2021年天津市滨海新区高考数学模拟试卷.pdf

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1、2021年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（5 月份）（三模）一.选 择 题（共 9 小题）1.设集合M=1,2,3,4,5,6,N=xeR|2G W 6,那么下列结论正确的是（）A.MDN襄 M B.N麋（M AN）C.MJN=N D.MCiN=M2.设 x,y E R,则“x 2 2,且 y22 是 x2+y2 8M 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.某校有200位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示.据图估计，每周锻炼时间在 10,12 小时内的人数为（）A.18 B.36 C.54 D.724.函数y=罕;(0

2、0,b 0)的一个焦点重合，且2 0a2 /点尸到双曲线的渐近线的距离为4,则双曲线的方程为()16=17 .已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且 在(0,+8)上单调递增，则()A./(-3)/(-l o g31 3)f(20-6)B./(-3)/(2 0 6)f(-l o g31 3)C.f(20-6)f(-l o g J 1 3)/(-3)D.f(20.6)/(-3)C(包含点。、C)的动点P与C 8延长线上(包含点5)的动点。满足I面|=|而I，则而 而的取值范围是.三.解 答 题(共5小题)1 6.在A B C 中，内角 4、B、C 的对边分别为 a,b,c,我c o s C (

3、a c o s B+b c o s A)+c=(.(I)求角C的大小；(I I )若 a=&,b=2.求：(i )边长c；(i i)s in(28-C)的值.1 7.在如图所示的几何体中，四边形A B C D是 菱 形,是 矩 形,平 面 平 面ABCD,TTN D A B=-，A =2,AM=1,E 为 A B 的中点.(I )求证：A N平面M E C；(I I )求ME与平面M 8 C所成角的正弦值；J T(I I I)在线段A M上是否存在点P,使二面角P-EC-D的大小为丁？若存在，求出A P的长；若不存在，请说明理由.1 8 .如图，在平面直角坐标系X。)，中，已知椭圆C：%+J=

4、1(a Q 0)的离心率e=4,a b 2左顶点为A (-4,0),过点A作斜率为 (kWO)的直线/交椭圆C于点。，交y轴于点、E.(1)求椭圆C的方程；(2)已知P为4。的中点，是否存在定点0,对于任意的&W 0)都有若存在，求出点。的坐标：若不存在说明理由:(3)若过。点作直线/的平行线交椭圆C于点M,求竺薯的最小值.0M1 9 .已知等比数列 如 的前项和为S”公比q 0,5 2=2。2-2,$3=0 4-2,数列 小 满足。2=4 6，nbn+-(H+1)仇=十n，(E N*).(1)求数列 ,的通项公式；(2)证明数列%为等差数列；na b多 二，n为奇数(3)设数列 C n的通项

5、公式为：C n=J ,其前项和为T ,求a 卜一，n为偶数420 .已知函数/(x)=lnx,g(x)=-,+b x-l,(a,heR)x(I )当。=-1,8=0时，求曲线y=/(x)-g(x)在x=l处的切线方程；(I I)当6=0时，若对任意的工日1,2,/(x)+g (x)2 0恒成立，求实数。的取值范围；(I I I)当。=0,匕0时，若方程/(x)=g(X)有两个不同的实数解阳，X 2(X 1 2.参考答案一.选 择 题（共 9 小题）1.设集合M=1,2,3,4,5,6）,N=xCR|2WxW6,那么下列结论正确的是（）A.MCIN呈 M B.*（A/AN）C.MJN=N D.M

6、CN=M解：集合 M=1,2,3,4,5,6,N=xCR|2WxW6,所以M CN=2,3,4,5,6 ,所以M CN&W,所以A 正确；N 不是M C N 的真子集，所以B 不正确；因 为 1C N,所以MUNWN,所以C 不正确；MCWWM,所以。不正确；故选：A.2.设 x,e R,则“x 2 2,且 y 2 2 是 /+2 8”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解：若“心 2,且 归 2”,则“N+y228”；反之不成立，如取x=0,y=3.因 此“x 2 2,且 y 2 2 是 x2+y28”的充分不必要条件.故选：A.3.某校有2

7、00位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示.据图估计，每周锻炼时间在 10,12 小时内的人数为（）A.18 B.36 C.54 D.72解：由频率分布直方图得：每周锻炼时间在 1 0,小时内的频率为：1 -（0.03+0.06+0.18+0.14）X2=0.18,.,.每周锻炼时间在 10,12 小时内的人数为：200X0.18=36.故选：B.解：当x 0 时，|九|=x,此时丫=出，（0V 0,b 0）的一个焦点重合，且20 J bJ点尸到双曲线的渐近线的距离为4,则双曲线的方程为（）AB.*号1c言令=1D.解：抛物线+X 2 =y 的焦点坐标为（0,5）,2 2双

