2021年新高考数学模拟试卷12.pdf

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1、2021年新高考数学模拟试卷（12）选 择 题（共 8 小题，满分40分，每小题5 分）1.（5 分）设集合 A=H-1XW2,B=-1,0,1,2,3 ,贝ij ACB=（）A.-1,0,1,2 B.0,1,2 C.0,1 D.x|-l 2=0与 圆/+）?+2 X-2 ，+4=0有公共点，则实数4的取值范围为（）A.（，o B.0,+8）C.0,2）D.（-8,2）3.（5分）已知双曲线C的焦点在坐标轴上，中心在坐标原点，其一条渐近线与直线x+2 y+l=0平行，则双曲线C的离心率6 （）L V 5 L V 5 /A.V 2 B.C.V 5 D.一则52 24.（5分）已知5件产品中有2件

2、次品，其余3件为合格品.现从这5件产品中任取2件，至少有一件次品的概率为（）A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.85.（5分）函数f（x）=（累）靖的部分图象大致是（）6.（5分）目前世界上所能见到的最古老的数学文献是古埃及的莱因特纸草书.书中记载了85个数学问题，在书写第79题的位置上，作者画了一个台阶，台阶旁依次写着7、4 9、3 4 3、2 4 01和1 6 807这5个数，在这些数的旁边依次写着图、猫、老鼠、大麦、量器等字样，除此之外就没有别的什么东西了由于这是书中唯一未明确给出答案的题目，后来，这个题目究竟是什么意思，成了一个有趣的谜你能发现这五个数的规律吗？如果还有第六个、

3、第七个数，你认为第七个数的个位数字是（）A.3 B.3 C.5 D.67.（5分）设 入R,b E R,则是7 a 1例”的（)A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件%i8.（5 分）设函数/（x）=1 1,若函数y=|（x）-刑-4 有 5 个零点，则（尸-3I实数，”的取值范围为（）A.（4,芋）B.-+8）C.，学）D./4）二.多 选 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）9.（5 分）已知（a M+尸（a 0）的展开式中第5 项与第七项的二项数系数相等，且展开式V X的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是（）A.展开式中奇数项的二

4、项式系数和为256B.展开式中第6 项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x 6 项的系数为4510.（5 分）药理学中有如下内容：（1）半数致 死 量（LD50）表示在规定时间内，通过指定感染途径，使一定体重或年龄的某种动物半数死亡所需最小细菌数或毒素量.（2）半数有效量（ED50）在量反应中是指能引起50%最大反应强度的药物剂量；在质反应中是指能引起50%实验动物出现阳性反应的药物剂量.（3）治疗指数（77）为药物的安全性指标.通常将半数致死量（LD50）与半数有效量（EC50）的比值称为治疗指数.基于以上内容，下列说法正确的是（）A.ZJ950越小，药物毒性越大B.77越小，药

5、物安全度越高C.同一药物的LO50与 EQ50的比值越大，药物安全度越低D.同一药物的LO50与 瓦 50的比值越大，药物安全度越高11.（5 分）若函数 f （x）=4sincox,sin2（+）+cos23x-1 （0）在J,上是2 4 N 4增函数，则下列结论正确的是（）A.f （x）是偶函数B.f（x）的最小正周期T得C.3的最大值为gD.3没有最小值1 2.（5分）在四棱锥P-A 8 C D中，底面A 8 C D是正方形，_ L底面A B C。，P A=A B,截面8 D E与直线P C平行，与 现 交 于 点E,则下列判断正确的是（）71B.P B与C。所成的角为.C.8。，平 面

6、 D.三棱锥C-8 O E与四棱锥P-A B C。的体积之比等于1：4三.填 空 题（共 4 小题，满分20分，每小题5 分）1 3.（5分）已知数列 即 的前“项和为S”,首项为1,且当6 N*时,。”+2+。=2。”+1恒成立，若 1 2“5 =S 5+S 9,则410=.1 4.（5分）西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有 种涂色方法.1 5.（5分）对 定 义 域 内 任 意 实 数 都 有 八a+b）=f（a）/（6）的一个函数，（x）=1 6.（5 分）三棱锥 P-A B C 中，&_ L平面 A B C,N 8 A C=簧，A P=3,A B=2/3,

