2021年山东省实验中高考数学二模试卷（解析版）.pdf

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1、2021年山东省实验中高考数学二模试卷一、选 择 题(共 8 小题，每小题5 分，共 40分).1.已知集合A=|-5 l o g o.30.5,c l o g j O.4,则 a,b,c 的大小关系是(.)A.a b c B.h c a C.c a h D.c h a4.已知等差数列“”的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为()A.28 B.29 C.30 D.315 .已知两圆相交于两点A (1,3),B(J,-1),两圆圆心都在直线x+2)斗 c=0 上，则 f+c的 值 是()A.-3 B.-2 C.0 D.16.市场调查发现，大约!的人喜

2、欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿D童玩具.经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为言，而实体店里的儿童DQ玩 具 的 合 格 率 为%.现 工 商 局 12345 电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是().1 D 3-4 5A.-B.-C.-D.2 4 5 67.两个三口之家(父母+小 孩)共 6 人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为()A.48 B.5 0 C.98 D.688.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括 为“

3、出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数/(x)满足/(4-x)=f(x),且当2 时的解-log2(2-x),0 xl析式为f (x)=./则函数(X)在 x e 0,4 时的图象与log2x,直线y=-1 围成封闭图形的面积是（）A.2B.210g 23C.4D.4 10g 23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得分，部分选对的得2分。9.调查机构对某高科技行业进行调查统

4、计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示:技术运营市场设计职能产品其他则下列说法正确的是（）A.该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上B.该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%C.该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生D.该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士10.已知，（x）=:2c o s2（O A+V 3s i n 2a）x -1 （a）0）的最小正周期为i t,则下列说法正确的有（）A.3=2JTB.函数/（X）在 0,k 上为增函数6J TC.直线x，-是函数y=/，）图象的一条对称轴D.点 击 兀，0）是函数y=/（x）图象

5、的一个对称中心11.如图所示，在棱长为2 的正方体ABCD-AIBIG DI中，P,。分别是线段B i。”AC上的动点，则下列说法正确的有（）A.线 段 PQ长度的最小值为2B.满足尸。=2&的 情 况 只 有 4种C.无论P,Q如何运动，直线PQ都不可能与8。垂直D.三棱锥P-4 8。的体积大小只与点。的位置有关，与 点 P的位置无关12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1,2 进行构造，第 1 次得到数列1,3,2；第 2 次得到数列1,4,3,5,2,；第（N*）次得到数列1 x

6、,X2,X 3，Xk,2；.记 a 0=l+x i+x 2+就+2,数列“”的前项和为Sn,则（）A.k+=T B.“+1=3-33 2C.小=彳（砂+3）D.S,（3+l+2n -3）2 4三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.设 向 量 之=（L m）,4=（2,1）,且（2 7+4）=7,则/=.2兀 cos2 a1 4 .已知 s i n a co s a=,且 a （0,-T-），贝!I.,兀、的值为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.o2 sink 0.1 5 .任取一个正整数m,若 m是奇数,就将该数乘3再加上1；若

7、利是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必 进 入 循 环 圈 这 就 是数学史上著名的“冰雹猜想”（又 称“角谷猜想”等），若 m =5,则经过 次步骤后变成1;若第5次步骤后变成1,则m的 可 能 值 之 和 为.1 6 .已知过抛物线y 2=x焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，过坐标原点。的直线与双2 2曲 线 号-%=1（。0，人 0）交于M，N两点，点 P是双曲线上一点，且直线P M,PN的斜率分别为公,ki,若不等式（心|+4|依|）（|A f|B F|）2|A F|+0 H 恒成立,则双曲线的离心率为四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文

8、字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .在平面四边形 A B C。中，Z A B C ,Z A D C ,B C=4.O乙(1)若 A B C 的面积为3 百，求 A C；L兀(2)若 4 0=3 近，Z A C B=Z A C D+f 求 ta n N A C D.01 8 .已知“是递增的等比数列，前 3项和为1 3,且 3G,5 a 2,3 a 3 成等差数列.(1)求数列 斯 的通项公式；(2)各项均为正数的数列 儿 的首项5 =1,其前项和为S”且一，若数列.满足cnanb,求 c j 的 前 项 和T,.在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.儿=2 y%-