8、 曲 线 七-3 5二1（。0,b0）的一条渐近线的方程为卧+以=0,a/,抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4,5b二./1 3=6=4,B P Z?=4,V a+b.双曲线方程为：亡-亡=r9 16故选：D.7 .己知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且 在(0,+8)上单调递增，则()A./(-3)/(-l og31 3)f(20-6)B./(-3)/(2 6)f(-l og31 3)C.f(2 -6)f(-l og31 3)/(-3)D.f(2 0 6)/(-3)f(-l og31 3)解：根据题意，函数/(x)是定义在R上的偶函数，则/(-3)=/(3),/(-l og31 3)=f

9、(1 0 g 3 1 3),有 2 a 6 2 V l og 3 1 3 l og 3 2 7=3,又由/(x)在(0,+8)上单调递增，则有 f(2。6)/(-1 0 g 3 1 3)/(-3)；故选：C.8.已知函数/(x)=c os x s i n2 x,给出下列命题：V x e R,都有f (-x)=-/(x)成立；存在常数7 W 0,V x e R 恒有/(x+T)=f (x)成立；f(x)的最大值为工返；9J T J Ty=/(x)在 一 二，上是增函数.6 6以上命题中正确的为()A.B.C.D.解：对于，V x e R,/(-x)=c os (-x)s i n(-2 x)=-c

10、 os x s i n2%=-f(x),f(x)为奇函数，正确；对于，由/(X+2T T)=C O S(X+2T T)s i n2 (J C+2T T)=c os x s i n2 x=f (X),f(x)为周期函数，正确；对于，f(x)=2 s i nx c os2x=2 s i ri r(1 -s i n2x)=2 s i a r-2 s i n3x,令 尸 s i g ；G -1,1,则 y (f)=2 f-2 户，令 y =2-6 尸=0,得 =1,且 y (-1)=0,y (返)=必 巨 为 最 大 值，错误;3 3 9对于，当 x G ,；-时，s i ruE -!，-所以/(x)

11、在 ,6 6 2 2 3 3 6 6上为增函数，正确.综上知，正确的命题序号是.故选：D.9.已知函数f(x)满足/(x)=/(3 x),当 x e l,3),/(x)=lnx,若在区间 1,9)内，函数g(X)f(x)-ox 有三个不同零点，则实数a的取值范围是()解：设 立 3,9),则 守 口,3)A.，l n3(3 与eB.,l n3(9 1J3 e ,c(,l9n 3J2 e ,D.,l n3(9,l n33,3),f(x)=lnxf/()=bz,3 3；函数/(x)满足/(x)=f(3 x),：.f()=/(x)=ln,3 3lnx,lx3,f3 lrf 3 x 0,当x w (e

12、,3)时，今(x)V0即函数(x)=岂 止X经在 1,e)上单调递增，在(e,3)上单调递减，x 当x=e处，函数力(x)=如=更在口，3)上取最大值，x x e当天 日3,9),h(x)=岂 立=11 T7，则/(x)J T%=0,解得=3 e,x-9x x当区日3,3e)时，h1(x)0,当 花(3 e,9)时，h(尤)V0即函数(x)=世 之x=1 4在 3,3 e)上单调递增，在(3 e,9)上单调递减，X.当x=3 e处，函数(x)=立-=1丐 在 3,9)上取最大值ix-3ex根据函数的单调性，以及/?(1)=0,h(e)=,h(3)=0,h(3 e)=-,(9)e 3e警，画出函

13、数的大值图象,9根据图象可知y=a 与/?(x)在 1,3)上一个交点，在 3,3e)上两个交点,在区间 1,9)内，函数g(x)=f(x)-o v 有三个不同零点，则实数”的取值范围是fln3 1、9 3e故选：B.二.填 空 题(共 6小题)10.已知复数2=(1+Z)(1+2/),其中i 是虚数单位，则 z 的模是解：复数 Z=(1+i)(1+万)=1-2+3 i=-l+3 n|2|=V(-l)2+32=/10-故答案为：V T o.11.(x+1)(x-1)5 展开式中含9 项 的 系 数 为-5 .(用数字表示)解：(x+l)(x -1)5=(x2-1)(A4-4 x3+6 x2-4

14、 x+l),，展开式中含/项的系数为(-1)X6+1X 1=-5.故答案为：-5.12 .已知直线/：2 x-y-2=0,点尸是圆C：(x+1)?+(y -1)2=4 上的动点，则点P到直线/的 最 大 距 最 为、舟 2 .解：根据题意，圆 C：(x+1)2+(y -1)2=4 的圆心为1,1),半径 r=2,则圆心C 到直线/的距离=|2X(二1)二 1-2|_ r-砧则点P到直线/的最大距离为“+r=泥+2；故答案为：J+2.13 .已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球.则3个小球颜色互不相同的概率是一4 _；若变量f 为取出

