2021年新高考数学模拟试卷15.pdf

《2021年新高考数学模拟试卷15.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年新高考数学模拟试卷15.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2021年新高考数学模拟试卷（15）选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.（5 分）已知A=l,+8）,B=0,3 a-1,若 AC8W 0,则实数。的取值范围是（）1 2A.L +8）B.-,1 C.-,+o o）D.（1,+8）2.（5 分）复数z满 足（-2 -i）z=13+4/1（/为虚数单位），则2 =（）A.-2+i B.2-i C.-2-i D.2+z3.（5 分）3 0函数f（x）=s讥 等 s讥妇产在 一左，刍上单调递增，则 3的范围是（）2 3A.（0,品 B.（0,勺 C.（0,2 D.2,+）4.（5 分）在等差数列 中，2+m o=O,6+8=-4,

2、则其公差为（）A.2 B.1 C.-1 D.-25.（5 分）在矩形A B C D 中，A B=3,B C=2,点 M 为线段A8的中点，点 N在线段8。上,若 成=AAN+fi DM,则 入邛的取值范围为（）1 1A.2,5 B.（2,5）C.（-,5）D.,57 1_6.（5 分）已知函数/（x）=sin x-1 （x 0 且#1）.若它们的图象上存在关于y轴对称的点至少有3 对，则实数。的取值范围是（）V5 V5 V3 V3A.（0,）B.（,1）C.（,1）D.（0,）5 5 3 37.（5 分）棱长为。的正四面体A 8 C D 与正三棱锥E-B C。的底面重合，若由它们构成的多面体A

3、 3 C Q E 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E-3CO 的内切球半径为（）3 V2+V6A.-a123 V3-V6B.-a123 V3+V6C.-a123 7 2-7 6D.-a12x v8.（5 分）设双曲线C：-=1（0）的左、右 焦 点 分 别 为 放，过 点.且 斜 率为1的直线与双曲线的两条渐近线相交于A,2两点，若|以|=尸 2 阴，则该双曲线的离心率 为（）A.V6V6D.V52B.V5二.选 择 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）9.（5 分）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,1

4、7,19,如图所示，在宝塔形数表中位于第i行,第 j 列的数记为 c i i.j 比如“3,2=9,f l 4.2 =15,as,4=2 3,右 a.j=2 0 17,则 i j=()13 511 9 713 15 17 1929 27 25 23 21A.64 B.65 C.7 1 D.7 210.(5分)对于函数/(x)=sin (c o sx),下列结论正确的是()A.f(JC)为偶函数B.f(x)的一个周期为2TTC.f(x)的值域为-sin l,sin l D.f(x)在 0,n 单调递增11.(5分)如 图，在正方体A B C。-A iB iC iC i中，下面结论正确的是()A.

5、8 0 平面 C B 1PB.A C L B DC.平面 A C C i4_ L C B iOiD.异 面 直 线 与 C 8 1所成的角为60 12.(5分)定 义“正对数”：ln+x=0 x 0,b 0,则下列结论中正确的是()A.B./+(/?)=ln+a+ln+bC.Z n+()ln+a-ln+b D.In+(a+h)ln+a+ln+h三.填 空 题(共 4 小题，满 分 20分，每小题5 分)丫 2 f)V 丫 -5，那么/(18)的值_ _ _ _ _ _ _./(%5),%514.(5 分)在如图所示的矩形A8CO中，点 E、P 分别在边A8、BC上，以 PE为折痕将41P E

6、B翻折为PEB，点阴合好落在边A O 上，若si n/EPB=寺,AB=2,则 折 痕PEx2 y215.(5 分)己知椭圆工+-=1的左、右焦点分别为尸1、尸 2,若椭圆上的点P 满足|PQ|9 4=2上上|,贝IJ|PFI|=.16.(5 分)已知数列 的前项和为席，且 S=20n-1,若集合M=川 (n+1)CN*中有3 个元素，则 入 的 取 值 范 围 是.四.解 答 题(共 6 小题，满分7()分)17.(10分)如图，在ABC中，己知点。在边BC上，且ND4C=90,s in/8 A C=,A B=3 五,AD=3.(1)求 8。长；(2)求 cosC.18.(12分)设 a,是