7、。是 8 c71边上的动点，且 直 线P Q与 面A B C所成角的最大值为 则该三棱锥外接球的表面积为.四.解 答 题(共6小题，满分70分)17.(1 0分)已知数列.为等比数列，“2=4,4a8,aw,2a9成等差数列.(1)求数列 加 的通项公式；(2)若”“为正项等比数列，设%=，求 为 的前”项和anan+l18.(1 2分)已知AB C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且10%os8=6McosC+3(/?2+c2-a2).(I)求 cosB；(II)设b=2遮，BA BC=3,求ABC 的周长.19.(1 2分)如图，在四棱锥P-A B C D中，平面ABC。，ABCO

8、是平行四边形，A C=A B=A D=2,AC、8 0 交于点 O,E 是 PB 上一点.(1)求证：A C D E；3(2)已知二面角A-的余弦值为一，若E为P 8的中点，求E C与 平 面 所 成4角的正弦值.20.(1 2分)垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，进一步物尽其用、保护环境为进一步帮助市民进行垃圾分类，某公司研制了家用垃圾分类机器人，自动对垃圾进行分类.该公司研究部门从流水线上随机抽取100个垃圾分类机器人(以下简称产品)，统计其性能指数，制成下面的频数分布表并绘制了频率分布直方图：性能指数 50,60)60,70)70,80)80,90)90,100)100,110产

9、品数量 4 w 2 0 2 5 1 7产品分为三类性能指数在 5 0,7 0）的是基本型，在 7 0,9 0）的是提高型，在 9 0,1 1 0 的是全能型，性能指数越高，产品的垃圾分类效率和准确程度越高为提高人们的环保意识和更快推广产品，公司微利出售基本型、提高型、全能型这三类产品的销售利润分别为每件1,3,5 （单位：元）以 这 1 0 0 件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率（1）求胆，的值并求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解月营销费用x （单位：万元）对月销售量y （单位：万件）的影响，对 近 1 0 个月的月营销费用M 和月销售量V （i=l,

10、2,3,4,5,6,7,8,9,1 0）数据做了初步处理，并进一步整理得到表鹉/鹉（-欢攻-V）求(U i-u)21 6.82 4.8 70.411.6 4表中“尸/vi=lnyi,u=万=告 当 v；.根据散点图可判定y 可以作为月销售量y （万件）关于月营销费用x （万元）的回归方程.（/）建立y关于x的回归方程；（）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品的月收益达到最大（精确到整数，收益=销售利润-营销费用，e 2 0 6 7 七8,V7 1.9,1.94 1 3）.参考公式：对于一组 数 据（1,VI）,（M 2.U2）,，（.U n,Vn）,其回归直线V=a+U的

11、斜率和截距的最小二乘估计分别夕=噌1(巧二),。=万一阿弟1 1 ()一“X2 V22 1.(1 2 分)在平面直角坐标系x Oy 中，椭圆。的方程为：/+瓦=1 (a 0)M 是椭圆 C内一点，直线A3过点M 与椭圆。相交于点A、B,且满足V2(1)如 图 1,若 M 为椭圆C的右焦点，椭 圆。的离心率为一，入=2,求直线48的斜2率人(4 0)；(2)如 图 2,若 M 的坐标为(1,1),直线尸。过 点 M 与椭圆相交于点P、Q,且满足P M=X M Q,直线8Q的斜率为一X，求椭圆C的离心率.22.(1 2 分)已知函数/(x)=ex(b vc-x),g(x)=F (x24-/z?x-

