2021中考数学 三轮冲刺：正方形及四边形综合问题.pdf

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1、2021中考数学 三轮冲刺专题：正方形及四边形综合问题一、选择题i.下列说法错误的是（）A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形2.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A.1次 B.2次 C.3次 D.4次3.如图，在四边形A 8 CO中，AB=CD,AC,8。是对角线，E,F,G,”分别是A。，BD,BC,A C的中点，连接ER FG,GH,H E,则四边形EFG的形状是（）A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形4.如图，正方形A BCD的面积为1,则以相邻两边

2、中点连线E F为边的正方形EFGH的周长为（）A.也B.2啦C.C+1D.272+15 .如图，正方形A B C D 的边长为9,将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE：E C =2：1,则线段CH的长是（）A.3 B.4 C.5 D.66 .（2 0 2 0.湖北孝感）如图，点E在正方形A B C D 的边CD上，将aADE绕点A顺时针旋转9 0,到AABF 的位置，连接E F,过点A作 E F 的垂线，垂足为点H,与 BC交于点G,若 B G=3,C G=2,则CE的长为（）5 15 9A.%B.彳 C.4 D.27.如图，在正方形A B C D 中，AC为对角线，

3、E为 AB上一点，过点E作 E FA D,与 A C、DC分别交于点G、F,H为CG的中点，连接D E、E H、D H、FH.下列结论：A E 2E G=D F；（2）Z A E H+Z A D H=18 0 ；AEHF ADHC；若=可，则 3 s/AD JEDH=13SAD H C,其中结论正确的有（）A.1个 8.2 个 C 3个 D 4个A DFC8.已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图X 3-1-1 0 所示的正方形（用阴影表不），点 8 1在y 轴上，点 C i Ei、Ez、C 2、E3、E4、C 3 在x 轴上.若正方形ABCD的边长为1,ZB iC iO=6 0,B 1C

4、1 为C 2 3 3 c 3,则点A 3 到x 轴的距离是（）二 填空题9.将边长为1的正方形A3CO绕点。按顺时针方向旋转到正方形尸ECG的位置（如图），使得点。落在对角线C F 上,E F 与A D相交于点H,则HD=.（结果保留根号）10.如图，四边形ACDR是正方形，NCEA和N A BF都是直角且E,A,8三点共线，A 8=4,则 阴 影 部 分 的 面 积 是.11.以正方形A B C D的 边A D为边作等边三角形A D E,则N B E C的度数是.12.口ABCD的对角线A C与B D相交于点O,且A C 1 B D,请添加一个条件：,使得口ABCD为正方形.13.如图，正方

5、形ABCD的边长为2啦，对角线AC,B D相交于点O,E是OC的中点，连接B E,过点A作A M L B E于点M,交B D于点F,则F M的长为14.如图，在正方形ABCD中，点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,D A上,点M,F,Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则丁乜一-、正方形AEFG的值等于_ _ _ _ _ _ _ _15.如图，有一个边长不定的正方形ABCD,它的两个相对的顶点A,C 分别在边长为1 的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B,D 在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的 取 值 范 围 是.A16.如图，正方形ABCD的面积为3

6、 cm2,E 为 BC边上一点，ZBAE=30,F为 AE的中点，过点F 作直线分别与AB,DC相交于点M,N.若 MN=A E,则三 解答题17.如图，在正方形A8 CO中，点E 是 8c 的中点，连接。E,过点A 作AGLED交。E 于 点 月交 C D 于点G求证:ADGA D C E;(2)连接 8F,求证:18 .如图，在正方形ABC。中，点 G 在对角线8。上（不与点B,。重合），G E L DC于点E,G F L B C 于点、F,连接AG.（1）写出线段AG,GE,G/长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABC。的边长为1,ZAGF=105,求线段8 G 的长.19.