7、等比数列,公比大于0,其前项和为S”(6N*),加 是等差数列.已知“1 =1,43=42+2，M 加+加，。5=64+24*6.(1)求 板 和 加 的通项公式；(2)求2=1 bk*Sk.19.(12分)如 图，菱形ABC。的边长为4,ND4B=60,矩形BDFE的面积为8,且平面 8CFE_L 平面 ABCD.(1)证明：ACA.BE；(2)求二面角E-A F-。的正弦值.20.（1 2分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记 为 P元）的情况，并根据统计数据制成如下频率分布直方图.（1）根据

8、频率分布直方图估算尸的平均值国（2）视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取3次，每次抽取1 户，每次抽取相互独立，设 S 为抽出3户中P值不低于6 5 元的户数，求 S 的分布列和期望E g21.（1 2 分）已知椭圆C：|+|=1 （a b 0）的左、右焦点分别为点F i,F 2,其离心1率为鼻，短轴长为2百.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点尸1 的直线/1 与椭圆C交于例，N两点，过点尸2的直线/2与椭圆C交于P,Q两点，且八/2,证明：四边形MNPQ不可能是菱形.22.（1 2分）设函数/（x）=/+（a-2）x -的极小值点为x o.（I）若 x o=l,求 a的值/（x

9、）的单调区间；（I I）若 0 刈 0 函数f(x)=s 讥 竽 s讥 号 经在 一/刍上单调递增，则 3的范围是()2 3A.(0,电 B.(0,1 C.(0,2 D.2,+8)【解答】解：/(x)=si n 竽 si n 寸次=si n c o s =-si n (u)x),由/，上单调递增,一 0 与方，得 0 345,3 2 2故选：B.4.(5 分)在等差数列 m 中，2+m o=O,4 6+8=-4,则其公差为()A.2 B.1 C.-1 D.-2【解答】解：等差数列 所 中,2+m o=O=2 a6,。6+8=-4=2 幻，解得：4 6=0,。7=-2,则其公差=-2-0=-2.

10、故选：D.5.(5 分)在矩形AB C。中，AB=3,B C=2,点 M为线段A B的中点，点 N在线段8。上,若?=X A N+u D M,则A+H的取值范围为()1 1A.2,5 B.(2,5)C.(-,5)D.,5【解答】解：依题意，以A 8所在的直线为x轴，A O 所在的直线为y 轴建立如图坐标系,则 A(0,0),D(0,2),C(3,2)x v因为N点在线段8。上，8。所在直线的方程为百+楙=1,即 2 x+3 y=6,设 N点坐标为(x,3T 62%T 3 T则4N=(x,-),D M =(一，-2),AC=(3,2),3 2所 以(3,2)=A(x,生/)+“(?，-2),=3

11、,解得A-M =26-2 x1 -1 86+2 12-8%)=-6+2 7即&+当3所以入小=不 反+12-8%6+2%-8%+3 0=-4(2%+6)+5 42%+6-2 x 4-62%+6 一%(工 曰 0 引),令/(x)=2-4,(x G 0,3 ),则/(%)=108(2X+6)2当 x e 0,3 ,时，f(x)0,所以f(x)在 0,3 上单调递减，所以/(3)W f 3 W/(0),1所以/(x)e -,5 ,故选：D.T l6.(5 分)已知函数/(X)=si n x-1 (x 0 且).若它们的图象上存在关于y 轴对称的点至少有3 对，则实数。的取值范围是（)V5A.(0,

