnTn ，两式相减得23412222(1)2nnnTn112 1 22(1)2(2)241 2nnnnn ，所以1(2)24nnTn.由196nT，得11(2)24196(2)2192nnnn，当5n 时，

33、左边63 2192，当5n 时，1(2)2192nn，所以n的最大值为 5.18.暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取 100 名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这 100 名居民的测评成绩全部在 40 至 100 之间，将数据按照40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计这 100 名居民成绩的中位数（保留一位小数）；（2）在这 100 名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在40,50，50,60，60,70的三组中抽取 12 人，再从这 12 人中随机抽取 3

34、 人，记为 3 人中成绩在50,60的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）79.3（2）分布列见解析，1E【解析】【分析】（1）根据在频率分布直方图中中位数的求法计算即可；（2）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问 1 详解】因为100.0040.0080.0120.24，0.24 10 0.0280.52，所以中位数在区间70,80内，设为x，则100.0040.0080.0120.028700.5x，解得79.3x，即估计这 100 名居民成绩的中位数为79.3；【小问 2 详解】成绩在40,50有0.0041220.0040.008

35、0.012人，成绩在50,60有0.0081240.0040.0080.012人，成绩在60,70有0.0121260.0040.0080.012人，则可取0,1,2,3，38312C140C55P，1248312C C281C55P，2148312C C122C55P，34312C11C55P，所以分布列为0123P145528551255155所以 14281210123155555555E .19.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2 sin2 coscaCcA.（1）求sin2A；（2）若2a，求ABC面积的最大值.【答案】（1）34（2）273【解析】【分析】（

36、1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得sinco1s2AA，平方进而求得sin2A；（2）利用余弦定理表示出22bc，根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.【小问 1 详解】因为2 sin2 coscaCcA，由正弦定理sinsinsinabcABC，得sin2sinsin2sincosCACCA，因为0,sin0CC，所以sinco1s2AA，所以21(sincos)4AA，得131 2sincos2sincos44AAAA，即3sin24A.【小问 2 详解】由（1）知13sincos,2sincos24AAAA，0,A，所以0,2A，可得sin0,cos0AA，

37、与22sincos1AA联立，有221sincos2sincos1AAAA，解得17sin471cos4AA，得1117sin224ABCSbcAbc，由余弦定理得，22271cos24bcaAbc，所以227142bcbc，得2271422bcbcbc，当且仅当bc时等号成立，即84(57)957bc，得117427(57)2493ABCS，得最大值为273.20.如图，几何体由四棱锥BAEFC和三棱台EFGACD组合而成，四边形ABCD为梯形，/ADBC且2ADBC，ADCD，2CDFG，DG 平面ABCD，2DADC，平面EBC与平面ABCD的夹角为 45.（1）求证：平面BCE 平面C

38、DGF；（2）求三棱台EFGACD的体积.【答案】（1）证明见解析（2）73【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质和平行的性质得BCCD，再利用面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，设DGh，求出相关平面法向量，利用面面角的空间向量求法得到方程，解出h，再利用棱台体积公式即可得到答案.【小问 1 详解】因为DG 平面,ABCD BC 平面ABCD，所以DGBC，因为/,ADBC ADCD，所以BCCD，由GDCDD，,GD CD 平面CDGF，得BC平面CDGF，由BC平面BCE，得平面BCE 平面CDGF.【小问 2 详解】因为DG 平面ABCD，,AD CD 平面ABCD，

39、所以,DGAD DGCD，又因为ADCD，所以,DG AD CD两两互相垂直，所以以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DG所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图.设DGh，由题可知，(0,0,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(1,0,),(0,1,),(0,0,)DABCEh Fh Gh，易知平面ABCD的一个法向量为(0,0,)DGh，设平面EBC的法向量为(,)nx y z，(1,0,0),(0,2,)CBBEh ，故得00n CBn BE ，即020 xyzh，不妨令1y，则22220,1,cos,2|41DG nnn DGhDG nhh ，解得

40、2h，所以三棱台EFGACD的体积为11111722 22 21 11 1322223V .21.已知函数 2ln2xf xax.（1）讨论 f x的单调性；（2）当0a 时，证明：不等式 12lnf xaa有实数解.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，再分0a 和0a 两种情况讨论即可；（2）要证不等式 12lnf xaa有实数解，只需证明 min12lnf xaa即可，由（1）求出 minf x，进而得证.【小问 1 详解】ln2 2ln2ln221xxfxaa，当0a 时，0fx，则函数 f x在,上单调递减，当0a 时，21logxa时，0fx，21lo

41、gxa时，()0fx，所以函数 f x在21,loga上单调递减，在21log,a上单调递增，综上所述，当0a 时，函数 f x在,上单调递减；当0a 时，函数 f x在21,loga上单调递减，在21log,a上单调递增；【小问 2 详解】要证不等式 12lnf xaa有实数解，只需证明 min12lnf xaa即可，由（1）得 21log22min11log2ln2 log1 lnaf xfaaaa，则只要证明11 ln2lnaaa即可，即证1ln10aa，令 1ln10h aaaa，则 22111ah aaaa，当01a时，0h a，当1a 时，0h a，所以函数 h a在0,1上单调递

42、减，在1,上单调递增，所以 10h ah，即1ln10aa，所以当0a 时，不等式 12lnf xaa有实数解.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式 f xg x（或 f xg x）转化为证明 0f xg x（或 0f xg x），进而构造辅助函数 h xf xg x；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22.已知椭圆E：222210 xyabab的焦点分别为11,0F 和21,0F，离心率为12.不过2F且与x轴垂直的直线交椭

43、圆于A，M两个不同的点，直线2AF与椭圆的另一交点为点B.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线MB交x轴于点N，求以ON为直径的圆的方程；若过2F与AB垂直的直线交椭圆E于D，G两个不同的点，当22ABDG取最小值时，求直线AB的方程.【答案】（1）22143xy（2）22(2)4xy；1yx或1yx .【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，可求其方程；（2）联立直线AB与椭圆方程，表示出直线BM的方程，再由根与系数的关系求出N点坐标，即可求出圆的方程；根据弦长公式可求AB长度,进而得DG长度，根据不等式即可求解最值，得直线AB的方程.【小问 1 详解】由题意可知，11,2ccea，得2a，由2

44、22abc，得23b，所以椭圆E的方程为22143xy.【小问 2 详解】显然直线 AB 的斜率必存在，且0ABk，则设直线AB的方程为1122(1)(0),yk xkA x yB xy，则11,M xy，联立有22(1)143yk xxy，可得22224384120kxk xk，所以221212228412,4343kkxxx xkk，直线BM的方程为211121,yyyyxxxx令0y 可得N点的横坐标为1211212211112112121222Nk xxxx xxxxxxyxxyyk xxxx22222241282434348243kkkkkk.所以N为一个定点，其坐标为(4,0)，则

45、圆心坐标为2,0，半径为 2，则以ON为直径的圆的方程为22(2)4xy.根据可进一步求得:222212112|114ABkxxkxxx x22222222121841214434343kkkkkkk，因为ABDG,所以1DGkk,则22121|34kDGk,由22222222221211212881|2243344334kkkABDGABDGkkkk22222288111524943342kkk，当且仅当224334kk时取等号，即1k 时，22|ABDG取得最小值115249，此时直线AB的方程为1yx或1yx .【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线AB的方程为(1)(0)yk xk，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再去计算出N点的横坐标为定值，则可得到圆的方程，再利用弦长公式和基本不等式则可得到22|ABDG的最小值.