7、如图，正方形ABCD,点E,F 分别在AD,CD上，且 DE=CF,AF与 BE相交于点G.求证：BE=AF；若AB=4,D E=1,求 AG的长.20.如图，正方形A8 CO的对角线交于点O,点E,尸分别在AB,BC.(AE=l,:E、尸是边的中点，。尸军，.=/（、）2+（；）2=乎,则 正方形EFG”的周长为4x坐=26.5.【答案】B【解析】设CH=x,VBE：EC=2：1,BC=9,：.E C=3,由折叠可知，E H=D H=9-x,在RtEC”中，由勾股定理得：（9一x）2=3 2+f,解得：x=4.6.【答案】B【解析】由旋转的性质得A B FA D E,/.BF=DE,A F=

8、A E,又.AHLEF,.*.FH=EH,四边形 ABCD 是正方形，/.ZC=90,ZEFC=ZEFC,.*.A FH G A FC E,FG _ FHFEFCVBG=3,CG=2,/.B C=5,设 E C=x,则 BF=DE=5-x,FG=BG+BF=3+5-x=8-x,CF=BC+BF=5+5-x=10-x,EF=yjEC2+CF2=-Jx2+(10-%)2,FH=-A-+(-A)-,J%2+(10 X)-.8X-2-,解得：户越.故选B.7%2+(10-x)2*47.【答案】D【解析】逐项分析如下表:序号逐项分析正误在正方形 ABC。中，AB=BC=CD=DA,N D AB=N B=

9、ZBCD=ZCDA=9Q,ZACB=ZACD=45,：EF/AD,，四边形EFD4、四边形E rC B是矩形，./=NAOC=90,E F=D C,在 R taC G尸中，ZACD=45,：.GF=CF,：.E F G F=C D-C F,即 EG=DFJ.GFC是等腰直角三角形，”是C G的中点，G H=F,/H G F=NGFH=45。,：./E G H=NDFH=135。,又由知 EG=DF,：.4E G H出 ADFH(SAS),：.NH EF=NFD H,：/A E H=ZAEF+ZHEF=90+ZHEF,ZADH=ZADC-Z FDH=90-Z FDH,:.ZAEH+ZADH=18

10、 0q由可知 E”=OH,F H=C H,又,：EF=DC,:A E H F QDHC(SSS)q:AEG H QAD FH,：.EH=DH,ZEHG=ZDHF,：.ZEHG+ZAHD=ZDHF+ZA H D=9Q,即 ZEHD=ZAHF=Af7 290。，.为等腰直角三角形，.、一”.设AE2x,/D JA B=3 x,则 E=q(2x)2+(3x)2=13x,：.EH=DHV啦 1 A/26.1 1 1 3 ,1 3 ,_ 2X X 2%，,D H 2X 2 4x,在1Y o”c中，设co边上的高为人,则。=5。尸=2，则SMHC1 3 ,-一_ 1ry八CD八th7 _ 1 x 3c x

11、 xX _ 3，x2 9 SEDil_ _ 4 _ _ _ _ 1 3 m _ 一 c cc宝 一&,即 3sAEDH1 3 s2 2 2 4 SDH C 7 JD H C8.【答案】I,0)D 解析：过小正方形的一个顶点0 3作尸。_ L x轴于点Q,过点A 3作A 3 F _ L b Q于点孔.正方形 4 3 1 c l出的边长为 1,ZB i C i O=6 0,B i G 3 2 c 2 8 3 c 3,./&C 3 E 4=6 0。，N DIGEI=30,N E 2 8 2 c 2=3 0,.DE=DC=,；.DiEi=B2 E2=g,1c o s 3 0 =o =R r 解得：B2

12、 c2=.D2C2 O2C2 Jc o s 3 0 =B3E4解得：B3c3ml.则 0 3 c 3 =g.根据题意得出：N D 3 c 3。=3 0 ,/。3。3。=6 0 ,尸=3 0,.八 八1 1 1.D 32=2X3=6,1 s sm =M38S3铲4则点A 3到X轴的距离F Q=D,Q+3 =t+乎二、填空题_9.【答案】迎-1 解析 .四边形A B C O为正方形,：.CD=l,NCZM=90,边长为1 的正方形ABC。绕点C 按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置，使得点D 落在对角线CF上，：.CF=y2,NCTE=45。，；.。匹“为等腰直角三角形，.。”=。尸=。/-8=

13、北-1.故答案为a-L10.【答案】8 解析 .四边形ACDF是正方形，：.AC=AF,ZCAF=9Q,：.ZCAE+ZBAF=90,XZCAE+ZEC4=90,，ZECA=Z B A F,则在 ACE 和 FAB 中,(乙 AEC=/.ABF=90,Z.ECA=乙 BAF,AC=AF,/ICEAMB(AAS),：.AB=CE=4,，阴影部分的面积=L1CE=2X4X4=8.2 211.【答案】30。或 150。解析 如图，ADE是等边三角形,：.DE=DA,ZDEA=Z 1=60.四边形ABC。是正方形，：.DC=DA,Z2=90.：.ZCDE=15Q,DE=DC,.,.Z3=i(18 0-