12、)5V5、B.(,1)V3、C.(，1)3D.V3(0,)3【解答解：若 x 0,则-xVO,.V O 时,f (x)=sin71(r)-1,27 7-71:.于(-x)=s in(-2)-1=-sin(-x)-1,71则若/(x)=sin(-x)-1 (x 0.71设 g(x)=-sin(-A-)-1,总 0,作出函数g(x)的图象,71要使y=-sin (-x)-1,x 0 与/(x)=logx,x 0 的图象至少有3 个交点,则 O V aV l 且满足 g(5)/(5),即-2Vlog5,BP log5log-2,则 5 V 今，7.（5 分）棱长为。的正四面体ABC。与正三棱锥E-8

13、 C O 的底面重合，若由它们构成的多面体ABC。E 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E-B C D 的内切球半径为（）3V2+V6A.-a123V3-V6B.-a12373+76C.-a123V2-V6D.-a12A B C D,由题意可知4及1 面 8。交于F,由题意多面体A B C D E 的外接球既是四面体连 接 C兄 则 C F=|亭 a=空。，且 A E 为外接球的直径，可得A F=，心 一 CF2=J a1 2-(a)2=%,1y=耳(x+c),双曲线的渐近线bxay=O,be nr be-）,B（一-3b+a 3b-a 3b-a工（a c a c）_ 3abe 工（be +b

14、e ）_ 3 62 c2 3 b+a 3b_ a 9b2 _Q2 2 3b+a 3b-a 9b2-a2设三角形B C。的外接圆的半径为r,则2，=禹3 =胃，解 得，=篝，设外接球的半径SlT loU V 3 J 3T为 R,则 7?2=”+(4尸-R)2 可得 2AFR=r+AF2,即2/?=4+萼，解得 R=a,3 3 9 4设正三棱锥E-BCD的高为/?,因为A E=2R=4，所以/z=EF=2 R -”=(-)2 2 3任a=%0，所以 B E=C E=D E=V E F2+CF2=|+%=%,而 B D=B C=C D=a,所以可得正三棱锥E-BCQ的三条侧棱两两相互垂直,所 以（S

15、E.BCD）表 面 积=S/B C O+3 s B OEn .+3,2 （）2。2=设内切圆的半径为R,1 1 1 V 3 7 V 6 1 3+V 3 1,VE-BDC=0ABCDEF=*SE-BCD）表 面 积/?，即二一a 9 a-/解得：R=3J 3 4 6 3 43夜-布12 0，故选：D.x v8.(5分)设双曲线C-=1(0)的左、右焦点分别为人，F2,过点尸1且斜率1为 的直线与双曲线的两条渐近线相交于A,8两点，若尸2A|=|b 28 ,则该双曲线的离心率 为()A.V6 B.V5 C.D.2 2x2 y2【解答】解：双曲线C：双曲线C：-y=l(0)的左、右焦点分别为尸1 (

16、-C,0）,F2（c,0）,1过点Fl且斜率为1的直线为:可得A (-ac3b+af可得A8的中点坐标。（一一詈、，-）,9b-a2 9b2-a2 F2A=F2B,k QF2=-33abc2?可得：一 叼 足=一 3,解得2b=a,所以4 c 2-4 2=2,9b2-a2可得e=,9.(5 分)已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行,第 j 列的数记为 比如 4 3,2=9,04,2=15,as,4=23,若 3,尸 2017,则 i+j=()13 511 9 713

17、15 17 1929 27 25 23 21A.6 4 B.6 5 C.7 1 D.7 2【解答】解：公 尸 2017,奇数数列a=2-1=2017,解得=1009,按照蛇形排列，第 1行到第i行共有1+2+-+/=号D个奇数，则 第 1 行列第4 4 行末共有9 9 0个奇数，第 1 行到第4 5 行末共有103 5 个奇数，则 2017 位于第4 5 行,而第4 5 行是从右到左依次递增，且共有4 5 个奇数，.,.2017 位于第4 5 行，从右到左第19 列，贝”=4 5,7=27,：.i+j=4 5+27=7 2.故选：D.10.(5 分)对于函数f(x)=si n(c o sx),