12、a-x)(e 为自然对数的底数，4为常数)(1)记函数f(x)的导函数为/(x),在 区 间(1,e)上解方程/(x)=0；(2)设函数/(X)的最大值为/(尤)max,求证：f(X)(3)记 尸(x)=g(x)-f(x),当 尸(刀)有两个极值点xi,X2(xi x2)时，总有cP(%2)W f(2+xi)(e*2+),求此时实数/的值.2021年新高考数学模拟试卷(12)参考答案与试题解析一.选 择 题(共 8 小题，满分40分，每小题5 分)1.(5 分)设集合 A=x|-1XW2,2=-1,0,1,2,3,则 ACB=()A.-1,0,1,2 B.0,1,2)C.0,1 D.x|-l

13、xW 2,或x=3【解答】解：A=x|-1XW2,0,1,2,3,.A n B=0,1,2).故选：B.2.(5分)已知直线x+y+2=0与圆/+/+2X -2y+a=0有公共点,则实数a的取值范围为(A.(-8,o B.0,+8)C.0,2)D.(-8,2)【解答】解：依题意可知，直线与圆相交或相切.圆 x2+y2+Z r -2y+a=0 即 为(x+1)2+(y -1)2=2-a.由 1?+2|/2 B.C.V5 D.52 2【解答】解：根据渐近线与直线x+2y+1=0平行可得渐近线方程为=士X,当双曲线的焦点在尤轴上时，-=-=Ve2-1 =解得e=卓，a a 2 2同理，当焦点在y轴上

14、时，7 =/:?=/；“=；，解得e=V5,b y/c2-a2 Ve2-1 2故选：D.4.(5分)已知5件产品中有2件次品，其余3件为合格品.现从这5件产品中任取2件,至少有一件次品的概率为()A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8【解答】解：记5件产品的编号分别为1,2,3,a,b,其 中1,2,3为合格品，从5件产品中选2件的事件的结果有1 2,1 3,l a,3,23,2a,2b,3a,3b,共1 0种，满足条件的基本事件有l a，3，2a,2b,3a,3b,共 7种,故所求的概率为P =/=0.7.故选：C.5.（5分）函数“X）=（岩）二的部分图象大致是（）因为 x f+8

15、 时，ex 4-o o,I+所以 F（x）f+8,因此排除 8,故选：A.6.（5分）目前世界上所能见到的最古老的数学文献是古埃及的莱因特纸草书.书中记载了8 5 个数学问题，在书写第7 9题的位置上，作者画了一个台阶，台阶旁依次写着7、4 9、34 3、24 01 和 1 6 8 07 这 5个数，在这些数的旁边依次写着图、猫、老鼠、大麦、量器等字样，除此之外就没有别的什么东西了由于这是书中唯一未明确给出答案的题目，后来，这个题目究竟是什么意思，成了一个有趣的谜你能发现这五个数的规律吗？如果还有第六个、第七个数，你认为第七个数的个位数字是（）A.3 B.3 C.5 D.6【解答】解：由题7、

16、4 9、3 4 3、2 4 0 1 和 1 6 8 0 7；可得这些数组成的是首项为7,公比为7的等比数列；故第七个数为：1 6 8 0 7 X7 2=8 2 3 5 4 3；其个位数字为3；故选：B.7.（5 分）设 a C R,h e R.则是 7 a l 1 回”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解 答 解：若 a b,取 a=l,b=-2,则同|例”不充分条件；若间|例，取-2,b=i,则 a V b,则“时,是 不必要条件；则“6R,h eR.ua bn是uab n的既不充分也不必要条件，故选：f|(x-l)|,%18.(5

17、分)设函数/(x)=0)的展开式中第5 项与第七项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是()A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B.展开式中第6 项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x 6 项的系数为45【解答】解：因为(a M+9)n(a 0)的展开式中第5 项与第七项的二项数系数相等；.第=盘=“=10；:展开式的各项系数之和为1 0 2 4,(a+1)i=1 0 2 4；V a 0；.=1 .原二项式为：(7+2)1;其展开式的通项公式为：41=诙(7)1”(*=C IoX 2。令;展开式中奇数项的二项式系数和为：7 x l 0 2 4=5