9、1；2b=b-1+瓦+1()2),Z?2 3；S”-Srt+lrrl(22).1 9 .如 图，已知斜三棱柱A B C-ABiG的底面是正三角形，点 M,N 分别是SG和 44的中点，A At A B=B M=2,N4A中=6 0 .(1)求 证:BALL 平面 A1B1G；(2)求二面角M-A B-C的余弦值.20 .每年的4月 2 3 日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣.某高校为了解在校学生的每周阅读时间X (单位：小 时)，对全校学生进行了问卷调查.从中随机抽取了 1 0 0 名学生的数据，统计如表：每 周 阅 读 9,1 1)1 1,1 3)1 3

10、,1 5)1 5,1 7)1 7,1 9)1 9,2 1)2 1,2 3 时间X频率0.0 50.10.1 50.40.20.0 60.0 4(1)根据频率分布表，估计这1 0 0 名学生每周阅读时间的平均值仅(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)若认为目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N (2。2),用(1)中的平均值又近似代替因 且 P (1 4 X 1 7,7 6)=0.5,若某学生周阅读时间不低于1 4 小时,该同学可获得“阅读之星”称号.学校制定如下奖励方案：“阅读之星”可以获赠2次随机购书卡，其他同学可以获赠1 次随机购书卡.每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率为

11、：2 2 _ _2 1.已知椭圆E：七三=1 (。匕0)的左、右焦点分别为 (-V 3-0)，/2(，0),过点2 2 的直线/与椭圆交于不同两点M,N.当直线/斜率为-1 时，弦 M N 的中4 1点坐标为(石，Q).(1)求椭圆E 的标准方程；(2)求 H M N 的内切圆半径;最大时，直线/的方程.2 2.已知函数/(x)=ex-ax(a R).(1)讨论函数/(x)的单调性；7 1(2)当。=2时，求函数g(x)=f(x)-c o s x 在(-+8)上的零点个数.参考答案一、选 择 题(共 8 小题，每小题5 分，共 40分).1.已知集合 A=x|-5 x l,B=xx2 4 ,则

12、 A D B=()A.(2,3)B.2,3)C.-2,1)D.(-2,1)解：A=x-5 x l,B=.r|-2xW 2,.An y,1).故选：c.2.己知复数z=(a-3 i)(3+2i)(a R)的实部与虚部的和为7,则 的 值 为()A.1 B.0 C.2 D.-2解：z=(a-3i)(3+2i)=3a+2ai-9i-6z-=3+6+(2 a-9)i,所以复数z 的实部与虚部分别为3a+6,2a-9,则 3a+6+2a-9=7,得 a=2.故选：C.3.设.=5。3,b=logo.30.5,c=log30.4,则 a,b,c 的大小关系是()A.B.bca C.cab D.cb5=1,

13、log(),31 logojO.5 logojO.3,0/?l,c=k)g30.4Vlog3 1 =0,.c b a,故选：D.4.已知等差数列 小 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为3 1 9,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为()A.28 B.29 C.30 D.31解：设等差数列共有(2+1)项，由题意得 S 奇=。|+3+,+。2+1，S 偶=。2+。4+，*+2M，故 S 奇-S 偶=。1+(。3-。2)+(。2/计】一。2)，=Q+d+d=ai+d=+=319-290=29.故中间项小+i为 29.故选：B.5 .已知两圆相交于两点A (b 3),8 G,-1),两圆圆心都

14、在直线x+2 y+c=0上，贝h+c的 值 是()A.-3 B.-2 C.0 D.1解：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得A B与直线x+2y+c=0垂直，且A B的中点在这条直线x+2)+c=0上；由A 8与直线x+2y+c=0垂直，可得：一 以-=2,解可得=-1,l-t则 3 (-1,-1),故A3中 点 为(0,1),且其在直线x+2y+c=0上，代入直线方程可得，0+2X (1)+c=0,可得c=-2；故 t+c=(-1)+(-2)=-3；故选：A.36 .市场调查发现，大约福的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿D4童玩具.经工商局抽样