14、150)=15.同理可求得N4=15。.，/BEC=30.如图，相 是等边三角形,：.DE=DA,Z l=Z2=60,.四边形ABCO是正方形，：.DC=DA,NC0A=90.：.DE=DC,Z3=3O,.Z4=i(18 0-30)=75.同理可求得N5=75。.，ZBEC=360 Z2 Z4 Z5=150.故答案为30。或 150.12.【答案】NBAD=90。(答案不唯一)【解析】VABCD的对角线A C 与 BD相交于点O,且 AC_LBD,.DA B C D是菱形，当NBAD=90。时，菱形ABCD为正方形.故可添加条件：ZBAD=90.13.【答案】方-【解析】.四边形ABCD为正方

15、形，.AO=BO,ZAOF=ZBOE=90,V AM I BE,ZAFO=ZBFM,NFAO=N EB O,在 AFO 和 BEOj ZAOF=ZBOE中，AO=BO,.AFO之BEO(ASA),/.FO=EO,正方形 ABCDLZ F A O=Z E B O的边长为2夜，E 是 O C 的中点，/.FO=EO=1=BF,B O=2,二在放ABOE中，BE=/12+22=小，由 ZFBM=ZEBO,Z FMB=ZEOB,可得FM BF FM 1 5 BFMABEO,.黑=黑，即 平，.F M*.MU Dts 1y5 3o1 4.【答案】方 【解析】设BD=3a,ZCDB=ZC BD=45,且四

16、边形PQMN为正方形，DQ=PQ=QM=NM=MB,.正方形MNPQ的边长为a,正方形AEFG1Q 1 3 3 9的对角线AF=BD=5a,正方形对角线互相垂直，S正方形A E F G=2 X 2 a x,a=g a 2,.S.方形MNPQ a2 8 SJE方形AEFG 9 2 9,8a1 5.【答案】多 区 3S 【解析】:A B C D 是正方形，A B=a=乎 AC,的取值范围与AC的长度直接相关.如解图，当A,C 两点恰好是正六边形一组对边中点时，。的值最小，.正六边形的边长为1,.AC=小，.AB=a=年A C=；如解图，连接M N,延长AE,BF交于点G,.正六边形和正方形ABCD

17、,.MNG、AABG、AEFG 为正三角形，设 AE=B F=x,则 AM=BN=l-x,AG=BG=AB=l+x=a,VGM=MN=2,ZBNM=60,BC a2 2.vmZBNM=5m60o=_x，.,.小(L x)=&,.,.小(2 a)=a,解得，a=击 g=3 一小.正方形边长a 的取值范围是务W3一小.图 图16.【答案】岁 或 坐【解 析】如解图，过 N 作N G LA B,交 AB于点G,.四边形 ABCD 为正方形，.AB=AD=NG=，cm,在 放ZABE 中，ZBAE=30,A B=S cm,/.BE=1 cm,AE=2 cm,.F 为 AE 的中点，AF=：AE=1AB

18、=NG在 RrABE 和 RrZNGM 中，(AENM，欣 ABEgR/aNGM(”L),/.BE=GM,ZBAE=ZMNG=30,ZAEB=ZNMG=60,/.ZA FM=90,即M N1AE,在/?rAAMF 中，NFAM=30,AF=1 cm,AAM=AFcos30。_1 _ _ 2V3=近=32c m,由对称性得到AM/=BM=A B-A M=V 3-=2 c m,综上，AM的长三 解答题1 7.【答案】证明:(1)四边形ABCD是正方形,/.ZADG=ZC=90,AD=DC,XVAGDE,ZDAG+ZADF=90=ZCDE+ZADF,：.ZDAG=ZCDE,：.AOG 丝)(AS A

19、).（2）如图，延长。E 交AB的延长线于H,TE 是 8 C 的中点，：.BE=CE.又?NON HBE=9Q,Z DEC=N HEB,/.DCE g HBE(ASA),.1BH=DC=AB,即8是AH的中点.又:ZAFH=90,.RtZkA尸 中，BF=-AH=AB.21 8.【答案】【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和差关 系.由ABCD是正方形，BD是角平分线，可想到连接C G,易得CG=AG,再由四边形CEGF是矩形可得AG2=GE2+GF2；（2）给出NAGF=105,可得出NAGB=60。，再由NABG=45。，可想到过点A 作 BG的垂线，交BG