18、下列结论正确的是()A.f(x)为偶函数B.f(x)的一个周期为2T TC.f(x)的值域为-si nl,si nl D.f(x)在 0,T T 单调递增【解答】解：函数 f(x)=si n(c o sx),由/(-x)=si n(c o s(-x)=si n(c o sx),可得/(x)为偶函数，故 A正确；由/(x+2i r)=si n(c o s(x+2n)=si n(c o sx)=/(x),故/(x)的一个周期为 2i r,故B正确；77 7 1由-I WC OSW I,且-1,一 枭 可 得 尤)的 值 域 为 si n(-1),si nl j,即-si nl,si nl ,故 C

19、正确；由)=8 8%在 0,I T 递减，且 c o sx 6 -1,0,而-1,0 是 y=si nx 的增区间，可得 y=si n(c o sx)在 0,n|递减，故。错误.故选：ABC.11.(5 分)如 图，在正方体A B C。-A i B i C i D 中，下面结论正确的是()A.8 力平面C B 1O1B.A C L B DC.平面 A C C A iD.异面直线4。与 C 8 1所成的角为6 0【解答】解：对于A,T A B C O-A i B l C l D l 为正方体，由线面平行的判定可得面C BIDI,A正确；对于8，连接A C,.4?。)-4 18 1。1为正方体，：

20、.B D Y A C,且 C C i _ L B),由线面垂直的判定可得B O_ L 面 A C C 1,，瓦)，?!。，B正确；对 于 C,由上可知2OJ_面 AC。，又.81。面 A C C 1,则平面ACCiAi_LCBtDi,C 正确；对于。，异 面 直 线 与 C81所成的角即为直线BC与 CBi所成的角，为 45,。错误.故选：ABC.A112.(5 分)定 义“正对数”：ln+x=(4 0,b 0,则下列结论中正确的-lux x 1是()A.l r iab=bln+a B.加+(/?)=ln+a+lnbC.Zn+()ln+a-ln+b D.In+(+b)ln+a+ln+b【解答】

21、解：对 于 A,由定义，当时，力1,故/+(/)=ln(心)=blna,又blna=blna,故有加+(/)=b 故);当O VaVl时，/V 1,故切+(5)=0,又 a V l 时/?加=0,所以此时亦有伤十(5)bln u.由上判断知A正确；对 于 3,此命题不成立，可令=2,h=则可，由定义/+Cab)=0,ln+a+ln+b=2,所以/+(b)=/+/+/?；由此知B 错误；对 于C,当时，-1,此时历+(-)=ln(-)20,b b b当 时，ln+a-ln+b=lna-lnb=ln(),此时命题成立；b当 q l b 时，bi+a T n+b=lna,此 时;小 故命题成立；b同

22、理可验证当1 时，In()-/+成立；b当 VI时，同理可验证是正确的，故 C 正确；b对于O,若 OVa+bVl,b 0 时，左=0,右端N O,显然成立；若则/+（a+b）ln+a+lnb+ln2ln+In a-lnb,成立，故。错误,故选：AC.三.填 空 题（共 4 小题，满 分 20分，每小题5 分）（工？Q V X V TS,那么/（18）的 值 9./（x-5）,x N 5【解答】解：.函数f（x）=x2,0 x 5,V (18)=f(3X5+3)=f(3)=32=9.故答案为:9.14.（5 分）在如图所示的矩形A8CQ中，点、E、P 分别在边A3、8 c 上，以 PE 为折痕

23、将41PEB翻折为P E B,点 恰好落在边A D 上，若sin/E P B =专，AB=2,则折痕PE=27B-【解答】解：设 B E=x,则 B E=x,A E=2-x,RF 1VsinZEPB=靠=东*-PE=3x,且 cos/BE P=sin/EPB=京由P8E之夕 E 可得NPEB=NPEB,：.cosZBEB,=cos2ZBEP=2cos2ZBEP-l=-L,7 a nAE 2-x 7cosZAEB=Q,H P-=-=一，9 B，E x 9解得x=1.27PE=3x=导.故答案为：.x2 y21 5.(5 分)已知椭圆$+=1的左、右焦点分别为F1、尸 2,若椭圆上的点P满足|P