15、调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为售，而实体店里的儿童b玩具的合格率为噌.现工商局123 4 5电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是()A.春 B.-y C.4 D.-f-2 4 5 6解：工商局123 4 5电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性为：故选：B.7.两个三口之家(父母+小 孩)共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为()A.4 8 B.5 0 C.9 8 D.6 8解：根据题意，分2种情况讨论，每辆车坐3人，有C63=20种乘车方式;一辆

16、车坐2人,另一辆坐4人，要求两个小孩不能单独乘坐一辆车，有(C 6 2-1)A 22=2 8种乘车方式；则有20+28=4 8种车方式；故选：A.8.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括 为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数/(x)满足/(4-x)(x),且当烂 0,2时的解-log?(2-x),0 4 x l析式为/(x)=4 /c，则函数y=/(X)在 尤10,4 时的图象与log2x,lx&2直线y=-1

17、围成封闭图形的面积是()A.2 B.21o g 23 C.4解：由题意可得，f(x)关于x=2对称，,-log2(2-x),04x4l而 f (x)=4 ,/c ，log2x,lx 0)的最小正周期为n,则下列说法正确的有()A.c o 2TTB.函数/(x)在 0,上为增函数67 TC.直线X F是函数y=/(不)图象的一条对称轴D.点 妻 冗，0)是函数y=/(x)图象的一个对称中心解：(x)=2 c o s 2 3 x+V 5s i n 2 3 x-l(3 0)=c o s 2 3 x+愿 s i n 2 3 x =2 c o s (2 a)x-K 9 K)的 最 小 正周期为余=mK，

18、3 =1,/./(x)=2 c o s (2 x),故 A 错误.o J I I I J I在 0,2x-e-,0 ,故/(x)=2 c o s (2 x-)单调递增，故3 正6 3 3 3确；兀7 1当X=时，/(尤)=1,不是最值，故直线X)不是函数y=r(x)图象的一条对称轴，故C错误；当 工=啥 时，/(x)=0,故 点 击 兀，0)是函数y=/(x)图象的一个对称中心，故。正确，故选：B D.1 1.如图所示，在棱长为2的正方体A B C)-4 8 G i中，P,。分别是线段B O i,AC上A.线段P Q长度的最小值为2B.满 足P Q=2、历的情况只有4种C.无论P,。如何运动，

19、直 线P Q都 不 可 能 与 垂 直D.三棱锥P-A 8 Q的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关解：对于4,当P、。分别为线段B i。、AC的中点时，P Q是异面直线B i d、4c的公垂线，此时线段P Q长度最小为2,故A正确；对 于B,P Q=2加,只能是面对角线，此 时P。可以是A O”CDx,AB,CB四种，故B正确；对 于C,当P与B 重合，。与C重合时，此时直线P Q(即SC)与平面BGG垂直，故 P QL B O i,故 C错误；对 于D,由于点P到平面ABQ 的距离是2,底面 Q8 A 的面积随着点Q 的移动而变化,.三棱锥P-ABQ 的体积只与点Q 的位置有关，与

20、点尸的位置无关，故。正确.1 2.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1,2进行构造，第 1 次得到数列1,3,2；第 2次得到数列1,4,3,5,2,；第（6 N*）次得到数列 1,XI,X2 X3,Xk,2;.记 =1+X|+X2+x*+2,数列 ”的前项和为Sn,贝 I（）A.无+1=2 B.a+=3 an-33 3C.m=彳（2+3 ）D.S,=（3 i+2 -3）2 4解：由“i=3+3,s=3+3+9,俏=3+3+9+2 7,“4=3+3+9+2 7+8 1,，a,=3+3+3

21、 2+3 3+3“=3+3（卜限）=2+3,1-3 2由有3项，。2 有 5项，3 有 9项，4有 1 7 项，故。”有 2”+1 项.故 C错误；所以攵+2=2+1,即氏+1=2 ，故A正确；&n+l+o&n+2 .n由an=-,可得 厮+i =-=3 an-3,故 B正确；2 21 On由 S,=a+a2+-+an=（32+33+34+-+3，M）+二.二（卜 限）+萼 V（3 +i+2 -3）,故。正确.2 1-3 2 4故选：AB D.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3.设向量Z=（1,相），E=（2,1）,且（2 之+己）=7,则 m=-1.解：,向量a=(