18、 2 1；故 A错；因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有1 1 项，故展开式中第6项的系数最大，B对；令 2 0-%=0=厂=8,即展开式中存在常数项，C对；令 2 0|r=1 5=r=2,岛=4 5,。对；故选：B C D.1 0.(5 分)药理学中有如下内容：(1)半数致死量(LD 5 0)表示在规定时间内，通过指定感染途径，使一定体重或年龄的某种动物半数死亡所需最小细菌数或毒素量.(2)半数有效量(口 5 0)在量反应中是指能引起50%最大反应强度的药物剂量；在质反应中是指能引起50%实验动物出现阳性反应的药物剂量.(3)治疗指数(7 7)为药物的安全性指标.通常将半数致死量(

19、LD 50)与半数有效量(E D 50)的比值称为治疗指数.基于以上内容，下列说法正确的是()A.LO 50越小，药物毒性越大B.7 7 越小，药物安全度越高C.同一药物的LO 50与 E D 50的比值越大，药物安全度越低D.同一药物的LO 50与 匹 50的比值越大，药物安全度越高【解答】解：根据题目提供的药理学内容可以判断，LO 50越小，毒性越大，同一药物的LD50与 D 50的比值越大，药物安全性度越高.故选：A D.0(J I)X 71,r r 3TT,_11.(5 分)若函数 f(x)=4 si na)x*si i r(+)+cos2 a)x-1 (a)0)在 可 上是2 4 z

20、 4增函数，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B./(x)的最小正周期T=(J l)2C.3的最大值为D.3没有最小值C 0)X 71【解答】解：f(x)=4sino)x*sin(+)+cos2u)x-1 =2sina)x,(n v 7i包含原点的增区间为 一若，月，又/G)在 一去苧上是增函数，所以，3廿*2,IT-2w所以0E=EF,：PC平面BOE,EFu平面BOE,PCu平 面%C,J.E F/PC,:四 边 形 ABC。是正方形，./!尸=FC,：.A E=E P,故 A 正确；在 8 中，C D/A B,NP8A(或其补角)为P 8 与 CD所成角，：fi4_L 平面 AB

21、C。，A8u平面 ABC。，J.PA LA B,在 RtAB4B 中,PA=A B,：.PA B-J,7 TP 3 与 CD所成角为一，故 C 错误；4在 C 中，；四边形48C D 为正方形，.AC_LBD,；B4_L平面 48CD,8Ou平面 ABC。，J.PA LB D,：PA A,.8。_1 平面以。，故 C 正确；1 11在。中，设 A B=P A=x,则Vp_A8CD=3 x 力”x PA =x2-x x3,.V-C B DE=Vf E.-B C D=1 Sn 1 l ol 1 QB C D =可 X 尹 尹=/1 1Vc.BDC:V p.A B C D=12%3;3%3=1 :4

22、.故力正确.故选：A C D.三.填 空 题（共 4 小题，满 分 20分，每小题5 分）13.（5 分）已知数列“”的前“项和为S”，首项为1,且 当 6N*时,4.+2+即=2祈+1恒成立，若 12a 5=S5+S9,则mo=10.【解答】解：由题意可知，数列 加 是首项为1 的等差数列，设公差为d,V 12a5=55+59,A12（1+4（/）=5+104+9+36,解得：d=l,，a”=l+（7?-I）X 1 n）.*.4110=10,故答案为：10.14.（5 分）西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有420种涂色方法.【解答】解：根据题意，依次分析5 个省

23、的涂色方法的数目：对于新强有5 种涂色的方法，对于青海有4 种涂色方法，对于西藏有3 种涂色方法，对于四川与甘肃：若西藏与甘肃颜色相同，则有3 种涂色方法，若西藏与甘肃颜色不相同，则甘肃有2 种涂色方法，四川有2 种涂色方法，则西藏与甘肃的涂色方法有3+2X 2=7种，则共有5X 4X 3X 7=420种涂色方法；故答案为：420.15.(5 分)对定义域内任意实数a,b,都有=f(a)f (b)的一个函数/(x)=2r.【解答】解：满 足“对定义域内任意实数a,b,都有/Q+6)=/(a)/a)”的函数模型，则可为/G)=2七故答案为：2七16.(5 分)三棱锥 P-ABC 中，a_ L 平