24、F i|=2 七|,则IP F il=4 .【解答】解：椭圆x天2+y匕2=1 的左、右焦点分别为四、尸 2,9 4椭圆上的点尸满足|PFI|=2|PF2|,因为|PFI|+|PF2|=24=6,所以|P F i|=4.故答案为：4.1 6.(5 分)已知数列 板 的前”项和为S”K Sn=2an-1,若集合(n+1)汹”,”CN*中有3 个元素，则入的取值范围是(2,|.【解答】解：因为S=2 a-1,当2 2 时,Sn-=2an.-1,两式相减可得，Cln=2c i n 2an-1，即 =2。-1(九 2 2),故 S=2a -1,即 m=l,故数列 是 以 1 为首项，以 2为公比的等比

25、数列，所以4 =2 I由(n+1)2 入 a”,可得入W 吗 孕，2令则可得了(”+)-/()=2 /2 z当)3 时，/(n+1)2=18+9-2X3鱼 x 3 x 竽=3,得 BO=遍.（6 分）（2）由 cosNBAZ）=孥，得 sin/B A O=g,（8 分）BD在中由正弦定理，得：sinZ-ADBsin ZADB=ABSinz.BADBD3/2x、后,（10 分）ZADB=NDAC+C=J +C,*.COSC=（12 分）18.（12分）设 是等比数列，公比大于0,其前项和为S（点N*）,加 是等差数列.已知。1 =1,。3=。2+2,。4=历+加，5=b4+2Z?6.（1）求 如

26、 和 加 的通项公式;（2）求E2=1 bkSk.【解答】解：（1）是等比数列，公比q 大于0,。1 =1,43=42+2,可得 q2-q-2=0,解得 q=2（-1 舍去），an=2n0 是公差为d 的等差数列，4=加+加，5=加+2加.可得加+加=8,64+2。6=16,则 84=4,。6=6,可得d=L贝!j bn=b4+n-4=；l-2n(2)Sn=-9-=2-1,1-zbK%=(l 2+24+38+2)-(1+2+3+)，设 =1 2+24+38+2”,2T n=1 4+28+3 16+2”+1,相减可得-3 尸 2+4+8+2”-2田=罕交”.2叫化为为=2+(-1)2+1,则2=

27、1 bk，Sk=2+(H-1)2,+I-|M(H+1).19.(1 2 分)如 图，菱形ABCQ的边长为4,NZMB=60,矩形8FE的面积为8,且平面 BOFE_L平面 ABCD.(1)证明：ACL BE-,(2)求二面角E-4 尸-力的正弦值.【解答】证明：（1）;四边形BDEF是矩形，.BELB。，平面BCE凡L平面A B C D,且平面B D E F C平面ABCD=BD,Bu平面 BDFE,.8E_L平面 ABCD,：ACu平面 ABC。，：.ACA.BE.解：（2）设 AC,BO的交点为0,建立空间直角坐标系，,菱形 ABC。的边长为 4,且/D 4B=60,.,.BD=4,矩形B

28、DEF的面积为8,：.BE=2,则 A(-2V3,0,0),D(0,2,0),E(0,-2,2),F(0,2,2),：.EF=(0,4,0),6=(2V3,2,2),/W=(2百，2,0),设平面AEF的法向量?i=(x,y,z),EF-n=4y=0,取 尸 上 得蔡=(i,0,-V3),AF-n=2A/3X+2y+2z=0设平面A。尸的法向量蓝=(x,y,z),贝 业 三=2 信+2y+2z=0,取 一得就=(,一/0)AD-m=2V3x+2y=0设二面角E-A F-。的平面角为必20.（12分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机统计了城区若干户市民十月人均