22、1,m),b=(2，1).加实数，*2-a+b (%2机+1),b-0,cosa0,.,.s in a+c os a=-,2COS2a COS2a-si n、a r-r-/兀、=-(sinot+cosa)=-Q X-=-.s i n(a-)与(sin a-c o sa)72 2 2故答案为：-“产、215.任取一个正整数?，若加是奇数，就将该数乘3 再加上1；若根是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4 f 2-1,这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又 称“角谷猜想”等)，若 机=5,则 经 过 5次步骤后变成1;若第5 次步骤后变成1,则 m 的可

23、能值之和为37.解：当 H?=5时，5 f l 6-8 f 4 f 2 f l 共 5 步雹程变成1,若根需经过5 步雹程首次变成1则 1-2-4-8-1 6-5 或 1-2-4-8-1 6-3 2 两种情况,即 加=5 或 机=3 2,则 5+32=37,故答案为：5,37.16.已 知 过 抛 物 线 焦 点 F 的直线与抛物线交于A,B 两点，过坐标原点。的直线与双2 2曲 线 专-%=1 (。0,fe 0)交于M,N 两点，点 P 是双曲线上一点，且直线PM,PN 的 斜 率 分 别 为 k2,若不等式(忆|+4|依|)(|Af|BF|)2|AF|+|Bf恒成立,则双曲线 的 离 心

24、率 为“、万.解：由（肉|+4隹|）（|AF k|B F|）2|AF|+|B F|恒成立,可得的1+4周|AF|+|BF|AF|B F|1 I 1i B F l|AF|因为y=x,所以 F(v 0),4则设直线 A8 的方程为冗A(x i,y i),B(%2 ”)，令y i 0,y 2V 0,则 y+yi=m,yyi=-因为|AF|=J 1+m 2 M，|8F|=J l+血 21 y 2I，l y l+M I=|y i -j2|=J (y j+y2)*2-4 y1y2=7 m2+l,Xq、Xn b2 2 g2(7)-加(-1)=，,x3-x0 a2 a2 a2所以公1+4网 21 4|k i

25、I I k 2 1=4 x2 当且仅当内|=4饱|时，取等号,a所以4义旦=4,即所以 c2=a2+b2=:2a2f所以野岛所以肉1+4伙 2 64 恒成立,因为直线MN过原点，所以M,N关于原点对称,设 A/（其，yo），N（-xo,-泗），P（M 第），2 2因为点p在双曲线上，所以22 2V 3-yo 丫+丫。y3-y。所以 kk2=0 0 x3-x0 x3+x0 X32-XQ21 2 2 9即所以禺心率为e=J 5，a故答案为：四、解答题：本题包括6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.TT TT1 7.在平面四边形 A8CO 中，Z A BC=-Z A D C=

26、,8 c=4.O/(1)若aA B C 的面积为3百，求 AC：兀(2)若 A D=3,ZlACB Z A C D+-,求 tan/A CDoA.c=4 B8CsinN48c=3点，：.AB=3 ABC 中，由余弦定理可得:AOnA8+BC2-2433CcosNABC=9+16或X 3 X 4 X/=13,：.AC=yj 3；、r r-T i TT TT(2)设N A C Q=a,则NAC8=NACQ+-=a+亏，o o.nACC 中，A Q=3 ,AD _ 吟s i n a s i n C LABC 中，Z B A C=n -Z A C B -Z A B C=-a,oR k r 4_ _ _

27、 _ _ _ _ _ _ _ 3.由正弦定理可得：上r京笈即.(母-a)=4T.*.3sin-a)=2sina,化简可得 tana=二 三,3 7，t a n N A C )=S.71 8.已知 a“是递增的等比数列，前3项和为1 3,且3m,5a2,3a3成等差数列.(1)求数列&的通项公式；(2)各项均为正数的数列 d 的首项=1,其前项和为S”且一，若数列.满足C n=a滴，求 Cn的 前 项 和 力.在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.儿=2厄-I；2儿=儿一 1+儿+1 (2 2),岳=3；s“-S1=瓜(2).解：(1)数列 斯 是递增的等比数列,前3