15、3 个球中红球的个数，则？的数学期望E(p为 _提 _.解：箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3 个小球，基本事件总数n=103=1000,3 个 小 球 颜 色 互 不 相 同 包 含 的 基 本 事 件 个 数m =103(23+33+53+C3 X 2 2 X 8+C 3 X 32 X 7+C3 X 52 X 5)=180,则3个小球颜色互不相同的概率是P=处 三 黑=县；n 1000 50若变量S为取出3个球中红球的个数，贝心(小 磊)，.飞的数学期望E =3 X-=-|.故答案为：50 514.已知m 8都为正实数，且工4=1，则

16、殳 的 最 小 值 为9.a b a ab解：法1：a,6都为正实数，且!f=l，.b=-0,解得1.a-l则-蜷T+号/=f()，()1+25 a 2-2a(a-1)_ (a-2)(a：+5a-5)(a 2-5a+5)(a-1)2?a3(a-l)2当4=包 近，。=号5时，f(a)取得最小值，f(a)=9.法2：-k=l，所 以 必=“+匕，且工=1-工，a b a ba+a+b(1 -)+25=(a+b)+笠-1 2/(a+b)X 笠-1 9a ab b a+b a+b V a+b当且仅当a+b=5等号成立，故答案为：9.15.在矩形A8C中，48=2,AZ)=1,边OC(包含点。、C)的

17、动点尸与C8延长线上(包含点B)的动点。满足|而|=|前|,则 瓦 的的取值范围是_ I,3_.解：如图所示，设 尸(x,1),Q(2,y)(0WxW2,-2WyW0).：1而=1前，*M=yf x=-y.V p=(-x,-1),pQ=(2-x,y-1),则 笆 5=-x(2-x)-(y-1)=N-2x-y+1=/-x+=(X卷)2+=f(X)，.当x=时，则f(X)取得最小值2 4又一(0)=1,/(2)=3,.V (x)的最大值为3.，则 而,而 的 取 值 范 围 是 育，3 .故答案为：弓，3 .三.解 答 题(共5小题)16.在A B C 中，内角 A、B、。的对边分别为 m h,c

18、,/2 c o s C(a c o s B+b c o s A)+c=(.(I )求角。的大小；(I I )若 b=2.求：(i )边长c；(i i)s i n (2 3-C)的值.角 轧(I )由已知及正弦定理得&c o s C(s i n A c o s B+s i n B c o s A)+s i n C=i.*-V 2 c o s Cs i n C+s i n C=C，c o s C=-n 7L,VOC b=2,由余弦定理得c 2 =a 2+b 2-2 a b c。s C=2+4-2 X亚 E是A 8的中点，可得。又A C N M是矩形，平面A O M W J _平面A 8 C ,平面

19、A D M W C平面A B C =A ,.W _ L 平面 A B C。.如图建立空间直角坐标系D -xyz,则。（0,0,0）,E（V 3，0,0）,C（0,2,0）,M（V 3 -1.1），B（V 3 1，。），N(0,0,1)设平面M B C的法向量为n1=(x,y,z),M B=(O,2,-1)-B C =(-V 3 1.0).M B-n=0 f 2y-z=0前 五=0 I Mx4y=0,：.3=(1,M，27 3)M E=(O,1,-1)c os =M E n i -A/3I H E 11I-V2,4 8:.M E与平面M B C所成角的正弦值逅，8(H D 设P(6,-1,h),

20、C E =(V 3，-2,0)，E P=(0,-1,h)设平面P E C的法向量为五=(x,y,z)则，CE，nl=0,f V 3 x-2y=0E P F =0-y+hz=0令 广 卜，；五=(2h,百h,V 3)又平面A D E的法向量司=(0,0,1),c o s=nl，n2 g 1In!I In2|V7h2+3 2解得,.平 1，兀在线段A M上不存在点P,使二面角P-E C-D的大小为三-.OX1 8.如图，在平面直角坐标系x O y 中，己知椭圆C：%+5=1 （a b 0）的离心率e=4,a2 b2 2左顶点为A （-4,0）,过点A作斜率为&GWO）的直线/交椭圆C于点。，交 y

21、 轴于点 E.（1）求椭圆C的方程；（2）已 知 尸 为 的 中 点，是否存在定点0,对于任意的&（A W O）都有OPLEQ,若存在，求出点。的坐标；若不存在说明理由；（3）若过。点作直线I的平行线交椭圆C于点M,求坐舞的最小值.解：(1)椭圆C：%三=1 的离心率e=5，左顶点为A (-4,0),a b .,.a=4,又.c=2.2又.按=4-c 2=1 2,2 2.椭 圆c的标准方程为 4=r1 6 1 2（2）直线/的方程为了=后（x+4）,由 2 2x y 9正4消元得，+-,.1 6y=k(x+4)k(x+4)1 22=1-化简得，(x+4)(4 F+3)x+1 6 公-1 2)=