29、生活支出比九月人均生活支出增加量（记 为 P 元）的情况，并根据统计数据制成如下频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估算P 的平均值”（2）视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取3 次，每次抽取1户，每次抽取相互独立，设？为抽出3 户中P 值不低于65元的户数，求；的分布列和期望（p.【解答】解：(1)P =(3 0 X0.0 14+4 0 X0.0 2 6+5 0 X0.0 3 6+6 0 X0.0 14+70 X0.0 1)X 10=4 8(2)由己知，三次随机抽取为3次独立重复试验，且每次抽取到十月人均生活支出增加不低于6 5 元的的概率为0.1,则 8(3,0.1),尸(

30、f=i)=以,0.1匚0.93-=0,1,2,3).二尸(*=0)=0.72 9,P-=1)=0.2 4 3,P G=2)=0.0 2 7,P(：=3)=0.0 0 1.W的分布列为0123P 0.72 9 0.2 4 3 0.0 2 7 0.0 0 1：.E 熊)=3 X 0.1=0.3.2 1.(12 分)已知椭圆C；今+苴=1 (a b 0)的左、右焦点分别为点Fi,F i,其离心1 率为鼻，短轴长为2 百.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F1的直线/1与椭圆C 交于M,N 两 点,过点尸2 的直线/2 与椭圆C 交于P,Q两点，且证明：四边形M N P。不可能是菱形.C 1【解答

31、】(1)解：由已知，得一=一,b=V 3,a 2又 c1=a1-层,故解得/=4,庐=3,x2 y2所以椭圆C 的标准方程为一+J =1.4 3(2)证明：由(1),知 西(-1,0),如图，易知直线M N不能平行于x轴，所以令直线MN的方程为-1,M(x i,y i),N(%2,”),联 立 方 程 产+4 y 2 T 2 =。(.%=m y -1得(3/W2+4)y2-6 i ny-9=0,所 以%+2 =鼐0 y l y 2 =京 万.此时|MN I=J(1+。2)(%+%)2 4 y l y 2 1.同理，令直线尸。的方程为X=，2+l ,P(X 3,)3),Q(X 4,泗),此时y

32、3 +y，=离？乃=石 急 此时|P Q|=J(1+m 2)(乃+%)2 -4 y 3 y 4 ，故|M N|=|P Q.所以四边形M N P。是平行四边形.若平行四边形M N P Q是菱形，则OM 工ON,即 血-O N=0,于是有x ix 2+y iy 2=0.又 x X 2=Cmy -1)(my2-1)-m(y i+y z)+1,所 以 有(序+l)y yi -m(y i+”)+1=0,整理得到-1 2M2_53 m24-40,即，+5=o,上述关于m的方程显然没有实数解,故四边形M N P Q不可能是菱形.2 2.(12 分)设函数/(x)=o x2+(a -2)x-Inx的极小值点为

33、xo.(I )若 x o=l,求。的值/(x)的单调区间；(I I)若 0 刈1,在曲线y=/(x)上是否存在点P,使得点。位于X轴的下方？若存在，求出一个点尸坐标，若不存在，说明理由.【解答】解：(I )_Ax)定义域为(0,+8)/(x)=2 a x +(a -2)-i=2ax2+(a-2)x-l=(2 x+l)(a x 1)x，由已知，得/(1)=0,解得。=1.当 a=1 时，f (x)=3+?(*T),当 0 cx 1 时，/(x)l 时，f(x)0.所以/(x)的递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8).所以“=1时函数/(X)在x=l处取得极小值.即/(X)的极小值点为1时“的值为1(6分)()当0 加 1时，曲线y=/(x)上不存在点尸位于x轴的下方，理由如下：由(/)知/(x)=(2 x+l?a x T),当a W O时，/(%)0时，令/=3+1 y 1)二 0,得x二.当x e(O,时，f(x)0,f(X)在区间(石，+8)上单调递增.所以)。+1-：是f(x)在(0,+o o)上的最小值.由己知，若0 刈 1.1 1当时，痴 0,且O V 5 V l,l-0.所以/(3().当O V x o V l时，曲线y=/(x)上所有的点均位于x轴的上方.故当O x o 1时，曲线y=/(x)上不存在点P位于x轴的下方,(13分)