24、面 ABC,NBAC=，AP=3,AB=2聪,是 BC边上的动点，且直线P。与面ABC所成角的最大值为则该三棱锥外接球的表面积为57u.【解答】解：连接AQ,平面ABC,.NAQ/5为直线PQ 与面A8C的所成角，当它DA最大值时，贝 lJtanNAQP=器也最大，用 不变，所以AQ最小，而 Q E B C,当且仅当42J_8C,所以NAQP=y tan-=PA=3,AQ=V3,在三角形 ABQ 中，BQ1=AB2-AQ2 (2A/3)2-(V3)2=9,：.B Q 3,ZBAQ=J,又/B n c =：7 r,：.A C A Q=J,在直角三角形A Q C 中 t a n/CAQ=糅，.CQ

25、=3,HQ：.B C=B Q+C Q=6,设三角形4 8 c 的外接圆半径为r,则2尸=乌，所以r=2 si nn 华3 F设三棱锥外接球的半径为R,则 R2=J+（）2=i2+J=苧，2 4 4所以外接球的表面积S=4 n R 2=5 7 n,故答案为：5 7 m四.解 答 题（共 6 小题，满分70分）1 7.（1 0 分）已知数列 “为等比数列，6/2 =4,4 6/8,4 1 0,2 9 成等差数列.（1）求数列 板 的通项公式；（2）若 为正项等比数列，设6n=a,求 加 的前n项和S n.7 1a 九+1【解答】解：（1）数列 为公比为4的等比数列，6 7 2=4,4 8,1 0,

26、2 9 成等差数列，可得 2。1 0=4。8+2。9,即 2 a 2 q8=4 q2 q6+2 a 2/，即为才-g -2 =0,解得 q=2 或夕=-1,当 q=-1 时，an=a2qn 2=4 X（-1）n；当 q=2 时，2=4 X 2 2=2 ；（2）a 为正项等比数列，可得a=2 ，b 1 1 （A）2 +l为-Qn 即+1 2 叱 2 1 一 2，1 1 尻 为首项为不 公比为二的等比数列，8 4则的前n项和S n=更 =i（1 一金）.。41 8.（1 2 分）已知 ABC的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 1 0 f e2co s B=6 a Z co s C+3(

27、tr+c1-J).(I)求 cosB；(I I)设b=2遮，B A B C =3,求ABC 的周长.【解答】解：(I)V 10/?2COSB=6Z?COSC+3(序+a-a2)=6abQ +3(6?+c2Q2)=6b2,p 3.cosB=5.(II)*：BA BC=3,.accos8=3,tzc=5,V b2=a2+c2-2accosB,b=2星,A 20=(Q+c)2 2ac|a c,Q+C=6,.1ABC 的周长 l=a+b+c=6+25.19.(12分)如 图，在四棱锥P-ABC。中，PD_L平面ABC。，ABC。是平行四边形，AC=AB=AD=2,AC,8。交于点 O,E 是 PB 上

28、一点、.(1)求证：ACDE；3(2)已知二面角4-尸 3-。的余弦值为一，若 E 为 P 8 的中点，求 EC 与 平 面 所 成4角的正弦值.【解答】(1)证明：尸。1平面A8C,.PO_L4C,又；四边形ABC。为菱形，：.B D A C,又 BDnP)=),；.AC_L平面尸8。，DEu平面 PBD,.,.AC ID E；(2)解：连。,在P8 Q,O E/P D,，O E_ L平面 ABCO.分别以后,0 B,后 为 x轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设尸。=f,则 A(l,0,0),B(0,V 3,0),C(-1,0,0),E(0,0,分,P(0,-V 3,t).由(1