22、0,-1 6 k2+1 2x i=-4,x9=-5-4k43w -1 6 k2+1 2,u.,/-1 6 k2+1 2.、24 k当 x=-5-时,y=k (-5-+4)=-5-4 k +3 4 k+3 4 kJ+3.16k2+12 2 4 k、,U 9 ,9 ）4kJ+3 4kJ+3,/点 P 为 A。的中点，P 的坐标为（呼2 _ ,一号K-）,4 k 4 3 4k?+3则女（=宴 依 卉0）,直线/的方程为y=Z（x+4）,令x=0,得 E 点坐标为（0,4k）,假设存在定点Q（?，）（?W0）,使得OPLE。，贝U kopkEQ=-1,即 年 庄 些=-1恒成立，4k m（/4A z+

23、,1io2）&i-3o 八后 4m+12=0 Hn fm=-3=0 怛成乂，即 ，I-3n=0 I n=0，定点。的坐标为（-3,0）.（3）YOM/,的方程可设为y=fcr,（式9 2工.W 3由0,S2=2ai-2,3=44-2,数列 斯 满足s=4 4，nbn+-（+1）bn=nr+nf（EN*）.（1）求数列 如 的通项公式；（2）证明数歹IJ 2 为等差数歹U；n二 三，n为 奇 数(3)设数列 Cn的通项公式为：C n=，其前 项和为了，求空，n为 偶 数4解：(1)由于等比数列 斯 的前项和为S”公比90,52=22-2,53=6/4-2,所以 S3-2=。4-2。2 =3，整理

24、得 a2Q2-2a2=a2Q,由于。2/0,所以甲-q-2=0,由于q 0,解得q=2.由于。1+。2=242-2,解得0=2,所以an=2n.(2)数列 满足2=401,解得加=1,由于 nbn+-(n+1)及=/+,所 以 为!基=1(常数).n+1 n所以数列数列%是 以1为首项1为公差的等差数列.n卜(3)由于数列数列 是 以1为首项1为公差的等差数列.n所 以b资=l+(n-i)=n，解得bn=n2o.a b多旦，n为 奇 数由于数列 Cn的通项公式为：C n=J,a b一，n为 偶 数4所以令 Pn=C2n-i+C2n=&).22n-1+)?.2注=(4n-1)4,r l.24所以

25、 T2n=3,4+7,41+1142+(4 n-l)4nT，4T2 n=3-41+742+ll*43+-+(4n-l)4n-得：-3T2n=3-4。+41+4。4n1-(4-l)4,整理得-3T=3+4.与?-(4 n-l)4n-/n 4 i2 0.已知函数/(x)=lnx,g(x)=-+bx-l,(a,/?GR)x(I)当。=-1,Z?=0时，求曲线y=/(x)-g(x)在x=l处的切线方程；(I I)当6=0时，若对任意的尤1,2,/(x)+g(x)NO恒成立，求实数。的取值范围；(III)当=0,人0时，若方程/(x)=g(X)有两个不同的实数解Xl,X2(X 2.解：(I)当 a=-1

26、 时，b=0 时，y=lnx+2+lf/.当 x=1 时，y=2,x1 2=-3-,当=i时，y =-1,X X，曲线(x)-g(x)在x=l处的切线方程为x+y-3=0；(I I)当=0 时，对 日1,2,/(x)+g(x)NO 都成立，则对 VxWl,2,-xlnx+x1恒成立,令 h(x)=-(1 ,则 h(x)=-2xlnx+x.令 h(x)=0,则 x=,当I V x V f,H(x)0,此时/i(x)单调递增；当4 V x V 2时，h(x)0 时，由 /(x)=g(x),得/nx-法+1 =0,方程/(元)=g(x)有两个不同的实数解元1,X2(X1 0),则 F(xi)=F(元2)=0,F，(x)=b 令 F(X)x=0,则 x=b工当0 x 0,此 时F(x)单调递增；当时，尸(x)0，OVV 1,又尸3)=卫0,max b e eX 1 1 -e1 b bi b，只 要 证 明X9-X1，就 能 得 到XI+X9-2，即 只 要 证 明/b 1 1/bF(-X i)0:F(x 1),令 G(x)=F-F(x)=ln(-x)-lnx+2bx-2(0 x),则b b b2b(x-)2G(x)=-0,F(-X)F(x P=0=F(x2)y0 x 9 X 1 X 1 +x 即 Xl+X22,证毕./b i【/b