20、于点M,分别在两个直角三角形中得出BM和 MG的长，相加即可得出BG的长.第 21 题料图M：（I）AG2=G E2+G F2；（1 分）理由：连结CG,.ABCD是正方形，NADG=NCDG=45。，AD=CD,DG=DG,/.ADGACDG,（2 分），AG=CG,XVGEDC,GFBC,NGFC=90。，四边形CEGF是矩形，（3 分）/.CF=GE,在直角AGFC中，由勾股定理得，CG2=GF2+CF2,.AG2=GE2+GF2；(4 分)(2)过点A 作 AM 1BD于点M,VGFBC,ZABG=ZGBC=45,.,.ZBAM=ZBGF=45,.ABM,ABGF都是等腰直角三角形，(

21、6 分)VAB=1,.AM=B M=,/ZAGF=105,ZAGM=60,fa 60。=GM，GM，(8 分).BG=BM+G M=+小=#&2 o o1 9.【答案(I).四边形ABCD是正方形，/.ZBAE=ZADF=90o,AB=AD=CD,.DE=CF,，AE=DF,AB=AD在ABAE 和AADF 中，JAB2+AE2=V42+32=5,在 RtZABE 中，-ABXAE=-BEXAG,22.AC 4x3 12.ACJ=-=.2 0.【答案】解:证明:正方形 ABC。中，AC=BD,OA=AC,OB=OD=-BD,：,OA=OB=OD,22：ACA.BD,.NA08=NA00=90。

22、，：.ZOAD=ZOBA=45,：.Z0AM=Z0BN,XV ZEOF=90,：.ZAOM=ZBON,：.AOM/XBON,：.OM=ON.(2)如图，过点。作 0P_LA8 于尸，N 0巩=90,ZOPA=AMAE,.,E为 OM 中点，：.OE=ME,又,:ZAEM=ZPEO,：.AEM/PEO,：.AE=EP,：OA=OB,OPLAB,：.AP=BP=-AB=2,2：.EP=.RtA OPB,NOBP=45,/.0P=PB=2,RtA OEP 中，OE=/OP2+PE2=/5：.OM=2OE=2小RtAOMN 中，OM=ON,：.MN=y2OM=2y/10.2 1.【答案】(1)证明：.

23、四边形ABCD是正方形，ABC=CD=AD=AB=4,ZABE=ZC=ZD=90,/.ZABG+ZCBF=90,/BFA.AE,：.ZABG+ZBAE=90,：.ZBAE=ZCBF,在3CF和aA BE中，r ZC=ZABEI BC=AB,LZCBF=ZBAEABCF AABE(ASA)；(2)证明：A CBD,BFA E,：.Z A O B=Z A G B=ZA G F=9 0 ,.A、B、G、。四点共圆，A Z A G O=ZA BO=45 ,：.ZFG O=90-4 5 =4 5 =ZA G O,.G O 平分N A G F；(3)解：如解图，连接E RV C G 1 G O,：.ZOG

24、 C=90,:NEG F=NBCD=90 ,：.ZEG F+ZBCD=I SQ ,A C,E、G、尸四点共圆，：.ZEFC=ZEG C=SO-9 0 -4 5 =4 5 ,.C E 尸是等腰直角三角形，：.CE=CF,同(1)得B C/名A 8 E,：.CF=BE,：.CE=BE=BC,O A=；AC=曰 B C=y2 CE,由(2)得A、B、G、。四点共圆，:./BOG=NBA E,V Z G E C=9 0 +ZBA E,ZG OA=9Q+Z B O G,：.ZG OA =ZG EC,又./E G C=N A G O=4 5 ,A A O G s A C E G,CG CE N，:CG,n

25、=y2 .2 2.【答案】解：(1)等腰直角三角形，V 2.两个结论仍成立.证明:连接BD.：AB=AB,NBAB=a,NABB=90-,2V ZB,AD=a-90,AD=AB A Z A B B S-,A ZEB,D=ZAB,D-ZAB,B=45.2r D.DE_LBB，.,NEDB，=NEBD=45。，.DEB，是等腰直角三角形，也=也.DE 四边形ABCD为正方形，：.=,/2,ZBDC=45o.-=,CD DE CDVZEDBZBDC,ZEDB,+ZEDB=ZBDC+ZEDB,即 NBDB，=NCDE.；.BDBsEDC,.BB _ B D _ r-7 乙、CE CD3或1.思路提示：