29、)知，平 面 的 一 个 法 向 量 为 五=(L 0,0),设平面以8的一个法向量为?1 2 =(x,y,z),由 怛 皿=-x +何=0 ,令 尸 ,则 心(二,1,竿),(n2-A P=-x V 3 y +t z =03.二面角A-P B-O的余弦值为7cosnlf解得/=3,设EC与平面PA B所成角为0,：E C=(-1,0,-1).B =(遮，1,孥),*si n0=cosE C,n2)_|一点一何 _ 2玛 _ _3_一叫由一务一正2 0.(1 2 分)垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，进一步物尽其用、保护环境为进一步帮助市民进行垃圾分类，某公司研制了家用垃圾分类机器人，

30、自动对垃圾进行分类.该公司研究部门从流水线上随机抽取100个垃圾分类机器人(以下简称产品)，统计其性能指数，制成下面的频数分布表并绘制了频率分布直方图：性能指数 50,60)60,70)70,8 0)8 0,9 0)9 0,100)100,110产品数量 4 w 20 25 17产品分为三类性能指数在 50,70）的是基本型，在 70,9 0）的是提高型，在 9 0,110的是全能型，性能指数越高，产品的垃圾分类效率和准确程度越高为提高人们的环保意识和更快推广产品，公司微利出售基本型、提高型、全能型这三类产品的销售利润分别为每件1,3,5（单位：元）以 这 100件产品的性能指数位于各区间的频

31、率代替产品的性能指数位于该区间的概率（1）求胆，的值并求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解月营销费用x （单位：万元）对月销售量y （单位：万件）的影响，对 近 10个月的月营销费用M 和月销售量V （i=l,2,3,4,5,6,7,8,9,10）数据做了初步处理，并进一步整理得到表鹉/鹉（-欢攻-V）求(U i-u)216.824.8 70.411.64表中“尸/vi=lnyi,u=万=告 当 v；.根据散点图可判定y 可以作为月销售量y （万件）关于月营销费用x （万元）的回归方程.（/）建立y关于x的回归方程；（）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品的月收益

32、达到最大（精确到整数，收益=销售利润-营销费用，e 2067七8,V 7 1.9,1.94 1 3）.参考公式：对于一组 数 据（1,V I）,（M 2.U 2）,，（.U n,V n）,其回归直线V=a+U的斜率和截距的最小二乘估计分别s =噌】()叱2 a=_fi-弟 1(的 一 五)【解答】解：(1)根据频率分布直方图，/M=0.011X 10X100=11,n=0.023X 10X100=23,设每件产品的销售利润为X 元，则 X=l,3,5,其中 P(X=l)=0.15,P(X=3)=0.45,P(X=5)=0.4,所以随机变量的分布列如下：X135P0.150.450.4E(X)=

33、1X0.15+3X0.45+5X0.4=3.5,故每件产品的平均销售利润为3.5元；(2)(z)由 得/()=lna+b lnx,令 n=lnx,vlny,clna,则 u=c+加，由疆(Ui-u)(v,-v)_ 0.41 _ 1_ 24.87 1 16.80c=v b u=jg-4 x J。=2.067,i i 1故 v=c+b u=2.0674-,Iny=2.067+-Inx=/n(e2067%4),c 1因为 2067 8,所以y=8%4；1()设月收益为z 万元，则 z=yE(X)-x=28%4-x,设 t=%4,则 z=f(r)=28r-r4,所以/=28-4户=4(7-P),r=V

34、7 1.9,当 正(1.9,+8)时;函 数/(力 递 减；当 士(0,1.9)时，/(/)递增；故当，=1.9 时，即xg 13时，z 由最大值约为40,所以该公司应投入13万元营销费，才能使得该产品的月收益达到最大约为40 万元.X1 2 V221.(12分)在平面直角坐标系xOy中，椭 圆 C 的方程为：国+公=1(心 心 0)M 是椭圆 C 内一点，直线AB过点M 与椭圆C 相交于点A、B,且满足V2(1)如 图 1,若 M 为椭圆C 的右焦点，椭 圆 C 的离心率为一，入=2,求直线4 B 的斜2率 k(k0)；(2)如 图 2,若 M 的坐标为(1,1),直 线 P Q 过点M 与