28、项和为1 3,且3 s，5a2,3a3成等差数列.a 1 +a n+a q=13所以L c c,1 0 a 2=3 a +3a 3a +a 3=10 0整理得 c，所以立+3q=10,a2=3 q解得q=3或今由于 飙 是递增的等比数列，所以g=3.故 an=3 k l.(2)选条件时，儿=2属-1；整理得4%=b/+2 L+1，当22 时，4Sn_1=bn_12+2bn_1+1,所以两式相减得：bn-b.y=2(常 数)，所以数列 b 是 以1为首项，2为公差的等差数列，故 bn=2 -,Jj)rWcn=anbn=(2 n-l)-3n-1,则 Tn=l X 30+3X 3 1七.+(2 n-

29、l)3叱1 ，3Tn=lX 31+3X 32+.+(2 n-l)-3n,-得：-2Tn=l+2(31+32+.+3n-1)-(2n-l)X 3n,整理得：Tn=l+(n-lA 3n.选条件时，2b“=条-i+瓦+i(以2 2),岳=3；所以数列 b 3是 以1为首项，2为公差的等差数列故 bn=2 n-1,所以=anbn=(2n-l)3nT,则 4=1 X 3+3X 3 0.+(2n-l)3-1，3Tn=lX 31+3X32+.+(2n-l)-3n,-得：-2Tn=l+2(31+32+.+3n-1)-(2n-l)X 3n,整理得：Tn=l+(n-l)-3n选条件时，S-Sn 尸卮及I(2 2)

30、.整理得：昆1=1(常 数)，所以数列 后 是 以1为首项，1为公差的等差数列；所以Sn 2,故 bn=Sn Sn-=2 -1,W cn=anbn=(2n-l)-3n-1,则=1 X 3+3X 3 L .+(2n-l)3“7，3Tn=lX 31+3X32+.+(2n-l)-3n,-得：-2Tn=l+2(31+32+.+3n-1)-(2n-l)X 3n,整理得：Tn=l+(n-l)-3n19.如图，已知斜三棱柱ABC-ASG的底面是正三角形，点M,N分别是51G和的中点，A A i=A B=B M=2,ZAiAB=60.(1)求证：BALL平面 AIBIG；(2)求二面角M-A B-C的余弦值.

31、8【解答】(1)证明：连结MM A B,侧 面 是 平 行 四 边 形,且 NA A 8=6 0 ,所以4 8囱是正三角形，又点N分 别 是 的 中 点，所以又因为 A4=A B=BM=2,所以 MN=1,所以 B l+MN uB M2,则 B N 1 M N,又 AiB iCMN=N,A ll,MNu 平面 4 向 G,所 以8N_L平面A IC i；(2)解：取AB的中点0,连结A。，则4 0 BN,由(1)可知，4 0 1平面 ABC,CO1 AB,以点0为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,则。(0,0,0),A(0,-1,0),B(C(V3 0，0)，A(o,0,V3),B/0,2

32、,正)，乂(返，：24所以0 M=(亭 ,V3),B M=(r-y),0,1 ,0)设平面M 4B的一个法向量为n=(x,y,z),n*OM=0n B M=0即VM 3 L cx-t-yy+V3 z=0当 x+yW z=0令 z=-L 则 y=0,x=2,故n=(2,0,-1)又平面ABC的一个法向量为1=(O,0,1),所以|cosI n m|_ 1I nl l ml故二面角M-A B-C的余弦值为华.52 0.每年的4月 2 3 日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣.某高校为了解在校学生的每周阅读时间X （单位：小时），对全校学生进行了问卷调查.从中随机

33、抽取了 1 0 0 名学生的数据，统计如表：（1）根据频率分布表，估计这1 0 0 名学生每周阅读时间的平均值及（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；每周阅读时间X9,1 1)1 1,1 3)1 3,1 5)1 5,1 7)1 7,1 9)1 9,2 1)2 1,2 3 频率0.0 50.10.1 50.40.20.0 60.0 4（2）若认为目前该校学生每周的阅读时间X 服从正态分布N（H，。2）,用（1）中的平均值仅近似代替2 且 P（1 4 W XW 1 7.7 6）=0.5,若某学生周阅读时间不低于1 4 小时,该同学可获得“阅读之星”称号.学校制定如下奖励方案：“阅读之星”可以获