26、分两种情况.情形一，如图，当点B在BE上时，由理=0 ,设BB，=2m,C E=.CE.CEB，D,CE=BZD,在等腰直角三角形DEB，中，斜边B，D=0 加,.，一 十 二/口 ki BE 2 m+m.BE=DE=?,于是得至lj =-=3.B E m情形二，如图，当点B，在BE延长线上时，由巨纹=0,设BB，=2z,C E=.CE.CEB，D,CE=BD,.B，D=0 加，在等腰直角三角形DEB，中，斜边B，D=0?,【解析】（1）AABB，是等边三角形，ABD是等腰三角形，且NAB，D=75。,NDBE=45。，结合D E L B E,可得DEB，是等腰直角三角形.连接BD,A ZBD

27、C=45,易得Rn n R R n RRNBDB，=NCDE,结合=后,，ABBAEDC,=VLD C DE BC CE（2）结论成立，证明方法与（1）一样；（3）分两种情况：当点B，在BE上时和当点B，在BE延长线上时.2 3.【答案】（1）BG/CD；【解法提示】.四边形EFGC是正方形，：.CG=CE,N G C E=/G F E=/F E C=90,V ZACB=ZGCE=90,：.ZGCB=ZECA,：GC=CE,CB=CA,.0 4 5 g/。8 6.又：/4。8=90。，BC=AC,D 是 AB 的中点，：.ZCBG=ZCAE=45,ZBCD=45,：.ZCBG=ZBCD,：.B

28、G/CD.(2)VCB=C4,CD1AB,NAC8=90。，：.CD=BD=AD=3,ZCBA=ZA=45,易得 CAE经ACBG,：.ZCBG=ZA=45,：.Z GBA=Z GBC+Z CBA=90.*/Z BEN+Z BNE=90,Z BEN+Z CED=90,，NBNE=ZCED,ZEBN=ZCDE=9Q,:AN BEsAED C,BN _BE,丽=而.y 3x3，y=_；(x _|)2+*i 3 3 ；一(V O,.X=时，y 的最大值为旅(3)如解图，作/LA B 于点”.CB=C4,BD=CD,ZBCA=90,C.CDA.AB,CD=BD=AD=3,，DE tanNZ)CE=c)

29、=3，：.ZDCE=30,.四边形EFGC是正方形，：.EF=EC,?ZCDE=NEHF=9。,易证NOCE=NHEF,：.C D E/EH F,:.NDCE=NHEF=30。,FH=DE,CD=EH,：CD=BD,：.BD=EH,：.BH=DE=FH,.BHF是等腰直角三角形，：.ZBFH=45,：ZEFH=90 ZHEF=60,：./BFE=ZBFH+ZEFH=105.解图2 4.【答案】(1)证明：ZBED=ZBAD,ZBPE=ZDR,：.ZABE=ZADF,又.,A5=AO,BE=DF,：.ABEAAD F；(2)解：如解图，延长EO到点凡 使得。尸=8E,连接AF,解图.四边形4BC

30、O是正方形，NBAD=NBED=NBEP,：ZP=ZP,：.ZPBE=ZADP,：.NABE=ZADF,：BE=DF,AB=AD,：.ABEAD F,：.AE=AF,ZBAE=ZFAD,：.ZFAD+ZEAD=ZBAE+ZEAD=90,Z.EF=f2AE=3巾乂巾=6,：.DE=EFDF=EF BE=61=5；(3)解：如解图，过点A作AF_LAE交 EO的延长线于点R解图.四边形ABC。是矩形，:./BAD=/BED=NBEP=90,：AFAE,NP=NP,：.ZPBE=ZADP,ZEAB=90 ZEAD=ZFAD,：.ZAB=18 0-ZPBE=18 0-ZADP=ZADF,：.ABEAADF,.AB _ BE _ AE _ 1而 一 而 一 7 7一5：.AF=2AE,DF=2BE,在 RtAAEF 中，由勾股定理得 EF=lAE2+AF2=5AE,AE=y5BE,：.EF=y5AE=y5 y5BE=5BE,：.DE=E F-DF=5B E-2BE=3BE,丝=亚D E 3，