35、椭圆相交于点P、Q,且满足P M=X M Q,直线8 Q 的斜率为一今 求椭圆C的离心率.【解答】解：(1)设椭圆的右焦点为M(c,0),直线AB的方程x=m y+c,A (x i,yi),B(X2,)2),x=m y 4-c联立尤 g_ 1,消去y,整理得：斓+庐m 2)y2+2 2加 0-Z?4=o,l Q，b9,2,4则 yi+y2=-JC-,yi”=-az+o m Q4+b mz由 薪=4 后，即(c r i,-yi)=A (x 2-c,)，则所以 y=_L yi =伙人“22b me2A b 2me(l-2)(a2+h27 n2)(l-C +m2)代入得：一o,22b me22A b

36、 meb4(1 A)(a24-b2m2)(1 A)(a2+b2m2)a2+b2m2解得：m2=-2f(*)4A c2-b l-A)由椭圆C的离心率为乎，入=2,即 许 企 公 四 心 入=2,代 入(*),即病=孕_-=8b -bz 7所以7 7 1 =.即 =-P M -(2)A M=X M B,P M=X M Q,可 得 病=而，且/4 加。=/8/。,可得 A M P s A M。，可得NAP M=N3 Q M,即有 A 尸B Q,且 3 Q 的中点和A 尸的中点，与 M 共线,设 时 的 方 程 为 产 一 次+3 联立椭圆方程序/+a 2y2=2贬，可得(庐+船 2)?-1raW?-

37、2=0,12ta2可得BQ的中点的横坐标为16b2+9衣 代入直线BQ的方程可得BQ的中点的纵坐标为16 tb216 b2+9a212ta2X=n?1 6 b+黑，消去f可得产袅，1 6 3,3Q2=1 6 庐+9a 2b 2 3将 M(1,1)代入上式，可得一 7 =一，a2 422.(1 2 分)已知函数/(X)(/nx-x),g(x)=F(x2+/u -a-x)(e 为自然对数的底数，。为常数)(1)记函数f(x)的导函数为/(x),在 区 间(1,e)上解方程/(x)=0；(2)设函数/没)的最大值为/(%)max,求证：f(X)g VO；(3)记F(x)=g(x)-于(x),当F(x

38、)有两个极值点x i,X2(x i%2)时，总有eF(X2)4 (2+x i)(e 必+1),求此时实数/的值.【解答】解：(1)由题意得，/(x)(Inx-x d-i-1),令(p(x)=lnx-1,x G (1,e),则/(x)=F(p(x),因为“(尤)=一 是 铲 0恒成立，所以p(x)在(1,e)上单调递减，当无 (1,e)时,，(p(X)q)(1)=-1 e2-40,h(1)=-K O,e2 eL所以存在川(5 ，1),使得/z(X1)=0,且当无 (0,Xi)时，h(x)0,即/(x)0,当 x W(x i,+8)时，h(x)0,恒成立，X乙 X1所以厂(X)在(/，1)上单调递

39、增，所以厂(X)r(1)=0,/(X)max0.(3)有题意可得，F(x)=(/-a-1),则 F(x)=(x2+2x-a-1)-，根据题意，知方程/+2x-a-1=0,有两个不同的实数根xi,X2(xi 0,即 a-2,且 x+x2=-2,xx2=-a-1,x -1%2.由 eF(x2)W/(2+xi)(e X2+1),可得 e(X22-a-I)e X2 -1恒成立.当2=0时，不等式X22ee X2 t(e 0+i)()恒成立，石氏 当 r e (-1,0)时，不等式2ee x z _ f(e*2+1)W0恒成立，即匕袈彳亘成立;令函数机(X)=鬻=26(1-磊)，显 然 相(X)是 R 上的增函数，所以当 xW (-1,0)时，m(x)tn(0)=e,所以所以t=e.