34、赠2次随机购书卡，其他同学可以获赠1次随机购书卡.每次获赠的随机购书卡的金额和对应解：(1)由题意可知，=1 0 X0.0 5+1 2 X0.1+1 4 X0.1 5+1 6 X0.4+1 8 X0.2+2 0 X0.0 6+2 2X 0.0 4=1 5.8 8；(2)由 尸(1 4 W XW 1 7.7 6)=0.5,且正态分布密度曲线关于x=n=1 5.8 8 对称，所以 P(X 17.76)=l-P(I 4-子1 7 6 J2 41 3故 尸(X 214)=1-P(X b 0)的左、右焦点分别为E(-正，0),F2(,a%0),过点八的直线/与椭圆交于不同两点M,N.当直线/斜率为-1

35、时，弦 M N的中点 坐 标 为(4奉 青1).O O(1)求椭圆E 的标准方程;(2)求FiM N的内切圆半径r 最大时，直线/的方程.解：(1)由题知c=J 5,设 M(xi,yi),N(%2,J2),则有2X12a2=1 0,b22x2 2a2=i,b2(xi+xn)(xi-Xn)(Yi +y2)(Yi -y2)由-得一!j-气/=0 ,yi-y2 8 7 3,2 7 3因为-=-1 时，X+X2=9 yi+=I,X j-x2 5 5代入有 2=4,又岸。=，所以炉=1,a2=4,2所以椭圆E的标准方程为2 _+产=1.4(2)/XF iMN 的周长为|MH|+|MB|+|NF|+|N/

36、2|=4a=8,S F M N=8 r=4八所以 r=saF i MN,所以 F i MN的内切圆半径r最大，即 SF i MN最大，设直线/的方程为x=，町叶百，x=m y+F由,2 ，得(加2+4)炉+2 Y-1=0,2 =1，-2 3 i n-1所以 y+y2 -5 ，yi yz=一 o ,m2+4-m2+4贝 ij 5AF1MN，=-|p1F 2|*|yi -)引=,(丫 1 十 丫 2)2 一 4了1 丫2V m+4 m/+4 m2+4令 dK+l (1 2 1),则 m2=t2-1,当 且 仅 当 叶，即（闫）时取等号，此 时 机=加，直线/的方程为x 42 y-詹=0.2 2.已

37、知函数/(x)=e-ax(aR).(1)讨论函数/(无)的单调性;(2)当a=2时，求函数g(x)=f(x)-c o sx在(-+)上 的 零 点 个 数.解：(1)/(x)=，-公，其定义域为 R,f(x)=d-,当时，因为7(x)0.所以f (x)在R上单调递增;当 a0 时 丁 令 f(x)0 得 xlna.令(x)0 得 x 0时，/(x)在(-8,in a)上单调递减，(及，+8)上单调递增.JT(2)当=2 时，g(x)-eX-2 x-c o sx,x (：+00),/(x)=e*+si rti-2,冗当xE (,0)时，因为 g(x)=(e -1)+(si nx-1)VO,TT所

38、 以g(x)在(下，0)单调递减.所以 g(x)g(0)=0,JT斤 以g(X)在(，0)上无零点；TT当x 0,彳 时，因为g (X)单调递增，且J Tg(0)=-1 0,g C-)=e2-1 0-jr所 以 存 在(0，亍)，使g(。)=，兀当 账(0,x o)时 g (x)0,jr所以g(x)在 0,粉)上单调递减，在(X/丁 上单调递增，且g(0)=0,所 以g(沏)o，所以g(x0)、g(F-)O，,JT、所以g(x)在(X Q，2 上存在一个零点，所以g(x)在 0,上有两个零点.7 Tn当XT,4)时，g，(x)=ex+si nX-2 eT-3 0TT所以g(x)在修，Q)上单调递增，JT JT因为g(-)0,所 以g(X)在 k，*Q)上无零点.K 、综上所述，g(x)在(丁，K Q)上的零点个数为2.